二次根式
二次根式是一种重要的代数式,是初中代数重要的内容,也是中考命题的热点之一,与整式和分式相比,概念和运算都比较复杂,难度也有所增加,学习这部分内容首先要正确认识和掌握二次根式的概念、性质与运算,下面我们就一块分析一下:
知识点1:二次根式的概念及条件
a≥0)叫做二次根式
例1:
x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x0 C.x0 D.x0
思路点拨:此题二次根式中被开方数的取值范围. 二次根式中,被开方数的取值范围是非负数,因此可列方程x≥0,解得x≥0 所以选A
例2
,则x的取值范围是( ) ...A. x2
B.x2
C.x2
D.x2
思路点拨:此题考查函数自变量的取值范围. 二次根式中,被开方数的取值范围是非负数,因此可列方程x-2≥0,解得x≥2. 所以选A
练习:
1.在实数范围内,若x有意义,则x的取值范围是( ) A.x ≥0
B.x ≤0
C.x >0
D.x <0
2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是() A. B. 48C.
a
D.4a4 b
3.下列根式中属最简二次根式的是( )
) A
. B
C
.
2
D
.
2
5.已知n是正整数,则实数n的最大值为( ) A.12 B.11 C.8 D.3
知识点2:二次根式的性质 (1
a≥0,b≥0)
(4
a|=
(2
a≥0,b≥0)
a(a≥0)
a(a<0)
(5)当a0a
2
a2
(3)
2=a(a≥0)
例1:若|a2|30,则ab 例2:若实数x,y满足x2
2
x
y20,则()2009=的值为( )
y
A.1 B.-1 C. 2 D. -2
练习:
1.若实数x,
y(y20,则xy的值是. 2.已知:a18b0,则ab 。
3.
3a,则a与3的大小关系是( )
A. a3 8.a3 C. a3 D.a3
4.方程|4x8|xym0,当y0时,m的取值范围是( )
知识点3:二次根式的化简
最简二次根式:被开方数不含分母,不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式
m2
例1:已知mn﹤0,化简
n
m2m2
思路点拨:将m移至根号外应考虑m的符号,由知,≥0,而mn﹤0,∴m﹤0,n﹥0
nn
2
∴原式=-
m
n n
例2:已知x34x2xx4,求x的范围 思路点拨:注意隐含条件x+4≥0,解为-4≤x≤0
练习:
1. ()2__________; x2=___________2. 将(a-1)
1
根号外的因式移至根号内得: 1a
2
3. 计算:(32)3 。 4. 已知a
) A.a
知识点3:二次根式的运算
二次根式的化简时,必须化成最简二次根式;二次根式加减法的实质就是合并同类根式。 例1:计算:52= . 例2:若x
B.a
C.1
D.0
a,ya,则xy的值为 ( )
A.2a B.2b C.ab D.ab
思路点拨:本题主要考查平方差公式。xy(ab)(a)(a)2(b)2ab. 选D;
练习:
1.
. 2.化简
3.下面计算正确的是( ) A. 333
B. 2733
C. 2
D.42
4.
先化简,再求值:
x-44x
+2÷,其中x
x-2x-4x+4x-2
过关检测题
一、选择题
1下列二次根式中,最简二次根式是( ) A.3a2 B.
1
C.2.5 D.a2b2 3
2.下列式子中二次根式的个数有( ) ⑴
121
;⑵3;⑶x21;⑷8;⑸();⑹x(x1);⑺x22x3. 33
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.当
a2a2
有意义时,a的取值范围是( )
A.a≥2 B.a>2 C.a≠2 D.a≠-2 4.若7m,70n,4.9A.
nmnnmmn
B. C. D.
m101010
1
5.估计3的运算结果应在( )
2
A.1到2之间 B.2到3之间
C.3到4之间
D.4到5之间
6.对于二次根式x29,以下说法不正确的是( )
A.它是一个正数 B.是一个无理数 C.是最简二次根式 D.它的最小值是3 7
(xy)2,则x-y的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 8.若x
mn,ymn,则xy的值是( )
A 2m B 2n C mn D mn 9.(2010年长沙市)下列各式中,运算正确的是( )
325
A.aaa B.(a)a C
.6
3
2
D
10.把a
1
中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) a
A.a B.a C.a D.a
二、填空题
11.化简:12.已知y
3
x22x,则xy
4
13.
