初三数学一元二次方程和分式方程的应用
1．可化为一元二次方程的分式方程解法； 2．一元二次方程和分式方程的应用。 一、重点，难点剖析
1. 解分式方程的一般方法是，方程的两边同乘以一个适当的代数式，化分式方程为整式方程(初中阶段所学的整式方程是一元一次方程或一元二次方程) ，从而求其解，由于把分式方程化为整式方程后，未知数的取值范围扩大了，因此就有产生增根的可能，所以解分式方程时，不可忽视验根这一重要步骤. 如解方程
＋＝1＋ .
解：方程的两边同乘以x 2－4, 得
x －2＋4x ＝x 2－4＋2(x＋2) (化分式方程为整式方程) 整理后，得x 2－3x ＋2＝0. 解得x 1＝1,x 2＝2.
经检验x ＝2是增根，舍去. ∴ 原方程的解为x ＝1
显然，原方程中的未知数是不能取2和－2这两个数，而去分母后化得的整式方程中的未知数就没有这个限制.
在去分母时, 为了寻找适当的代数式，通常需要对各个分式的分母进行因式分解，以寻得它的最低公倍式这是必需掌握的基本方法. 如解方程
－ － ＝
解 原方程为
― ＝－
,
两边同乘以 8(2x＋1)(2x－1), ①得
24(2x―1)―4(2x＋1) －5(2x＋1)(2x－1) ＝－8. 整理后，得 4x 2－8x ＋3＝0 解得 x 1＝，x 2＝ . 经检验 x ＝ 是增根，舍去.
∴ 原方程的解是x ＝
从上面两例中，已清楚看到解分式方程一定要验根，验根的方法是把解得的整式方程的解代入去分母时所乘的代数式中，使其值为零的那个根就是增根，解题时这个过程可以不表现出来，但验根的结果一定要交待，只有这样才能表示出验根的步骤已进行. 解分式方程，还常用换元法. 如解方程
,
此分式方程若是采用两边同乘以2x(x2－3) 的一般方法，将会得到整式方程 2x 4－13x 3－6x 2＋39x ＋18＝0
显然这个整式方程不是一元二次方程, 直接求解比较困难.
而换元法就能帮助我们避免高次方程的出现（我们把高于二次的方程称为高次方程）
解 设
，则 ,
原方程可变为 去分母，得
.
2y 2－13y ＋6＝0(这是关于y 的一元二次方程) 解得 y 1＝6，y 2
＝ . 当y ＝6
时，即
＝6. 解得 x 1＝3＋
，x 2＝3－
.
当y
＝ 时，即 经检验x 1＝3＋ 说明：
. 解得 x 3＝2，x 4＝－. ，x 2＝3－
， x 3＝2，x 4＝－ 都是原方程的根.
(1) 采取换元法的目的是为了“降次”，这是解方程的基本思想.
(2) 换元要清楚换什么？换元后的方程应当是会解的方程(即一元一次或一元二次方程). (3)求得换元后的未知数的值后，不可忘记再求出原方程的解. (4)验根的过程可省去，但验根的步骤要表现，结论要明确交待.
2. 一元二次方程和分式方程的应用是前面列方程和方程组解应用题的继续和发展。从列方程
解应用题的方法来说，列一元二次方程和分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案。然而列一元二次方程和分式方程解方程的应用与前面所学内容是有区别的： （1） 应用更广泛，数量关系更复杂；
（2） 分式方程的应用题不仅要检验解得的结果是否有增根，而且要检查是否符合题意。 二、典型例题： 例1 解方程
解 原方程为
方程两边同乘以（x －1）（x －2）(x－3) 得 （x －1）2＋（x －2）2＝(x－3) 2
（利用因式分解求出各分母的最低公倍式是解分式方程的重要一步） 整理后，得x 2＝4， 解得 x 1＝2，x 2＝－2 经检验x ＝2是增根，舍去. ∴ 原方程的解是x ＝－2.
说明判别增根的方法，不必将所求得的根代入原分式方程中一一检验，而需将求得的根代入到所乘的代数式中，使其值为零的解即为增根.
