多元函数求最值问题
一. 【问题背景】
多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。
二. 【常见的方法】
导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等
主要思想方法：数形结合、化归思想等
三. 【范例】
例1：已知实数x , y 满足x >y >0，且x +y ≤2，则 方法一 因为4≥2x +2y ，所以
21
+的最小值为 。
x +3y x -y
4(
2121
+) ≥(+)[(x +3y ) +(x -y )]x +3y x -y x +3y x -y 2(
x -y )x +3y
+
x +3y x -y
=3+
≥3+当且仅当x =1, y =3-取等号，故
213++的最小值
x +3y x -
y 4
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，
再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。
a 2b 2(a +b ) 方法二 利用不等式，引证： +≥
p q p +q 2 2 2
记向量x =y =，因为x ⋅y ≤x ⋅y
2
()
1a +b )(21a b
所以 ，则
+≥+≥
x +3y x -y 2x +
y p q p +q 2
2
2
)
2
【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使
复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 x >y >0, x +y ≤2，所以 0
21213-y
+≥+= x +3y x -y 2+2y 2-2y 21+y 1-y
=
113+x =1, y =3-取等号 ⋅≥
26-(3-y +8) 4
3-y
【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解。
方法四 因为 2≥x +y ，
y 21x +y x +y 1+k 1+k
，其中k = +≥+=+
x x +3y x -y x +3y 2x -2y 1+3k 2-2k
1+k 1+k
+记 g (k )=，k ∈(0,1) 1+3k 2-2k 28k 2+40k -45
'因为 g '(k )=，令 ，得
k =g k =0()227(2+4k -6k )
所以
55
) 上递减，在(,1) 上递增 7753+故 g (
k )min =g (， ) =
74
213+所以 的最小值 +
x +3y x -
y 4
由于 g (k
)在(0,
【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，
从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。 例2： 已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2) 恒成立，则实数λ的最小值为____．
222222
方法一：依题可得3x +4xy ≤3x +x +4y =4x +y
()()
3x 2+4xy
因为x , y 均不为0，故2≤4，所以 λ≥4
x +y 2
【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。
y
3x +4xy 方法二：因为x , y 均不为0，所以 λ≥2=2
x +y 1+() 2x
y 3+4t 3+4t
f t = 令t =，则 λ≥，记 ，由导数法可知 ()
1+t 21+t 2x
2
3+4
因为 f (t )∈[-1,4]，所以 λ≥4
【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。
22222
方法三：因为 3x +4xy ≤λx +y 所以 (λ-3) x -4xy +λy ≥0
()
2
当λ=3时，则 3y -4xy +≥0显然不成立
22
当λ≠3时，同除y 得 (λ-3)() -4
x y x
+λ≥0 y
故 ⎨
⎧⎪λ-3>0
解得 λ≥4
⎪⎩16-4λ(λ-3)≤0
【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“∆”法解决，但此法局限于二次
问题。
222
变式练习：x +2xy ≤m 2x +y 对于一切正数x , y 恒成立，则实数m 的最小值为。
()
例3：设实数a , b , c 满足a +b ≤c ≤1，则a +b +c 的最小值为
方法一：因为 c ≥a +b 所以 a +b +c ≥a +b +a +b
=(a +) +(b +) -
故 a +b +c 的最小值为-
2
2
2
2
22
1
2
2
12
2
1 2
1 2
2
2
【评注】根据条件进行放缩，利用配方法解决问题。
方法二：因为 c ≥a +b 所以 a +b +c ≥a +b +a +b
2
2
(a +b ) 2(a +b ) 222
+(a +b ) 又因为 a +b ≥ 故 a +b +c ≥a +b +a +b ≥
22
2
2
=
故 a +b +c 的最小值为-
211
a +b +1-⎡⎤()⎦2 2⎣
1
2
【评注】根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想。
方法三：换元法 令 a =r cos θ, b =r cos θ, r ∈[0,1]
a +b +c ≥a +b +a 2+b 2
=r 2+r (
cos θ+sin θ)
=r 2sin(θ+)
4
⎡π⎤1π=⎢r +θ+) ⎥-sin 2(θ+)
4⎦24⎣
故 a +b +c 的最小值为-
2
π
1
2
2
2
2
【评注】通过换元，利用三角函数的有界性解决问题。 变式练习：已知x , y , z ∈R ，且x +y +z =x 1, +y +z =例4：已知正实数a , b 满足9a +b =1，则
2
2
5
则xyz 的最大值是 3，
27
ab
的最大值为.
