三角函数公式整合：
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=（2tanA ）/（1-tanA^2）
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
诱导公式
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan （π/2＋α）＝－cotα tan （π/2－α）＝cotα tan （π－α）＝－tanα
tan （π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式
1. 极限的概念
（1）数列的极限：∀ε>0，∃N （正整数），当n >N 时，恒有x n -A
n →∞
lim x n =A 或 x n →A (n →∞)
几何意义：在(A -ε, A +ε) 之外，{x n }至多有有限个点x 1, x 2, , x N
（2）函数的极限
x →∞的极限：∀ε>0，∃X >0，当x >X 时，恒有f (x ) -A
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A (x →∞)
x →∞
几何意义：在（-X
x →x 0的极限：∀ε>0，∃δ>0，当0
x →x 0
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A (x →x 0)
几何意义：在x ∈(x 0-δ, x 0) (x 0, x 0+δ) 邻域内，f (x ) 的值总在(A -ε, A +ε) 之间。
（3） 左右极限
左极限：∀ε>0，∃δ>0，当x 0-δ
x →x 0
lim -f (x ) =A 或 f -(x 0) =f (x 0-0) =A
右极限：∀ε>0，∃δ>0，当x 0
lim +f (x ) =A 或 f +(x 0) =f (x 0+0) =A
x →x 0
极限存在的充要条件：lim f (x ) =A =lim f (x )
x →x 0
-
x →x 0
+
（4）极限的性质
唯一性：若lim f (x ) =A ，则A 唯一
x →x 0
保号性：若lim f (x ) =A ，则在x 0的某邻域内
x →x 0
A >0(A 0(f (x )
有界性：若lim f (x ) =A ，则在x 0的某邻域内，f (x ) 有界
x →x 0
2. 无穷小与无穷大
（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。
注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。 例如当x →∞时，x sin x 是无界变量，但不是无穷大量。
（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；
x →x 0
lim f (x ) =A 成立的充要条件是f (x ) =A +α（x ∈(x 0-δ, x 0+δ) ，lim α=0）
（3）无穷小的比较（设 lim α=0，lim β=0）： 若lim 的主部
若lim 若lim 若lim 若lim
βα
βαβ
=∞，则称β是比α低阶的无穷小； =C ，则称β与α是同阶无穷小；
=1，则称β与α是等价无穷小，记为β~α； =C ，（C ≠0, k >0）则称β为α的k 阶无穷小；
u v
=∞，则称u 是比v 高阶的
βα
=0，则称β是比α高阶的无穷小，记为o (α) ；特别α称为α+β=α+o (α)
αβα
k
（4）无穷大的比较： 若lim u =∞，lim v =∞，且lim 无穷大，记为o 1(v ) ；特别u 称为u +v =o 1(v ) +v 的主部
3. 等价无穷小的替换
若同一极限过程的无穷小量α~α'，β~β'，且lim
α'β'
存在，则
lim
αf (x ) βg (x )
=lim
α'f (x ) β'g (x )
⎧⎪⎪⎪⎪
常用等价无穷
小⎪
⎨
(limα=0) ⎪
⎪⎪⎪⎪⎩
sin αtan αarcsin αarctan αln(1+α) e
-1
⎫
⎧⎪21
α⎪1-cos α~⎪
2⎪⎪
⎪⎪1
1~α⎪⎪
2 ⎬~α ⎨
1
⎪⎪1n
α⎪⎪(1+α) -1~n ⎪⎪
⎪⎪
a α-1~αln a
⎩⎪
⎭
注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；
（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即
若lim f (α) =f (0)，α~α'，则f (α) ~f (α')
