对称性解超静定结构校核注意问题
摘 要: 通过理论分析, 提出利用对称性求解超静定结构时应注意
的问题, 避免因惯性思维造成最后内力图校核出现错误。
关键词: 对称性; 超静定结构; 内力图
结构的最后弯矩是进行结构设计的依据, 其最后弯矩图的正确与
否是至关重要的。因此, 必须对结构的最后弯矩图进行校核, 以保证其
准确无误。对于超静定结构, 校核应从两个方面进行, 一是静力平衡条
件的校核, 二是位移条件的校核, 这在教材中有论述。在位移条件的校
核中, 有一点必须引起重视, 就是利用对称性计算的超静定结构, 在进
行最后弯矩图校核时, 应注意基本结构的取法对校核结果的影响。
教材指出:最后弯矩图按位移条件进行校核, 通常是根据最后内
力沿任一多余力xi ( i = 1 , 2 ⋯⋯n) 方向的位移是否与实际位移相
符来判断(实际位移情况一般等于零或某一已知量) 。所以, 对最后
弯矩图的校核, 一般只取一个已知位移条件进行校核, 满足位移条件
即认为是正确的。为方便起见, 通常采用计算时的基本结构作为校核
时的基本结构。
然而, 这种校核方法对于一般结构是正确的, 而对于利用对称性
计算的对称结构仅是一个必要条件, 而不是充分条件, 即校核结果即
便满足位移条件, 也不能保证最后弯矩图是正确无误的。现将理由说
明如下:
假定有一个三次超静定对称刚架, 上面作用有任意荷载, 如图1
所示。
利用对称性计算时, 取基本结构如图2 所示。x 1 , x 2 为对称多余力;
x 3 为反对称多余力。
图1 原结构 图2 基本结构 基本结构单位弯矩图如图3 所示。
图3 单位弯矩图
将任意荷载分解为对称荷载和反对称荷载, 荷载弯矩图如图4 所示,
列力法方程如下:
δ11 x 1 +δ12 x 2 + △1 p ′ = 0
δ21 x 1 +δ22 x 2 + △2 p ′ = 0
δ33 x 3 + △3 p ″ = 0
由方程可以解出x 1 、x 2 、x 3
正对称荷载 反对称荷载
图4 荷载弯矩图
根据迭加原理:
可以做出该对称结构的最后弯矩图。
现在利用任一多余未知力方向的相对位移为零的位移条件进行校核:
若△1 - 1 ≠0 ,则最后弯矩图肯定是错误的。
若△1 - 1 = 0 ,也不能肯定最后弯矩图是正确的, 因为
在上式等号右边第三项中, 根据图乘法可知, 不管x 3 取任何值结果都等于零。而实际上x 3 只能有一个正确值,
这说明反对称多余未知
力的计算错误采用对称多余未知力方向上的相对位移为零这样的位移条件是校核不出来的, 因而不能保证最后弯矩图是正确无误的。 同理, 若仅用x 3 方向上的相对位移为零的位移条件进行校核, 则上式右端第一项中的x 1 和第二项中的x 2 不管取任何值, 第一项、第二项的结果都等于零, 说明对称未知力x 1 、x 2 的计算错误采用反对称多余未知力方向上相对位移为零的条件校核不出来, 因而也不能保证最后弯矩图是正确无误的。
结论:对于利用对称性计算的对称结构, 在进行最后弯矩图校核时, 要注意基本结构的取法, 应避免单独选取正对称或反对称形状弯矩图的基本结构。若利用计算多余未知力时的基本结构, 必须同时校核两个性质不同的位移, 一个为对称多余未知力方向上的位移, 另一个为反对称多余未知力方向上的位移, 才能保证最后弯矩图是正确无误的。
参考文献
[1] 张系斌 ，结构力学简明教程. 北京大学出版社，2006.
[2] 王焕定 章梓茂 景 瑞, 结构力学. 高等教育出版社,2004.
[3] 李强, 教师PPT. 2010.