例2 解方程
解 将原方程变为
设 解之得：
，则原方程变为
当 时，，解得：，
当时，，解得：
经检验：，都是原方程的根，
∴原方程的解是：，。
说明 （1）换元前要将原方程适当整理，使之便于换元；
（2）验根时只要将解出的值代入原方程中的各分母，看各分母是否为零，从而确定它是否是增根。
例3解方程 。
解 设x ＋＝y
，则 故原方程变为 y 2－2＋y ＝0. 解得 y 1＝－2，y 2＝1. 当y ＝－2时，x ＋＝－2， 解此方程得 x ＝－1；
当y ＝1时，x ＋＝1. 即x 2－x ＋1＝0. 此方程无实数解. 经检验 x ＝－1是原方程的解. ∴原方程的解为x ＝－1. 说明 分式方程的相等的根只要写一个，不可写成x 1＝x 2＝－1
列方程解应用题，也是学习方程的重要内容，关于分式方程或无理方程的应用题，其思考方法与以往学习的解应用题是一致的.
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1） 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2） 每件衬衫降价多少元，商场平均每天盈利最多？ 解 （1）设每件衬衫应降价x 元。 根据题意，得 整理，得 解之得
因题意要尽快减少库存，所以x 取20。 答：每件衬衫应降价20元。 （2）商场每天盈利
当x=15时，商场最大盈利1250元。
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多。
说明（1）解本题的关键是理解题意，知道“总利润=每件商品的利润×销售量”； （2）求代数式的最大和最小值常用方法是配方法。
例5一桶内装满了纯农药液体，从中倒出5升后用水加满，然后再倒出5升液体，再用水加满，这时桶内农药的浓度是原来浓度的16/25，求该桶的容积.
解:由于题设条件给出了装满农药液体的桶，经过倾倒前、后的农药的浓度的比，而开始时桶内装满的又是纯农药液体，因而倾倒前的纯农药量就是桶的容积，求出倾倒前的纯农药量，就是求出了桶的容积. 设该桶的容积为x 升，则
第一次倒出后，桶内的纯农药量为（x －5）升，用水加满后，农药的浓度为 第二次倒出后，桶内的纯农药量为
；
=
根据题意，得方程
.
解这个方程，得x 1＝25，x 2＝ 经检验，x ＝
.
＜5 不合题意，舍去. 故桶的容积为25升.
说明 解应用题所得的解不仅要适合列出的方程，同时还要考虑符合应用题的实际.
例6 甲、乙两人分别骑车从A ，B 两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C 地到达A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C 地到达A 地时比甲由C 地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度。解 设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为（x+4）
千米/时。根据题意，得是原方程的根，但乙每小时行驶20千米。
解之得经检验：都
不合题意，舍去。∴ 当x=16时，x+4=20答：甲每小时行驶16千米，
练 习 一、填空题 1．分式方程
中最简公分母是 .
2．当m ＝ 时，方程产生增根.
3．经过改进工艺，节约成本，一种产品由原价800元降了两次价，变为722元。问平均降价百分之几？若设平均每次降价率为x ，则列出方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4．A 村到B 村是15千米，甲每小时行x 千米，乙比甲每小时快2千米，结果甲比乙多用了20分钟走完，列出的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 二、选择题 5．方程
的解是（ ）.
（A ）1 （B ）－1 （C ）±1 （D ）无实数解 6．关于x 的方程
实数解，则a 的取值范围是（ ）
（A ）a≠2 （B ）a ＞0，且a≠2 （C ）a≠--2 （D ）a≠±2 7．用换元法解方程 （A ）
（B ）
，设
（C ）
，则原方程变形为（ ）
（D ）
8．要在规定日期内完成一项工程，如甲队独做，刚好按期完成；如乙队独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲乙两队合作两天，剩下的工程由乙队独做，则刚好按期完成，那么求规定日期为x 天的方程是（ ）. （A ）
三、解下列方程 9．
；
（B ）
（C ）
（D ）
10．；
11．；
12．
13．
四、列方程解应用题
；
14.A 、B 两地相距10千米，甲步行先从A 地前往B 地，一个半小时后，乙骑车也从A 地前往B 地，结果甲、乙两人同时到达B 地，已知乙每小时所走的路程比甲每小时所走的路程的2倍还多2千米，求甲、乙两人的速度.
15. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为R=500+30x，P=170—2x.
