2017年河南省普通高中招生考试试卷
数 学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试题卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上。
答在本试卷上的答案无效。
一、选择题 （每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的。 1．下列各数比1大的数是 ( )
A ．2 B．0 C．- 1 D．- 3
2．2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元。数据“74.4万亿”用科学记数法表示为 ( ) A ．74.4×10 B．7.44×10 C．74.4×10 D．7.44×10 3. 某几何体的左视图如下图所示，则该几何体不可能是 ( )
12
13
13
14
左视图
（第3题） A B C D
13
4．解分式方程 ，去分母得 ( )
x - 11 - x
A ．1 – 2（x – 1）= - 3 B．1 – 2（x – 1）= 3 C ．1 – 2x – 2 = - 3 D．1 – 2x + 2 = 3
5．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100
分，该同学这6次成绩的众数和中位数分别是 ( ) A ．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分 6． 一元二次方程2x - 5x – 2 = 0的根的情况是 ( )
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D．没有实数根 7．如图，在□ ABCD中对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下
2
列条件不能判定□ ABCD 是菱形的只有 ( ) ．． A．AC⊥BD B．AB = BC
C ．AC = BD D．∠1 = ∠2
8．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数
字 – 1，0，1，2，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为( )
1111A ． B． C． D．8642
第8题 第9题 第10题
9. 我们知道：四边形具有不稳定性。如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边
AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O 。固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′ 处，则点C 的对应点C′ 的坐标为 ( ) A ．3 ，1） B ．（2，1） C．（1，3 ） D．（23 ） 10．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对
应点分别为O′，B′,连接BB′，则图中阴影部分的面积是 ( )
2ππ2π2πA B ．3 - ．23 - D．43 - 3333二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算：2 - 4 =_____________。
3
⎧x -2≤0
⎪
12．不等式组⎨x -1 的解集是___________________。
2
13．已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数y = - 的图象上，则m 与n 的大小关系
x
为___________。
14．如图1，点P 从△ABC的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A 。图2是点P 运动时，
线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________。
15．如图，在Rt △ABC中，∠A = 90°，AB = AC，
2 + 1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B，使点B 的对应点B ′ 始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，B ．．
C
B
图1
（第14题）
C
（第15题） 则BM 的长为__________。 三、简答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：
（2x + y） + ( x – y ) ( x + y ) – 5 x ( x – y )，
其中2 + 1，y = 2 - 1
2
17．（9分）为了了解同学们每月的零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，
根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表。
m% 4%
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a + b = ，m = ； （2）求扇形统计图中扇形C 的圆心角的度数；
（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x 在60≤ x ＜120范围的
人数。
18．（9分）如图，在△ABC中，AB = AC，以AB 为直径的⊙O交AC 边于点D ，过点C
作CF∥AB，与过点B 的切线交于点F ，连接BD 。 （1）求证：BD = BF；
（2）若AB = 10，CD = 4，求BC 的长
19．（9分）如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时
收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C 。此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向。已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等
43
待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈ ,tan53°≈
554
, 2 ≈1.41） 3
k
20．（9分）如图，一次函数y= - x + b与反比例函数y = ( x > 0 )的图象交于点A
x
（m ，3）和B （3，1）（1）填空：一次函数的解析式为 , 反比例函数的解析式为 ；
45B 53C
（2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD⊥x轴于点D ，连接OP ，若△POD的面积为
S ，求S 的取值范围.
21．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方. 已知购买2个A 种魔方和6
个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同. （1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种
魔方共100个（其中A 种魔方不超过50个）。某商店有两种优惠活动，如图所示： 请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.
22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD = AE，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点.
（1）观察猜想
图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明
把△ADE绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ， 判断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸
把△ADE绕点A 在平面内自由旋转，若AD = 4，AB = 10，请直接写出△PMN面积的最大值.
图1
图2
2
23．（11分）如图，直线y = - x + c与x 轴交于点A ( 3 , 0 )，与y 轴交于点B ，抛
3
42
物线 + bx + c经过点A ，B 。
3（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式。
（2）M ( m , 0 )为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分
别将于点P ，N 。
①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM相似，求点M 的坐标；
②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”。请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值.
