交通信号灯中黄灯闪亮时间分析 摘要：
本问题要求通过分析黄灯应该闪烁的时间与车长，车速，地面的动摩擦系数等因素之间的关系，建立适当的模型解决实际问题。通过分析，在合理的假设情况下第一问通过建立微分方程模型，并且对建立的微分方程进行求解，从而得到了黄灯应亮的时间随机动车速度之间的非线性函数关系。第二问进行应用matlab 将得到的非线性函数最出了图像，通过对图像的分析，得到了黄灯应当亮的时间。第三问，第四位同样运用第一问建立的模型对给定的数据进行分析，计算，得到了不同的速度在不同的摩擦系数下黄灯应当亮的时间，并且得到了相同速度下黄灯应当亮的时间和摩擦系数的关系。在第五问中通过查阅文献得到了一般路面的摩擦系数，假设出一般机动车的车长和十字路口的长度，带入模型得到了新的非线性函数，根据题意得到在道路上的行驶的平均速度，从而得到一个黄灯应当亮的恰当时间。并且通过和现在黄灯亮的时间进行对比，从而验证模型可行性。 关键词：黄灯闪亮时间 微分方程 matlab
1问题重述
让我们来考虑这样一个问题：红绿灯在亮红灯之前黄灯应该亮多长时间？在交通管理中，定期地亮一段时间的黄灯是为了让那些正行驶在交叉路口上或距交叉路口太近以致无法停下的车辆通过路口。这样，红绿灯应保持足够长时间的黄灯，便于使那些无法停止的车辆有机会在黄灯期间通过路口。对于一位驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车，离路口太近，而要在红灯亮之前通过路口又显得太远。因此，当车辆驶近交叉路口时，驾驶员看到黄灯亮后，要做出决定：是停车还是通过路口。如果决定停车，他必须有足够的停车距离；如果决定通过路口，他必须有足够的时间使他能够安全通过路口，这包括做出停车决定的时间（反应时间）。那么，为了保证交通安全，黄灯应亮多长时间呢？黄灯亮的时间或许与下列因素有关——车辆的行驶速度、交通路口的宽度、车辆自身的长度、汽车的重量、驾驶员的反映时间和刹车距离。刹车是一个复杂的过程，为简化计算，可将刹车过程看成抵抗摩擦力（摩擦力等于摩擦系数乘上汽车的重量），将刹车效果用模型来反映。
1. 建立一个黄灯亮的时间与上述因素（或部分因素）有关的数学模型，将亮黄灯的时间长度表示成上述因素（或部分因素）的函数。
2. 如果反应时间是1s ，车辆的平均长度是4.5m ，路口的宽度是15m ，摩擦系数为0.2，试分析车辆的行驶速度与亮黄灯时间长度之间的关系。 3. 如果车辆的行驶速度分别为20km/h、30km/h、40km/h和50km/h，黄灯分别应亮多长时间？
4. 如果轮胎和制动器比较好，可以看成摩擦系数增加，如果摩擦系数从0.2增加到0.4时，请给出问题3 中亮黄灯的时间长度。
5. 考虑交通状况的不同、驾驶员习惯的不同，假设通过路口的车速在20～50km/h之间，且服从均匀分布，请计算亮黄灯的平均时间长度。
2 问题分析
在十字路口行驶的车辆中，我们主要考虑机动车辆。当车辆驶进十字路口时，如果此时黄色信号灯闪亮，驾驶员要作出决定：是停车还是驶过十字路口。如果他按法定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离，少于此距离是不能停车，大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车，也可以通过路口；当决定通过路口时，他必须有足够的时间能完全通过路口，这包括：作出决定的时间，车通过十字路口的时间，停车距离的驾驶时间（从刹车到车完全停止的时间）。
所以，黄灯闪亮的持续时间应包括驾驶员的决定时间（反应时间），他通过十字路口的时间和停车距离的驾驶时间。 3 模型的建立与求解 3.1量的分析和定义 T——黄灯应亮的时间 T 1——驾驶员的反应时间
T 2——汽车通过十字路口的时间 T 3——停车距离的驾驶时间 v 0——法定行驶速度 I ——十字路口长度 L ——典型车身长度 m ——车身质量
f ——车辆与地面的摩擦系数
x (t ) ——开始刹车到车辆停止所经过的路程 3.2模型假设
通过前面的分析和对问题所涉及的主要量的确定，给出黄灯时间求解模型假设：
（1）车辆的法定最高行驶速度、十字路口附近的行驶速度、通过十字路口的速度均为v 0.
