１. 原子轨道角度分布图“★★”
波函数的角向部分Y l,m （θ，ϕ ，又称原子轨道的角向部分，若以原子核为坐标原点，引出方向为（θ，ϕ）的直线，连结所有这些线段的端点，在空间可形成一个曲面。这样的图形称为Y 的球坐标图，并称它为原子轨道角度分布图。 作图前，必需首先要知道原子轨道角向部分Y l,m （θ，ϕ）的计算式。它由解薛定谔方程求得，也可从有关手册中查得。表５－３列出氢原子若干径向部分和角向部分，供参考。
例如 氢原子
[例5－1] 画出氢原子1s 原子轨道角度分布图Y 。 解：由解薛定谔方程可知
从上式可知，Y 只是一个常数，与θ，角度无关。画出的氢原子1s
原子
1s
轨道角度分布图是一个球曲面。半径为（1/4π）
l,m
1/2
。
由于原子轨道的角向部分Y （θ，ϕ）只与量子数l ，m 有关，而与主量子数n 无关。因此，1s ，2s ，3s 原子轨道的角度分布图都是相同的球曲面。p ，d ，f 系列原子轨道同样如此。故在原子轨道角度分布图中，常不标明轨道符号前的主量子数。
[例5－2] 画出2p 原子轨道角度分布图。 解：由解薛定谔方程可知
z
Yp = (3/4π) cos θ（与无关） 或 Ypz = K ·cosθ 式中K 为常数，对于Y p ，K 值为（3/4π）不同，但它不会影响图形的形状。
一些随θ角度而变化的Yp 和Y p 值见表５－４。
z
2z
2z
1/2
2z 1/2
，对于其它p 轨道K 值可能
利用表中列出的数据，可以在xz 平面内画出如图５－１１所示的曲线。
将曲线绕Z
轴旋转一周（360°），可以得到“哑铃型”的立体曲面。由于
Yp 值在Z 轴方向（θ=0°）出现了极大值，所以该曲面图我们称为p 原子轨道角度分布图，记为Yp ，通常以其剖面图表示。
用以上类似的方法，我们可以画出s ，p ，d 各种轨道的角度分布剖面图，如图５－１２所示。
z
２. 电子云角度分布图“★★”
如果我们将简化的薛定谔方程两边平方，则得到
222
ψn,l,m （r ，θ，ϕ）= R n,l （r ）·Y l,m （θ，ϕ） 电子云 径向部分 角向部分
2
上式中，ψn,l,m （r ，θ，ϕ）的图像即为电子云的图象，它由二部分组成。一是电子云2
的径向部分R n,l （r ），即几率密度随离核半径的变化，它与θ，ϕ角度无关；二是电子云的2
角向部分Y l,m （θ，ϕ ），即几率密度只随角度θ，ϕ变化，它与主量子数n ，离核半径r 无关。
电子云角度分布图的画法过程与原子轨道角度分布图一样，只需先将该原子轨道的角向分布·Y l,m （θ，ϕ）的计算式两边平方。 z z 例 p 原子轨道的角向部分是 Yp = K ·cos θ
z 2z 22
p 电子云的角向部分是 Y p = K ·cos θ
2z
若将Y p 值（表５-３）随θ角度变化作图，得到的图形称为电子云的角度分布图，记2
为 Y p 。用相同的方法，可以画出s 、p 、d 各种电子云的角度分布图，如图５－１３所示:
它表示随θ和ϕ角度变化时，半径相同的各点，几率密度大小相同。 原子轨道角度分布图与电子云角度分布图的区别见表５－５。
应要注意，把原子轨道角度分布图和电子云角度分布图当作原子轨道和电子云的实际图象是2
错误的，因为它们只考虑了波函数ψ（原子轨道）和ψ（电子云）的角向部分，而没有考虑相应的径向部分，下面我们就来讨论有关的径向部分。
2
我们已知道，原子轨道和电子云的径向部分分别为R n,l （r ）和R n,l （r ），反映R （几率）2
和R （几率密度）在任意角度（与θ，ϕ角度无关）随离核距离半径r 变化的情形。
1. 原子轨道（ψ）径向部分
若以R （r ）对r 作图。就能得到电子出现的几率随r 的变化图，我们称为原子轨道径向分布图。如图５-１４所示。
R （r ）随r 变化时，因主量子数n 不同，可以是负值。如2s 轨道的R （r ）随r 增大时，正值逐渐变小，经过R （r ）为零的节点（节面，电子出现的几率为0）后变为负值，后又逐渐增大。原子轨道径向分布图在教学中不常使用。 2．电子云的径向部分