备用图
2017年河南省普通高中招生考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1、如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同，可根据解法的评分标准精神进行评分。
2、评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断本题的请阅。如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分的多少，但原则上不超过后继部分应得分数之半。 3、评分过程中，如无特殊说明，均为累计给分。 4、评分过程中，只给整数分数。
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16、原式=4x+ 4xy + y+ x – y- 5x+ 5xy „„„„„„„„„„„„„3分
=9xy „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 当2 + 1，y=2 - 1时，原式2 + 1)( 2 - 1)= 9 „8分
17、（1）50 , 28 , 8 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （2）( 1 – 8% - 32% - 16% - 4% )×360° = 40% ×360° = 144°
即扇形统计图中扇形C 的圆心角为144° „„„„„„„„„„„6分
28
（3）1000× = 560
50 即每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数为560 „„„„9分 18、（1）∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB
∵CF∥AB ∴∠ABC=∠FCB
∴∠ACB=∠FCB，即CB 平分∠DCF „„„„„„„„„„„3分 ∵AB 是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°，即BD⊥AC
∵BF 是⊙O的切线 ∴BF⊥AB „„„„„„„„„„„„„„„5分 ∵CF∥AB ∴BF⊥CF ∴BD=BF „„„„„„„„„„„„6分 （2）∵AC = AB = 10,CD = 4 ∴AD = AC - CD = 10 – 4 = 6
2
2
2
2
2
在Rt△ABD中，BD = AB – AD= 10 – 6= 64 „„„„„„8分 在Rt△BDC中，BC=BD 2+CD 2=64+42=4
即BC 的长为45 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
19、过点C 作CD⊥AB交AB 延长线于点D ，则∠CDA = 90° „„„„„„„1分
已知∠CAD=45°，设CD = x ，则AD = CD = x
∴BD = AD – AB = x – 5 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 在Rt△BDC中，CD = BD·tan53°，即x = ( x – 5 )·tan53° 4 5×
35tan53°
∴x = ≈ = 20 „„6分
tan53° - 14
3CD x 4
∴ BC= ≈ 20 ÷ = 25
sin53° sin53°5∴B船到达C 船处约需时间：25÷25=1（小时） „„„„„„„„„„„„„„„7分 在Rt△ADC中，AC = 2 x ≈ 1.41×20 = 28.2 ∴A船到达C 船处约需时间：28.2÷30 = 0.94（小时） „„„„„„„„„„„„„„„8分 而0.94＜1，所以C 船至少要等待0.94小时才能
得到救援 „„„„„„„9分
3
20、（1）y = - x + 4 ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
x
3
（2）∵点A （m ，3）在y = 的图象上
x
3
∴ = 3 ∴m = 1 ∴A(1,3) „„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 m 而点P 在线段AB 上，设点P(n ,- n + 4)，则1≤n≤3
1112
∴S = OD×PD = ×n×( - n +4) = - (n – 2) + 2 „„„„7分
2221
∵- ＜0 ，且1≤n≤3
2
3
∴当n = 2时， S最大 = 2 ；当n = 1或 3时， S最小„„„„„„„8分
23
∴S 的取值范围是 ≤S≤2 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
2
21、（1）设A 、B 两种魔方的单价分别为x 元、y 元 „„„„„„„„„„„„„„1分
2
2
2
2
2
A 45B 53D
C
⎧2x +6y =130⎧x =20 根据题意得⎨，解得⎨ „„„„„„„„„„„„„„3分 3x =4y y =15⎩⎩
即A 、B 两种魔方的单价分别为20元，15元 „„„„„„„„„„„„4分
（2）设购买A 种魔方m 个，按活动一和活动二购买所需费用分别为w 1元、w 2元 依题意得w 1 = 20m×0.8 + 15×0.4×(100 - m) = 100m + 600 „„„5分 w2 = 20m + 15(100 – m – m) = - 10m +1500 „„„„„6分 ①当w 1 ＞ w2时，100m + 600＞- 10m +1500 ∴m＞45
②当w 1 = w2时，100m + 600 = - 10m +1500 ∴m = 45
③当w 1 ＜ w2时，100m + 600＜- 10m +1500 ∴m＜45 „„„„„„9分