（2）每个驾驶员从看到黄灯到作出是否停车的决定所需的反应时间一致。.
（3）所有行人和驾驶员均能遵守交通规则。 （4）交叉路口没有交通管制和堵车状况。 （5）汽车能正常通过交叉路口。 3.3 模型的建立
黄灯应亮的时间为
T =T 1+T 2+T 3
，
（1）
其中T 1是常数，而经过十字路口的路程为I +L
I +L
T =2 v 0。 （2）
T 3需要进一步求解，由于汽车质量为m ，车辆与路面的摩擦
系数为f ，则车辆与路面的摩擦力为
F =fm g （g 为重力加速度)
根据牛顿第二定律，车辆在刹车过程中应满足如下微分方程
⎧d 2x
⎪-fm g =m 2
dt ⎪
⎪dx
=v 0⎨
⎪dt t =0 （3） ⎪x 0=0⎪⎩
3.4 模型求解
首先进行第一次积分得
v =
dx
=-fgt +v 0 dt
在x=0处在进行一次积分得
12
x =-gt +v 0t
2
注意式（3）中在刹车的最后，v=0所经过的时间t 3可由下式求得：
0=-fgt +v 0
有：
t 3=v 0/(fg )
代入式（3），得：
2
()x t 1=D a =v 0/(2fg )
(4)
将式（2）和式（4）代入式（1），得黄灯亮的时间：
T =(D a +L +I )/V 0+t 1=v 0/(2fg )+(L +I )/v 0+t 1 ，
则
v 0L +I T =++T 1
2fg v 0 （5）
同时利用初等数学的公式，对于任意非负实数a 和b ，均有：
a +b ≥2ab
可求得 当
时 v 0=2fg （L +I ）
T *=min T =问题2
I +L /2fg +t 1
根据题设，如果反应的时间是1秒，车辆的平均长度是4.5米，路口的宽度是15米，摩擦系数为0.2，并将上述数据代入（5）式，则车辆的行驶速度与亮黄灯时间长度之间的关系为：
v 019. 5T =++1
4v 0 （6）
根据式子可画（0,30】区间内T-v 图像：
222018
16
黄灯的时间(t )
141210864
0510
15
速度（v ）
202530
通过图像明显的可以看出黄灯应该亮的时间随速度呈现减小后增加的趋势，易知时间存在一个最小值，我们可以将黄灯的时间取作最小的时间，从而得到司机是否前行。
(图像的matlab 程序在附录中给出) 问题3
车辆的行驶速度分别为20km/h，30km/h，40km/h，50km/h，求其对应的黄灯应亮时间。则将不同的v 0分别代入式（6）：
（计算结果使用matlab 计算，过程在附录中给出) 问题4
轮胎和制动器比较好，可以看成摩擦系数增加，摩擦系数从0.2增加到0.4时：
（计算结果使用matlab ，过程在附录中给出） 问题5
考虑交通状况的不同，驾驶员习惯的不同，假设通过路口的车速在20—50km/h之间，且服从均匀分布，根据均匀
a +b
分布的概念，在所给区间上，所给数据的平均值为2
（a ，
b 分别为区间的左右端点）。所以在20—50km/h之间，最佳估计值为35km/h，代入式（5）中可得：
T =5. 44s
4 模型的评价
在模型假设的前提下，代入数据可以解决题设问题，但是在实际生活中需要考虑的因素还有许多。
第一，驾驶员的反应时间根据人的差异肯定是有所区别的，与驾驶员的身体健康状况，精神状态密切相关。对于年老的，状态欠佳的反应时间会相应延长。所以在遇到实际不
同状况是，T 1应代入不同值进行计算。
第二，不同的道路状况，摩擦系数自然也是不同的，对于路面平坦的，自然摩擦系数就小，对于汽车轮胎的新旧也会影响摩擦系数的大小，所以用刹车距离近似停车线的距离是不可靠的。
第三，十字交叉路口的交通状况也会影响到刹车或前进时间。
第四， 不同的天气情况下摩擦系数也不相同，因此有必要在在交通灯上安装一个湿度感应装置，考虑到摩擦系数不能随空气湿度的增加而无限增加下去，因此摩擦系数与空气湿度应该为对数关系，最后因知识水平有限以及时间限制没有得出该函数的具体参数，但该模型的提出对整个模型有重要的意义，使模型解更加真实更有说服力。
综上，在应用模型时，应根据实际情况带入实际参数来计算。 5 结论
根据题设，建立模型如下：
v 0L +I
T =++T 1
2fg v 0
，
一般情况下，驾驶员反应时间为1.0s ，当轮胎为新时，查阅资料，带入数据得黄灯应亮时间为3.80s ，当轮胎磨损时，
代入数据得黄灯应亮时间为4.03s 。所以，在设置交通信号灯黄灯所亮时间为3.80—4.03s 。
6 参考文献
[1]王正东 .数学软件与数学实验（第二版）. 北京. 科学出版社.2010年.15—25.