电子云的径向部分可有多种图示表示，比较重要的是几率密度径向分布图和壳层几率径向分布图。
（1） 几率密度径向分布图
2
若以R （r ）对r 作图，就能得到电子的几率密度随半径r 的变化图，我们称为几率密2
度径向分布图。图５-１５列出了常用的几种氢原子电子云的R （r ）图，它表示任何角度方2
向上的几率密度随半径r 的变化，若再考虑电子云的的角向部分Y l,m (θ，ϕ) ，两者结合起来，即为电子云的空间形状。
（2）壳层几率径向分布图“★★”
前已叙述，壳层几率是指离核半径为r ，厚度为dr 的薄层球壳中电子出现的几率，用符22
号r R 表示，理论上可以导出，现以最简单的球形对称的n s 电子云为例。
设想把n s 电子云通过中心分割成具有不同半径r 的薄层球壳（同心圆），如果我们考虑一个离核距离为r ，厚度为dr 的薄层球壳，如图５-１６所示。［壳层几率的求法］
22
若以r R （r ）对r 作图，就可以得到氢原子s 、p 、d 各电子云电子的壳层几率随r 的变化图，我们称为壳层几率径向分布图。如图所示。
从图５-１７中使我们可以看到：
氢原子1s 电子在离核半径为52.9pm 处薄层球壳内出现的几率最大。
氢原子s 、p 、d 电子的壳层几率径向分布图中，峰数不同。
核外电子的分布可看作是分层的。
“钻穿”现象。
电子云的角度分布图和电子云的几率密度径向分布图，是从两个不同侧面来反映电子云的状态，它们均不代表电子云的空间形状。我们已知道
ψn,l,m (r ，θ，ϕ) = R n,l, (r ) ·Y l,m (θ，ϕ)
ψn,l,m (r ，θ，ϕ) 在空间分布的图象即为电子云的空间形状。它必需由电子云的几率密
22
度径向部分R n,l, (r ) 和角度部分Y l,m (θ，ϕ) 两部分结合在一起来描述。 以下，我们列出了氢原子的几种常用的电子云的空间形状示意图。
2
222
１. 原子轨道角度分布图“★★”
波函数的角向部分Y l,m （θ，ϕ ，又称原子轨道的角向部分，若以原子核为坐标原点，引出方向为（θ，ϕ）的直线，连结所有这些线段的端点，在空间可形成一个曲面。这样的图形称为Y 的球坐标图，并称它为原子轨道角度分布图。 作图前，必需首先要知道原子轨道角向部分Y l,m （θ，ϕ）的计算式。它由解薛定谔方程求得，也可从有关手册中查得。表５－３列出氢原子若干径向部分和角向部分，供参考。
例如 氢原子
[例5－1] 画出氢原子1s 原子轨道角度分布图Y 。 解：由解薛定谔方程可知
从上式可知，Y 只是一个常数，与θ，角度无关。画出的氢原子1s
原子
1s
轨道角度分布图是一个球曲面。半径为（1/4π）
l,m
1/2
。
由于原子轨道的角向部分Y （θ，ϕ）只与量子数l ，m 有关，而与主量子数n 无关。因此，1s ，2s ，3s 原子轨道的角度分布图都是相同的球曲面。p ，d ，f 系列原子轨道同样如此。故在原子轨道角度分布图中，常不标明轨道符号前的主量子数。
[例5－2] 画出2p 原子轨道角度分布图。 解：由解薛定谔方程可知
z
Yp = (3/4π) cos θ（与无关） 或 Ypz = K ·cosθ 式中K 为常数，对于Y p ，K 值为（3/4π）不同，但它不会影响图形的形状。
一些随θ角度而变化的Yp 和Y p 值见表５－４。
z
2z
2z
1/2
2z 1/2
，对于其它p 轨道K 值可能
利用表中列出的数据，可以在xz 平面内画出如图５－１１所示的曲线。
将曲线绕Z
轴旋转一周（360°），可以得到“哑铃型”的立体曲面。由于
Yp 值在Z 轴方向（θ=0°）出现了极大值，所以该曲面图我们称为p 原子轨道角度分布图，记为Yp ，通常以其剖面图表示。
用以上类似的方法，我们可以画出s ，p ，d 各种轨道的角度分布剖面图，如图５－１２所示。
z
２. 电子云角度分布图“★★”
如果我们将简化的薛定谔方程两边平方，则得到
