2. 立体几何中的范围问题
立体几何中的范围问题，需要首先确定范围的主体，确定题目中描述的相关变动的量，如果所求的参数能够表示成另一个量的函数形式，则问题就转化为求函数的值域问题；如果可以根据几何体的特征，构造与所求量有关的不等式，则可通过解不等式得到参数的取值范围；如果能根据其几何特征，通过翻折、割补等几何变换，则可利用几何方法解答，这时注意变动的过程，抓住变动的起始与终了等特殊环节。
O 为线段BD 的中点. 设点P 1. 【2014四川高考理第8题】在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，点
在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）
A
．
2. 【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1
a ，且长为a
的棱与长为a 的取值范围是（ ）
A
． B
． C
． D
．(1
B
． C
． D
．
3. （2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）
A ．（
B ．（
1, C ．
(
D ．（
0,
4. （2009重庆卷文）在正四棱柱ABCD -A 1BC 顶点B 1到对角线BD 1和到平面A 1BCD 1的11D 1中，距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）
h
A ．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为(0,1)
d
B ．若侧棱的长小于底面的变长，则
h 的取值范围为 d
23h 的取值范围为( d
3h 的取值范围为+∞) d
C ．若侧棱的长大于底面的变长，则
D ．若侧棱的长大于底面的变长，则
5．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）空间中一条线段AB 的三视图中, 俯视
图是长度为1的线段, 侧视图是长度为2的线段, 则线段AB 的长度的取值范围是（ ）
A ．(0, 2]
B ．2, 5
[]
C ．[2, 3]
D ．2,
[]
6. （湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）点P
是底边长为高为2
的正三棱柱表面上的动点, MN 是该棱柱内切球的一条直径, 则PM ⋅PN 取值范围是
A ．[0,2]
（ ）
B ．[0,3]
C ．[0,4]
D ．[—2,2]
7. （浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学
（理）试题）如图所示, 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E 为B
1
DD 1上一点, 且DE =
A 1D 1
1
E
A
D C
（第7题图） （
1
DD 1, F 是侧面CDD 1C 1上的动点, 且3
B
B 1F //平面A 1BE , 则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成
的集合是 A ．{} C ．{m |≤m ≤
32
3
2} 2
32
2
13} 523
D ．{m |13≤m ≤}
52
）
B ．{
8.(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考理科) 在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，
∠BAC =
π
2
AC 和AB 上的动点(不包括端点) ，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为( )
，AB =AC =AA 1=1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段
⎡5⎫⎡⎤⎛25⎫⎡25⎫
⎪ ⎪, 1⎪ D ．⎢, 1⎪A ．⎢, 1⎪ B ．⎢, 1⎥ C ． ⎪ 5555⎣⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎭
9. (安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检) 若二面角α-l -β为
n ⊂β，则直线m 与n 所成的角取值范围是( )
5π
，直线m ⊥α，直线6
π
A ．(0,)
2
ππB ．[, ]
62
ππC ．[, ]
32
ππD ．[, ]
63
10. (湖北省鄂州市2008年高考模拟) 在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）
π2ππ2ππ（，π）（，π）（） A ． B ． C ．（0，） D ． 33332
11. (湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考) 正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB //平
面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成图形面积的取值范围是（ ）
2633121
A ．[B ．[D ．[, ] , ] C ．[, ] , ]
44644242
12. 若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是对角线AC 上任意一点，Q 是与AC 不共面
11
的棱上的任意一点，则PQ 的取值范围是（ ）
A
． B
． C
． D
．[1 22
13. 正三棱锥的侧棱长和底面边长的比值的取值范围是（ ）
A
．+∞) B
．+∞) C
．+∞) D
．+∞)
π
14. 异面直线a , b , a ⊥b , c 与a 成角，则c 与b 所成角的大小的范围是（ ）
6
πππππ2ππ2πA ．[, ] B ．[, ] C ．[, ] D ．[, ]
32623363
15. (2009浙江, 理17) 如图, 在长方形ABCD 中, AB ＝2, BC ＝1, E 为DC 的中点, F 为线段EC (端点除外) 上一动点. 现将△AFD 沿AF 折起, 使平面ABD ⊥平面ABC . 在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB , K 为垂足. 设AK ＝t , 则t 的取值范围是
___________.
16. (广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试) 空间四边形ABCD 的两条对角线AC =4，BD =6，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 ．
17. 【湖北省部分重点高中2014届高三11月联考】正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN 的取值范围是
18. （浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）如图, 斜边长为4的直角
∆ABC , ∠B =90 , ∠A =60 且A 在平面α上, B , C 在平面α的同侧, M 为BC 的中点. 若∆ABC 在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形∆AB ' C ' , 则M 到平面α的距离的取值范围是____.
