七（下）数学思维拓展训练 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题（每小题5分，共25分） 1. 若n 为正整数，且x 2n =3，则(3x3n ) 2－4(x2) 2n 的值为( ) （A ）207 （B ）36 （C ）45 （D ）217 2．一个长方形的长是2x 厘米，宽比长的一半少4厘米，若将长方形的长和宽都增加3厘米，则该长方形的面积增加为（ ） (A)9 （B ）2x 2+x－3 （C ）－7x －3 （D ）9x －3 3．若(x-5)·A= x2+x+B，则（ ） （A ）A=x+6，B=－30 （B ）A=x－6，B=30 （C ）A=x+4，B=－20 （D ）A=x－4，B=20 4. 已知a =8131, b =2741, c =961，则a ，b ，c 大小关系是（ ） （A ）a>c>b （B ）a>b>c （C ）ac>a 5. 如图1，直线MN//PQ，OA ⊥OB ，∠BOQ=30︒. 若以点O 为旋转中心，将射线OA 顺时针旋转60︒后，这时图中30︒的角的个数是 （ ） (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个 B N a b O Q 图2 二、填空题（每小题图1 5分，共25分） 6. 用如图2所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a+b的正方形，需要B 类卡片_______张. 7. 如图3，AB ∥CD ，M 、N 分别在AB ，CD 上，P 为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠. 8. 如图4，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若∠ADE ＝125︒, 则∠DBC= ︒. A 1 B P C 图3 N 9. 三个同学对问题“若方程组⎧⎨a D 图4 1x +b 1y =c 1的解是⎧⎩a ⎨x =3，求方程组⎧⎨3a 1x +2b 1y =5c 12x +b 2y =c 2⎩y =4⎩3a 2x +2b 2y =5c 2的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 10. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a , b )进入其中时，会得到一个新的数：
(a -1)(b -2). 现将数对(m , 1)放入其中得到数n ，再将数对(n , m )放入其中后，如果最后得到的数是 . （结果要化简）
三、解答题（每小题10分，共50分）
11. 计算：(1+2+3+…+2013)(2+3+4+…+2012)－(1+2+3+…+2012) (2+3+4+…+2013)．
12. 图5是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ．
（1）将方程组1的解填入图中；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中；
（3）若方程组⎨⎧
x +y =1⎧x =10的解是⎨，求m 的值，并判断该方程组是否符合（2）
⎩x -中的规律？ 方程组
图5
13. 如图6，已知两组直线分别互相平行．
（1）若∠1=115º，求∠2，∠3的度数；
（2）题（1）中隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试用文字表述出来；
（3）利用（2）中的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的大小．
14. 下面是某同学对多项式（x 2－4x+2）（x 2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x 2－4x=y．
原式=(y+2) (y +6)+4 ①
2=y+8y+16 ②
=( y+4)2 ③
=(x2－4x+4)2 ④
回答下列问题：
（1）该同学②到③运用了因式分解的_______.
（A ）提取公因式 （B ）平方差公式
（C ）两数和的完全平方公式 （D ）两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请模仿以上方法对多项式（x 2－2x ）（x 2－2x+2）+1进行因式分解．
15．如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图7中是一个五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= º．
（2）图7中的点A 向下移到BE 上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E ）有无变化？如图8，说明你的结论的正确性．
（3）把图8中的点C 向上移到BD 上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E ）有无变化？如图9
参考答案
1~5.ADABA
6.2 7.360 8.55 9. ⎨⎧x =5 10. －m 2+2m ⎩y =10
11. 设1+2+3+…+2012=a，2+3+4+…+2012=b，则a= b+1．
(1+2+3+…+2013)(2+3+4+…+2012)－(1+2+3+…+2012) (2+3+4+…+2013)= (a+2013)b－a(b+2013)=ab+2013b－ab －2013a=2013b－2013a=2013b－2013(b+1)= 2013b－2013 b－2013=－2013．
12. （1）直接消元可求出⎨⎧x =1；（2）观察第一个方程都是x+y=1，第二个方程x 前面的系
⎩y =0
数都是1，而y 前面的系数应是－n ，常数项应是n 2，这样第二个方程应是x －ny= n2，所以
⎧x +y =1第n 个方程组为⎨．其解的规律是x 从1开始依次增1，y 从0开始依次减1，2x -ny =n ⎩
这样第n 个方程组的解为⎨⎧x =n ⎧x =102；（3）把⎨代入方程x －my=16，得m=．显然3⎩y =1-n ⎩y =-9
不符合(2)中的规律．
13. （1）因为两组直线分别互相平行，所以由平行线的性质可得∠2=∠1=115º，∠3+∠2=180º，则∠3=180º－115º=65º；
（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；
（3）设其中的一个角为xº，则另一个角为2xº．因为xº+2xº=180º，所以x=60º．故这两个角分别为60º和120º．
14. （1）C
（2）不彻底，( x－2) 4
（3）设x 2－2x=y．原式=y (y +2)+1= y2+2y+1=( y+1)2=(x2－2x+1)2=( x－1) 4 ．
15．（1）180º．
（2）无变化．因为∠BAC=∠C+∠E ，∠EAD=∠B+∠D ，所以∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠EAD=180º．
（3）无变化．因为∠ACB=∠CAD+∠D ，∠ECD=∠B+∠E ，所以∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180º．
