创新课程设计
（组合梁弯曲应力的应变片粘贴及测试）
学 校：
班 级： 09机51 学 号： 09295026 姓 名： 指导老师
自2012年12月24日至2013年1月3日
前言
·····································································2
·····················································3 ·····················································4
第一章 设计目的 第二章 主要内容
第三章 理论知识 ·····················································4 3.1.1弯曲
·····························································5
3.1.2 应力计算公式 ··················································5 3.3两梁叠合 ····························································10 第四章 实验内容
····················································11
4.1主要设备 ····························································11 4.2应变片工作原理 ··················································11 4.3实验原理
························································12
4.4实验步骤 ··························································13 第五章 结果分析
····················································16
············································16
5.1 试件尺寸及材料属性 5.2 理论知识
························································17
5.3实验数据 ··························································17 5.4 误差分析
························································19 ····················································19 ····················································20
第六章 设计小结 第七章 参考文献
创新课程设计是每个大学生检验自己理论知识的一种能力测试，是一种能力的拓展。通过创新课程设计，我们可以将各种理论知识融会贯通，也可以在原先的基础上弥补自己知识的残缺，更可以掌握更先进的理论知识。总之，开展创新课程设计对于我们是十分有利的。
我们这两个星期的课程设计是通过实验的方式来检验叠合梁理论结果与实验结果的差距，同时分析叠合梁与整体梁在受同样大小力时各个点应力的不同。本课题主要是利用材料力学知识对组合梁的理论计算公式的推导，通过1/4桥进行应力的测试。
总之，本课题对提高学生的理论知识与工程实践相结合的能力以及分析、解决工程问题的能力、动手能力有很大的帮助和重要意义。
第一章 设计目的
在工程实际中，梁是一种常见的构件，有时为了加固梁，采用上下叠合的方式，从而形成叠合梁或称为组合梁或者复合梁，准确的说，由两种或两种以上的材料所构成的梁，称为组合梁（复合梁）。梁的叠合方式不同对梁的应力和抗裂性有很大的影响，因此叠合方式的恰当选择显得尤为重要。在工程结构或机械中，为保证其正常工作，构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。因此应当满足一下要求： （1）强度要求 在规定载荷作用下的构件不应破坏。
（2）刚度要求 在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。
（3）稳定性要求 构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。 材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。 由于材料力学知识研究变形固体时常要以下列假设为基本前提：
1. 连续性假设 假设物体内部充满了物质，没有任何空隙。 2. 均匀性假设 假设物体内各处的力学性质是完全相同的。 3. 各向同性假设 假设材料在各个方向的力学性质均相同。 所以理论结果与实际结果会存在差距，需要由试验来验证，还有一些尚无理论结果的问题，须借助试验方法来解决。通过两种方式的比较来获得与实际结果更接近的值，为工程实际问题的解决提供了方便。
第二章 主要内容
叠合梁应变片的粘贴和在材料力学多功能试验台上测试叠合梁纯弯曲应力试验
第三章 基本理论
3.1.1 弯曲
弯曲是杆件的一种基本变形，以弯曲为主要变形的杆，通常称为梁（beam ）。工程上常用的梁，大多有一个纵向对称面（各横截面的纵向对称轴所组成的平面），当外力作用在该对称面内时，由变形的对称性可知，梁的轴线将再次平面内弯成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲（plane bending ）, 又称对称弯曲（symmetric bending ）。若梁不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用在该面内，这种弯曲统称为非对称弯曲（unsymmetric bending）。