2ba
a18b
;252242
14.若
x2x2
成立,则x满足3x3x
15.设5-的整数部分是a,小数部分是b,则a-b=
16.已知最简二次根式2b1和7b的和是一个二次根式,那么b= ,和是 。 三、解答题 17.计算:
⑴316)(36); ⑵
212
2; 335
10
(3
231 (4
)2009 6
1
18.若三角形的三边a、b、c满足a4a450,若第三边c为奇数,求c的值.
2
19.对于题目先化简再求值:当a=9时,求
2
甲的解答为:原式a(1a)a(1a)1;
2
乙的解答为:原式a(1a)a(a1)2a117.
在两人的解法中谁的解答是错误的,为什么?
20.先化简,再求值:(a)(a3)a(a6),其中a
21. 已知x2y+x2y8=0,求(x+y)的值.
22.已知:x=20052008,y=20062007,试比较x与y的大小.
x
1 2
参考答案
1.D 2.D 3. B 4.D 5. C 6. B 7. C 8. D 9. D 10.C 11. 2 12.
16
13. ,7 14. 2≤x<3 15. -1+ 16. 2, 25
32
17.(1)-243 (2)1 (3)2+4-1
36
2
1
(4
)20090612525=5
6
18.解:∵a4a450 ∴ (a2)250
∴ a20 b50 即 a2,b5 ∵ a、b、c为三角形的三边 ∴ bacba 即 3c7 ∵第三边c为奇数 ∴c5
2
19.甲的回答是错误的。∵a=9,∴(1a)a1而不等于1-a,乙的解答是正确的。
2
20. 答案:原式=a-3- a+6a=6a -3. 当a
2
2
1
时,原式
2
21.解∵
x2y≥0,3x2y8≥0,
而 x2y+x2y8=0,
x2y0x2x2
∴ 解得 ∴ (x+y)=(2+1)=9.
y1.3x2y80.
22. 解:设a=2005,则
x=20052008=a(a3)=a23a,
y=20062007=a1)(a2)=a23a2,
∵a3a2>a3a, ∴x<y.
2
2
二次根式
二次根式是一种重要的代数式,是初中代数重要的内容,也是中考命题的热点之一,与整式和分式相比,概念和运算都比较复杂,难度也有所增加,学习这部分内容首先要正确认识和掌握二次根式的概念、性质与运算,下面我们就一块分析一下:
知识点1:二次根式的概念及条件
a≥0)叫做二次根式
例1:
x的取值范围是( )
A.x≥0 B.x0 C.x0 D.x0
思路点拨:此题二次根式中被开方数的取值范围. 二次根式中,被开方数的取值范围是非负数,因此可列方程x≥0,解得x≥0 所以选A
例2
,则x的取值范围是( ) ...A. x2
B.x2
C.x2
D.x2
思路点拨:此题考查函数自变量的取值范围. 二次根式中,被开方数的取值范围是非负数,因此可列方程x-2≥0,解得x≥2. 所以选A
练习:
1.在实数范围内,若x有意义,则x的取值范围是( ) A.x ≥0
B.x ≤0
C.x >0
D.x <0
2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是() A. B. 48C.
a
D.4a4 b
3.下列根式中属最简二次根式的是( )
) A
. B
C
.
2
D
.
2
5.已知n是正整数,则实数n的最大值为( ) A.12 B.11 C.8 D.3
知识点2:二次根式的性质 (1
a≥0,b≥0)
(4
a|=
(2
a≥0,b≥0)
a(a≥0)
a(a<0)
(5)当a0a
2
a2
(3)
2=a(a≥0)
例1:若|a2|30,则ab 例2:若实数x,y满足x2
2
x
y20,则()2009=的值为( )
y
A.1 B.-1 C. 2 D. -2
练习:
1.若实数x,
y(y20,则xy的值是. 2.已知:a18b0,则ab 。
3.
