中数
一、中数的概念与求法
中数，又称中点数，中位数。符号为Md或Mdn(英文为Median)，中数是指位于一组数据中较大一半与较小一半中间位置的那个数。这个数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。如果将数据依大小顺序排列，中数恰于中间，它将数据的数目分成较大的一半和较小的一半。中数是集中量数的一种，它能描述一组数据的典型情况，在心理与教育研究工作中常有应用。
中数的求法根据数据是否分组，而有不同的方法。
(一)未分组数据求中数的方法
根据中数的概念，首先将数据依其取值大小排列成序，然后找出位于中间的那个数，就是中数。这里又有两种不同的情况：
1．单列数目的情况。所谓单列数目是指一组数据中没有相同的，这时取处于序列中间位置的那个数为中数：如果数据个数为奇数，则取序列为第(N+1)／2的那个数据为中数。如果数据个数为偶数，则取序列为第N／2与第N／2+1个这两个数据的均数为中数。 例1 有下列9个数，依大小排列为：
4、7、8、9、10、11、12、13、14 (N=9)
(N+1)／2=5，序列第五的数据是10，则该组数据的中数是10。 例2 有下列8个数，依大小排列为：
2、3、5、7、8、10、15、19 (N=8) 序列为N／2 = 4者是7，序列为N／2+1=5者为8，则其中数为(7+8)／2＝7．5。
从以上两例可以看出，求中数不受极大值与极小值的影响，而决定中数的关键是居中的那几个数据的数值大小。
2．有重复数目的情况。所谓重复数目是指一组数据中有数值相同的数。这时计算中数的方法基本同单列数目，但当位于中间的那几个数是重复数目时，求中数的方法就比较复杂了。具体算法如下：
首先假设位于中间的几个重复数目为连续数目，取序列中上下各N／2那一点上的数值为中数。
例3 有以下重复数列(N＝9)
依大小排序：
2、3、5、5、7、7、7、11、13，居中的数是7，但7是重复数，这时要将7视作连续数。N／2是4．5，序列中上下各4．5的那一点恰是第一个7(即序列为5的那个7)的中点，而这个7的中点如何确定呢?我们知道将7视作连续数可以理解为：6．5—7．5之间有三个数据分布其中，而这三个7是均匀分布在这区间之内的，可用图示如下：
6．5～7．5之间均匀分布三个数据，每一个数据占1／3的距离，那么可理解为第一个7落在6．5—6．83这一区间内，第二个7落在 6．83—7．16区间内，第三个7落在7．16—7．5(实是7．499．．．．．)区间内。第一个7的中点是6．67，
这一点就是整个序列中位居最中间的那一点，因此，该组数据的中数是6．67。这是重复数列为奇数的情形。如果是偶数，作法也同奇数基本相同。例如给上组数据再增加一个15，它就变为偶数的重复序列了：
2、3、5、5、7、7、7、11、13、15 (N＝10)
N／2是5，那就是说，该组数据的中点应该是第五个数的上限，也是第六个数的下限，（前两个7的中点）图示如下：
图2—1 重复数目求中数示意图
根据前面的计算可知位于序列中最前面那个7的上限是6．83，即该组数据的中数是6．83。
从图(2—1)，可以清楚地看到，中数是将整个数据的个数分作大的一半和小的一半，而不是将数据的值分作相等的两部分。
(二)次数分布表求中数的方法
一将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数目求中数是一样的，也是取序列中将N平分为两半的那一点的值作为中数。其具体步骤如下，
第一步求N／2，并找到N／2所在的分组区间；
第二步求含有中数那一区间以下各区间的次数和(即中数组区间下限以下的累加次数)记作Fb；
第三步是求N／2与Fb之差；
第四步求序列为第N／2那一点的值。
设中数所在那一分组区间的数据次数为fMd，Lb为中数所在那一分组区间精确下限值。根据重复数列求中数的原理，设有fMd个数据均匀地落在距离为i的区间内，那么每个数据各占i / fMd，那么至N／2这一段距离为i / fMd * (N／2一Fb)，如果这一段距离求出后再加上该区间的精确下限值，那就是中数的值了。
求中数的公式整理如下：
Md = Lb + (N / 2 – Fb) / fMd * i (2—4a)
同理，用精确上限计算可写作下式：
Md = La + (N / 2 – Fa) / fMd * i (2—4b)
式中La为中数所在分组区间的精确上限Fa为该组以上各组的累加次数，i为组距。
分组区间 f Cfl Cf2
96— 2 100 2 (1)N／2＝100／2＝50
93— 3 98 5
90— 4 95 9 (2)中数所在组区间是
87— 8 91 17 77．5—80．5
84— 11 93 28
81— 17 72 45 (3)中数所在组以下的次
78— 19 55 64 数和Fb＝36
75— 14 36 78 中数所在组以上的
72— 10 22 88 次数和Fa＝45
69—
66—
63—
60一 7 3 1 l 12 5 2 1 95 98 99 100 (4)fmd＝19 i＝3 Md=77.5+(50-36)/19*3=79
．7l
Md=80．5—(50-45)/19*3=
79．71
N＝Σf＝100
二、标准偏差
1.样本的标准偏差
SN12
2.总体的标准偏差