实际工程中，梁上所受载荷、梁的支座情况都是比较复杂的。在计算梁的内力、应力和变形之前，首先应进行合理的简化，得到梁的力学计算简图（mechaniccalsimplified diagram ）。通常，梁用其轴线表示；梁上的载荷可简化为集中载荷、分布载荷和集中力偶；根据不同之承情况，梁的支座可简化为固定铰支座、可动铰支座和固定端。根据支座的简化情况，可以得到如下3种基本形式的梁：
（1）简支梁（simply supported beam） 一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。如图1所示。
（2）外伸梁（overhanging beam ） 一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座，且梁具有外伸部分。如图2所示。
（3）悬臂梁（cantilever beam） 一端为固定另一端为自由端的梁。如图3所示
以上3种梁，其支座反力均可由静力平衡方程求出，称为静定梁（statically
determinate bean）。梁的两支座之间的距离称为跨度（span ）。 3.1.2 纯弯曲及应力计算公式
在一般情况下，梁的横截面上同时存在正应力和切应力。若梁或一梁段内各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该梁或该梁段的弯曲为纯弯曲（pure bending ）。如图4梁纯弯曲，剪力图和弯矩图如下。
1. 纯弯曲时变形的特征：
每个图都要标号
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。 （2）各横向线相对转过了一个角度, 仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
2．纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设
( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 (b) 仍垂直于变形后梁的轴线。 （2）纵向纤维间无挤压的正应力。 3. 公式推导
从几何关系、物理关系和静力学关系三个方面，研究直梁纯弯曲时横截面上的正应力。 研究思路：
物 理
几 何 应变分变形 布
关 系
（1）变形几何关系
中性层：梁中即不伸长也不缩短的一层纤维。
中性轴：中性层与横截面的交线。
ρ ：中性层的曲率半径
求距中性层为 y 处的纤维的应变
变形前：bb =oo =dx
变形后：b 'b '=(ρ+y )d θ o 'o '=
∴ bb 的线应变为ε=
ρd θ=dx
=y
(ρ+y )d θ-ρd θ
ρd θρ
(a)
直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。 距离中性层为 y 的纵向纤维的应变ε=（2） 物理关系( Hooke 定律) σ
y
ρ
=E ε
y
σ=E
ρ
M
O
z x
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正
比。弯曲正应力按线性规律变化。 纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力σ=E
y
ρ
(b)
（3）静力平衡关系
横截面上内力系为平行于x 轴的空间平行力系。这一力系向坐标原点O 简化，得到
F x =⎰σdA =0 d F x =σd A (c)
M y =
⎰z σdA =0 d M y =
σz d (d) A
d A (e)
M z =
⎰y σdA =M
A
d M z =σy
根据平衡方程，弯矩M 与外力偶矩大小相等，方向相反。
以 (b ) 式代入(c)式，得
⎰
(f) 式中
E
A
σdA =
E
ρ⎰
A
ydA =0
ρ
=常量，不等于零，故必须有
⎰
A
ydA =S z =0，即必须横截面对z 轴
的静矩等于零，亦即z 轴(中性轴) 通过截面形心。
以(b)式代入(d)式，得
⎰
(g) 式中积分
A
z σdA =
E
ρ⎰
A
yzdA =0
⎰
A
yzdA =I yz 是横截面对y 和z 轴的惯性积。由于y 轴是横截面的
对称轴，必然有I yz =0。所以(g)式是自然满足的。
E
2
以(b)式代入(e)式，得 M =式中积分
⎰
2
A
y σdA =
ρ
⎰
A
y dA (h)
⎰
A
y dA =I z
是横截面对z 轴(中性轴) 的惯性矩。于是(h)式可以写成
1
(i)
ρ
=
M EI z
1
式中
ρ
是梁轴线变形后的曲率。上式表明，
E I z
1
越大，则曲率
ρ
越小，故
E I z 称为梁的抗弯刚度。由(i)式和(b)式中消去
1
ρ
，得
σ=
M y I z
(j)
这就是纯弯曲是正应力的计算公式。
叠合梁分析
3.1.3 两根梁自由叠合
如图7所示，两梁叠合，无销钉约束。
图7 无销钉约束叠合梁
当其在外载荷作用下弯曲变形时，上下梁各自弯曲，每个梁有各自的中性层，且满足下列条件：
1
变形条件
ρ1
1
=
1
ρ2，
M 1(x )E 1I 1
,
物理条件
ρ1
1
=
1
ρ2
=
M
2
(x )
,
E 2I 2
平衡条件 M 由以上各式得，
(x )+M 2(x )=M (x )
E 2I 2M
M 1(x )=
E 1I 1M
(x )
,
E 1I 1+E 2I 2
M 2(x )=
(x )
E 1I 1+E 2I 2
此处可以先得到不同材料组合的一般公式，再特殊到同种材料为好 又两梁属性、外形相同，所以有E 1=E 2=E , I 1=I 2=I ， 故 M 1(x )=M
2
(x )=
M (x )2
所以叠合梁任一截面上下梁的弯曲应力为：
σ1=σ2=
M
(x )y
2I
.
