第５６卷第４期２００７年４月
１０００．．３２９０／２００７／５６（０４）／２１８４．．０７
物理学报
Ｖ０１．５６，Ｎｏ．４，Ａｐｒｉｌ，２ｔⅪ－／④２００７Ｃｈｉｎ．Ｐｈｙｓ．Ｓｏｅ．
ＡＣＴＡＰＨＹＳＩＣＡＳＩＮＩＣＡ
扭转对称光束的产生及其变换过程中的
轨道角动量传递＊
高明伟＋
高春清林志锋
１０００８１）
ＣＩｔ京理工大学光电工程系，北京
（２００６年７月２８日收到；２００６年１２月２６日收到修改稿）
研究了采用扭转柱面镜光学系统将厄米．高斯光束变换成为具有轨道角动量的拉盖尔．高斯扭转对称光束．采用本征模式分解的方法分析了扭转柱面镜光学变换系统实现光束变换的原理．利用光束传输矩阵和二阶矩理论分析计算了光束经过扭转柱面透镜变换过程中的轨道角动量传递过程，证明光束与透镜系统的轨道角动量交换发生在第一个柱面透镜处，光束经过第一个柱面透镜后，具有的轨道角动量保持不变．
关键词：轨道角动量，光束变换，扭转对称光束，轨道角动量传递
ＰＡＣＣ：４２５０，４２６０Ｋ
Ｍ＝，×ｐ＝，．×（￡ｏ露聘×Ｂｍ），
（１）
１．引言
式中，为位置矢量，ｐ为光束的线动量密度，Ｅ。为电场强度矢量，Ｂ。为磁感应强度矢量．一般情况
人们很早就认识到光束具有线动量和角动量，Ｐｏｙｎｔｉｎｇ从理论上阐述了光束角动量的力学特性…．１９３６年Ｂｅｔｈ心。首先用实验证明了光束具有与其偏振态有关的自旋角动量，但是近年来人们才逐渐认识到光束还具有与其横截面内相位分布有关的轨道角动量∞－６’．１９９２年Ａｌｌｅｎ等＂’首先在实验中证实了拉盖尔一高斯光束具有轨道角动量．对于角向模阶次ｚ≠０的线偏振拉盖尔一高斯光束，其每个光子的轨道角动量为ｌｈｌ７］．由于具有轨道角动量光束的一些特点，使得它们在生物科学、材料科学以及量子通信领域具有重要的应用前景哺－１引．本文推导了光束轨道角动量的一般表达式，利用扭转柱面镜光学系统将半导体激光抽运固体激光器产生的厄米一高斯光束变换成为具有轨道角动量的扭转对称光束．采用本征模式分解方法分析了扭转柱面透镜系统光束变换原理，利用光束传输矩阵和二阶矩参数矩阵计算了光束经过扭转柱面透镜变换过程中的轨道角动量传递．
下，人们主要对由光束横截面内的线动量角向分量引起的沿光束传输方向角动量感兴趣ｍ３．沿光束传播方向的角动量密度为
尬＝ｒｐ。，
（２）
其中ｐ。为光束横截面内的线动量密度ｐ沿角向的分量。沿光束传输方向的整体角动量可以通过对光束整个体积积分获得，即
，Ｌ＝Ｍｚ・，．ｄｒｄｇｄ彳．
角动量通量定义为
（３）
正＝挚
１
。剖”ｐｔ
ｒｒ
＝如ｒｐ＋ｒｄ州．
面波的电场强度可以表示为…
昱＝Ｅｏ群（菇，Ｙ，ｚ）
（４）
光束的角动量通量为光束角动量相对于时间的倒数，表示由角动量产生的光束的扭矩ｍ３．准单色平
２．光束的轨道角动量
光束的角动量密度定义为…
×ｅｘｐ［ｉ（叫ｔ一妇）］
－国家自然科学基金（批准号：６９９０８００１）和教育部博士点基金（批准号：２００５０００７０２７）资助的课题
ｔ
Ｅ・Ⅷｌｉｌ：曲ｗ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．∞
４期
高明伟等：扭转对称光束的产生及其变换过程中的轨道角动量传递
碱嗽矧）
×ｅｘｐ［ｉ（ｔｏｔ‘一舷）］，
（５）
式中Ｐ为偏振矢量，妒（茗，Ｙ，ｚ）为光束的场分布．将（１），（５）式代入（４）式，在圆柱坐标系下，其中与光场分布有关的角动量通量部分为ｎ力
“＝一ｉ等愠ｌⅢ（硼，妒。一即飞刚算ｄｙ
＋ＣＣ，
（６）
式中ＣＣ表示复共轭，这部分角动量称为轨道角动量．典型的具有轨道角动量的光束是拉盖尔．高斯光束，其轨道角动量通量为
上．ｊ＝÷ｚ，（７）
式中Ｐ为光束的总功率，Ｚ为拉盖尔－高斯光束的角向模阶次．由（７）式可以看出，角向模阶次Ｚ≠０的
拉盖尔．高斯光束具有轨道角动量．而厄米．高斯光
束由于不具有与方位角有关的相位项，因此不具有轨道角动量．
３．扭转柱面透镜模式变换器
拉盖尔．高斯光束是圆形镜共焦腔的本征模ｎ引，因为它要求谐振腔具有很好的圆对称性，很难通过谐振腔直接产生．厄米．高斯光束与拉盖尔－高斯光束相比，较易由谐振腔直接产生，因此人们一般采用光束变换的方法由厄米．高斯光束产生具有轨道角动量的拉盖尔－高斯光束＂’１９‘．由于厄米．高斯光束和拉盖尔．高斯光束都是稳定球面腔的本征解，它们构成各自解空间的基础解系，所以可以互相表示为另外一个基础解系的线性组合．拉盖尔一高斯光束可以分解为一系列同阶次的厄米－高斯光束和的形式ｎ７’列，即
Ｅ警。ｘ，，，，：）＝∑ｉ‘ｏ（ｎ，ｍ，Ｊ｝）ＥＨｃ。。。（鬈，Ｙ，ｚ），
（８）
式中