[2]郭学军 .高等数学（上册） .北京 .科学出版社.2012年.180—195.
附录
问题2
画出不同速度对应的黄灯应该亮的时间
v1=1:30;
s=ones(1,30);生成一维单位矩阵
v2=s./v1;
T=v1/4+v2.*19.5+1;
plot(v1,T，‘r ’)%红线画图
hold on
grid on
xlabel('速度（v ）');
ylabel('黄灯的时间(t)')
问题3
function T1=f11(v)%定于一个时间随速度变化的函数f11
L=15;%道路的宽度
I=4.5;%一般汽车的长度
f1=0.2;%路面的动摩擦因数
g=10;%引力常量的近似值
t1=1;%人的反应时间
T1=(v/(2*f1*g))+((L+I)/v)+t1
问题4
function T2=f12(v)%定于一个时间随速度变化的函数f12
L=15;%道路的宽度
I=4.5;%一般汽车的长度
f2=0.4;%路面的动摩擦因数
g=10;%引力常量的近似值
t1=1;%人的反应时间
T2=(v/(2*f2*g))+((L+I)/v)+t1
将所给数据进行单位换算并计算摩擦因数为0.2和0.4时对应的时间 v1=[20 30 40 50];%给定的初始速度
x=ones(1,4);%生成一维单位矩阵
y=x.*3.6;%换算单位矩阵
v=v./y；
for i=1:4；%循环求出不同速度在动摩擦因数为0.2对应的黄灯的时间 f11（v （i ））;
end
for i=1:4；循环求出不同速度在动摩擦因数为0.2对应的黄灯的时间
f12（v （i ））;
end
T1=
5.8989
T 1=
5.4233
T 1=
5.5328
T1 =
5.8762
T2 =
5.2044
T 2=
4.3817
T 2=
4.1439 T 2=
4.1401
交通信号灯中黄灯闪亮时间分析 摘要：
本问题要求通过分析黄灯应该闪烁的时间与车长，车速，地面的动摩擦系数等因素之间的关系，建立适当的模型解决实际问题。通过分析，在合理的假设情况下第一问通过建立微分方程模型，并且对建立的微分方程进行求解，从而得到了黄灯应亮的时间随机动车速度之间的非线性函数关系。第二问进行应用matlab 将得到的非线性函数最出了图像，通过对图像的分析，得到了黄灯应当亮的时间。第三问，第四位同样运用第一问建立的模型对给定的数据进行分析，计算，得到了不同的速度在不同的摩擦系数下黄灯应当亮的时间，并且得到了相同速度下黄灯应当亮的时间和摩擦系数的关系。在第五问中通过查阅文献得到了一般路面的摩擦系数，假设出一般机动车的车长和十字路口的长度，带入模型得到了新的非线性函数，根据题意得到在道路上的行驶的平均速度，从而得到一个黄灯应当亮的恰当时间。并且通过和现在黄灯亮的时间进行对比，从而验证模型可行性。 关键词：黄灯闪亮时间 微分方程 matlab
1问题重述
让我们来考虑这样一个问题：红绿灯在亮红灯之前黄灯应该亮多长时间？在交通管理中，定期地亮一段时间的黄灯是为了让那些正行驶在交叉路口上或距交叉路口太近以致无法停下的车辆通过路口。这样，红绿灯应保持足够长时间的黄灯，便于使那些无法停止的车辆有机会在黄灯期间通过路口。对于一位驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车，离路口太近，而要在红灯亮之前通过路口又显得太远。因此，当车辆驶近交叉路口时，驾驶员看到黄灯亮后，要做出决定：是停车还是通过路口。如果决定停车，他必须有足够的停车距离；如果决定通过路口，他必须有足够的时间使他能够安全通过路口，这包括做出停车决定的时间（反应时间）。那么，为了保证交通安全，黄灯应亮多长时间呢？黄灯亮的时间或许与下列因素有关——车辆的行驶速度、交通路口的宽度、车辆自身的长度、汽车的重量、驾驶员的反映时间和刹车距离。刹车是一个复杂的过程，为简化计算，可将刹车过程看成抵抗摩擦力（摩擦力等于摩擦系数乘上汽车的重量），将刹车效果用模型来反映。
1. 建立一个黄灯亮的时间与上述因素（或部分因素）有关的数学模型，将亮黄灯的时间长度表示成上述因素（或部分因素）的函数。