第四章 实验内容
4.1主要设备
材料力学多功能试验台、纯弯曲梁实验装置一套、XL2118A 型应力、应变综合参数测试仪一台。 4.2应变片工作原理
应变片的工作原理是基于金属丝的电阻应变片的电阻应变效应，即金属丝的电阻值随其机械变形而发生改变的物理现象。
设有一根长度为L 、横截面积为A 、电阻率为ρ的金属丝，其初始电阻值为 R =ρ(a)
当金属丝受到轴向拉伸(或压缩) 作用时，其电阻值R 的变化，可由式(a)微分得
L A
dR =
(b)
该金属丝的电阻变化率为
ρ
A
dL +
L A
d ρ-
ρL
A
2
dA
dR R
(c)
=
dL L
+
d ρ
ρ
-
dA A
上式中d A 为金属丝横截面积的变化，是由金属丝的轴向应变ε引起的。金属丝的直径由D 变为D ' , 两者关系为
D =(1-με)D
'
(d)
其中μ为金属丝材料的泊松比。由式(d)得到
dA
(e)
将式(e)代入(c)得
A
=-2με+(με)
2
≈-2με
dR
(f) 令
R
=(1+2μ)ε+
d ρ
ρ
dR
d ρ
ρ=1+2μ+ K s =
ε
ε
(g)
K s 称为单根金属丝的应变灵敏系数。式(g)表明，K s 值由
(1+2μ)
和
⎛d ρ/ρ⎫
⎪两项所决定。前一项是由金属丝变形后几何尺寸发生变化所引起的；
ε⎝⎭后一项是由金属丝变形后电阻率发生变化所引起的。在常温下，许多金属材料在一定的应变范围内，其K s 基本上是一个常数。于是式(f)可表示为
dR
R
=K s ε
(h)
式(h)表示金属丝的电阻变化率与它的轴向应变成线性关系。应变片就是利用金属丝的这种线性的电阻应变效应制成的。 4.3实验原理
试样的受力如图10所示，试样简支于A 、B 两点，在对称的C 、D 两点受集中载荷作用使梁产生弯曲变形，CD 梁受纯弯曲作用。梁的材料为合金钢，弹性模量为E ＝200GPa 。
图10 试样受力图
图11 测点位置图
为了测量叠合梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，应变片的粘贴位置如图11所示。在梁的纯弯曲段沿梁的侧面不同高度，在上下两梁平行于轴线贴上3片（或5片）应变片。其中3#片位于上梁的中性层处，2#、4#片分别位于其中性层上、下6mm 处，1#片位于其上表面。同样的，6#片位于下梁的中性层处，5#、7#片分别位于其中性层上、下6mm 处，8#片位于其下表面。此外，在上梁的上表面沿横向粘贴9#应变片。实验采用1/4桥、公共补偿、多点测量的方法。
本实验采用逐级等量加载的方法加载，每次增加等量的载荷∆P , 测定各点相应的应变增量一次，即：初载荷为0.5，最大载荷为4kN ，等量增加的载荷∆P 为0.5 kN 。分别取应变增量的平均值（修正后的值）∆实，求出各点应力增量的平均值∆实。把测量得到的应力增量∆实与理论计算出的应力增量∆理加以比较，从而可以验证公式的正确性。 4.4实验步骤
该部分包括应变片的粘贴及实验数据的测量，其中应变片的粘贴方法和步骤前文已详细介绍过，这里就不再介绍。以下是实验数据测量的主要步骤：
1．测量矩形截面叠合梁的各个尺寸，开电源预热电阻应变仪约20分钟。
2. 将各种仪器连接好，各应变片按1/4桥接法接到电阻应变仪的所选通道上。检查整个测试系统是否正常工作。
3．将温度补偿片接到应变仪的公共补偿点上，逐一调节各通道为零。 4．拟定加载方案。先选取适当的初载2P 0，本实验最大载荷4.0 kN，分6级加载。
5. 加载。均匀慢速加载至初载荷2P ，记下各点应变仪的初读数。然后逐层加载，并依次记录各点应变片的应变读数，（包括正负号，负号表示压应变，正号不显示）。直到最终载荷。实验重复做两次。
6．注意：载荷最大加至4.0 kN ，不能超载；在测量过程中，尽量避免连接导线的晃动。
7．完成全部实验内容后，卸掉载荷，关闭电源，整理所用仪器、设备，并恢复原状。
第五章 结果分析
5.1. 试件尺寸:
5.2理论知识
叠合梁理论分析参照3.3
5.3实验数据
2、分析结果
实验结果处理方法
1.求出各测量点在等量载荷作用下，应变增量的平均值∆测。
2. 考虑到应变仪与应变片灵敏系数不同，按下式对应变增量的平均值∆测
进行修正得到实际的应变增量平均值∆实
∆实=
k 仪k 片
∆测=
2. 02. 16
∆测
式中k 仪、k 片分别为电阻应变仪和电阻应变片的灵敏系数。
3.根据各测点应变增量的平均值∆实，计算测量的应力值
∆实=E ⋅∆实。