如，ｍ，扯（锱）矗
ｘ导［（１一￡）４（１＋Ｉ）“］Ⅲｘ矿…＿一‘，Ｌ¨‘，ｊＩｌ０
（Ｎ＝ｎ＋ｍ）．
一个主轴与髫，Ｙ坐标轴成４５０角的厄米．高斯光束
同样也可以分解为一系列厄米－高斯光束和的形式，即
既（等，等，刁
＝∑口（，ｌ，ｍ，ｋ）ＥＨ—Ｇ¨（茗，ｙ，ｚ）．
（９）
由（８），（９）式比较可以看出，两个展开公式中各项具有相同的系数，不同的是（９）式中相邻展开项之间相差常复数ｉ的一次幂，也就是相邻展开项之间存在
７ｔ／２相位变化．图１是厄米一高斯光束Ｅ器和拉盖尔．高斯光束Ｅ器的模式展开结果．
图１厄米一高斯光束Ｅ器和拉盖尔．高斯光束Ｅ器的模式展开（ａ）厄米．高斯光束Ｅ２＂Ｙｏ，（ｂ）拉盖尔．高斯光束Ｅ妊
从以上分析可以知道，当一束厄米．高斯光束的相邻展开项通过一个光束变换系统后，彼此之间引入了一个丌／２的相位差，那么输出光束为拉盖尔．高斯光束．对于一般的对称高斯光束，其Ｇｏｕｙ相移可以表示为ｎ７３
（／１，＋ｍ＋１）９（ｚ）
＝（ｎ＋ｍ＋１）ａｒｅｔａｎ（（ｚ—ｚｏ）／ｚＲ），
（１０）
式中钿为光束的束腰位置，：。为光束的瑞利长度．光束总的Ｇｏｕｙ相移可以表示为两个方向的Ｇｏｕｙ相移的共同结果，（，ｌ＋ｌ／２）亿（：）＋（ｍ＋１／２）驴，（：）．这里
依（彳）＝ａｒｅｔａｎ（（石一ｚｏ。）／彳Ｒ，），，、
、。
吼（ｚ）＝ａｒｃｔａｎ（（彳一彳ｏｙ）／ｚＲｙ），
式中‰，‰，ｚ。，，ｚ。，分别为光束两个方向的束腰位
置和瑞利长度．在模式变换过程中，我们采用扭转柱面透镜系统实现光束变换，扭转柱面透镜系统由Ｃ，，ｃ：，Ｃ，三个柱面透镜构成妇１’刎，焦距分别为ｆ／２，Ｃ：的主轴与Ｃ。，ｃ，两个柱面透镜的主轴互相垂直，人射光束的主轴与柱面透镜的主轴的夹角为兀，４，输入光束束腰位于第一个柱面透镜Ｃ。的前焦
面上，变换系统的结构如图２所示．
ｆ，ｆ／２，彼此间距为∥２，其中，＝ｚ。．第二个柱面透镜
物理图２扭转柱面透镜变换系统结构示意图
变换的厄米一高斯光束经过扭转柱面透镜系统，人射厄米一高斯光束两个方向引入的Ｇｏｕｙ相移不同，如图３所示．
图３扭转柱面透镜系统中两个方向的光束传输
由（１１）式可知，（８）式中相邻项之间经过变换系△９＝［（／７，＋１１２）甲；（ｚ）＋（ｍ＋１／２）驴，（彳）］
一［（（／７，＋１）＋１／２）９，（ｚ）＋（（ｍ一１）＋１１２）９，（石）］＝９，（＝）一亿（ｚ）．
（１２）
△妒办ｒｃｔａｎ（笔）
一２（ａｒｃｔａｎ（差）…ｔａｎ（等））．㈤，
７．Ｒ，＝孑Ｒｒ＝ｆ．
＝名，＝
（１４）
△尹＝９，（ｚ）一让（ｚ）＝７ｃ／２．
（１５）
学报５６卷
与线偏振光通过四分之一波片变为圆偏振光相似，厄米．高斯光束经过扭转柱面透镜系统时相邻展开项之间由于Ｇｏｕｙ相移引入７ｃ／２的相位差，因此这种系统也可以称为“１ｒ１２模式变换器”．由（８）式可知，束腰位置和瑞利长度满足变换要求的厄米．高斯光束经过该系统后变为拉盖尔．高斯光束．上述柱面透镜变换系统还可以简化为两个柱面组成的变换系统【ｌ引，并可以进一步简化为一个厚柱面透镜．图４（ａ）为模式发生器产生的高阶厄米．高斯光束，图４（ｂ）为经过扭转柱面透镜系统变换后输出的环形拉
盖尔一高斯光束．
图４经过扭转柱面透镜系统变换前后的光斑图形（ａ）变换
前，（ｂ）变换后
４．光束变换过程中的轨道角动量转移
由上述分析可知，一束不具有轨道角动量的厄米．高斯光束经过扭转柱面透镜变换系统后变为具有轨道角动量的拉盖尔．高斯光束．根据动量守恒原理，光束与变换透镜相互作用过程中发生了轨道角
动量转移，下面我们利用光束传输矩阵和光束二阶
矩分别研究激光光束经过扭转柱面透镜变换系统的三个柱面透镜后的轨道角动量变化．光束的二阶矩定义为㈨．
胛
（ｘｍｙ”“９移‘）＝址］Ｆ————一，（１６）
ｌＩｘｍｙ““’移‘ｈ（，，Ｄ）ｄｒｄＯ
｜｜ｈ（，，０）ｄｒｄＯ
ＪＪ
式中ｈ（，，Ｄ）为光束的Ｗｉｇｎｅｒ函数，，＝（菇，ｙ）７，Ｄ＝（“，ｔ，）’，ｍ，ｎ，Ｐ，ｔ为非负整数，满足
ｒａ＋ｎ＋Ｐ＋ｔ＝２．
（１７）
统产生的Ｃｏｕｙ相移差为
将（１０）式代入（１２）式可得
这里ｚ。，为光束在舻彳平面内的瑞利长度，
彳鲁，为经过柱面透镜Ｃ。后，尹彳平面内光束的瑞利长度，
这里ｚ＝ｆ／２，因此有：备，＝ｆ／４．将（１４）式代Ａ（１３）式可得
４期
高明伟等：扭转对称光束的产生及其变换过程中的轨道角动量传递
ｒ１ｌ０
０１００
０
ｚ
由（１７）式可知，光束具有１０个不同的二阶矩，为了方便，把光束的二阶矩表示为一个４×４的矩阵㈨
‘
ｚ
Ｉ
０１０
（菇２＞（ｘｙ）（菇ｕ）（剃＞
ｙ＝
帆＝Ｉ
（ｘｙ）＜Ｙ２＞（ｙｕ）＜ｙｖ）