3a +b
方法一
：利用不等式 +x y
2
2ab 2=，则 ab 的最大值为
=3a +
b 123a +b +a 3
【评注】直接利用基本不等式解决问题。
22
方法二：由 9a +b =1可得 ab ≤
1
，则 6
因为
3a +b ≥，此两处取号时均为3a =b
故
ab =3a +b 12
2
【评注】两次运用基本不等式，注意等号成立的条件。
22
骣ab ÷(ab ) (ab )
方法三：因为 ===÷22÷桫3a +b 9a +b +6ab 1+6ab
116
+(ab ) 2ab
=
11
(+3) 2-9ab
骣ab ÷1122
由 9a +b =1可得 ab ≤，则 ， ≤÷6桫3a +b ÷72
所以
2
ab 的最大值为
3a +
b 12
c θo θs ∈,
n b , =方法四：令 3a =s i θ
π
2
0, ) ，则
ab 1sin q cos q
=?
3a +b 3sin q +cos q
令
s i n θ+c o θs =t t ∈,
t 2-1
，则2 ]sin θ⋅cos θ=2
11(t -) ， 6t
于是
ab 1sin q cos q
=?
3a +b 3sin q +cos q
1t
由于函数f (t )=t -
在区间上递增，故当t =
(
四．巩固练习
m 4-n 4
1. 设实数n ≤6，若不等式2xm +(2-x ) n -8≥0对任意x ∈[-4, 2]都成立，则的3
m n
最小值为 .-
80 3
19 10
1 3
2．已知M =max {3-2x ,4x +2y ,1-6y }，则M 的最小值为3. 已知 a , b , c ∈R , a +b +c =1, a 2+b 2+c 2=1，则a 的最小值为___________。-
4. 已知{a n }是等差数列，若a 12+a 52≤10，则a 5+a 6+a 7+a 8+a 9的最大值是25 5．∆ABC 的三边长分别为a , b , c ，并满足a ≤b ≤c ，记K =min ⎨, ⎬，则K 的取值
⎧b c ⎫范围是
。⎢⎡1,
1⎫
⎣2⎪⎪ ⎭
⎩a b ⎭
多元函数求最值问题
一. 【问题背景】
多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。同时，多元函数最值问题中蕴含着丰富的数学思想和方法，而且有利于培养学生联想、化归的解题能力。因此，怎样求多元函数的最值，是师生们非常关注和必须解决的问题，也是高考考生们必须具备的解题技能。
二. 【常见的方法】
导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元 三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等
主要思想方法：数形结合、化归思想等
三. 【范例】
例1：已知实数x , y 满足x >y >0，且x +y ≤2，则 方法一 因为4≥2x +2y ，所以
21
+的最小值为 。
x +3y x -y
4(
2121
+) ≥(+)[(x +3y ) +(x -y )]x +3y x -y x +3y x -y 2(
x -y )x +3y
+
x +3y x -y
=3+
≥3+当且仅当x =1, y =3-取等号，故
213++的最小值
x +3y x -
y 4
【评注】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数，
再用单调性或基本不等式求解，二是直接用基本不等式，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过不等式的途径进行。
a 2b 2(a +b ) 方法二 利用不等式，引证： +≥
p q p +q 2 2 2
记向量x =y =，因为x ⋅y ≤x ⋅y
2
()
1a +b )(21a b
所以 ，则
+≥+≥
x +3y x -y 2x +
y p q p +q 2
2
2
)
2
【评注】在求有些多元函数的最值时，恰当构造向量模型，利用向量数量积的性质，常可使
复杂问题变得简单明了，使繁琐的解题显得巧妙自然。 方法三 因为 x >y >0, x +y ≤2，所以 0
21213-y
+≥+= x +3y x -y 2+2y 2-2y 21+y 1-y
=
113+x =1, y =3-取等号 ⋅≥
26-(3-y +8) 4
3-y
【评注】该解法利用条件将不等式放缩后，通过消元，转化为一元函数，再用基本不等式求解。
方法四 因为 2≥x +y ，
y 21x +y x +y 1+k 1+k
，其中k = +≥+=+
x x +3y x -y x +3y 2x -2y 1+3k 2-2k
1+k 1+k
+记 g (k )=，k ∈(0,1) 1+3k 2-2k 28k 2+40k -45
'因为 g '(k )=，令 ，得
k =g k =0()227(2+4k -6k )
所以
55
) 上递减，在(,1) 上递增 7753+故 g (
k )min =g (， ) =
74
213+所以 的最小值 +
x +3y x -
y 4
由于 g (k
)在(0,