七（下）数学思维拓展训练 时间：45分钟 分值：100分 一、选择题（每小题5分，共25分） 1. 若n 为正整数，且x 2n =3，则(3x3n ) 2－4(x2) 2n 的值为( ) （A ）207 （B ）36 （C ）45 （D ）217 2．一个长方形的长是2x 厘米，宽比长的一半少4厘米，若将长方形的长和宽都增加3厘米，则该长方形的面积增加为（ ） (A)9 （B ）2x 2+x－3 （C ）－7x －3 （D ）9x －3 3．若(x-5)·A= x2+x+B，则（ ） （A ）A=x+6，B=－30 （B ）A=x－6，B=30 （C ）A=x+4，B=－20 （D ）A=x－4，B=20 4. 已知a =8131, b =2741, c =961，则a ，b ，c 大小关系是（ ） （A ）a>c>b （B ）a>b>c （C ）ac>a 5. 如图1，直线MN//PQ，OA ⊥OB ，∠BOQ=30︒. 若以点O 为旋转中心，将射线OA 顺时针旋转60︒后，这时图中30︒的角的个数是 （ ） (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个 B N a b O Q 图2 二、填空题（每小题图1 5分，共25分） 6. 用如图2所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为a+b的正方形，需要B 类卡片_______张. 7. 如图3，AB ∥CD ，M 、N 分别在AB ，CD 上，P 为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠. 8. 如图4，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点E 、D 、B 、F 在同一条直线上，若∠ADE ＝125︒, 则∠DBC= ︒. A 1 B P C 图3 N 9. 三个同学对问题“若方程组⎧⎨a D 图4 1x +b 1y =c 1的解是⎧⎩a ⎨x =3，求方程组⎧⎨3a 1x +2b 1y =5c 12x +b 2y =c 2⎩y =4⎩3a 2x +2b 2y =5c 2的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 10. 数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a , b )进入其中时，会得到一个新的数：
(a -1)(b -2). 现将数对(m , 1)放入其中得到数n ，再将数对(n , m )放入其中后，如果最后得到的数是 . （结果要化简）
三、解答题（每小题10分，共50分）
11. 计算：(1+2+3+…+2013)(2+3+4+…+2012)－(1+2+3+…+2012) (2+3+4+…+2013)．
12. 图5是按一定规律排列的方程组集合和它解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、……方程组n ．
（1）将方程组1的解填入图中；
（2）请依据方程组和它的解变化的规律，将方程组n 和它的解直接填入集合图中；
（3）若方程组⎨⎧
x +y =1⎧x =10的解是⎨，求m 的值，并判断该方程组是否符合（2）
⎩x -中的规律？ 方程组
图5
13. 如图6，已知两组直线分别互相平行．
（1）若∠1=115º，求∠2，∠3的度数；
（2）题（1）中隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试用文字表述出来；
（3）利用（2）中的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的大小．
14. 下面是某同学对多项式（x 2－4x+2）（x 2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x 2－4x=y．
原式=(y+2) (y +6)+4 ①
2=y+8y+16 ②
=( y+4)2 ③
=(x2－4x+4)2 ④
回答下列问题：
（1）该同学②到③运用了因式分解的_______.
（A ）提取公因式 （B ）平方差公式
（C ）两数和的完全平方公式 （D ）两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请模仿以上方法对多项式（x 2－2x ）（x 2－2x+2）+1进行因式分解．
15．如下几个图形是五角星和它的变形．
（1）图7中是一个五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= º．
（2）图7中的点A 向下移到BE 上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E ）有无变化？如图8，说明你的结论的正确性．
（3）把图8中的点C 向上移到BD 上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E ）有无变化？如图9
参考答案
1~5.ADABA
6.2 7.360 8.55 9. ⎨⎧x =5 10. －m 2+2m ⎩y =10
11. 设1+2+3+…+2012=a，2+3+4+…+2012=b，则a= b+1．
(1+2+3+…+2013)(2+3+4+…+2012)－(1+2+3+…+2012) (2+3+4+…+2013)= (a+2013)b－a(b+2013)=ab+2013b－ab －2013a=2013b－2013a=2013b－2013(b+1)= 2013b－2013 b－2013=－2013．
12. （1）直接消元可求出⎨⎧x =1；（2）观察第一个方程都是x+y=1，第二个方程x 前面的系
⎩y =0
数都是1，而y 前面的系数应是－n ，常数项应是n 2，这样第二个方程应是x －ny= n2，所以
⎧x +y =1第n 个方程组为⎨．其解的规律是x 从1开始依次增1，y 从0开始依次减1，2x -ny =n ⎩
这样第n 个方程组的解为⎨⎧x =n ⎧x =102；（3）把⎨代入方程x －my=16，得m=．显然3⎩y =1-n ⎩y =-9
不符合(2)中的规律．
13. （1）因为两组直线分别互相平行，所以由平行线的性质可得∠2=∠1=115º，∠3+∠2=180º，则∠3=180º－115º=65º；
（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；
（3）设其中的一个角为xº，则另一个角为2xº．因为xº+2xº=180º，所以x=60º．故这两个角分别为60º和120º．
14. （1）C
（2）不彻底，( x－2) 4
（3）设x 2－2x=y．原式=y (y +2)+1= y2+2y+1=( y+1)2=(x2－2x+1)2=( x－1) 4 ．
15．（1）180º．
（2）无变化．因为∠BAC=∠C+∠E ，∠EAD=∠B+∠D ，所以∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BAC+∠CAD+∠EAD=180º．
（3）无变化．因为∠ACB=∠CAD+∠D ，∠ECD=∠B+∠E ，所以∠CAD+∠B+∠ACE +∠D+∠E=∠ACB+∠ACE+∠ECD=180º．