・
１
（２４）
ｌＬ０
００１
（船＞（批＞＜鄹＞
＜妒）
（ｕ２）＜醐）
（聊）＜影２）
（１８）
对于主轴沿茹方向的薄柱面透镜，其矩阵表达式为
在（１８）式中，二阶矩（捌），（ｙｖ）－ｑ光束的扭转有关，对于如（５）式所示光束更一般的表达式为㈨
ｆｌ
【
ｌ０
Ｏ１００
００ｌ０
Ｏ００１
‰，。Ｉ一１优
ｏ１
０
（２５）
（枷）＝坐铸等№等捌，，
＋ＣＣ，＋ＣＣ．
（弘）＝坐钭弹等捌，，
＜黜）与＜ｙｕ）的差为
对于主轴沿Ｙ方向的薄柱面透镜，其矩阵表达式为
（１９）
Ｍｃ，ｌｙ＝
０
０１Ｉ
三：：三Ｉ．
０一ｖｆ，０
ｌＪ
ｌ
ｃ２６，
（２０）
（菇移）一（弦）：一二ｊ兰掣
×．０．（菇妒等一砷警）捌，，
＋ＣＣ．（２１）
由（２２）式可知，通过计算光束经过一阶光学系统后的二阶矩（捌＞与（ｙｕ），就可以计算变换过程中光束轨道角动量的变化．对于如图２所示的变换系统。
输入光束的二阶矩矩阵满足［矧
＜菇：）
０
Ｖｉｎ
２
０００
００
，
将（６）与（２１）式进行比较有
＾。。＝三２ｃ（（舢）一（弦）），
（２２）
式中
（ｙ。２）
００
（２７）
０Ｏ
＜ｕ：＞
Ｏ
０
（口：＞
式中ｃ为光速．当光束通过如图２所示的一阶光学系统后，输出光束的二阶矩矩阵满足如下关系：
‰＝Ｍｙ，。Ｍ７，
（２３）
＜菇。２）（‰２）
（ｕ０２）一（ｔ，０２）一‘８一，‘
，
式中Ｍ＝Ｍ。Ｍ。．。…肘。，其中肘。为单个一阶光学元件的矩阵表达式．对于自由空间传输，其矩阵表达式为
————．
１０
０１０
００
１
光束两个方向具有相同的瑞利长度和束腰位置．
激光光束经过柱面透镜Ｃ。，Ｃ：，Ｃ，后，在柱面透镜出射面位置的变换矩阵表达式分别为
１
０、‘１００
０Ｏ
０｜０
１
１０
＝
０１０
ｆ
０１０００Ｏ１
０１０
ｆ
０１０、
ｌ０Ｏ、Ｏ
Ｍｃｌ＝
０
０００１０００１
０
旷厂Ｏ
ｍｑ０
０１０
（２８ａ）
０—１／．／＂０
１０
０１
００
１√。Ｏ０、
１０
０００
０・－１Ｉｆ
０
１
ｆ
０ｌＯ
Ｏ０１０
ｆ
０１０
Ｍｑ＝
一砉。ｔ。《Ｊ
０
０
０
１
１
ｆ
０１．
０
・—１Ｉｆ
０国Ｏ
０００
ｆ
００
Ｏ
２ｆ
０Ｏ
（２８ｂ）
－・１Ｉｆ
０
一∞｛０
物
ｌＯ
０１０
理
０１ｏ０
Ｏ０１０
学
Ｏ０ｏ１
报５６卷
１Ｏ
Ｏｌ０
０Ｏｌ００—１００
００Ｏ
Ｍｑ＝０
¨
ｌｌ
｜｜
０
０００
ｆ
０ｌ００Ｏ
０ｌ００
ｆ
０１Ｏ
０１０Ｏ
０１Ｏ
ＯＯｌ０
０ＯＯ１
１００Ｏ
０ｌ０Ｏ
ｆ
０１０
０
ｆ
０ｌ
ｆ
０１
ｆ
０ｌ
一牙１
０
０－－１／ｆ
１／２０
ｌ，ｔ，ｏ
０－－１／ｆ
ｆ
ｏ亏１
００
Ｏ一ｌ
（２８ｃ）
—－１／ｆ
０
将（２７），（２８）式代７ｋ．（２３）式中，光束经过柱面透镜Ｃ。，ｃ：，ｃ，后的矩阵表达式分别为
箪＋箪丁＋Ｔ
。
ＶＩ＝
。ｕ
（，，。２）
２ｆ一（（ｙ２０）一（戈：＞）
玎
竽＋竽盟号盟
（（，，。２）一（石：））
２｛
２（Ｘ０２）＋（，，。２）
等
ｆ尹
ｌ
）
（舶２）２｛
一（（髫：）＋（靠＞）Ｉ’
．＼
（戈：）＋２（Ｙ：）Ｉ
一（一（菇。２）＋３（ｙ。２））
（２９ａ）
宇
一（（菇２。）＋（），。２））
一（（Ｙ：）一（茹。２））
２｝１３（ｘ０２＞
（名：）
２ｆ７（菇。２）
ｆ
７（，，：＞
一３（省：）＋（，，。２）
％＝
百＋１Ｆ１矿十１Ｆ——１广———巧ｒ一１Ｆ十１矿１矿＋可——＿矿一——虿一
５（Ｙ：）
７（茗：）
７（，，：＞
５（茗。２）
１３（，，：＞（一３（茗：）＋（，，。２））９（菇：）＋＜，，：）
≮ｆ
（龙：＞一３（，，。２）
一３（髫：）＋＜，，：）
Ａｌ
（一３（ｘ０２）＋＜ｙ：））
Ａ｛（菇。２）一３＜ｙ０２）
一３（＜省：）＋（，，：））
６Ｉｐ（省。２＞＋９（，，：）
４ｆ
，（２９ｂ）
一（一（算。２＞＋３（，，：））
Ａ｛
一３（（髫。２）＋（），。２））
Ａ｛４ｆ
Ｏ
Ｔ＋Ｔ
５（戈。２）
５（ｙ２０）
０
丁＋Ｔ
５（戈：）（＜ｙ：）一（戈：））
２厂４厂
５（ｙ。２）
乃＝
㈨一㈤一
㈤一
＂一
，一
‰一‰一
一（＜ｙ：）＋＜戈。２））
（２９ｃ）
——１厂一一（（ｙ：）一（茗。２））——１厂一
一（（ｙ。２）＋（戈：））
川一娴删『。
将（２９）式中的相应参量代入（２２）式，经过柱面透镜Ｃ。，Ｃ：，Ｃ，后光束的轨道角动量通量为
～一～一。一一
∽一
（并：）＝百１∞。２．
（３１）
Ｄ
＿，，，．，：＿，：，．。：．，，：．，：善（！学），（３０）
＜ｙ：）＝掣‰２