19. 【山东省青岛二中2014届高三12月月考】在正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，Q 是CC 1的中点，F 是侧面BCB 1C 1内的动点且A 1F //平面D 1AQ ，则A 1F 与平面BCB 1C 1
所成角的正切值得取值范围为
20. 有两个相同的直三棱柱, 高为
2
, 底面三角形的三边长分别为a
3a 、4a 、5a (a >0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情况中, 全面积最小的是一个四棱柱, 则a 的取值范围是 ．
21. 已知二面角α-l -β为直二面角，A ∈α, B ∈β，A 、B 都不在直线l 上，设AB 与α、β所成的角分别为θ1、θ2，则θ1+θ2取值范围是．
22. 若平面α//平面β，AB , CD 是夹在α、β之间的线段，直线AB 与平面α成
AB =1, CD ⊥AB ，则线段CD 的长度的取值范围是．
23. 长方体各面对角线长度的集合为{a , b , c }，且a 2+b 2+c 2=6l 2(l >0) ，则长方体的体积的取值范围
π
的角，3
是 ．
15
答案：1-14 BAAC BCCA CADB DA 15. (,1) ；16. (8，12) ；17. [0,2]； 18.(2,) ；
22
19. ； 20. 0
π3
； 21. (0,] ；
22. +∞) ；23. (0,l )
23
2. 立体几何中的范围问题
立体几何中的范围问题，需要首先确定范围的主体，确定题目中描述的相关变动的量，如果所求的参数能够表示成另一个量的函数形式，则问题就转化为求函数的值域问题；如果可以根据几何体的特征，构造与所求量有关的不等式，则可通过解不等式得到参数的取值范围；如果能根据其几何特征，通过翻折、割补等几何变换，则可利用几何方法解答，这时注意变动的过程，抓住变动的起始与终了等特殊环节。
O 为线段BD 的中点. 设点P 1. 【2014四川高考理第8题】在正方体ABCD -A 1BC 11D 1中，点
在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）
A
．
2. 【2012高考真题重庆理9】设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1
a ，且长为a
的棱与长为a 的取值范围是（ ）
A
． B
． C
． D
．(1
B
． C
． D
．
3. （2010辽宁理数）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是（ ）
A ．（
B ．（
1, C ．
(
D ．（
0,
4. （2009重庆卷文）在正四棱柱ABCD -A 1BC 顶点B 1到对角线BD 1和到平面A 1BCD 1的11D 1中，距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）
h
A ．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为(0,1)
d
B ．若侧棱的长小于底面的变长，则
h 的取值范围为 d
23h 的取值范围为( d
3h 的取值范围为+∞) d
C ．若侧棱的长大于底面的变长，则
D ．若侧棱的长大于底面的变长，则
5．（湖北省浠水一中2013届高三理科数学模拟测试 ）空间中一条线段AB 的三视图中, 俯视
图是长度为1的线段, 侧视图是长度为2的线段, 则线段AB 的长度的取值范围是（ ）
A ．(0, 2]
B ．2, 5
[]
C ．[2, 3]
D ．2,
[]
6. （湖北省天门市2013届高三模拟测试（一）数学理试题 ）点P
是底边长为高为2
的正三棱柱表面上的动点, MN 是该棱柱内切球的一条直径, 则PM ⋅PN 取值范围是
A ．[0,2]
（ ）
B ．[0,3]
C ．[0,4]
D ．[—2,2]
7. （浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学
（理）试题）如图所示, 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, E 为B
1
DD 1上一点, 且DE =
A 1D 1
1
E
A
D C
（第7题图） （
1
DD 1, F 是侧面CDD 1C 1上的动点, 且3
B
B 1F //平面A 1BE , 则B 1F 与平面CDD 1C 1所成角的正切值构成
的集合是 A ．{} C ．{m |≤m ≤
32
3
2} 2
32
2
13} 523
D ．{m |13≤m ≤}
52
）
B ．{
8.(浙江省部分重点中学2012年3月高三第二学期联考理科) 在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，
∠BAC =
π
2
AC 和AB 上的动点(不包括端点) ，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为( )