4. 根据实验装置的受力图和截面尺寸，先计算横截面对z 轴的惯性矩z ，再应用前文推导出的弯曲应力的理论计算公式，计算在等增量载荷作用下，各测点的理论应力增量值。
由以上计算结果及实验结果分析可知选用理论算法二更能真实的计算出叠合梁在纯弯曲时所受的正应力。
将解析解的结果与实测值比较，并计算其误差如下表：
误差=|（σ
理i
I
-σ
实i
）/σ
理i
|×100%
5.4误差分析
由实验结果可知，无销钉约束的叠合梁弯曲时，应力分布与单梁基本相似，上、下层中横截面上的弯曲应力沿高度分别按直线分布，在距各自的中性轴最远处的弯曲应力最大，各自的中性轴上的弯曲应力为0；这与理论分析结果基本一致。
由于实验中的影响因素较多，比如：加载不均匀等，会造成读数误差；实验前电桥不平衡；仪器长时间使用，使电桥电压稳定性下降，影响精度，销钉约束等原因，都将造成实验值的误差。
第六章 设计小结
6.1本文结论
叠合梁在实际工程中应用广泛，众多学者依据材料力学的知识，对叠合梁的弯曲应力计算公式给予了各种理论推导，本文在前人的研究基础上，对两种形式的叠合梁的计算公式给出了公式推导，并通过实验和数值模拟给予了验证，主要工作和结果如下：
1. 基于材料力学的平面假设、材料纵向纤维间无挤压假设，并服从单向胡克定律，推导出了叠合简支梁在无销钉约束和有销钉约束两种形式下弯曲应力的计算公式。
2. 采用应变片电测法对两种形式叠合梁的弯曲应力进行测试，通过实验初步掌握了应变片电测法的测试原理、应变片的选择以及应变片的粘贴技术，其中应变片的粘贴技术显得尤为重要，本文详细讲述了应变片的粘贴方法、步骤，可以提高学生的动手操作能力。通过实验的验证表明，虽然实验数据与理论值之间存在一定的误差，但是由理论推导所得公式是正确的，而实验误差主要是由于应变片的粘贴、材料加工、安装位置、动力疲劳、实验仪器、数据采集等引起的。
第七章 参考文献
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创新课程设计
（组合梁弯曲应力的应变片粘贴及测试）
学 校：
班 级： 09机51 学 号： 09295026 姓 名： 指导老师
自2012年12月24日至2013年1月3日
前言
·····································································2
·····················································3 ·····················································4
第一章 设计目的 第二章 主要内容
第三章 理论知识 ·····················································4 3.1.1弯曲
·····························································5
3.1.2 应力计算公式 ··················································5 3.3两梁叠合 ····························································10 第四章 实验内容
····················································11
4.1主要设备 ····························································11 4.2应变片工作原理 ··················································11 4.3实验原理
························································12
4.4实验步骤 ··························································13 第五章 结果分析
····················································16
············································16
5.1 试件尺寸及材料属性 5.2 理论知识
························································17
