思维能力
《普通高中数学新课程标准（实验）》中指出：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。
例1（11年全国新课标第13题）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量
ka -b 垂直，则k = .
解一（常规）设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 不共线，所以cos θ≠±1.
2 2 由条件知a +b ka -b =0，展开得k a -b +(k -1)a ⋅b =0，即(k -1)a ⋅b +1=0，因为()()()()()
a ⋅b =a ⋅b ⋅cos θ=cos θ，所以a ⋅b +1≠0，从而k =1.
解二（类比，特殊化思想）我们可将a 与b 看作是i 与j ，于是a +b =(1,1), ka -b =(k , -1) ，
所以a +b ⋅ka -b =(1,1) ⋅(k , -1) =0，即k -1=0, k =1. ()()
解三（联想，数形结合）a +b 与a -b 是以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线，因为a =b ，所
以这个平行四边形是菱形，于是a +b 与a -b 垂直，从而ka -b 和a -b 共线，对比得k =1.
例2（11年北京第8题）已知点A (0,2), B (2,0) . 若点C 在函数y =x 2的图象上，则使⊿ABC 的
B .3C .2D .1
面积为2的点C 的个数为( ) A .4
解一（常规）易知AB =S ABC =2，所以点C 到AB
设点C (x 0, x ) ，直线AB 的方程为x +y =
22
0=
22-2=-
2，解得x 0=
x 0+x 0-2=2或x 0+x 0-1+-1x 0=或x 0=-1或x 0=0， 22
从而选D .
解二（数形结合，定性分析）？
例3（11年湖南第8题）已知函数
f (x ) =e x -1, g (x ) =-x 2+4x -3. 若有f (a ) =g (b ) ，则b 的取值范围为
A . ⎡⎣22B . 22(C . [1, 3]D . (1, 3)
解一（数形结合）在同一坐标系画出函数f (x ),
点的横坐标为2g (x ) 的图象. 由图，解得y =g (x ) 和y =-1的两个交
2B .
解二（转化）易知f (a ) ∈(-1, +∞), g (b ) ∈(-∞, 1]，因为
g (b ) =f (a ) ，所以g (b ) >-1（消去a ，转化为关于b 的不等式）.
于是-b +4b -3>-
1，解得2
例4（11年辽宁第16题）已知函数f (x ) =e x -2x +a 有零点，则a 的取值范围是 .
22解一（求极值）f '(x ) =e -2，令f '(x ) =e -2=0，解得x =ln 2. 容易得出f (x ) 在(0, ln 2]上是
减函数；在[ln 2, +∞)上是增函数，从而x =ln 2是函数f (x ) 的极小值点. 由题意知，f (ln2) ≤0，即2-2ln 2+a ≤0，a ≤2ln 2-2.
x x 解二（转化，数形结合）令y =e 和y =2x -a ，于是f (x ) 有零点就转化为y =e 和y =2x -a 有交
点.(如图
)
由图不难看出，只需求出y =e x 的斜率为2 的切线方程. 令 y '=e x =2，
得切点为(ln 2, 2)，于是切线为y =2x -2ln x +2，由题意知
-a ≥-2ln 2+2，即a ≤2ln 2-2.
例5（11年辽宁第7题）已知F 是抛物线y =x 2的焦点，A , B 是该抛物
3
4B .1C . 5
47D . 4线上的两个点，|AF |+|BF |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A .
解一（转化）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，准线方程为x =-p 1=- 24
|AF |+|BF |=|AM |+|BN |=x 1+x +x 115+x 2+=3，所以12=； 4424
解二（特殊化，考虑A , F , B 在一条直线上）由焦点弦公式
x +x 15=3，所以12=； 224|AB |=x 1+x 2+p 知x 1+x 2+
解三（特殊化，考虑AB ⊥x 轴）
|OP |=|AQ |=|AM |-|QM |=|AF |-|QM |=
315-=. 244
例6（11年天津第14题）已知直角梯形ABCD 中， AD ∥CB , AD =2, BC =1, P 是腰DC 上的动点， 则PA +3PB 的最小值为 .
解一（常规，三角形法则）
PA +3PB =PD +DA +3PC +3CB =PD +3PC +5CB ，因为
PD , PC 共线，故可设PD +3PC =λ⋅PC PC ≠0，所以PA +3PB =λ⋅PC +5CB ()
2 PA +3PB =λ⋅PC +5CB ()2 2 2 22=λ⋅PC +25CB +10λ⋅PC ⋅CB =λ⋅PC +25 2
故当λ=0（即PD =-3PC ）时，PA +3PB 的最小值为5.
解二（转化，数形结合，坐标运算）以D 为原点、DA 所在直线为x
由建立坐标系. 设A (2,0), B (1,b ), P (0,y ), 0≤y ≤b 则
PA +3PB =(2,-y ) +3(1,b -y ) =(5,3b -4y )
3PA +3PB 3b -4y =0（即y =b ）4 时，PA +3PB 的最小值为5.
空间想象能力：
若一个三角形分别以底、中垂线所在直线为x 轴、y 轴, 它的直观图(∠x'oy’=45°)是边长为2的正三角形，则该三角形的面积为
如图，做CD ⊥y 轴，A ’B ’ =AB=2, 所以O ’C ’=√3，易求得O ’D ’ ＝
√６
所以OD ＝２O ’D ’ ＝２√６
所以该三角形的面积为AB ×OD/2=２√６
注：√
a 表示a 的算术平方根。
思维能力
《普通高中数学新课程标准（实验）》中指出：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。
例1（11年全国新课标第13题）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量
ka -b 垂直，则k = .
