[优秀作文]三角形的全等与相似

启迪智慧 放飞梦想

启智教育学科教师辅导讲义

学员姓名： 康佳宁 科目： 数学

学员编号： 课 题

年级：初三 三角形的全等与相似

学科教师：郭新刚

第 课时

授课日期及时段 1.掌握三角形的性质 2.掌握三角形的全等的性质与判定 3.掌握三角形的相似的性质与判定 教学内容 知识点 1 三角形的边、角关系 ①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于 180°； ④三角形三个外角的和等于 360°； ⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点 2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高； ②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； ③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点 3 等腰三角形 等腰三角形的识别： ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） ； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形； ⑤有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： ①等边对等角； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于 60°。

教学目的

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1

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启迪智慧 放飞梦想 知识点 4 直角三角形 直角三角形的识别： ①有一个角等于 90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 知识点 5 相似三角形 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角 形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形

与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点 6 全等三角形 性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等. 判定： ① 两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； ② 两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； ③ 两角和其中一角的对边 对应相等的两个三角形全等(AAS)； ④ 三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； ⑤ 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等(HL)．

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启迪智慧 放飞梦想 课堂练习 一、选择题： 1.下列命题中是真命题的是………………………………………（ （A）直角三角形都相似； （C）锐角三角形都相似； （B）等腰三角形都相似； （D）等腰直角三角形都相似. ）

2 ． 如 果 ABC ∽ A1 B1C1 ， AB  4, A1 B1  6 ， 那 么 ABC 的 周 长 和 A1 B1C1 的 周 长 之 比 是……………………………………（ （A） 1 : 3 ； （B） 2 : 3 ； ）

A

（C） 4 : 9 ；

（D） 3 : 2 ．

D B E C

第3题图

[来源:Zxxk.Com]

3． 如图， 在△ ABC 中，DE ∥ BC ，DE 分别与 AB 、AC

相交于点 D 、 E ，若

EC  1, AC  3 则 DE ︰ BC 的值为（

（A）

）. （D）

2 ； 3

（B）

1 ； 2

（C）

3 ； 4

1 ． 3

4. 已 知 ABC ≌ DEF ， 若 ABC 的 各 边 长 分 别 3 、 4 、 5 ， 是…………………………………… ( (A) 30°； (B) 60 ° ； (C) ). 90° ； (D) 120°. ） ．

DEF 的 最 大 角 的 度 数

5．在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，下列命题中不正确的是（ （A）若 DE//BC，则

[来源:学科网]

AD AE  ； DB EC AD DE  ； AB BC

（B）若

AD AE  ，则 DE//BC； DB EC AD DE  ，则 DE//BC . AB BC

（C）若 DE//BC，则

（D）若

6．在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DE∥BC，且 DE 平分△ABC 的面积，则 DE∶BC 等 于 ……………………………………………………………( （A） )

1 ； 2

（B）

1 ； 3

（C）

2 ； 2

（D）

3 ． 3

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3

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启迪智慧 放飞梦想 二、填空题： 7. 在 ABC 中,点 D、E 分别在 AB、AC 边上,DE//BC，且 DE=2，BC=5，CE=2，则 AC = 8.若△ABC∽△DEF，∠A=64°、∠B=36°则△DEF 别中最小角的度数是___________．

9. 如果线段 AB=4cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较短线段 BP= 10. 若两个相似三角形的周长比是 4：9，则对应中线的 11.如图，在等边△ABC 中， AC  9 ，点 O 在 AC 上，且

D C

．

cm 比是 .

AO  3 ，点 P 是 AB 上一动

点， 联接 OP， O 为圆心， 长为半径画弧交 BC 于点 D， 联 以 OP

O

接 PD，如果 PO  PD ，那么

AP 的长是

.

' ' '

12. 如图，将 ABC 沿直线 BC 平移到 A B C ，使点

A

P 第11题图

B

B' 和 C 重合，连结 AC ' 交

是 .