∴①当45 ＜ m ≤ 50时，活动二更实惠
②当m = 45时，活动一、二同样实惠
③当0 ≤ m ＜45 ( 或0 ＜ m ＜45) 时，活动一更实惠 „„„10分
22、(1)PM = PN , PM⊥PN „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
(2)等腰直角三角形。理由如下： „„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 由旋转可得∠BAD = ∠CAE
又AB = AC，AD = AE
∴△BAD≌△CAE ∴BD = CE ，∠ABD = ∠ACE „„„„„„„„„„„5分 ∵点P 、M 分别是DC 、DE 的中点 ∴PM是△DCE的中位线
1∴PM = ，且PM∥CE 2
1同理可证PN = ，且PN∥BD 2
∴PM = PN，∠MPD =∠CED , ∠PNC = ∠DBC „„„„„„„„„„„„6分 ∴∠MPD = ∠ECD = ∠ACD + ∠ACE = ∠ACD + ∠ABD
∠DPN = ∠PNC + ∠PCN = ∠DBC + ∠PCN
∴∠MPN = ∠MPD + ∠DPN = ∠ACD + ∠ABD + ∠DBC + ∠PCN
= ∠ABC + ∠ACB = 90°
即△PMN为等腰直角三角形。 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 49(3) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 2
223、(1)∵直线与x 轴交于点A （3，0） 3
2∴ - ×3 + c = 0 ∴c = 2 ∴B ( 0 , 2 ) „„„„„„„„1分 3
42∵抛物线y = - x + bx + c过点A （3，0） 3
4102∴ - ×3 + 3b + 2 = 0 33
4210∴抛物线的解析式为y = - + x + 2 „„„„„„„„„„„„„3分 33
4210(2) ∵MN⊥x轴，M ( M , 0 ) ∴N （m ，- + ） 33
2①由（1）知直线AB 的解析式为y = - x + 2，OA = 3, OB = 2 3
∵在△APM和△BPN中，∠APM = ∠BPN，∠AMP = 90°
∴若使△BPN和△APM相似，则须∠NBP = 90°或∠BNP = 90°
分两种情况讨论如下：
（ⅰ）当∠NBP = 90°时，过点N 作NC⊥y轴于点C
则∠NBC + ∠BNC = 90°, NC = m
42104210BC = - m + – 2 = - + m 3333
∵∠NBP = 90°∴∠NBC+∠ABO = 90°∴∠ABO=∠BNC
∴Rt△NCB ∽ Rt△BOA „„„„„„„„„„„„„„„„„5分
4210- + 33NC CB m ∴ = ∴ = OB OA 23
11解得m = 0（舍去）或m = 8
11 ∴M（，0） „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 8
（ⅱ）当∠BNP = 90°时，BN ⊥NM ∴点N 的纵坐标为2
4210∴ + m + 2 = 2 33
5∴ m = 0（舍去）或m = 2
5，0） 2
115综上，点M ，0）或（ ，0）„„„„„„„„„8分 82
11② m = - 1或或„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 42
2017年河南省普通高中招生考试试卷
数 学
注意事项：
1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．本试题卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案写在答题卡上。
答在本试卷上的答案无效。
一、选择题 （每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的。 1．下列各数比1大的数是 ( )
A ．2 B．0 C．- 1 D．- 3
2．2016年，我国国内生产总值达到74.4万亿元。数据“74.4万亿”用科学记数法表示为 ( ) A ．74.4×10 B．7.44×10 C．74.4×10 D．7.44×10 3. 某几何体的左视图如下图所示，则该几何体不可能是 ( )
12
13
13
14
左视图
（第3题） A B C D
13
4．解分式方程 ，去分母得 ( )
x - 11 - x
A ．1 – 2（x – 1）= - 3 B．1 – 2（x – 1）= 3 C ．1 – 2x – 2 = - 3 D．1 – 2x + 2 = 3
5．八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100
分，该同学这6次成绩的众数和中位数分别是 ( ) A ．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分 6． 一元二次方程2x - 5x – 2 = 0的根的情况是 ( )
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．只有一个实数根 D．没有实数根 7．如图，在□ ABCD中对角线AC ，BD 相交于点O ，添加下
2
列条件不能判定□ ABCD 是菱形的只有 ( ) ．． A．AC⊥BD B．AB = BC
C ．AC = BD D．∠1 = ∠2
8．如图是一次数学活动课制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域，并分别标有数
字 – 1，0，1，2，若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指区域的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都是正数的概率为( )