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 16．先阅读下列一段文字，然后解答问题。
一个批发与零售兼营的文具店规定，凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。现有学生小王来买铅笔，如果给全校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（
100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用（
）元（m 为正整数，且）元。
＞
（1）设这个学校初三年级共有x 名学生，则
① x 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；铅笔的零售价每支为＿＿＿＿＿＿＿＿＿元，批发价每支为＿＿＿＿＿＿＿元（用含x 、m 的代数式表示）。
（2）若按批发价每购15支比零售价每购15支少付款1元，问这个学校初三年级共有多少学生？m 的值为多少？ 答案与提示
[答案]
一、1. x(x＋1)(x＋2) ； 2. m＝－4；
3. 二、5. D 6. D 7. B 8. B
三、9. 4，－3； 10. 1(增根，舍去)
，
；
11.0,
12.
13. －1，3，
；
4.
－2，4；
四、14. 甲、乙速度分别为4千米/时、10千米/时. 15. （1）由1750=Px—R ，得
（不合题意，舍去）；（2）35，1950元。
16．（1）①240＜x≤300；②；（2）当m=11时，初三年级共有学生300名。
[提示]
一、2. 当x ＋3＝0，即x ＝－3，故m ＝x －1＝－4.
二、5. 显然x ＝±1是增根，故排除A 、B 、C ，选D ； 8
． 三、13. 设x 2－2x ＝y ，
则
（y ＋2）（y ＋1）＋25（y －2）（y ＋1）＝24（y 2－4）
，变形得 .
整理后，得y －11y ＋24＝0. 解得 y 1＝3，y 2＝8. 当y ＝3时，x 2－2x ＝3,
解得 x 3＝－1，x 2＝3，x 3 ＝－2，x 4＝4都是原方程的解. 当y ＝8时，x 2－2x ＝8. 解得x 3＝－2，x 4＝4.
经检验：x 1＝－1，x 2＝3，x 3＝－2，x 4＝4都是原方程的解.
2
四、15．（2）利润
∴当x=35时，最大利润为1950元。 16．（2）由由
解得
（不合题意，舍去），
240＜x≤300得240＜30(m-1)≤300,解得m=10,或m=11。当m=10时，不合题意，故m=11。 这时
=99＜100，
=300。
初三数学一元二次方程和分式方程的应用
1．可化为一元二次方程的分式方程解法； 2．一元二次方程和分式方程的应用。 一、重点，难点剖析
1. 解分式方程的一般方法是，方程的两边同乘以一个适当的代数式，化分式方程为整式方程(初中阶段所学的整式方程是一元一次方程或一元二次方程) ，从而求其解，由于把分式方程化为整式方程后，未知数的取值范围扩大了，因此就有产生增根的可能，所以解分式方程时，不可忽视验根这一重要步骤. 如解方程
＋＝1＋ .
解：方程的两边同乘以x 2－4, 得
x －2＋4x ＝x 2－4＋2(x＋2) (化分式方程为整式方程) 整理后，得x 2－3x ＋2＝0. 解得x 1＝1,x 2＝2.
经检验x ＝2是增根，舍去. ∴ 原方程的解为x ＝1
显然，原方程中的未知数是不能取2和－2这两个数，而去分母后化得的整式方程中的未知数就没有这个限制.
在去分母时, 为了寻找适当的代数式，通常需要对各个分式的分母进行因式分解，以寻得它的最低公倍式这是必需掌握的基本方法. 如解方程
－ － ＝
解 原方程为
― ＝－
,
两边同乘以 8(2x＋1)(2x－1), ①得
24(2x―1)―4(2x＋1) －5(2x＋1)(2x－1) ＝－8. 整理后，得 4x 2－8x ＋3＝0 解得 x 1＝，x 2＝ . 经检验 x ＝ 是增根，舍去.
∴ 原方程的解是x ＝
从上面两例中，已清楚看到解分式方程一定要验根，验根的方法是把解得的整式方程的解代入去分母时所乘的代数式中，使其值为零的那个根就是增根，解题时这个过程可以不表现出来，但验根的结果一定要交待，只有这样才能表示出验根的步骤已进行. 解分式方程，还常用换元法. 如解方程
,
此分式方程若是采用两边同乘以2x(x2－3) 的一般方法，将会得到整式方程 2x 4－13x 3－6x 2＋39x ＋18＝0
显然这个整式方程不是一元二次方程, 直接求解比较困难.
而换元法就能帮助我们避免高次方程的出现（我们把高于二次的方程称为高次方程）
解 设
，则 ,
原方程可变为 去分母，得
.