5.3实验数据 ··························································17 5.4 误差分析
························································19 ····················································19 ····················································20
第六章 设计小结 第七章 参考文献
创新课程设计是每个大学生检验自己理论知识的一种能力测试，是一种能力的拓展。通过创新课程设计，我们可以将各种理论知识融会贯通，也可以在原先的基础上弥补自己知识的残缺，更可以掌握更先进的理论知识。总之，开展创新课程设计对于我们是十分有利的。
我们这两个星期的课程设计是通过实验的方式来检验叠合梁理论结果与实验结果的差距，同时分析叠合梁与整体梁在受同样大小力时各个点应力的不同。本课题主要是利用材料力学知识对组合梁的理论计算公式的推导，通过1/4桥进行应力的测试。
总之，本课题对提高学生的理论知识与工程实践相结合的能力以及分析、解决工程问题的能力、动手能力有很大的帮助和重要意义。
第一章 设计目的
在工程实际中，梁是一种常见的构件，有时为了加固梁，采用上下叠合的方式，从而形成叠合梁或称为组合梁或者复合梁，准确的说，由两种或两种以上的材料所构成的梁，称为组合梁（复合梁）。梁的叠合方式不同对梁的应力和抗裂性有很大的影响，因此叠合方式的恰当选择显得尤为重要。在工程结构或机械中，为保证其正常工作，构件应有足够的能力负担起应当承受的载荷。因此应当满足一下要求： （1）强度要求 在规定载荷作用下的构件不应破坏。
（2）刚度要求 在载荷作用下，构件即使有足够的强度，但若变形过大，仍不能正常工作。
（3）稳定性要求 构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。 材料力学的任务就是在满足强度、刚度和稳定性的要求下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。 由于材料力学知识研究变形固体时常要以下列假设为基本前提：
1. 连续性假设 假设物体内部充满了物质，没有任何空隙。 2. 均匀性假设 假设物体内各处的力学性质是完全相同的。 3. 各向同性假设 假设材料在各个方向的力学性质均相同。 所以理论结果与实际结果会存在差距，需要由试验来验证，还有一些尚无理论结果的问题，须借助试验方法来解决。通过两种方式的比较来获得与实际结果更接近的值，为工程实际问题的解决提供了方便。
第二章 主要内容
叠合梁应变片的粘贴和在材料力学多功能试验台上测试叠合梁纯弯曲应力试验
第三章 基本理论
3.1.1 弯曲
弯曲是杆件的一种基本变形，以弯曲为主要变形的杆，通常称为梁（beam ）。工程上常用的梁，大多有一个纵向对称面（各横截面的纵向对称轴所组成的平面），当外力作用在该对称面内时，由变形的对称性可知，梁的轴线将再次平面内弯成一条平面曲线。这种弯曲称为平面弯曲（plane bending ）, 又称对称弯曲（symmetric bending ）。若梁不具有纵向对称面，或虽有纵向对称面但外力不作用在该面内，这种弯曲统称为非对称弯曲（unsymmetric bending）。
实际工程中，梁上所受载荷、梁的支座情况都是比较复杂的。在计算梁的内力、应力和变形之前，首先应进行合理的简化，得到梁的力学计算简图（mechaniccalsimplified diagram ）。通常，梁用其轴线表示；梁上的载荷可简化为集中载荷、分布载荷和集中力偶；根据不同之承情况，梁的支座可简化为固定铰支座、可动铰支座和固定端。根据支座的简化情况，可以得到如下3种基本形式的梁：
（1）简支梁（simply supported beam） 一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。如图1所示。
（2）外伸梁（overhanging beam ） 一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座，且梁具有外伸部分。如图2所示。
（3）悬臂梁（cantilever beam） 一端为固定另一端为自由端的梁。如图3所示
以上3种梁，其支座反力均可由静力平衡方程求出，称为静定梁（statically