将（２９）式代入（３０）式，并考虑半：ＺＲ：，，有
＾．１＿吾ｍ・
（３２）
由（７），（３２）式比较可知，光束的动量交换发生在第一个柱面透镜，经过第一个柱面透镜后光束的轨道角动量保持不变，其他两个柱面透镜的用处是
式中．，ｋ，，．，：刈，Ｊ，“分别为光束经过柱面透镜Ｃ。，Ｃ：，Ｃ，后的轨道角动量通量．对于厄米一高斯光束
Ｅ纛，由二阶矩光束半径公式有㈣
４期高明伟等：扭转对称光束的产生及其变换过程中的轨道角动量传递
２１８９
把像散的厄米．高斯光束变为旋转对称的拉盖尔－高斯光束．利用数值模拟的方法分别计算光束经过三个柱面透镜后的光强和相位分布㈨，结果如图５所示．从图５可以看出，光束经过柱面透镜后相位分布出现“畸点”，由此引起光束的轨道角动量不为零．
本文首先分析了光束的轨道角动量源于光束线动量的角向分量，而线动量的角向分量是由于波前相位的“畸点”引起的．具有螺旋型相位分布的拉盖尔环形高斯光束是典型的具有轨道角动量的光束．利用由扭转柱面透镜组成的“ｘ／２模式变换器”实现了由无轨道角动量的厄米．高斯光束到具有轨道角动量的拉盖尔．高斯光束的变换．利用二阶矩参数矩阵和光束传输矩阵计算了经过三个扭转柱面透镜后的轨道角动量，证明光束与柱面透镜系统的动量交换发生在第一个柱面透镜Ｃ．处，经过第一个柱面透镜后，光束具有的轨道角动量不再改变．透镜ｃ：，ｃ，的作用是使输出光束为扭转对称光束．
感谢德国柏林工业大学对本文工作国际合作研究方面的支持．
５．结论
图５光束变换过程中三个柱面镜出射面处的光强分布和光束波前相位分布
［１］［２］［３］
ＪａｃｋｓｏｎＪ１９６２
Ｃ／ａｓｓ／ｃａ／Ｅｌｅｃｔｒｏｄｙｎａｍｌｃｓ（ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｗｉｌｅｙ）
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１３９
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［１８］
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［５］
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［６］
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１１
［７］［８］［９］
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３１３
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ＡｄｖａｎｃｅｄＣｏｎｃｅｐｔｓＡｐｐｌｗａｔｉｏｎｓ（Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ
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Ｖｅｒｌａｇ）
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［２５］
ＧａｏＣ１９９９Ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ
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Ｖｅｒｌａｇ）
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Ｗｅｉ
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ｏｐｔ．Ｃｏｍｍｕｎ．２２３
Ｂｅａｍｓ（Ｂｅｒｌｉｎ：Ｗｉｓｓｅｎｓｃｈａｆｔ＆Ｔｅｃｈｎｉｋ
Ｗ，ＧａｏＣ
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０２２００４ＡｅｔａＰｈｙｓ．Ｓｉｎ．５３４１３［２６］
Ｗａｎｇ
Ｄ
Ｌ，ＧｏｎｇＱＨ，Ｗａｎｇ
ＫＧｅｔ
０２２０００ＡｃｔａＰｈｙｓ．Ｓｉｎ．４９
（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）［高明伟、高春清、何晓燕等２００４物理学报船４１３］
１４８４（ｉｎＣｈｉｎｅｓｅ）［王丹翎、龚旗煌、汪凯戈等２０００物理学报
鲫１４８４１
２１９０
物
理学
报
５６卷
Ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎｏｆｔｗｉｓｔｅｄｓｔｉｇｍａｔｉｃｂｅａｍａｎｄｔｒａｎｓｆｅｒｏｆ
ｏｒｂｉｔａｌａｎｇｕｌａｒｍｏｍｅｎｔｕｍｄｕｒｉｎｇ
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（Ｒｅｃｅｉｖｅｄ
２８
Ｊｕｌｙ２００６；ｒｅｖｖｅｄ
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ｒｅｅ陋ｖｅｄ
２．６
Ｄ∞ｅｍｂ盱２００５）
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Ｎｏ．６９９０８００１）ａｎｄ
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Ｍｉｎｉｓｔｒｙ
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Ｃｈｕｍ（ＧｒａｎｔＮｏ．２００５０００７０２７）．
ｔ
Ｂｍａｉｌ：咖ｗ＠ｂｉｔ．ｅｄｌｌ．∞
扭转对称光束的产生及其变换过程中的轨道角动量传递
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
高明伟， 高春清， 林志锋， Gao Ming-Wei， Gao Chun-Qing， Lin Zhi-Feng北京理工大学光电工程系,北京,100081物理学报
ACTA PHYSICA SINICA2007,56(4)2次
参考文献(26条)
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引证文献(2条)
1. 张洪宪. 赵珩 高阶椭圆厄密-高斯光束的轨道角动量研究[期刊论文]-光子学报 2008(8)2. 张洪宪. 赵珩 椭圆厄密-高斯光束的轨道角动量密度分布[期刊论文]-光电技术应用 2008(1)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_wlxb200704055.aspx
第５６卷第４期２００７年４月
１０００．．３２９０／２００７／５６（０４）／２１８４．．０７
物理学报
Ｖ０１．５６，Ｎｏ．４，Ａｐｒｉｌ，２ｔⅪ－／④２００７Ｃｈｉｎ．Ｐｈｙｓ．Ｓｏｅ．
ＡＣＴＡＰＨＹＳＩＣＡＳＩＮＩＣＡ
扭转对称光束的产生及其变换过程中的
轨道角动量传递＊
高明伟＋
高春清林志锋
１０００８１）
ＣＩｔ京理工大学光电工程系，北京
（２００６年７月２８日收到；２００６年１２月２６日收到修改稿）
研究了采用扭转柱面镜光学系统将厄米．高斯光束变换成为具有轨道角动量的拉盖尔．高斯扭转对称光束．采用本征模式分解的方法分析了扭转柱面镜光学变换系统实现光束变换的原理．利用光束传输矩阵和二阶矩理论分析计算了光束经过扭转柱面透镜变换过程中的轨道角动量传递过程，证明光束与透镜系统的轨道角动量交换发生在第一个柱面透镜处，光束经过第一个柱面透镜后，具有的轨道角动量保持不变．
关键词：轨道角动量，光束变换，扭转对称光束，轨道角动量传递
ＰＡＣＣ：４２５０，４２６０Ｋ
Ｍ＝，×ｐ＝，．×（￡ｏ露聘×Ｂｍ），
（１）
１．引言
式中，为位置矢量，ｐ为光束的线动量密度，Ｅ。为电场强度矢量，Ｂ。为磁感应强度矢量．一般情况
人们很早就认识到光束具有线动量和角动量，Ｐｏｙｎｔｉｎｇ从理论上阐述了光束角动量的力学特性…．１９３６年Ｂｅｔｈ心。首先用实验证明了光束具有与其偏振态有关的自旋角动量，但是近年来人们才逐渐认识到光束还具有与其横截面内相位分布有关的轨道角动量∞－６’．１９９２年Ａｌｌｅｎ等＂’首先在实验中证实了拉盖尔一高斯光束具有轨道角动量．对于角向模阶次ｚ≠０的线偏振拉盖尔一高斯光束，其每个光子的轨道角动量为ｌｈｌ７］．由于具有轨道角动量光束的一些特点，使得它们在生物科学、材料科学以及量子通信领域具有重要的应用前景哺－１引．本文推导了光束轨道角动量的一般表达式，利用扭转柱面镜光学系统将半导体激光抽运固体激光器产生的厄米一高斯光束变换成为具有轨道角动量的扭转对称光束．采用本征模式分解方法分析了扭转柱面透镜系统光束变换原理，利用光束传输矩阵和二阶矩参数矩阵计算了光束经过扭转柱面透镜变换过程中的轨道角动量传递．
下，人们主要对由光束横截面内的线动量角向分量引起的沿光束传输方向角动量感兴趣ｍ３．沿光束传播方向的角动量密度为
尬＝ｒｐ。，
（２）
其中ｐ。为光束横截面内的线动量密度ｐ沿角向的分量。沿光束传输方向的整体角动量可以通过对光束整个体积积分获得，即