2y 2－13y ＋6＝0(这是关于y 的一元二次方程) 解得 y 1＝6，y 2
＝ . 当y ＝6
时，即
＝6. 解得 x 1＝3＋
，x 2＝3－
.
当y
＝ 时，即 经检验x 1＝3＋ 说明：
. 解得 x 3＝2，x 4＝－. ，x 2＝3－
， x 3＝2，x 4＝－ 都是原方程的根.
(1) 采取换元法的目的是为了“降次”，这是解方程的基本思想.
(2) 换元要清楚换什么？换元后的方程应当是会解的方程(即一元一次或一元二次方程). (3)求得换元后的未知数的值后，不可忘记再求出原方程的解. (4)验根的过程可省去，但验根的步骤要表现，结论要明确交待.
2. 一元二次方程和分式方程的应用是前面列方程和方程组解应用题的继续和发展。从列方程
解应用题的方法来说，列一元二次方程和分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案。然而列一元二次方程和分式方程解方程的应用与前面所学内容是有区别的： （1） 应用更广泛，数量关系更复杂；
（2） 分式方程的应用题不仅要检验解得的结果是否有增根，而且要检查是否符合题意。 二、典型例题： 例1 解方程
解 原方程为
方程两边同乘以（x －1）（x －2）(x－3) 得 （x －1）2＋（x －2）2＝(x－3) 2
（利用因式分解求出各分母的最低公倍式是解分式方程的重要一步） 整理后，得x 2＝4， 解得 x 1＝2，x 2＝－2 经检验x ＝2是增根，舍去. ∴ 原方程的解是x ＝－2.
说明判别增根的方法，不必将所求得的根代入原分式方程中一一检验，而需将求得的根代入到所乘的代数式中，使其值为零的解即为增根.
例2 解方程
解 将原方程变为
设 解之得：
，则原方程变为
当 时，，解得：，
当时，，解得：
经检验：，都是原方程的根，
∴原方程的解是：，。
说明 （1）换元前要将原方程适当整理，使之便于换元；
（2）验根时只要将解出的值代入原方程中的各分母，看各分母是否为零，从而确定它是否是增根。
例3解方程 。
解 设x ＋＝y
，则 故原方程变为 y 2－2＋y ＝0. 解得 y 1＝－2，y 2＝1. 当y ＝－2时，x ＋＝－2， 解此方程得 x ＝－1；
当y ＝1时，x ＋＝1. 即x 2－x ＋1＝0. 此方程无实数解. 经检验 x ＝－1是原方程的解. ∴原方程的解为x ＝－1. 说明 分式方程的相等的根只要写一个，不可写成x 1＝x 2＝－1
列方程解应用题，也是学习方程的重要内容，关于分式方程或无理方程的应用题，其思考方法与以往学习的解应用题是一致的.
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
（1） 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2） 每件衬衫降价多少元，商场平均每天盈利最多？ 解 （1）设每件衬衫应降价x 元。 根据题意，得 整理，得 解之得
因题意要尽快减少库存，所以x 取20。 答：每件衬衫应降价20元。 （2）商场每天盈利
当x=15时，商场最大盈利1250元。
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多。
说明（1）解本题的关键是理解题意，知道“总利润=每件商品的利润×销售量”； （2）求代数式的最大和最小值常用方法是配方法。
例5一桶内装满了纯农药液体，从中倒出5升后用水加满，然后再倒出5升液体，再用水加满，这时桶内农药的浓度是原来浓度的16/25，求该桶的容积.
解:由于题设条件给出了装满农药液体的桶，经过倾倒前、后的农药的浓度的比，而开始时桶内装满的又是纯农药液体，因而倾倒前的纯农药量就是桶的容积，求出倾倒前的纯农药量，就是求出了桶的容积. 设该桶的容积为x 升，则
第一次倒出后，桶内的纯农药量为（x －5）升，用水加满后，农药的浓度为 第二次倒出后，桶内的纯农药量为
；
=
根据题意，得方程
.
解这个方程，得x 1＝25，x 2＝ 经检验，x ＝
.
＜5 不合题意，舍去. 故桶的容积为25升.
说明 解应用题所得的解不仅要适合列出的方程，同时还要考虑符合应用题的实际.