determinate bean）。梁的两支座之间的距离称为跨度（span ）。 3.1.2 纯弯曲及应力计算公式
在一般情况下，梁的横截面上同时存在正应力和切应力。若梁或一梁段内各横截面上的剪力为零，弯矩为常量，则该梁或该梁段的弯曲为纯弯曲（pure bending ）。如图4梁纯弯曲，剪力图和弯矩图如下。
1. 纯弯曲时变形的特征：
每个图都要标号
（1）各纵向线段弯成弧线，且部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。 （2）各横向线相对转过了一个角度, 仍保持为直线。 （3）变形后的横向线仍与纵向弧线垂直。
2．纯弯曲时的基本假设
（1）平截面假设
( Plane Assumption )
(a) 变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 (b) 仍垂直于变形后梁的轴线。 （2）纵向纤维间无挤压的正应力。 3. 公式推导
从几何关系、物理关系和静力学关系三个方面，研究直梁纯弯曲时横截面上的正应力。 研究思路：
物 理
几 何 应变分变形 布
关 系
（1）变形几何关系
中性层：梁中即不伸长也不缩短的一层纤维。
中性轴：中性层与横截面的交线。
ρ ：中性层的曲率半径
求距中性层为 y 处的纤维的应变
变形前：bb =oo =dx
变形后：b 'b '=(ρ+y )d θ o 'o '=
∴ bb 的线应变为ε=
ρd θ=dx
=y
(ρ+y )d θ-ρd θ
ρd θρ
(a)
直梁纯弯曲时纵向线段的线应变与它到中性层的距离成正比。 距离中性层为 y 的纵向纤维的应变ε=（2） 物理关系( Hooke 定律) σ
y
ρ
=E ε
y
σ=E
ρ
M
O
z x
y
结论：直梁纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力，与它到中性层的距离成正
比。弯曲正应力按线性规律变化。 纯弯曲时横截面上任意一点的弯曲正应力σ=E
y
ρ
(b)
（3）静力平衡关系
横截面上内力系为平行于x 轴的空间平行力系。这一力系向坐标原点O 简化，得到
F x =⎰σdA =0 d F x =σd A (c)
M y =
⎰z σdA =0 d M y =
σz d (d) A
d A (e)
M z =
⎰y σdA =M
A
d M z =σy
根据平衡方程，弯矩M 与外力偶矩大小相等，方向相反。
以 (b ) 式代入(c)式，得
⎰
(f) 式中
E
A
σdA =
E
ρ⎰
A
ydA =0
ρ
=常量，不等于零，故必须有
⎰
A
ydA =S z =0，即必须横截面对z 轴
的静矩等于零，亦即z 轴(中性轴) 通过截面形心。
以(b)式代入(d)式，得
⎰
(g) 式中积分
A
z σdA =
E
ρ⎰
A
yzdA =0
⎰
A
yzdA =I yz 是横截面对y 和z 轴的惯性积。由于y 轴是横截面的
对称轴，必然有I yz =0。所以(g)式是自然满足的。
E
2
以(b)式代入(e)式，得 M =式中积分
⎰
2
A
y σdA =
ρ
⎰
A
y dA (h)
⎰
A
y dA =I z
是横截面对z 轴(中性轴) 的惯性矩。于是(h)式可以写成
1
(i)
ρ
=
M EI z
1
式中
ρ
是梁轴线变形后的曲率。上式表明，
E I z
1
越大，则曲率
ρ
越小，故
E I z 称为梁的抗弯刚度。由(i)式和(b)式中消去
1
ρ
，得
σ=
M y I z
(j)
这就是纯弯曲是正应力的计算公式。
叠合梁分析
3.1.3 两根梁自由叠合
如图7所示，两梁叠合，无销钉约束。
图7 无销钉约束叠合梁
当其在外载荷作用下弯曲变形时，上下梁各自弯曲，每个梁有各自的中性层，且满足下列条件：
1
变形条件
ρ1
1
=
1
ρ2，
M 1(x )E 1I 1
,
物理条件
ρ1
1
=
1
ρ2
=
M
2
(x )
,
E 2I 2
平衡条件 M 由以上各式得，
(x )+M 2(x )=M (x )
E 2I 2M
M 1(x )=
E 1I 1M
(x )
,
E 1I 1+E 2I 2
M 2(x )=
(x )
E 1I 1+E 2I 2
此处可以先得到不同材料组合的一般公式，再特殊到同种材料为好 又两梁属性、外形相同，所以有E 1=E 2=E , I 1=I 2=I ， 故 M 1(x )=M
2
(x )=
M (x )2
所以叠合梁任一截面上下梁的弯曲应力为：
σ1=σ2=
M
(x )y
2I
.