【评注】该解法充分体现了数学中的消元思想，将二元函数的最值转化为一元函数的最值，
从而利用导数研究函数最值，但在处理过程中充分考虑变量的取值范围，否则容易出错。 例2： 已知任意非零实数x ，y 满足3x 2＋4xy ≤λ(x 2＋y 2) 恒成立，则实数λ的最小值为____．
222222
方法一：依题可得3x +4xy ≤3x +x +4y =4x +y
()()
3x 2+4xy
因为x , y 均不为0，故2≤4，所以 λ≥4
x +y 2
【评注】关注各项系数，直接利用基本不等式放缩，构思巧妙。
y
3x +4xy 方法二：因为x , y 均不为0，所以 λ≥2=2
x +y 1+() 2x
y 3+4t 3+4t
f t = 令t =，则 λ≥，记 ，由导数法可知 ()
1+t 21+t 2x
2
3+4
因为 f (t )∈[-1,4]，所以 λ≥4
【评注】利用消元思想，转化为函数最值，用导数法解决，是通解通法。
22222
方法三：因为 3x +4xy ≤λx +y 所以 (λ-3) x -4xy +λy ≥0
()
2
当λ=3时，则 3y -4xy +≥0显然不成立
22
当λ≠3时，同除y 得 (λ-3)() -4
x y x
+λ≥0 y
故 ⎨
⎧⎪λ-3>0
解得 λ≥4
⎪⎩16-4λ(λ-3)≤0
【评注】利用消元思想，转化为不等式恒成立问题，通过“∆”法解决，但此法局限于二次
问题。
222
变式练习：x +2xy ≤m 2x +y 对于一切正数x , y 恒成立，则实数m 的最小值为。
()
例3：设实数a , b , c 满足a +b ≤c ≤1，则a +b +c 的最小值为
方法一：因为 c ≥a +b 所以 a +b +c ≥a +b +a +b
=(a +) +(b +) -
故 a +b +c 的最小值为-
2
2
2
2
22
1
2
2
12
2
1 2
1 2
2
2
【评注】根据条件进行放缩，利用配方法解决问题。
方法二：因为 c ≥a +b 所以 a +b +c ≥a +b +a +b
2
2
(a +b ) 2(a +b ) 222
+(a +b ) 又因为 a +b ≥ 故 a +b +c ≥a +b +a +b ≥
22
2
2
=
故 a +b +c 的最小值为-
211
a +b +1-⎡⎤()⎦2 2⎣
1
2
【评注】根据条件进行放缩，关注到基本不等式，同时有整体配方思想。
方法三：换元法 令 a =r cos θ, b =r cos θ, r ∈[0,1]
a +b +c ≥a +b +a 2+b 2
=r 2+r (
cos θ+sin θ)
=r 2sin(θ+)
4
⎡π⎤1π=⎢r +θ+) ⎥-sin 2(θ+)
4⎦24⎣
故 a +b +c 的最小值为-
2
π
1
2
2
2
2
【评注】通过换元，利用三角函数的有界性解决问题。 变式练习：已知x , y , z ∈R ，且x +y +z =x 1, +y +z =例4：已知正实数a , b 满足9a +b =1，则
2
2
5
则xyz 的最大值是 3，
27
ab
的最大值为.
3a +b
方法一
：利用不等式 +x y
2
2ab 2=，则 ab 的最大值为
=3a +
b 123a +b +a 3
【评注】直接利用基本不等式解决问题。
22
方法二：由 9a +b =1可得 ab ≤
1
，则 6
因为
3a +b ≥，此两处取号时均为3a =b
故
ab =3a +b 12
2
【评注】两次运用基本不等式，注意等号成立的条件。
22
骣ab ÷(ab ) (ab )
方法三：因为 ===÷22÷桫3a +b 9a +b +6ab 1+6ab
116
+(ab ) 2ab
=
11
(+3) 2-9ab
骣ab ÷1122
由 9a +b =1可得 ab ≤，则 ， ≤÷6桫3a +b ÷72
所以
2
ab 的最大值为
3a +
b 12
c θo θs ∈,
n b , =方法四：令 3a =s i θ
π
2
0, ) ，则
ab 1sin q cos q
=?
3a +b 3sin q +cos q
令
s i n θ+c o θs =t t ∈,
t 2-1
，则2 ]sin θ⋅cos θ=2
11(t -) ， 6t
于是
ab 1sin q cos q
=?
3a +b 3sin q +cos q
1t
由于函数f (t )=t -
在区间上递增，故当t =
(
四．巩固练习
m 4-n 4
1. 设实数n ≤6，若不等式2xm +(2-x ) n -8≥0对任意x ∈[-4, 2]都成立，则的3
m n
最小值为 .-
80 3
19 10
1 3
2．已知M =max {3-2x ,4x +2y ,1-6y }，则M 的最小值为3. 已知 a , b , c ∈R , a +b +c =1, a 2+b 2+c 2=1，则a 的最小值为___________。-
4. 已知{a n }是等差数列，若a 12+a 52≤10，则a 5+a 6+a 7+a 8+a 9的最大值是25 5．∆ABC 的三边长分别为a , b , c ，并满足a ≤b ≤c ，记K =min ⎨, ⎬，则K 的取值
⎧b c ⎫范围是
。⎢⎡1,
1⎫
⎣2⎪⎪ ⎭
⎩a b ⎭