勾股定理的题型与解题方法
题型1、求线段的长度
例1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm.
求① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。 A D
B
C
1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。
2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ） A 、6厘米； B、 8厘米； C、 80/13厘米；D 、 60/13厘米； 5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长 题型2、判断直角三角形
如图己知AB ⊥BC , AB =3, BC =4, CD =12, AD =13求四边形ABCD 的面积
练习
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A ．2，3，4 B ．3，4，6 C ．5，12，13 D ．4，6，7
2. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角 三角形的是（ ）
A ．a :b :c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c2 例题4、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a :b :c =13∶5∶12 13．求△ABC 的面积．
3. 三角形的三边长为(a +b ) 2
=c 2
+2ab , 则这个三角
形是( )
A . 等边三角形 B . 钝角三角形
C . 直角三角形 D . 锐角三角形. 4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，
∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。
练习
C
1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点 C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，
求折痕EF 的长。
题型3、求最短距离
A
B
C '
如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B ，如果圆
B 柱的高为8cm ，圆柱的底面半径为
6
，那么最短 D
E
C
π
cm 的路线长是（ ）
O
A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10πcm
A 三、主要数学思想
F B 1、方程思想
例题3、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边
2、已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90º，AD 是角平分线，CD
CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，＝15，BD ＝25．求AC 的长．
求CE 的长.
2、分类讨论思想（易错题）
例题5、 在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
例题6、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为．
练习
1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。
巩固练习
1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10 2．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那
么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 3．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a2
+b2-c 2
)=0，则△ABC 是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能
5．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此
长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）cm 2
A 6 B 8 C 10 D 12
第5题
6．如图小方格都是边长为1的正方形, 图中四边形的面积为
（ ） A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
7．直角三角形中，如果有两条边长分别为3，4，且第三条边
长为整数，那么第三条边长应该是（ ） A. 5 B. 2 C. 6 D. 非上述答案
8．已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A 、5
B 、25
C 、7
D 、15
9． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则 （2）b=8，c=17 ，则S ∆ABC 10. 等边三角形的边长为6，则它的高是________
11．已知两条线段的长为5cm 和12c m, 当第三条线段的长
为m 时, 这三条线段能组成一个直角三角形. 12. 在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________
13．等腰三角形的周长是20c m, 底边长是6c m, 则底边上的高是____________
14． 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AE 是高，且AB>AC,
(1). 若ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１０，ＡＣ＝８ 求ＤＥ
(2). 求证： AB 2-AC 2
15．如图，已知：等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上
一点，CD ＝16，BD ＝12
求(1) △ABC 的周长 (2) △ABC 的面积
勾股定理的题型与解题方法
题型1、求线段的长度
例1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90º， CD⊥AB ，D 为垂足，AC=6cm,BC=8cm.
求① △ABC 的面积； ②斜边AB 的长；③斜边AB 上的高CD 的长。 A D
B
C
1、等腰三角形的，腰长为25，底边长14，则底边上的高是________，面积是_________。
2、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
3、一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高为_________。
4、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ） A 、6厘米； B、 8厘米； C、 80/13厘米；D 、 60/13厘米； 5、直角三角形中两条直角边之比为3：4，且斜边为20cm ，求（1）两直角边的长（2）斜边上的高线长 题型2、判断直角三角形
如图己知AB ⊥BC , AB =3, BC =4, CD =12, AD =13求四边形ABCD 的面积
练习
1．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A ．2，3，4 B ．3，4，6 C ．5，12，13 D ．4，6，7
2. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角 三角形的是（ ）
A ．a :b :c=8∶16∶17 B ． a 2-b 2=c2 例题4、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝C ．a 2=(b+c)(b-c) D ． a :b :c =13∶5∶12 13．求△ABC 的面积．
3. 三角形的三边长为(a +b ) 2
=c 2
+2ab , 则这个三角
形是( )
A . 等边三角形 B . 钝角三角形
C . 直角三角形 D . 锐角三角形. 4、已知：如图，四边形ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，
∠B=90°，求证：∠A+∠C=180°。
练习
C
1、如图，把矩形ABCD 纸片折叠，使点B 落在点D 处，点 C 落在C ’处，折痕EF 与BD 交于点O ，已知AB=16，AD=12，
求折痕EF 的长。
题型3、求最短距离
A
B
C '
如图，一只蚂蚁从点A 沿圆柱表面爬到点B ，如果圆
B 柱的高为8cm ，圆柱的底面半径为
6
，那么最短 D
E
C
π
cm 的路线长是（ ）
O
A. 6cm B. 8 cm C. 10 cm D. 10πcm
A 三、主要数学思想
F B 1、方程思想
例题3、如图，已知长方形ABCD 中AB=8 cm,BC=10 cm,在边
2、已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90º，AD 是角平分线，CD
CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，＝15，BD ＝25．求AC 的长．
求CE 的长.
2、分类讨论思想（易错题）
例题5、 在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为
例题6、已知在△ABC 中，AB=17，AC=10，BC 边上的高等于8，则△ABC 的周长为．
练习
1、在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为2、等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。
巩固练习
1．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）
A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25 C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10 2．直角三角形的斜边为20cm ，两条直角边之比为3∶4，那
么这个直角三角形的周长为（ ）
A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm 3．若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a2
+b2-c 2
)=0，则△ABC 是 ( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（ ）
A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 不能
5．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此
长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）cm 2
A 6 B 8 C 10 D 12
第5题
6．如图小方格都是边长为1的正方形, 图中四边形的面积为
（ ） A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5
7．直角三角形中，如果有两条边长分别为3，4，且第三条边
长为整数，那么第三条边长应该是（ ） A. 5 B. 2 C. 6 D. 非上述答案
8．已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A 、5
B 、25
C 、7
D 、15
9． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则 （2）b=8，c=17 ，则S ∆ABC 10. 等边三角形的边长为6，则它的高是________
11．已知两条线段的长为5cm 和12c m, 当第三条线段的长
为m 时, 这三条线段能组成一个直角三角形. 12. 在△ABC 中，点D 为BC 的中点，BD=3，AD=4，AB=5，则AC=___________
13．等腰三角形的周长是20c m, 底边长是6c m, 则底边上的高是____________
14． 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AE 是高，且AB>AC,
(1). 若ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１０，ＡＣ＝８ 求ＤＥ
(2). 求证： AB 2-AC 2
15．如图，已知：等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上
一点，CD ＝16，BD ＝12
求(1) △ABC 的周长 (2) △ABC 的面积