AC 于点 D ，若 ABC 的面积是 36，则 C DC 的面积

' '

13．如图，在 △ ABC 中， P 是 AC 上一点，联结 BP ，要使 △ ABP ∽△ ACB ，还需要补充一个条件.这个条 ．． 件可以是 ．

A D B C(B' )

A'

Ａ Ｐ

C'

Ｂ

第 13 题图

Ｃ

逆 时 针 旋 转 90 ， 得 到 0 ）， 则 点 A 的 坐 标



14. 在平面直角坐标系内，将 △ AOB 绕点 O

第 12 题图

△ AOB ． 若点 A 的坐标为(2， 1)点 B 的坐标为 （2，

为 ．

15．如果两个相似三角形的对应角平分线的比是 2︰3，其中较大的一个三角形的面积是 36cm ，那么另一个三角 形的面积是_____________cm

2

2

16．如图,点 D 是 Rt ABC 的斜边 AB 上的 E, DF  AC , 垂足为点 F,若 AF=15,BE=10, 则四边形 17.在△ABC 中， E 分别在 AB、 上， D、 AC AD=3， BD=2 ， A F

C E B D

点, DE  BC , 垂足为点 DECF 的面积是 ． AC=10，EC=4，则

S ADE : S ABC 

.

Ａ

第 16 题图

18． 如图，梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，

B  C  90 ，点

D 相似，则 CF 的长

F 在 BC 边上， AB  8, CD  2, BC  10 ，若△ABF 与△FCD

B 为 ． F

第 18 题图

C

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4

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启迪智慧 放飞梦想 三、简答题 19． 如图，在 △ ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线上一点，过点 A 作 AF ∥ BC 交 ED 的延长 线于点 F ，联结 AE，CF ． 求证： （1）四边形 AFCE 是平行四边形； （2） FG  BE  CE  AE ．

[来源:学科网 ZXXK]

F G D

A

B

C

E

20．如图，已知在 ABC 中，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，且 AD  AB  AE  AC ， CD 与 BE 相交于点 O . （1）求证： AEB ∽ ADC ； （2）求证：

A D O B E

BO DO  . CO EO

C

21.如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，且 CE  CA ，联结 AE ，过点 C 作 CF  AE ，垂足 为点 F ，连结 BF 、 FD . （1）求证： FBC ≌ FAD ； （2）连结 BD ，若 cos FBD 

A D

3 ，且 BD  10 ，求 FC 的 5

E

F

值.

B C

22．已知：如图， AM 是△ ABC 的中线，∠ DAM =∠ BAM ， CD ∥ AB ．

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启迪智慧 放飞梦想 求证： AB = AD + CD ． A

B

M D

C

 23. 如图，在 Rt

ABC 中， ACB  90 ， CD  AB ，垂足为点 D ， E 、 F 分别是 AC 、 BC 边上的点，且

CE 

1 1 AC ， BF  BC . 3 3 AC CD  （1）求证： ； （2）求  EDF 的度数. BC BD

C E F

A

B D

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第 课时

授课日期及时段 1.掌握三角形的性质 2.掌握三角形的全等的性质与判定 3.掌握三角形的相似的性质与判定 教学内容 知识点 1 三角形的边、角关系 ①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于 180°； ④三角形三个外角的和等于 360°； ⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点 2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高； ②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等； ③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等； ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点 3 等腰三角形 等腰三角形的识别： ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） ； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形； ⑤有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： ①等边对等角； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于 60°。

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启迪智慧 放飞梦想 知识点 4 直角三角形 直角三角形的识别： ①有一个角等于 90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 知识点 5 相似三角形 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角 形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形

与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例 ③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比 ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方 知识点 6 全等三角形 性质：全等三角形对应边相等，对应角相等． 注意：全等三角形对应边上的高、中线相等；对应角的平分线相等；全等三角形的周长、面积也相等. 判定： ① 两边和夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)； ② 两角和夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)； ③ 两角和其中一角的对边 对应相等的两个三角形全等(AAS)； ④ 三边对应相等的两个三角形全等(SSS)； ⑤ 斜边和一条直角边 对应相等的两个直角三角形全等(HL)．

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启迪智慧 放飞梦想 课堂练习 一、选择题： 1.下列命题中是真命题的是………………………………………（ （A）直角三角形都相似； （C）锐角三角形都相似； （B）等腰三角形都相似； （D）等腰直角三角形都相似. ）

2 ． 如 果 ABC ∽ A1 B1C1 ， AB  4, A1 B1  6 ， 那 么 ABC 的 周 长 和 A1 B1C1 的 周 长 之 比 是……………………………………（ （A） 1 : 3 ； （B） 2 : 3 ； ）

A

（C） 4 : 9 ；

（D） 3 : 2 ．

D B E C

第3题图

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3． 如图， 在△ ABC 中，DE ∥ BC ，DE 分别与 AB 、AC