例6 甲、乙两人分别骑车从A ，B 两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C 地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。乙在由C 地到达A 地的途中因故停了20分钟，结果乙由C 地到达A 地时比甲由C 地到达B 地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度。解 设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为（x+4）
千米/时。根据题意，得是原方程的根，但乙每小时行驶20千米。
解之得经检验：都
不合题意，舍去。∴ 当x=16时，x+4=20答：甲每小时行驶16千米，
练 习 一、填空题 1．分式方程
中最简公分母是 .
2．当m ＝ 时，方程产生增根.
3．经过改进工艺，节约成本，一种产品由原价800元降了两次价，变为722元。问平均降价百分之几？若设平均每次降价率为x ，则列出方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4．A 村到B 村是15千米，甲每小时行x 千米，乙比甲每小时快2千米，结果甲比乙多用了20分钟走完，列出的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 二、选择题 5．方程
的解是（ ）.
（A ）1 （B ）－1 （C ）±1 （D ）无实数解 6．关于x 的方程
实数解，则a 的取值范围是（ ）
（A ）a≠2 （B ）a ＞0，且a≠2 （C ）a≠--2 （D ）a≠±2 7．用换元法解方程 （A ）
（B ）
，设
（C ）
，则原方程变形为（ ）
（D ）
8．要在规定日期内完成一项工程，如甲队独做，刚好按期完成；如乙队独做，则要超过规定时间3天才能完成；甲乙两队合作两天，剩下的工程由乙队独做，则刚好按期完成，那么求规定日期为x 天的方程是（ ）. （A ）
三、解下列方程 9．
；
（B ）
（C ）
（D ）
10．；
11．；
12．
13．
四、列方程解应用题
；
14.A 、B 两地相距10千米，甲步行先从A 地前往B 地，一个半小时后，乙骑车也从A 地前往B 地，结果甲、乙两人同时到达B 地，已知乙每小时所走的路程比甲每小时所走的路程的2倍还多2千米，求甲、乙两人的速度.
15. 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出。已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为R=500+30x，P=170—2x.
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 16．先阅读下列一段文字，然后解答问题。
一个批发与零售兼营的文具店规定，凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。现有学生小王来买铅笔，如果给全校初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用（
100）；如果多买60支，则可以按批发价付款，同样需用（
）元（m 为正整数，且）元。
＞
（1）设这个学校初三年级共有x 名学生，则
① x 的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；铅笔的零售价每支为＿＿＿＿＿＿＿＿＿元，批发价每支为＿＿＿＿＿＿＿元（用含x 、m 的代数式表示）。
（2）若按批发价每购15支比零售价每购15支少付款1元，问这个学校初三年级共有多少学生？m 的值为多少？ 答案与提示
[答案]
一、1. x(x＋1)(x＋2) ； 2. m＝－4；
3. 二、5. D 6. D 7. B 8. B
三、9. 4，－3； 10. 1(增根，舍去)
，
；
11.0,
12.
13. －1，3，
；
4.
－2，4；
四、14. 甲、乙速度分别为4千米/时、10千米/时. 15. （1）由1750=Px—R ，得
（不合题意，舍去）；（2）35，1950元。
16．（1）①240＜x≤300；②；（2）当m=11时，初三年级共有学生300名。
[提示]
一、2. 当x ＋3＝0，即x ＝－3，故m ＝x －1＝－4.
二、5. 显然x ＝±1是增根，故排除A 、B 、C ，选D ； 8
． 三、13. 设x 2－2x ＝y ，
则
（y ＋2）（y ＋1）＋25（y －2）（y ＋1）＝24（y 2－4）
，变形得 .
整理后，得y －11y ＋24＝0. 解得 y 1＝3，y 2＝8. 当y ＝3时，x 2－2x ＝3,
解得 x 3＝－1，x 2＝3，x 3 ＝－2，x 4＝4都是原方程的解. 当y ＝8时，x 2－2x ＝8. 解得x 3＝－2，x 4＝4.
经检验：x 1＝－1，x 2＝3，x 3＝－2，x 4＝4都是原方程的解.
2
四、15．（2）利润
∴当x=35时，最大利润为1950元。 16．（2）由由
解得
（不合题意，舍去），
240＜x≤300得240＜30(m-1)≤300,解得m=10,或m=11。当m=10时，不合题意，故m=11。 这时
=99＜100，
=300。