1111A ． B． C． D．8642
第8题 第9题 第10题
9. 我们知道：四边形具有不稳定性。如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边
AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O 。固定点A ，B ，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D′ 处，则点C 的对应点C′ 的坐标为 ( ) A ．3 ，1） B ．（2，1） C．（1，3 ） D．（23 ） 10．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对
应点分别为O′，B′,连接BB′，则图中阴影部分的面积是 ( )
2ππ2π2πA B ．3 - ．23 - D．43 - 3333二、填空题（每小题3分，共15分） 11．计算：2 - 4 =_____________。
3
⎧x -2≤0
⎪
12．不等式组⎨x -1 的解集是___________________。
2
13．已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数y = - 的图象上，则m 与n 的大小关系
x
为___________。
14．如图1，点P 从△ABC的顶点B 出发，沿B→C→A 匀速运动到点A 。图2是点P 运动时，
线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________。
15．如图，在Rt △ABC中，∠A = 90°，AB = AC，
2 + 1，点M ，N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠∠B，使点B 的对应点B ′ 始终落在边AC 上，若△MB′C 为直角三角形，B ．．
C
B
图1
（第14题）
C
（第15题） 则BM 的长为__________。 三、简答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：
（2x + y） + ( x – y ) ( x + y ) – 5 x ( x – y )，
其中2 + 1，y = 2 - 1
2
17．（9分）为了了解同学们每月的零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，
根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表。
m% 4%
请根据以上图表，解答下列问题：
（1）填空：这次被调查的同学共有 人，a + b = ，m = ； （2）求扇形统计图中扇形C 的圆心角的度数；
（3）该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x 在60≤ x ＜120范围的
人数。
18．（9分）如图，在△ABC中，AB = AC，以AB 为直径的⊙O交AC 边于点D ，过点C
作CF∥AB，与过点B 的切线交于点F ，连接BD 。 （1）求证：BD = BF；
（2）若AB = 10，CD = 4，求BC 的长
19．（9分）如图所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时
收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C 。此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向。已知A 船的航速为30海里/小时，B 船的航速为25海里/小时，问C 船至少要等
43
待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈ ,tan53°≈
554
, 2 ≈1.41） 3
k
20．（9分）如图，一次函数y= - x + b与反比例函数y = ( x > 0 )的图象交于点A
x
（m ，3）和B （3，1）（1）填空：一次函数的解析式为 , 反比例函数的解析式为 ；
45B 53C
（2）点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD⊥x轴于点D ，连接OP ，若△POD的面积为
S ，求S 的取值范围.
21．（10分）学校“百变魔方”社团准备购买A ，B 两种魔方. 已知购买2个A 种魔方和6
个B 种魔方共需130元，购买3个A 种魔方和4个B 种魔方所需款数相同. （1）求这两种魔方的单价；
（2）结合社员们的需求，社团决定购买A ，B 两种
魔方共100个（其中A 种魔方不超过50个）。某商店有两种优惠活动，如图所示： 请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠.
22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD = AE，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点.
（1）观察猜想
图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明
把△ADE绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ， 判断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸
把△ADE绕点A 在平面内自由旋转，若AD = 4，AB = 10，请直接写出△PMN面积的最大值.