第四章 实验内容
4.1主要设备
材料力学多功能试验台、纯弯曲梁实验装置一套、XL2118A 型应力、应变综合参数测试仪一台。 4.2应变片工作原理
应变片的工作原理是基于金属丝的电阻应变片的电阻应变效应，即金属丝的电阻值随其机械变形而发生改变的物理现象。
设有一根长度为L 、横截面积为A 、电阻率为ρ的金属丝，其初始电阻值为 R =ρ(a)
当金属丝受到轴向拉伸(或压缩) 作用时，其电阻值R 的变化，可由式(a)微分得
L A
dR =
(b)
该金属丝的电阻变化率为
ρ
A
dL +
L A
d ρ-
ρL
A
2
dA
dR R
(c)
=
dL L
+
d ρ
ρ
-
dA A
上式中d A 为金属丝横截面积的变化，是由金属丝的轴向应变ε引起的。金属丝的直径由D 变为D ' , 两者关系为
D =(1-με)D
'
(d)
其中μ为金属丝材料的泊松比。由式(d)得到
dA
(e)
将式(e)代入(c)得
A
=-2με+(με)
2
≈-2με
dR
(f) 令
R
=(1+2μ)ε+
d ρ
ρ
dR
d ρ
ρ=1+2μ+ K s =
ε
ε
(g)
K s 称为单根金属丝的应变灵敏系数。式(g)表明，K s 值由
(1+2μ)
和
⎛d ρ/ρ⎫
⎪两项所决定。前一项是由金属丝变形后几何尺寸发生变化所引起的；
ε⎝⎭后一项是由金属丝变形后电阻率发生变化所引起的。在常温下，许多金属材料在一定的应变范围内，其K s 基本上是一个常数。于是式(f)可表示为
dR
R
=K s ε
(h)
式(h)表示金属丝的电阻变化率与它的轴向应变成线性关系。应变片就是利用金属丝的这种线性的电阻应变效应制成的。 4.3实验原理
试样的受力如图10所示，试样简支于A 、B 两点，在对称的C 、D 两点受集中载荷作用使梁产生弯曲变形，CD 梁受纯弯曲作用。梁的材料为合金钢，弹性模量为E ＝200GPa 。
图10 试样受力图
图11 测点位置图
为了测量叠合梁在纯弯曲时横截面上正应力的分布规律，应变片的粘贴位置如图11所示。在梁的纯弯曲段沿梁的侧面不同高度，在上下两梁平行于轴线贴上3片（或5片）应变片。其中3#片位于上梁的中性层处，2#、4#片分别位于其中性层上、下6mm 处，1#片位于其上表面。同样的，6#片位于下梁的中性层处，5#、7#片分别位于其中性层上、下6mm 处，8#片位于其下表面。此外，在上梁的上表面沿横向粘贴9#应变片。实验采用1/4桥、公共补偿、多点测量的方法。
本实验采用逐级等量加载的方法加载，每次增加等量的载荷∆P , 测定各点相应的应变增量一次，即：初载荷为0.5，最大载荷为4kN ，等量增加的载荷∆P 为0.5 kN 。分别取应变增量的平均值（修正后的值）∆实，求出各点应力增量的平均值∆实。把测量得到的应力增量∆实与理论计算出的应力增量∆理加以比较，从而可以验证公式的正确性。 4.4实验步骤
该部分包括应变片的粘贴及实验数据的测量，其中应变片的粘贴方法和步骤前文已详细介绍过，这里就不再介绍。以下是实验数据测量的主要步骤：
1．测量矩形截面叠合梁的各个尺寸，开电源预热电阻应变仪约20分钟。
2. 将各种仪器连接好，各应变片按1/4桥接法接到电阻应变仪的所选通道上。检查整个测试系统是否正常工作。