2. 如果反应时间是1s ，车辆的平均长度是4.5m ，路口的宽度是15m ，摩擦系数为0.2，试分析车辆的行驶速度与亮黄灯时间长度之间的关系。 3. 如果车辆的行驶速度分别为20km/h、30km/h、40km/h和50km/h，黄灯分别应亮多长时间？
4. 如果轮胎和制动器比较好，可以看成摩擦系数增加，如果摩擦系数从0.2增加到0.4时，请给出问题3 中亮黄灯的时间长度。
5. 考虑交通状况的不同、驾驶员习惯的不同，假设通过路口的车速在20～50km/h之间，且服从均匀分布，请计算亮黄灯的平均时间长度。
2 问题分析
在十字路口行驶的车辆中，我们主要考虑机动车辆。当车辆驶进十字路口时，如果此时黄色信号灯闪亮，驾驶员要作出决定：是停车还是驶过十字路口。如果他按法定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离，少于此距离是不能停车，大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车，也可以通过路口；当决定通过路口时，他必须有足够的时间能完全通过路口，这包括：作出决定的时间，车通过十字路口的时间，停车距离的驾驶时间（从刹车到车完全停止的时间）。
所以，黄灯闪亮的持续时间应包括驾驶员的决定时间（反应时间），他通过十字路口的时间和停车距离的驾驶时间。 3 模型的建立与求解 3.1量的分析和定义 T——黄灯应亮的时间 T 1——驾驶员的反应时间
T 2——汽车通过十字路口的时间 T 3——停车距离的驾驶时间 v 0——法定行驶速度 I ——十字路口长度 L ——典型车身长度 m ——车身质量
f ——车辆与地面的摩擦系数
x (t ) ——开始刹车到车辆停止所经过的路程 3.2模型假设
通过前面的分析和对问题所涉及的主要量的确定，给出黄灯时间求解模型假设：
（1）车辆的法定最高行驶速度、十字路口附近的行驶速度、通过十字路口的速度均为v 0.
（2）每个驾驶员从看到黄灯到作出是否停车的决定所需的反应时间一致。.
（3）所有行人和驾驶员均能遵守交通规则。 （4）交叉路口没有交通管制和堵车状况。 （5）汽车能正常通过交叉路口。 3.3 模型的建立
黄灯应亮的时间为
T =T 1+T 2+T 3
，
（1）
其中T 1是常数，而经过十字路口的路程为I +L
I +L
T =2 v 0。 （2）
T 3需要进一步求解，由于汽车质量为m ，车辆与路面的摩擦
系数为f ，则车辆与路面的摩擦力为
F =fm g （g 为重力加速度)
根据牛顿第二定律，车辆在刹车过程中应满足如下微分方程
⎧d 2x
⎪-fm g =m 2
dt ⎪
⎪dx
=v 0⎨
⎪dt t =0 （3） ⎪x 0=0⎪⎩
3.4 模型求解
首先进行第一次积分得
v =
dx
=-fgt +v 0 dt
在x=0处在进行一次积分得
12
x =-gt +v 0t
2
注意式（3）中在刹车的最后，v=0所经过的时间t 3可由下式求得：
0=-fgt +v 0
有：
t 3=v 0/(fg )
代入式（3），得：
2
()x t 1=D a =v 0/(2fg )
(4)
将式（2）和式（4）代入式（1），得黄灯亮的时间：
T =(D a +L +I )/V 0+t 1=v 0/(2fg )+(L +I )/v 0+t 1 ，
则
v 0L +I T =++T 1
2fg v 0 （5）
同时利用初等数学的公式，对于任意非负实数a 和b ，均有：
a +b ≥2ab
可求得 当
时 v 0=2fg （L +I ）
T *=min T =问题2
I +L /2fg +t 1
根据题设，如果反应的时间是1秒，车辆的平均长度是4.5米，路口的宽度是15米，摩擦系数为0.2，并将上述数据代入（5）式，则车辆的行驶速度与亮黄灯时间长度之间的关系为：
v 019. 5T =++1
4v 0 （6）
根据式子可画（0,30】区间内T-v 图像：
222018
16
黄灯的时间(t )
141210864
0510
15
速度（v ）
202530
通过图像明显的可以看出黄灯应该亮的时间随速度呈现减小后增加的趋势，易知时间存在一个最小值，我们可以将黄灯的时间取作最小的时间，从而得到司机是否前行。