222
ψn,l,m （r ，θ，ϕ）= R n,l （r ）·Y l,m （θ，ϕ） 电子云 径向部分 角向部分
2
上式中，ψn,l,m （r ，θ，ϕ）的图像即为电子云的图象，它由二部分组成。一是电子云2
的径向部分R n,l （r ），即几率密度随离核半径的变化，它与θ，ϕ角度无关；二是电子云的2
角向部分Y l,m （θ，ϕ ），即几率密度只随角度θ，ϕ变化，它与主量子数n ，离核半径r 无关。
电子云角度分布图的画法过程与原子轨道角度分布图一样，只需先将该原子轨道的角向分布·Y l,m （θ，ϕ）的计算式两边平方。 z z 例 p 原子轨道的角向部分是 Yp = K ·cos θ
z 2z 22
p 电子云的角向部分是 Y p = K ·cos θ
2z
若将Y p 值（表５-３）随θ角度变化作图，得到的图形称为电子云的角度分布图，记2
为 Y p 。用相同的方法，可以画出s 、p 、d 各种电子云的角度分布图，如图５－１３所示:
它表示随θ和ϕ角度变化时，半径相同的各点，几率密度大小相同。 原子轨道角度分布图与电子云角度分布图的区别见表５－５。
应要注意，把原子轨道角度分布图和电子云角度分布图当作原子轨道和电子云的实际图象是2
错误的，因为它们只考虑了波函数ψ（原子轨道）和ψ（电子云）的角向部分，而没有考虑相应的径向部分，下面我们就来讨论有关的径向部分。
2
我们已知道，原子轨道和电子云的径向部分分别为R n,l （r ）和R n,l （r ），反映R （几率）2
和R （几率密度）在任意角度（与θ，ϕ角度无关）随离核距离半径r 变化的情形。
1. 原子轨道（ψ）径向部分
若以R （r ）对r 作图。就能得到电子出现的几率随r 的变化图，我们称为原子轨道径向分布图。如图５-１４所示。
R （r ）随r 变化时，因主量子数n 不同，可以是负值。如2s 轨道的R （r ）随r 增大时，正值逐渐变小，经过R （r ）为零的节点（节面，电子出现的几率为0）后变为负值，后又逐渐增大。原子轨道径向分布图在教学中不常使用。 2．电子云的径向部分
电子云的径向部分可有多种图示表示，比较重要的是几率密度径向分布图和壳层几率径向分布图。
（1） 几率密度径向分布图
2
若以R （r ）对r 作图，就能得到电子的几率密度随半径r 的变化图，我们称为几率密2
度径向分布图。图５-１５列出了常用的几种氢原子电子云的R （r ）图，它表示任何角度方2
向上的几率密度随半径r 的变化，若再考虑电子云的的角向部分Y l,m (θ，ϕ) ，两者结合起来，即为电子云的空间形状。
（2）壳层几率径向分布图“★★”
前已叙述，壳层几率是指离核半径为r ，厚度为dr 的薄层球壳中电子出现的几率，用符22
号r R 表示，理论上可以导出，现以最简单的球形对称的n s 电子云为例。
设想把n s 电子云通过中心分割成具有不同半径r 的薄层球壳（同心圆），如果我们考虑一个离核距离为r ，厚度为dr 的薄层球壳，如图５-１６所示。［壳层几率的求法］
22
若以r R （r ）对r 作图，就可以得到氢原子s 、p 、d 各电子云电子的壳层几率随r 的变化图，我们称为壳层几率径向分布图。如图所示。
从图５-１７中使我们可以看到：
氢原子1s 电子在离核半径为52.9pm 处薄层球壳内出现的几率最大。
氢原子s 、p 、d 电子的壳层几率径向分布图中，峰数不同。
核外电子的分布可看作是分层的。
“钻穿”现象。
电子云的角度分布图和电子云的几率密度径向分布图，是从两个不同侧面来反映电子云的状态，它们均不代表电子云的空间形状。我们已知道
ψn,l,m (r ，θ，ϕ) = R n,l, (r ) ·Y l,m (θ，ϕ)
ψn,l,m (r ，θ，ϕ) 在空间分布的图象即为电子云的空间形状。它必需由电子云的几率密
22
度径向部分R n,l, (r ) 和角度部分Y l,m (θ，ϕ) 两部分结合在一起来描述。 以下，我们列出了氢原子的几种常用的电子云的空间形状示意图。
2
222