对称性解超静定结构校核注意问题
摘 要: 通过理论分析, 提出利用对称性求解超静定结构时应注意
的问题, 避免因惯性思维造成最后内力图校核出现错误。
关键词: 对称性; 超静定结构; 内力图
结构的最后弯矩是进行结构设计的依据, 其最后弯矩图的正确与
否是至关重要的。因此, 必须对结构的最后弯矩图进行校核, 以保证其
准确无误。对于超静定结构, 校核应从两个方面进行, 一是静力平衡条
件的校核, 二是位移条件的校核, 这在教材中有论述。在位移条件的校
核中, 有一点必须引起重视, 就是利用对称性计算的超静定结构, 在进
行最后弯矩图校核时, 应注意基本结构的取法对校核结果的影响。
教材指出:最后弯矩图按位移条件进行校核, 通常是根据最后内
力沿任一多余力xi ( i = 1 , 2 ⋯⋯n) 方向的位移是否与实际位移相
符来判断(实际位移情况一般等于零或某一已知量) 。所以, 对最后
弯矩图的校核, 一般只取一个已知位移条件进行校核, 满足位移条件
即认为是正确的。为方便起见, 通常采用计算时的基本结构作为校核
时的基本结构。
然而, 这种校核方法对于一般结构是正确的, 而对于利用对称性
计算的对称结构仅是一个必要条件, 而不是充分条件, 即校核结果即
便满足位移条件, 也不能保证最后弯矩图是正确无误的。现将理由说
明如下:
假定有一个三次超静定对称刚架, 上面作用有任意荷载, 如图1
所示。
利用对称性计算时, 取基本结构如图2 所示。x 1 , x 2 为对称多余力;
x 3 为反对称多余力。
图1 原结构 图2 基本结构 基本结构单位弯矩图如图3 所示。
图3 单位弯矩图
将任意荷载分解为对称荷载和反对称荷载, 荷载弯矩图如图4 所示,
列力法方程如下:
δ11 x 1 +δ12 x 2 + △1 p ′ = 0
δ21 x 1 +δ22 x 2 + △2 p ′ = 0
δ33 x 3 + △3 p ″ = 0
由方程可以解出x 1 、x 2 、x 3
正对称荷载 反对称荷载
图4 荷载弯矩图
根据迭加原理:
可以做出该对称结构的最后弯矩图。
现在利用任一多余未知力方向的相对位移为零的位移条件进行校核:
若△1 - 1 ≠0 ,则最后弯矩图肯定是错误的。
若△1 - 1 = 0 ,也不能肯定最后弯矩图是正确的, 因为
在上式等号右边第三项中, 根据图乘法可知, 不管x 3 取任何值结果都等于零。而实际上x 3 只能有一个正确值,
这说明反对称多余未知
力的计算错误采用对称多余未知力方向上的相对位移为零这样的位移条件是校核不出来的, 因而不能保证最后弯矩图是正确无误的。 同理, 若仅用x 3 方向上的相对位移为零的位移条件进行校核, 则上式右端第一项中的x 1 和第二项中的x 2 不管取任何值, 第一项、第二项的结果都等于零, 说明对称未知力x 1 、x 2 的计算错误采用反对称多余未知力方向上相对位移为零的条件校核不出来, 因而也不能保证最后弯矩图是正确无误的。
结论:对于利用对称性计算的对称结构, 在进行最后弯矩图校核时, 要注意基本结构的取法, 应避免单独选取正对称或反对称形状弯矩图的基本结构。若利用计算多余未知力时的基本结构, 必须同时校核两个性质不同的位移, 一个为对称多余未知力方向上的位移, 另一个为反对称多余未知力方向上的位移, 才能保证最后弯矩图是正确无误的。
参考文献
[1] 张系斌 ，结构力学简明教程. 北京大学出版社，2006.
[2] 王焕定 章梓茂 景 瑞, 结构力学. 高等教育出版社,2004.
[3] 李强, 教师PPT. 2010.