(图像的matlab 程序在附录中给出) 问题3
车辆的行驶速度分别为20km/h，30km/h，40km/h，50km/h，求其对应的黄灯应亮时间。则将不同的v 0分别代入式（6）：
（计算结果使用matlab 计算，过程在附录中给出) 问题4
轮胎和制动器比较好，可以看成摩擦系数增加，摩擦系数从0.2增加到0.4时：
（计算结果使用matlab ，过程在附录中给出） 问题5
考虑交通状况的不同，驾驶员习惯的不同，假设通过路口的车速在20—50km/h之间，且服从均匀分布，根据均匀
a +b
分布的概念，在所给区间上，所给数据的平均值为2
（a ，
b 分别为区间的左右端点）。所以在20—50km/h之间，最佳估计值为35km/h，代入式（5）中可得：
T =5. 44s
4 模型的评价
在模型假设的前提下，代入数据可以解决题设问题，但是在实际生活中需要考虑的因素还有许多。
第一，驾驶员的反应时间根据人的差异肯定是有所区别的，与驾驶员的身体健康状况，精神状态密切相关。对于年老的，状态欠佳的反应时间会相应延长。所以在遇到实际不
同状况是，T 1应代入不同值进行计算。
第二，不同的道路状况，摩擦系数自然也是不同的，对于路面平坦的，自然摩擦系数就小，对于汽车轮胎的新旧也会影响摩擦系数的大小，所以用刹车距离近似停车线的距离是不可靠的。
第三，十字交叉路口的交通状况也会影响到刹车或前进时间。
第四， 不同的天气情况下摩擦系数也不相同，因此有必要在在交通灯上安装一个湿度感应装置，考虑到摩擦系数不能随空气湿度的增加而无限增加下去，因此摩擦系数与空气湿度应该为对数关系，最后因知识水平有限以及时间限制没有得出该函数的具体参数，但该模型的提出对整个模型有重要的意义，使模型解更加真实更有说服力。
综上，在应用模型时，应根据实际情况带入实际参数来计算。 5 结论
根据题设，建立模型如下：
v 0L +I
T =++T 1
2fg v 0
，
一般情况下，驾驶员反应时间为1.0s ，当轮胎为新时，查阅资料，带入数据得黄灯应亮时间为3.80s ，当轮胎磨损时，
代入数据得黄灯应亮时间为4.03s 。所以，在设置交通信号灯黄灯所亮时间为3.80—4.03s 。
6 参考文献
[1]王正东 .数学软件与数学实验（第二版）. 北京. 科学出版社.2010年.15—25.
[2]郭学军 .高等数学（上册） .北京 .科学出版社.2012年.180—195.
附录
问题2
画出不同速度对应的黄灯应该亮的时间
v1=1:30;
s=ones(1,30);生成一维单位矩阵
v2=s./v1;
T=v1/4+v2.*19.5+1;
plot(v1,T，‘r ’)%红线画图
hold on
grid on
xlabel('速度（v ）');
ylabel('黄灯的时间(t)')
问题3
function T1=f11(v)%定于一个时间随速度变化的函数f11
L=15;%道路的宽度
I=4.5;%一般汽车的长度
f1=0.2;%路面的动摩擦因数
g=10;%引力常量的近似值
t1=1;%人的反应时间
T1=(v/(2*f1*g))+((L+I)/v)+t1
问题4
function T2=f12(v)%定于一个时间随速度变化的函数f12
L=15;%道路的宽度
I=4.5;%一般汽车的长度
f2=0.4;%路面的动摩擦因数
g=10;%引力常量的近似值
t1=1;%人的反应时间
T2=(v/(2*f2*g))+((L+I)/v)+t1
将所给数据进行单位换算并计算摩擦因数为0.2和0.4时对应的时间 v1=[20 30 40 50];%给定的初始速度
x=ones(1,4);%生成一维单位矩阵
y=x.*3.6;%换算单位矩阵
v=v./y；
for i=1:4；%循环求出不同速度在动摩擦因数为0.2对应的黄灯的时间 f11（v （i ））;
end
for i=1:4；循环求出不同速度在动摩擦因数为0.2对应的黄灯的时间
f12（v （i ））;
end
T1=
5.8989
T 1=
5.4233
T 1=
5.5328
T1 =
5.8762
T2 =
5.2044
T 2=
4.3817
T 2=
4.1439 T 2=
4.1401