2 方差等于标准偏差的平方。
三、四分位数
见PDF
四、协方差
中数
一、中数的概念与求法
中数，又称中点数，中位数。符号为Md或Mdn(英文为Median)，中数是指位于一组数据中较大一半与较小一半中间位置的那个数。这个数可能是数据中的某一个，也可能根本不是原有的数。如果将数据依大小顺序排列，中数恰于中间，它将数据的数目分成较大的一半和较小的一半。中数是集中量数的一种，它能描述一组数据的典型情况，在心理与教育研究工作中常有应用。
中数的求法根据数据是否分组，而有不同的方法。
(一)未分组数据求中数的方法
根据中数的概念，首先将数据依其取值大小排列成序，然后找出位于中间的那个数，就是中数。这里又有两种不同的情况：
1．单列数目的情况。所谓单列数目是指一组数据中没有相同的，这时取处于序列中间位置的那个数为中数：如果数据个数为奇数，则取序列为第(N+1)／2的那个数据为中数。如果数据个数为偶数，则取序列为第N／2与第N／2+1个这两个数据的均数为中数。 例1 有下列9个数，依大小排列为：
4、7、8、9、10、11、12、13、14 (N=9)
(N+1)／2=5，序列第五的数据是10，则该组数据的中数是10。 例2 有下列8个数，依大小排列为：
2、3、5、7、8、10、15、19 (N=8) 序列为N／2 = 4者是7，序列为N／2+1=5者为8，则其中数为(7+8)／2＝7．5。
从以上两例可以看出，求中数不受极大值与极小值的影响，而决定中数的关键是居中的那几个数据的数值大小。
2．有重复数目的情况。所谓重复数目是指一组数据中有数值相同的数。这时计算中数的方法基本同单列数目，但当位于中间的那几个数是重复数目时，求中数的方法就比较复杂了。具体算法如下：
首先假设位于中间的几个重复数目为连续数目，取序列中上下各N／2那一点上的数值为中数。
例3 有以下重复数列(N＝9)
依大小排序：
2、3、5、5、7、7、7、11、13，居中的数是7，但7是重复数，这时要将7视作连续数。N／2是4．5，序列中上下各4．5的那一点恰是第一个7(即序列为5的那个7)的中点，而这个7的中点如何确定呢?我们知道将7视作连续数可以理解为：6．5—7．5之间有三个数据分布其中，而这三个7是均匀分布在这区间之内的，可用图示如下：
6．5～7．5之间均匀分布三个数据，每一个数据占1／3的距离，那么可理解为第一个7落在6．5—6．83这一区间内，第二个7落在 6．83—7．16区间内，第三个7落在7．16—7．5(实是7．499．．．．．)区间内。第一个7的中点是6．67，
这一点就是整个序列中位居最中间的那一点，因此，该组数据的中数是6．67。这是重复数列为奇数的情形。如果是偶数，作法也同奇数基本相同。例如给上组数据再增加一个15，它就变为偶数的重复序列了：
2、3、5、5、7、7、7、11、13、15 (N＝10)
N／2是5，那就是说，该组数据的中点应该是第五个数的上限，也是第六个数的下限，（前两个7的中点）图示如下：
图2—1 重复数目求中数示意图
根据前面的计算可知位于序列中最前面那个7的上限是6．83，即该组数据的中数是6．83。
从图(2—1)，可以清楚地看到，中数是将整个数据的个数分作大的一半和小的一半，而不是将数据的值分作相等的两部分。
(二)次数分布表求中数的方法
一将原始数据整理成次数分布表后，求中数的原理同重复数目求中数是一样的，也是取序列中将N平分为两半的那一点的值作为中数。其具体步骤如下，
第一步求N／2，并找到N／2所在的分组区间；
第二步求含有中数那一区间以下各区间的次数和(即中数组区间下限以下的累加次数)记作Fb；
第三步是求N／2与Fb之差；
第四步求序列为第N／2那一点的值。
设中数所在那一分组区间的数据次数为fMd，Lb为中数所在那一分组区间精确下限值。根据重复数列求中数的原理，设有fMd个数据均匀地落在距离为i的区间内，那么每个数据各占i / fMd，那么至N／2这一段距离为i / fMd * (N／2一Fb)，如果这一段距离求出后再加上该区间的精确下限值，那就是中数的值了。
求中数的公式整理如下：
Md = Lb + (N / 2 – Fb) / fMd * i (2—4a)
同理，用精确上限计算可写作下式：
Md = La + (N / 2 – Fa) / fMd * i (2—4b)
式中La为中数所在分组区间的精确上限Fa为该组以上各组的累加次数，i为组距。
分组区间 f Cfl Cf2
96— 2 100 2 (1)N／2＝100／2＝50
93— 3 98 5
90— 4 95 9 (2)中数所在组区间是
87— 8 91 17 77．5—80．5
84— 11 93 28
81— 17 72 45 (3)中数所在组以下的次
78— 19 55 64 数和Fb＝36
75— 14 36 78 中数所在组以上的
72— 10 22 88 次数和Fa＝45
69—
66—
63—
60一 7 3 1 l 12 5 2 1 95 98 99 100 (4)fmd＝19 i＝3 Md=77.5+(50-36)/19*3=79
．7l
Md=80．5—(50-45)/19*3=
79．71
N＝Σf＝100
二、标准偏差
1.样本的标准偏差
SN12
2.总体的标准偏差
2 方差等于标准偏差的平方。
三、四分位数
见PDF
四、协方差