，Ｌ＝Ｍｚ・，．ｄｒｄｇｄ彳．
角动量通量定义为
（３）
正＝挚
１
。剖”ｐｔ
ｒｒ
＝如ｒｐ＋ｒｄ州．
面波的电场强度可以表示为…
昱＝Ｅｏ群（菇，Ｙ，ｚ）
（４）
光束的角动量通量为光束角动量相对于时间的倒数，表示由角动量产生的光束的扭矩ｍ３．准单色平
２．光束的轨道角动量
光束的角动量密度定义为…
×ｅｘｐ［ｉ（叫ｔ一妇）］
－国家自然科学基金（批准号：６９９０８００１）和教育部博士点基金（批准号：２００５０００７０２７）资助的课题
ｔ
Ｅ・Ⅷｌｉｌ：曲ｗ＠ｂｉｔ．ｅｄｕ．∞
４期
高明伟等：扭转对称光束的产生及其变换过程中的轨道角动量传递
碱嗽矧）
×ｅｘｐ［ｉ（ｔｏｔ‘一舷）］，
（５）
式中Ｐ为偏振矢量，妒（茗，Ｙ，ｚ）为光束的场分布．将（１），（５）式代入（４）式，在圆柱坐标系下，其中与光场分布有关的角动量通量部分为ｎ力
“＝一ｉ等愠ｌⅢ（硼，妒。一即飞刚算ｄｙ
＋ＣＣ，
（６）
式中ＣＣ表示复共轭，这部分角动量称为轨道角动量．典型的具有轨道角动量的光束是拉盖尔．高斯光束，其轨道角动量通量为
上．ｊ＝÷ｚ，（７）
式中Ｐ为光束的总功率，Ｚ为拉盖尔－高斯光束的角向模阶次．由（７）式可以看出，角向模阶次Ｚ≠０的
拉盖尔．高斯光束具有轨道角动量．而厄米．高斯光
束由于不具有与方位角有关的相位项，因此不具有轨道角动量．
３．扭转柱面透镜模式变换器
拉盖尔．高斯光束是圆形镜共焦腔的本征模ｎ引，因为它要求谐振腔具有很好的圆对称性，很难通过谐振腔直接产生．厄米．高斯光束与拉盖尔－高斯光束相比，较易由谐振腔直接产生，因此人们一般采用光束变换的方法由厄米．高斯光束产生具有轨道角动量的拉盖尔－高斯光束＂’１９‘．由于厄米．高斯光束和拉盖尔．高斯光束都是稳定球面腔的本征解，它们构成各自解空间的基础解系，所以可以互相表示为另外一个基础解系的线性组合．拉盖尔一高斯光束可以分解为一系列同阶次的厄米－高斯光束和的形式ｎ７’列，即
Ｅ警。ｘ，，，，：）＝∑ｉ‘ｏ（ｎ，ｍ，Ｊ｝）ＥＨｃ。。。（鬈，Ｙ，ｚ），
（８）
式中
如，ｍ，扯（锱）矗
ｘ导［（１一￡）４（１＋Ｉ）“］Ⅲｘ矿…＿一‘，Ｌ¨‘，ｊＩｌ０
（Ｎ＝ｎ＋ｍ）．
一个主轴与髫，Ｙ坐标轴成４５０角的厄米．高斯光束
同样也可以分解为一系列厄米－高斯光束和的形式，即
既（等，等，刁
＝∑口（，ｌ，ｍ，ｋ）ＥＨ—Ｇ¨（茗，ｙ，ｚ）．
（９）
由（８），（９）式比较可以看出，两个展开公式中各项具有相同的系数，不同的是（９）式中相邻展开项之间相差常复数ｉ的一次幂，也就是相邻展开项之间存在
７ｔ／２相位变化．图１是厄米一高斯光束Ｅ器和拉盖尔．高斯光束Ｅ器的模式展开结果．
图１厄米一高斯光束Ｅ器和拉盖尔．高斯光束Ｅ器的模式展开（ａ）厄米．高斯光束Ｅ２＂Ｙｏ，（ｂ）拉盖尔．高斯光束Ｅ妊
从以上分析可以知道，当一束厄米．高斯光束的相邻展开项通过一个光束变换系统后，彼此之间引入了一个丌／２的相位差，那么输出光束为拉盖尔．高斯光束．对于一般的对称高斯光束，其Ｇｏｕｙ相移可以表示为ｎ７３
（／１，＋ｍ＋１）９（ｚ）
＝（ｎ＋ｍ＋１）ａｒｅｔａｎ（（ｚ—ｚｏ）／ｚＲ），
（１０）
式中钿为光束的束腰位置，：。为光束的瑞利长度．光束总的Ｇｏｕｙ相移可以表示为两个方向的Ｇｏｕｙ相移的共同结果，（，ｌ＋ｌ／２）亿（：）＋（ｍ＋１／２）驴，（：）．这里
依（彳）＝ａｒｅｔａｎ（（石一ｚｏ。）／彳Ｒ，），，、
、。
吼（ｚ）＝ａｒｃｔａｎ（（彳一彳ｏｙ）／ｚＲｙ），
式中‰，‰，ｚ。，，ｚ。，分别为光束两个方向的束腰位
置和瑞利长度．在模式变换过程中，我们采用扭转柱面透镜系统实现光束变换，扭转柱面透镜系统由Ｃ，，ｃ：，Ｃ，三个柱面透镜构成妇１’刎，焦距分别为ｆ／２，Ｃ：的主轴与Ｃ。，ｃ，两个柱面透镜的主轴互相垂直，人射光束的主轴与柱面透镜的主轴的夹角为兀，４，输入光束束腰位于第一个柱面透镜Ｃ。的前焦
面上，变换系统的结构如图２所示．
ｆ，ｆ／２，彼此间距为∥２，其中，＝ｚ。．第二个柱面透镜
物理图２扭转柱面透镜变换系统结构示意图
变换的厄米一高斯光束经过扭转柱面透镜系统，人射厄米一高斯光束两个方向引入的Ｇｏｕｙ相移不同，如图３所示．
图３扭转柱面透镜系统中两个方向的光束传输
由（１１）式可知，（８）式中相邻项之间经过变换系△９＝［（／７，＋１１２）甲；（ｚ）＋（ｍ＋１／２）驴，（彳）］
一［（（／７，＋１）＋１／２）９，（ｚ）＋（（ｍ一１）＋１１２）９，（石）］＝９，（＝）一亿（ｚ）．
（１２）
△妒办ｒｃｔａｎ（笔）
一２（ａｒｃｔａｎ（差）…ｔａｎ（等））．㈤，
７．Ｒ，＝孑Ｒｒ＝ｆ．
＝名，＝
（１４）