3．将温度补偿片接到应变仪的公共补偿点上，逐一调节各通道为零。 4．拟定加载方案。先选取适当的初载2P 0，本实验最大载荷4.0 kN，分6级加载。
5. 加载。均匀慢速加载至初载荷2P ，记下各点应变仪的初读数。然后逐层加载，并依次记录各点应变片的应变读数，（包括正负号，负号表示压应变，正号不显示）。直到最终载荷。实验重复做两次。
6．注意：载荷最大加至4.0 kN ，不能超载；在测量过程中，尽量避免连接导线的晃动。
7．完成全部实验内容后，卸掉载荷，关闭电源，整理所用仪器、设备，并恢复原状。
第五章 结果分析
5.1. 试件尺寸:
5.2理论知识
叠合梁理论分析参照3.3
5.3实验数据
2、分析结果
实验结果处理方法
1.求出各测量点在等量载荷作用下，应变增量的平均值∆测。
2. 考虑到应变仪与应变片灵敏系数不同，按下式对应变增量的平均值∆测
进行修正得到实际的应变增量平均值∆实
∆实=
k 仪k 片
∆测=
2. 02. 16
∆测
式中k 仪、k 片分别为电阻应变仪和电阻应变片的灵敏系数。
3.根据各测点应变增量的平均值∆实，计算测量的应力值
∆实=E ⋅∆实。
4. 根据实验装置的受力图和截面尺寸，先计算横截面对z 轴的惯性矩z ，再应用前文推导出的弯曲应力的理论计算公式，计算在等增量载荷作用下，各测点的理论应力增量值。
由以上计算结果及实验结果分析可知选用理论算法二更能真实的计算出叠合梁在纯弯曲时所受的正应力。
将解析解的结果与实测值比较，并计算其误差如下表：
误差=|（σ
理i
I
-σ
实i
）/σ
理i
|×100%
5.4误差分析
由实验结果可知，无销钉约束的叠合梁弯曲时，应力分布与单梁基本相似，上、下层中横截面上的弯曲应力沿高度分别按直线分布，在距各自的中性轴最远处的弯曲应力最大，各自的中性轴上的弯曲应力为0；这与理论分析结果基本一致。
由于实验中的影响因素较多，比如：加载不均匀等，会造成读数误差；实验前电桥不平衡；仪器长时间使用，使电桥电压稳定性下降，影响精度，销钉约束等原因，都将造成实验值的误差。
第六章 设计小结
6.1本文结论
叠合梁在实际工程中应用广泛，众多学者依据材料力学的知识，对叠合梁的弯曲应力计算公式给予了各种理论推导，本文在前人的研究基础上，对两种形式的叠合梁的计算公式给出了公式推导，并通过实验和数值模拟给予了验证，主要工作和结果如下：
1. 基于材料力学的平面假设、材料纵向纤维间无挤压假设，并服从单向胡克定律，推导出了叠合简支梁在无销钉约束和有销钉约束两种形式下弯曲应力的计算公式。
2. 采用应变片电测法对两种形式叠合梁的弯曲应力进行测试，通过实验初步掌握了应变片电测法的测试原理、应变片的选择以及应变片的粘贴技术，其中应变片的粘贴技术显得尤为重要，本文详细讲述了应变片的粘贴方法、步骤，可以提高学生的动手操作能力。通过实验的验证表明，虽然实验数据与理论值之间存在一定的误差，但是由理论推导所得公式是正确的，而实验误差主要是由于应变片的粘贴、材料加工、安装位置、动力疲劳、实验仪器、数据采集等引起的。
第七章 参考文献
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