，AB =AC =AA 1=1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段
⎡5⎫⎡⎤⎛25⎫⎡25⎫
⎪ ⎪, 1⎪ D ．⎢, 1⎪A ．⎢, 1⎪ B ．⎢, 1⎥ C ． ⎪ 5555⎣⎭⎣⎦⎝⎭⎣⎭
9. (安徽省合肥市2008年高三年级第一次质检) 若二面角α-l -β为
n ⊂β，则直线m 与n 所成的角取值范围是( )
5π
，直线m ⊥α，直线6
π
A ．(0,)
2
ππB ．[, ]
62
ππC ．[, ]
32
ππD ．[, ]
63
10. (湖北省鄂州市2008年高考模拟) 在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）
π2ππ2ππ（，π）（，π）（） A ． B ． C ．（0，） D ． 33332
11. (湖南省雅礼中学2008年高三年级第六次月考) 正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB //平
面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成图形面积的取值范围是（ ）
2633121
A ．[B ．[D ．[, ] , ] C ．[, ] , ]
44644242
12. 若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是对角线AC 上任意一点，Q 是与AC 不共面
11
的棱上的任意一点，则PQ 的取值范围是（ ）
A
． B
． C
． D
．[1 22
13. 正三棱锥的侧棱长和底面边长的比值的取值范围是（ ）
A
．+∞) B
．+∞) C
．+∞) D
．+∞)
π
14. 异面直线a , b , a ⊥b , c 与a 成角，则c 与b 所成角的大小的范围是（ ）
6
πππππ2ππ2πA ．[, ] B ．[, ] C ．[, ] D ．[, ]
32623363
15. (2009浙江, 理17) 如图, 在长方形ABCD 中, AB ＝2, BC ＝1, E 为DC 的中点, F 为线段EC (端点除外) 上一动点. 现将△AFD 沿AF 折起, 使平面ABD ⊥平面ABC . 在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB , K 为垂足. 设AK ＝t , 则t 的取值范围是
___________.
16. (广东省佛山市三水中学2009届高三上学期期中考试) 空间四边形ABCD 的两条对角线AC =4，BD =6，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 ．
17. 【湖北省部分重点高中2014届高三11月联考】正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN 的取值范围是
18. （浙江省永康市2013年高考适应性考试数学理试题 ）如图, 斜边长为4的直角
∆ABC , ∠B =90 , ∠A =60 且A 在平面α上, B , C 在平面α的同侧, M 为BC 的中点. 若∆ABC 在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形∆AB ' C ' , 则M 到平面α的距离的取值范围是____.
19. 【山东省青岛二中2014届高三12月月考】在正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1中，Q 是CC 1的中点，F 是侧面BCB 1C 1内的动点且A 1F //平面D 1AQ ，则A 1F 与平面BCB 1C 1
所成角的正切值得取值范围为
20. 有两个相同的直三棱柱, 高为
2
, 底面三角形的三边长分别为a
3a 、4a 、5a (a >0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱, 在所有可能的情况中, 全面积最小的是一个四棱柱, 则a 的取值范围是 ．
21. 已知二面角α-l -β为直二面角，A ∈α, B ∈β，A 、B 都不在直线l 上，设AB 与α、β所成的角分别为θ1、θ2，则θ1+θ2取值范围是．
22. 若平面α//平面β，AB , CD 是夹在α、β之间的线段，直线AB 与平面α成
AB =1, CD ⊥AB ，则线段CD 的长度的取值范围是．
23. 长方体各面对角线长度的集合为{a , b , c }，且a 2+b 2+c 2=6l 2(l >0) ，则长方体的体积的取值范围
π
的角，3
是 ．
15
答案：1-14 BAAC BCCA CADB DA 15. (,1) ；16. (8，12) ；17. [0,2]； 18.(2,) ；
22
19. ； 20. 0
π3
； 21. (0,] ；
22. +∞) ；23. (0,l )
23