解一（常规）设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 不共线，所以cos θ≠±1.
2 2 由条件知a +b ka -b =0，展开得k a -b +(k -1)a ⋅b =0，即(k -1)a ⋅b +1=0，因为()()()()()
a ⋅b =a ⋅b ⋅cos θ=cos θ，所以a ⋅b +1≠0，从而k =1.
解二（类比，特殊化思想）我们可将a 与b 看作是i 与j ，于是a +b =(1,1), ka -b =(k , -1) ，
所以a +b ⋅ka -b =(1,1) ⋅(k , -1) =0，即k -1=0, k =1. ()()
解三（联想，数形结合）a +b 与a -b 是以a 与b 为邻边的平行四边形的两条对角线，因为a =b ，所
以这个平行四边形是菱形，于是a +b 与a -b 垂直，从而ka -b 和a -b 共线，对比得k =1.
例2（11年北京第8题）已知点A (0,2), B (2,0) . 若点C 在函数y =x 2的图象上，则使⊿ABC 的
B .3C .2D .1
面积为2的点C 的个数为( ) A .4
解一（常规）易知AB =S ABC =2，所以点C 到AB
设点C (x 0, x ) ，直线AB 的方程为x +y =
22
0=
22-2=-
2，解得x 0=
x 0+x 0-2=2或x 0+x 0-1+-1x 0=或x 0=-1或x 0=0， 22
从而选D .
解二（数形结合，定性分析）？
例3（11年湖南第8题）已知函数
f (x ) =e x -1, g (x ) =-x 2+4x -3. 若有f (a ) =g (b ) ，则b 的取值范围为
A . ⎡⎣22B . 22(C . [1, 3]D . (1, 3)
解一（数形结合）在同一坐标系画出函数f (x ),
点的横坐标为2g (x ) 的图象. 由图，解得y =g (x ) 和y =-1的两个交
2B .
解二（转化）易知f (a ) ∈(-1, +∞), g (b ) ∈(-∞, 1]，因为
g (b ) =f (a ) ，所以g (b ) >-1（消去a ，转化为关于b 的不等式）.
于是-b +4b -3>-
1，解得2
例4（11年辽宁第16题）已知函数f (x ) =e x -2x +a 有零点，则a 的取值范围是 .
22解一（求极值）f '(x ) =e -2，令f '(x ) =e -2=0，解得x =ln 2. 容易得出f (x ) 在(0, ln 2]上是
减函数；在[ln 2, +∞)上是增函数，从而x =ln 2是函数f (x ) 的极小值点. 由题意知，f (ln2) ≤0，即2-2ln 2+a ≤0，a ≤2ln 2-2.
x x 解二（转化，数形结合）令y =e 和y =2x -a ，于是f (x ) 有零点就转化为y =e 和y =2x -a 有交
点.(如图
)
由图不难看出，只需求出y =e x 的斜率为2 的切线方程. 令 y '=e x =2，
得切点为(ln 2, 2)，于是切线为y =2x -2ln x +2，由题意知
-a ≥-2ln 2+2，即a ≤2ln 2-2.
例5（11年辽宁第7题）已知F 是抛物线y =x 2的焦点，A , B 是该抛物
3
4B .1C . 5
47D . 4线上的两个点，|AF |+|BF |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A .
解一（转化）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，准线方程为x =-p 1=- 24
|AF |+|BF |=|AM |+|BN |=x 1+x +x 115+x 2+=3，所以12=； 4424
解二（特殊化，考虑A , F , B 在一条直线上）由焦点弦公式
x +x 15=3，所以12=； 224|AB |=x 1+x 2+p 知x 1+x 2+
解三（特殊化，考虑AB ⊥x 轴）
|OP |=|AQ |=|AM |-|QM |=|AF |-|QM |=
315-=. 244
例6（11年天津第14题）已知直角梯形ABCD 中， AD ∥CB , AD =2, BC =1, P 是腰DC 上的动点， 则PA +3PB 的最小值为 .
解一（常规，三角形法则）
PA +3PB =PD +DA +3PC +3CB =PD +3PC +5CB ，因为
PD , PC 共线，故可设PD +3PC =λ⋅PC PC ≠0，所以PA +3PB =λ⋅PC +5CB ()
2 PA +3PB =λ⋅PC +5CB ()2 2 2 22=λ⋅PC +25CB +10λ⋅PC ⋅CB =λ⋅PC +25 2
故当λ=0（即PD =-3PC ）时，PA +3PB 的最小值为5.
解二（转化，数形结合，坐标运算）以D 为原点、DA 所在直线为x
由建立坐标系. 设A (2,0), B (1,b ), P (0,y ), 0≤y ≤b 则
PA +3PB =(2,-y ) +3(1,b -y ) =(5,3b -4y )
3PA +3PB 3b -4y =0（即y =b ）4 时，PA +3PB 的最小值为5.
空间想象能力：
若一个三角形分别以底、中垂线所在直线为x 轴、y 轴, 它的直观图(∠x'oy’=45°)是边长为2的正三角形，则该三角形的面积为
如图，做CD ⊥y 轴，A ’B ’ =AB=2, 所以O ’C ’=√3，易求得O ’D ’ ＝
√６
所以OD ＝２O ’D ’ ＝２√６
所以该三角形的面积为AB ×OD/2=２√６
注：√
a 表示a 的算术平方根。