3a,则a与3的大小关系是( )
A. a3 8.a3 C. a3 D.a3
4.方程|4x8|xym0,当y0时,m的取值范围是( )
知识点3:二次根式的化简
最简二次根式:被开方数不含分母,不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式
m2
例1:已知mn﹤0,化简
n
m2m2
思路点拨:将m移至根号外应考虑m的符号,由知,≥0,而mn﹤0,∴m﹤0,n﹥0
nn
2
∴原式=-
m
n n
例2:已知x34x2xx4,求x的范围 思路点拨:注意隐含条件x+4≥0,解为-4≤x≤0
练习:
1. ()2__________; x2=___________2. 将(a-1)
1
根号外的因式移至根号内得: 1a
2
3. 计算:(32)3 。 4. 已知a
) A.a
知识点3:二次根式的运算
二次根式的化简时,必须化成最简二次根式;二次根式加减法的实质就是合并同类根式。 例1:计算:52= . 例2:若x
B.a
C.1
D.0
a,ya,则xy的值为 ( )
A.2a B.2b C.ab D.ab
思路点拨:本题主要考查平方差公式。xy(ab)(a)(a)2(b)2ab. 选D;
练习:
1.
. 2.化简
3.下面计算正确的是( ) A. 333
B. 2733
C. 2
D.42
4.
先化简,再求值:
x-44x
+2÷,其中x
x-2x-4x+4x-2
过关检测题
一、选择题
1下列二次根式中,最简二次根式是( ) A.3a2 B.
1
C.2.5 D.a2b2 3
2.下列式子中二次根式的个数有( ) ⑴
121
;⑵3;⑶x21;⑷8;⑸();⑹x(x1);⑺x22x3. 33
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.当
a2a2
有意义时,a的取值范围是( )
A.a≥2 B.a>2 C.a≠2 D.a≠-2 4.若7m,70n,4.9A.
nmnnmmn
B. C. D.
m101010
1
5.估计3的运算结果应在( )
2
A.1到2之间 B.2到3之间
C.3到4之间
D.4到5之间
6.对于二次根式x29,以下说法不正确的是( )
A.它是一个正数 B.是一个无理数 C.是最简二次根式 D.它的最小值是3 7
(xy)2,则x-y的值为( ) A.-1 B.1 C.2 D.3 8.若x
mn,ymn,则xy的值是( )
A 2m B 2n C mn D mn 9.(2010年长沙市)下列各式中,运算正确的是( )
325
A.aaa B.(a)a C
.6
3
2
D
10.把a
1
中根号外面的因式移到根号内的结果是( ) a
A.a B.a C.a D.a
二、填空题
11.化简:12.已知y
3
x22x,则xy
4
13.
2ba
a18b
;252242
14.若
x2x2
成立,则x满足3x3x
15.设5-的整数部分是a,小数部分是b,则a-b=
16.已知最简二次根式2b1和7b的和是一个二次根式,那么b= ,和是 。 三、解答题 17.计算:
⑴316)(36); ⑵
212
2; 335
10
(3
231 (4
)2009 6
1
18.若三角形的三边a、b、c满足a4a450,若第三边c为奇数,求c的值.
2
19.对于题目先化简再求值:当a=9时,求
2
甲的解答为:原式a(1a)a(1a)1;
2
乙的解答为:原式a(1a)a(a1)2a117.
在两人的解法中谁的解答是错误的,为什么?
20.先化简,再求值:(a)(a3)a(a6),其中a
21. 已知x2y+x2y8=0,求(x+y)的值.
22.已知:x=20052008,y=20062007,试比较x与y的大小.
x
1 2
参考答案
1.D 2.D 3. B 4.D 5. C 6. B 7. C 8. D 9. D 10.C 11. 2 12.
16
13. ,7 14. 2≤x<3 15. -1+ 16. 2, 25
32
17.(1)-243 (2)1 (3)2+4-1
36
2
1
(4
)20090612525=5
6
18.解:∵a4a450 ∴ (a2)250
∴ a20 b50 即 a2,b5 ∵ a、b、c为三角形的三边 ∴ bacba 即 3c7 ∵第三边c为奇数 ∴c5
2
19.甲的回答是错误的。∵a=9,∴(1a)a1而不等于1-a,乙的解答是正确的。
2
20. 答案:原式=a-3- a+6a=6a -3. 当a
2
2
1
时,原式
2
21.解∵
x2y≥0,3x2y8≥0,
而 x2y+x2y8=0,
x2y0x2x2
∴ 解得 ∴ (x+y)=(2+1)=9.
y1.3x2y80.
22. 解:设a=2005,则
x=20052008=a(a3)=a23a,
y=20062007=a1)(a2)=a23a2,
∵a3a2>a3a, ∴x<y.
2
2