△尹＝９，（ｚ）一让（ｚ）＝７ｃ／２．
（１５）
学报５６卷
与线偏振光通过四分之一波片变为圆偏振光相似，厄米．高斯光束经过扭转柱面透镜系统时相邻展开项之间由于Ｇｏｕｙ相移引入７ｃ／２的相位差，因此这种系统也可以称为“１ｒ１２模式变换器”．由（８）式可知，束腰位置和瑞利长度满足变换要求的厄米．高斯光束经过该系统后变为拉盖尔．高斯光束．上述柱面透镜变换系统还可以简化为两个柱面组成的变换系统【ｌ引，并可以进一步简化为一个厚柱面透镜．图４（ａ）为模式发生器产生的高阶厄米．高斯光束，图４（ｂ）为经过扭转柱面透镜系统变换后输出的环形拉
盖尔一高斯光束．
图４经过扭转柱面透镜系统变换前后的光斑图形（ａ）变换
前，（ｂ）变换后
４．光束变换过程中的轨道角动量转移
由上述分析可知，一束不具有轨道角动量的厄米．高斯光束经过扭转柱面透镜变换系统后变为具有轨道角动量的拉盖尔．高斯光束．根据动量守恒原理，光束与变换透镜相互作用过程中发生了轨道角
动量转移，下面我们利用光束传输矩阵和光束二阶
矩分别研究激光光束经过扭转柱面透镜变换系统的三个柱面透镜后的轨道角动量变化．光束的二阶矩定义为㈨．
胛
（ｘｍｙ”“９移‘）＝址］Ｆ————一，（１６）
ｌＩｘｍｙ““’移‘ｈ（，，Ｄ）ｄｒｄＯ
｜｜ｈ（，，０）ｄｒｄＯ
ＪＪ
式中ｈ（，，Ｄ）为光束的Ｗｉｇｎｅｒ函数，，＝（菇，ｙ）７，Ｄ＝（“，ｔ，）’，ｍ，ｎ，Ｐ，ｔ为非负整数，满足
ｒａ＋ｎ＋Ｐ＋ｔ＝２．
（１７）
统产生的Ｃｏｕｙ相移差为
将（１０）式代入（１２）式可得
这里ｚ。，为光束在舻彳平面内的瑞利长度，
彳鲁，为经过柱面透镜Ｃ。后，尹彳平面内光束的瑞利长度，
这里ｚ＝ｆ／２，因此有：备，＝ｆ／４．将（１４）式代Ａ（１３）式可得
４期
高明伟等：扭转对称光束的产生及其变换过程中的轨道角动量传递
ｒ１ｌ０
０１００
０
ｚ
由（１７）式可知，光束具有１０个不同的二阶矩，为了方便，把光束的二阶矩表示为一个４×４的矩阵㈨
‘
ｚ
Ｉ
０１０
（菇２＞（ｘｙ）（菇ｕ）（剃＞
ｙ＝
帆＝Ｉ
（ｘｙ）＜Ｙ２＞（ｙｕ）＜ｙｖ）
・
１
（２４）
ｌＬ０
００１
（船＞（批＞＜鄹＞
＜妒）
（ｕ２）＜醐）
（聊）＜影２）
（１８）
对于主轴沿茹方向的薄柱面透镜，其矩阵表达式为
在（１８）式中，二阶矩（捌），（ｙｖ）－ｑ光束的扭转有关，对于如（５）式所示光束更一般的表达式为㈨
ｆｌ
【
ｌ０
Ｏ１００
００ｌ０
Ｏ００１
‰，。Ｉ一１优
ｏ１
０
（２５）
（枷）＝坐铸等№等捌，，
＋ＣＣ，＋ＣＣ．
（弘）＝坐钭弹等捌，，
＜黜）与＜ｙｕ）的差为
对于主轴沿Ｙ方向的薄柱面透镜，其矩阵表达式为
（１９）
Ｍｃ，ｌｙ＝
０
０１Ｉ
三：：三Ｉ．
０一ｖｆ，０
ｌＪ
ｌ
ｃ２６，
（２０）
（菇移）一（弦）：一二ｊ兰掣
×．０．（菇妒等一砷警）捌，，
＋ＣＣ．（２１）
由（２２）式可知，通过计算光束经过一阶光学系统后的二阶矩（捌＞与（ｙｕ），就可以计算变换过程中光束轨道角动量的变化．对于如图２所示的变换系统。
输入光束的二阶矩矩阵满足［矧
＜菇：）
０
Ｖｉｎ
２
０００
００
，
将（６）与（２１）式进行比较有
＾。。＝三２ｃ（（舢）一（弦）），
（２２）
式中
（ｙ。２）
００
（２７）
０Ｏ
＜ｕ：＞
Ｏ
０
（口：＞
式中ｃ为光速．当光束通过如图２所示的一阶光学系统后，输出光束的二阶矩矩阵满足如下关系：
‰＝Ｍｙ，。Ｍ７，
（２３）
＜菇。２）（‰２）
（ｕ０２）一（ｔ，０２）一‘８一，‘
，
式中Ｍ＝Ｍ。Ｍ。．。…肘。，其中肘。为单个一阶光学元件的矩阵表达式．对于自由空间传输，其矩阵表达式为
————．
１０
０１０
００
１
光束两个方向具有相同的瑞利长度和束腰位置．
激光光束经过柱面透镜Ｃ。，Ｃ：，Ｃ，后，在柱面透镜出射面位置的变换矩阵表达式分别为
１
０、‘１００
０Ｏ
０｜０
１
１０
＝
０１０
ｆ
０１０００Ｏ１
０１０
ｆ
０１０、
ｌ０Ｏ、Ｏ
Ｍｃｌ＝
０
０００１０００１
０
旷厂Ｏ
ｍｑ０
０１０
（２８ａ）
０—１／．／＂０
１０
０１
００
１√。Ｏ０、
１０
０００
０・－１Ｉｆ
０
１
ｆ
０ｌＯ
Ｏ０１０
ｆ
０１０
Ｍｑ＝
一砉。ｔ。《Ｊ
０
０
０
１
１
ｆ
０１．
０
・—１Ｉｆ
０国Ｏ
０００
ｆ
００
Ｏ
２ｆ
０Ｏ
（２８ｂ）
－・１Ｉｆ
０
一∞｛０
物
ｌＯ
０１０
理
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Ｏ０ｏ１
报５６卷
１Ｏ
Ｏｌ０
０Ｏｌ００—１００
００Ｏ
Ｍｑ＝０
¨