图1
图2
2
23．（11分）如图，直线y = - x + c与x 轴交于点A ( 3 , 0 )，与y 轴交于点B ，抛
3
42
物线 + bx + c经过点A ，B 。
3（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式。
（2）M ( m , 0 )为x 轴上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分
别将于点P ，N 。
①点M 在线段OA 上运动，若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM相似，求点M 的坐标；
②点M 在x 轴上自由运动，若三个点M ，P ，N 中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M ，P ，N 三点为“共谐点”。请直接写出使得M ，P ，N 三点成为“共谐点”的m 的值.
备用图
2017年河南省普通高中招生考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1、如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同，可根据解法的评分标准精神进行评分。
2、评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断本题的请阅。如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分的多少，但原则上不超过后继部分应得分数之半。 3、评分过程中，如无特殊说明，均为累计给分。 4、评分过程中，只给整数分数。
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16、原式=4x+ 4xy + y+ x – y- 5x+ 5xy „„„„„„„„„„„„„3分
=9xy „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 当2 + 1，y=2 - 1时，原式2 + 1)( 2 - 1)= 9 „8分
17、（1）50 , 28 , 8 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 （2）( 1 – 8% - 32% - 16% - 4% )×360° = 40% ×360° = 144°
即扇形统计图中扇形C 的圆心角为144° „„„„„„„„„„„6分
28
（3）1000× = 560
50 即每月零花钱的数额x 在60≤x ＜120范围的人数为560 „„„„9分 18、（1）∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB
∵CF∥AB ∴∠ABC=∠FCB
∴∠ACB=∠FCB，即CB 平分∠DCF „„„„„„„„„„„3分 ∵AB 是⊙O的直径 ∴∠ADB=90°，即BD⊥AC
∵BF 是⊙O的切线 ∴BF⊥AB „„„„„„„„„„„„„„„5分 ∵CF∥AB ∴BF⊥CF ∴BD=BF „„„„„„„„„„„„6分 （2）∵AC = AB = 10,CD = 4 ∴AD = AC - CD = 10 – 4 = 6
2
2
2
2
2
在Rt△ABD中，BD = AB – AD= 10 – 6= 64 „„„„„„8分 在Rt△BDC中，BC=BD 2+CD 2=64+42=4
即BC 的长为45 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
19、过点C 作CD⊥AB交AB 延长线于点D ，则∠CDA = 90° „„„„„„„1分
已知∠CAD=45°，设CD = x ，则AD = CD = x
∴BD = AD – AB = x – 5 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 在Rt△BDC中，CD = BD·tan53°，即x = ( x – 5 )·tan53° 4 5×
35tan53°
∴x = ≈ = 20 „„6分
tan53° - 14
3CD x 4
∴ BC= ≈ 20 ÷ = 25
sin53° sin53°5∴B船到达C 船处约需时间：25÷25=1（小时） „„„„„„„„„„„„„„„7分 在Rt△ADC中，AC = 2 x ≈ 1.41×20 = 28.2 ∴A船到达C 船处约需时间：28.2÷30 = 0.94（小时） „„„„„„„„„„„„„„„8分 而0.94＜1，所以C 船至少要等待0.94小时才能
得到救援 „„„„„„„9分
3
20、（1）y = - x + 4 ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
x
3
（2）∵点A （m ，3）在y = 的图象上
x
3
∴ = 3 ∴m = 1 ∴A(1,3) „„„„„„„„„„„„„„„„„„5分 m 而点P 在线段AB 上，设点P(n ,- n + 4)，则1≤n≤3