相交于点 D 、 E ，若

EC  1, AC  3 则 DE ︰ BC 的值为（

（A）

）. （D）

2 ； 3

（B）

1 ； 2

（C）

3 ； 4

1 ． 3

4. 已 知 ABC ≌ DEF ， 若 ABC 的 各 边 长 分 别 3 、 4 、 5 ， 是…………………………………… ( (A) 30°； (B) 60 ° ； (C) ). 90° ； (D) 120°. ） ．

DEF 的 最 大 角 的 度 数

5．在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，下列命题中不正确的是（ （A）若 DE//BC，则

[来源:学科网]

AD AE  ； DB EC AD DE  ； AB BC

（B）若

AD AE  ，则 DE//BC； DB EC AD DE  ，则 DE//BC . AB BC

（C）若 DE//BC，则

（D）若

6．在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DE∥BC，且 DE 平分△ABC 的面积，则 DE∶BC 等 于 ……………………………………………………………( （A） )

1 ； 2

（B）

1 ； 3

（C）

2 ； 2

（D）

3 ． 3

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9. 如果线段 AB=4cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较短线段 BP= 10. 若两个相似三角形的周长比是 4：9，则对应中线的 11.如图，在等边△ABC 中， AC  9 ，点 O 在 AC 上，且

D C

．

cm 比是 .

AO  3 ，点 P 是 AB 上一动

点， 联接 OP， O 为圆心， 长为半径画弧交 BC 于点 D， 联 以 OP

O

接 PD，如果 PO  PD ，那么

AP 的长是

.

' ' '

12. 如图，将 ABC 沿直线 BC 平移到 A B C ，使点

A

P 第11题图

B

B' 和 C 重合，连结 AC ' 交

是 .

AC 于点 D ，若 ABC 的面积是 36，则 C DC 的面积

' '

13．如图，在 △ ABC 中， P 是 AC 上一点，联结 BP ，要使 △ ABP ∽△ ACB ，还需要补充一个条件.这个条 ．． 件可以是 ．

A D B C(B' )

A'

Ａ Ｐ

C'

Ｂ

第 13 题图

Ｃ

逆 时 针 旋 转 90 ， 得 到 0 ）， 则 点 A 的 坐 标



14. 在平面直角坐标系内，将 △ AOB 绕点 O

第 12 题图

△ AOB ． 若点 A 的坐标为(2， 1)点 B 的坐标为 （2，

为 ．

15．如果两个相似三角形的对应角平分线的比是 2︰3，其中较大的一个三角形的面积是 36cm ，那么另一个三角 形的面积是_____________cm

2

2

16．如图,点 D 是 Rt ABC 的斜边 AB 上的 E, DF  AC , 垂足为点 F,若 AF=15,BE=10, 则四边形 17.在△ABC 中， E 分别在 AB、 上， D、 AC AD=3， BD=2 ， A F

C E B D

点, DE  BC , 垂足为点 DECF 的面积是 ． AC=10，EC=4，则

S ADE : S ABC 

.

Ａ

第 16 题图

18． 如图，梯形 ABCD 中， AB ∥ CD ，

B  C  90 ，点

D 相似，则 CF 的长

F 在 BC 边上， AB  8, CD  2, BC  10 ，若△ABF 与△FCD

B 为 ． F

第 18 题图

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启迪智慧 放飞梦想 三、简答题 19． 如图，在 △ ABC 中， D 是 AC 的中点， E 是线段 BC 延长线上一点，过点 A 作 AF ∥ BC 交 ED 的延长 线于点 F ，联结 AE，CF ． 求证： （1）四边形 AFCE 是平行四边形； （2） FG  BE  CE  AE ．

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F G D

A

B

C

E

20．如图，已知在 ABC 中，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，且 AD  AB  AE  AC ， CD 与 BE 相交于点 O . （1）求证： AEB ∽ ADC ； （2）求证：

A D O B E

BO DO  . CO EO

C

21.如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的边 CB 延长线上一点，且 CE  CA ，联结 AE ，过点 C 作 CF  AE ，垂足 为点 F ，连结 BF 、 FD . （1）求证： FBC ≌ FAD ； （2）连结 BD ，若 cos FBD 

A D

3 ，且 BD  10 ，求 FC 的 5

E

F

值.

B C

22．已知：如图， AM 是△ ABC 的中线，∠ DAM =∠ BAM ， CD ∥ AB ．

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B

M D

C

 23. 如图，在 Rt

ABC 中， ACB  90 ， CD  AB ，垂足为点 D ， E 、 F 分别是 AC 、 BC 边上的点，且

CE 

1 1 AC ， BF  BC . 3 3 AC CD  （1）求证： ； （2）求  EDF 的度数. BC BD

C E F

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