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｜｜
０
０００
ｆ
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ｆ
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０１Ｏ
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０
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０ｌ
一牙１
０
０－－１／ｆ
１／２０
ｌ，ｔ，ｏ
０－－１／ｆ
ｆ
ｏ亏１
００
Ｏ一ｌ
（２８ｃ）
—－１／ｆ
０
将（２７），（２８）式代７ｋ．（２３）式中，光束经过柱面透镜Ｃ。，ｃ：，ｃ，后的矩阵表达式分别为
箪＋箪丁＋Ｔ
。
ＶＩ＝
。ｕ
（，，。２）
２ｆ一（（ｙ２０）一（戈：＞）
玎
竽＋竽盟号盟
（（，，。２）一（石：））
２｛
２（Ｘ０２）＋（，，。２）
等
ｆ尹
ｌ
）
（舶２）２｛
一（（髫：）＋（靠＞）Ｉ’
．＼
（戈：）＋２（Ｙ：）Ｉ
一（一（菇。２）＋３（ｙ。２））
（２９ａ）
宇
一（（菇２。）＋（），。２））
一（（Ｙ：）一（茹。２））
２｝１３（ｘ０２＞
（名：）
２ｆ７（菇。２）
ｆ
７（，，：＞
一３（省：）＋（，，。２）
％＝
百＋１Ｆ１矿十１Ｆ——１广———巧ｒ一１Ｆ十１矿１矿＋可——＿矿一——虿一
５（Ｙ：）
７（茗：）
７（，，：＞
５（茗。２）
１３（，，：＞（一３（茗：）＋（，，。２））９（菇：）＋＜，，：）
≮ｆ
（龙：＞一３（，，。２）
一３（髫：）＋＜，，：）
Ａｌ
（一３（ｘ０２）＋＜ｙ：））
Ａ｛（菇。２）一３＜ｙ０２）
一３（＜省：）＋（，，：））
６Ｉｐ（省。２＞＋９（，，：）
４ｆ
，（２９ｂ）
一（一（算。２＞＋３（，，：））
Ａ｛
一３（（髫。２）＋（），。２））
Ａ｛４ｆ
Ｏ
Ｔ＋Ｔ
５（戈。２）
５（ｙ２０）
０
丁＋Ｔ
５（戈：）（＜ｙ：）一（戈：））
２厂４厂
５（ｙ。２）
乃＝
㈨一㈤一
㈤一
＂一
，一
‰一‰一
一（＜ｙ：）＋＜戈。２））
（２９ｃ）
——１厂一一（（ｙ：）一（茗。２））——１厂一
一（（ｙ。２）＋（戈：））
川一娴删『。
将（２９）式中的相应参量代入（２２）式，经过柱面透镜Ｃ。，Ｃ：，Ｃ，后光束的轨道角动量通量为
～一～一。一一
∽一
（并：）＝百１∞。２．
（３１）
Ｄ
＿，，，．，：＿，：，．。：．，，：．，：善（！学），（３０）
＜ｙ：）＝掣‰２
将（２９）式代入（３０）式，并考虑半：ＺＲ：，，有
＾．１＿吾ｍ・
（３２）
由（７），（３２）式比较可知，光束的动量交换发生在第一个柱面透镜，经过第一个柱面透镜后光束的轨道角动量保持不变，其他两个柱面透镜的用处是
式中．，ｋ，，．，：刈，Ｊ，“分别为光束经过柱面透镜Ｃ。，Ｃ：，Ｃ，后的轨道角动量通量．对于厄米一高斯光束
Ｅ纛，由二阶矩光束半径公式有㈣
４期高明伟等：扭转对称光束的产生及其变换过程中的轨道角动量传递
２１８９
把像散的厄米．高斯光束变为旋转对称的拉盖尔－高斯光束．利用数值模拟的方法分别计算光束经过三个柱面透镜后的光强和相位分布㈨，结果如图５所示．从图５可以看出，光束经过柱面透镜后相位分布出现“畸点”，由此引起光束的轨道角动量不为零．
本文首先分析了光束的轨道角动量源于光束线动量的角向分量，而线动量的角向分量是由于波前相位的“畸点”引起的．具有螺旋型相位分布的拉盖尔环形高斯光束是典型的具有轨道角动量的光束．利用由扭转柱面透镜组成的“ｘ／２模式变换器”实现了由无轨道角动量的厄米．高斯光束到具有轨道角动量的拉盖尔．高斯光束的变换．利用二阶矩参数矩阵和光束传输矩阵计算了经过三个扭转柱面透镜后的轨道角动量，证明光束与柱面透镜系统的动量交换发生在第一个柱面透镜Ｃ．处，经过第一个柱面透镜后，光束具有的轨道角动量不再改变．透镜ｃ：，ｃ，的作用是使输出光束为扭转对称光束．
感谢德国柏林工业大学对本文工作国际合作研究方面的支持．
５．结论
图５光束变换过程中三个柱面镜出射面处的光强分布和光束波前相位分布
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扭转对称光束的产生及其变换过程中的轨道角动量传递
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
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