1112
∴S = OD×PD = ×n×( - n +4) = - (n – 2) + 2 „„„„7分
2221
∵- ＜0 ，且1≤n≤3
2
3
∴当n = 2时， S最大 = 2 ；当n = 1或 3时， S最小„„„„„„„8分
23
∴S 的取值范围是 ≤S≤2 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„9分
2
21、（1）设A 、B 两种魔方的单价分别为x 元、y 元 „„„„„„„„„„„„„„1分
2
2
2
2
2
A 45B 53D
C
⎧2x +6y =130⎧x =20 根据题意得⎨，解得⎨ „„„„„„„„„„„„„„3分 3x =4y y =15⎩⎩
即A 、B 两种魔方的单价分别为20元，15元 „„„„„„„„„„„„4分
（2）设购买A 种魔方m 个，按活动一和活动二购买所需费用分别为w 1元、w 2元 依题意得w 1 = 20m×0.8 + 15×0.4×(100 - m) = 100m + 600 „„„5分 w2 = 20m + 15(100 – m – m) = - 10m +1500 „„„„„6分 ①当w 1 ＞ w2时，100m + 600＞- 10m +1500 ∴m＞45
②当w 1 = w2时，100m + 600 = - 10m +1500 ∴m = 45
③当w 1 ＜ w2时，100m + 600＜- 10m +1500 ∴m＜45 „„„„„„9分
∴①当45 ＜ m ≤ 50时，活动二更实惠
②当m = 45时，活动一、二同样实惠
③当0 ≤ m ＜45 ( 或0 ＜ m ＜45) 时，活动一更实惠 „„„10分
22、(1)PM = PN , PM⊥PN „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
(2)等腰直角三角形。理由如下： „„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 由旋转可得∠BAD = ∠CAE
又AB = AC，AD = AE
∴△BAD≌△CAE ∴BD = CE ，∠ABD = ∠ACE „„„„„„„„„„„5分 ∵点P 、M 分别是DC 、DE 的中点 ∴PM是△DCE的中位线
1∴PM = ，且PM∥CE 2
1同理可证PN = ，且PN∥BD 2
∴PM = PN，∠MPD =∠CED , ∠PNC = ∠DBC „„„„„„„„„„„„6分 ∴∠MPD = ∠ECD = ∠ACD + ∠ACE = ∠ACD + ∠ABD
∠DPN = ∠PNC + ∠PCN = ∠DBC + ∠PCN
∴∠MPN = ∠MPD + ∠DPN = ∠ACD + ∠ABD + ∠DBC + ∠PCN
= ∠ABC + ∠ACB = 90°
即△PMN为等腰直角三角形。 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 49(3) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10分 2
223、(1)∵直线与x 轴交于点A （3，0） 3
2∴ - ×3 + c = 0 ∴c = 2 ∴B ( 0 , 2 ) „„„„„„„„1分 3
42∵抛物线y = - x + bx + c过点A （3，0） 3
4102∴ - ×3 + 3b + 2 = 0 33
4210∴抛物线的解析式为y = - + x + 2 „„„„„„„„„„„„„3分 33
4210(2) ∵MN⊥x轴，M ( M , 0 ) ∴N （m ，- + ） 33
2①由（1）知直线AB 的解析式为y = - x + 2，OA = 3, OB = 2 3
∵在△APM和△BPN中，∠APM = ∠BPN，∠AMP = 90°
∴若使△BPN和△APM相似，则须∠NBP = 90°或∠BNP = 90°
分两种情况讨论如下：
（ⅰ）当∠NBP = 90°时，过点N 作NC⊥y轴于点C
则∠NBC + ∠BNC = 90°, NC = m
42104210BC = - m + – 2 = - + m 3333
∵∠NBP = 90°∴∠NBC+∠ABO = 90°∴∠ABO=∠BNC
∴Rt△NCB ∽ Rt△BOA „„„„„„„„„„„„„„„„„5分
4210- + 33NC CB m ∴ = ∴ = OB OA 23
11解得m = 0（舍去）或m = 8
11 ∴M（，0） „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6分 8
（ⅱ）当∠BNP = 90°时，BN ⊥NM ∴点N 的纵坐标为2
4210∴ + m + 2 = 2 33
5∴ m = 0（舍去）或m = 2
5，0） 2
115综上，点M ，0）或（ ，0）„„„„„„„„„8分 82
11② m = - 1或或„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 42