4. 极限运算法则（设 lim f (x ) =A ，lim g (x ) =B ） （1） lim [f (x ) ±g (x ) ]=lim f (x ) ±lim g (x ) =A ±B （2） lim [f (x ) ⋅g (x ) ]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) =A ⋅B
特别地，lim [Cf (x ) ]=C lim f (x ) ，lim [f (x ) ]=[lim f (x ) ]=A n
n
n
（3） lim
f (x ) g (x )
=
lim f (x ) lim g (x )
=
A B
(B ≠0)
5. 准则与公式（lim α=0，lim β=0） 准则1：（夹逼定理）若ϕ(x ) ≤f (x ) ≤ψ(x ) ，则
lim ϕ(x ) =lim ψ(x ) =A ⇒ lim f (x ) =A
准则2：（单调有界数列必有极限）
若{x n }单调，且x n ≤M （M >0），则lim x n 存在（{x n }收敛）
n →∞
准则3：（主部原则）
lim
α+o (α) β+o (β)
=lim
αβ
； lim
∞1+o 1(∞1) ∞2+o 1(∞2)
=lim
o 1(∞1) o 1(∞2)
公式1： lim
sin x x
x →0
s i α
= 1=1 ⇒ l i α
1
⎧⎧⎫x
lim (1+x ) ⎪1α⎪⎪⎪l i m (+⎪x →0⎪
公式2： ⎨⎬=e ⇒ ⎨11⎪lim (1+) n ⎪⎪l i m (+1
∞⎪⎪n ⎪⎩n →∞⎭⎩
1
α
⎫
) ⎪⎪
⎬=e ∞⎪) ⎪⎭
公式3： lim(1+α) ∞=e lim α⋅∞，一般地，lim(1+α) f =e lim α⋅f
⎧0⎪⎪a =⎨n
⎪b m ⎪∞⎩
n m
公式4：lim
a n x +a n -1x b m x +b m -1x
m
n n -1m -1
+ +a 0+ +b 0
x →∞
=lim
a n x b m x
n m
x →∞
6. 几个常用极限(a >0, a ≠1) （1）lim
n →∞
n
a =1，lim
x
n
n →∞
n =1； （2）lim x x =1，lim x =+∞；
+
x →0
x
x →+∞
（3）lim e =+∞，lim e =0； （4）lim ln x =-∞；
x →0
+
x
x →0
-
x →0
+
⎧
lim +arctan ⎪x ⎪→0
（5）⎨
⎪lim arctan ⎪⎩x →0-
⎧0
=⎪
⎪∞x 2n
； （6）lim q =⎨
n →∞11π⎪=-
⎪不存在x 2⎩
1π
q 1q =1q =-1
三角函数公式整合：
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
Sin2A=2SinA•CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=（2tanA ）/（1-tanA^2）
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
诱导公式
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan （π/2＋α）＝－cotα tan （π/2－α）＝cotα tan （π－α）＝－tanα
tan （π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式
1. 极限的概念
（1）数列的极限：∀ε>0，∃N （正整数），当n >N 时，恒有x n -A
n →∞
lim x n =A 或 x n →A (n →∞)
几何意义：在(A -ε, A +ε) 之外，{x n }至多有有限个点x 1, x 2, , x N
（2）函数的极限
x →∞的极限：∀ε>0，∃X >0，当x >X 时，恒有f (x ) -A
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A (x →∞)
x →∞
几何意义：在（-X
x →x 0的极限：∀ε>0，∃δ>0，当0
x →x 0
lim f (x ) =A 或 f (x ) →A (x →x 0)
几何意义：在x ∈(x 0-δ, x 0) (x 0, x 0+δ) 邻域内，f (x ) 的值总在(A -ε, A +ε) 之间。
（3） 左右极限
左极限：∀ε>0，∃δ>0，当x 0-δ
x →x 0
lim -f (x ) =A 或 f -(x 0) =f (x 0-0) =A
右极限：∀ε>0，∃δ>0，当x 0
lim +f (x ) =A 或 f +(x 0) =f (x 0+0) =A
x →x 0
极限存在的充要条件：lim f (x ) =A =lim f (x )
x →x 0
-
x →x 0
+
（4）极限的性质
唯一性：若lim f (x ) =A ，则A 唯一
x →x 0
保号性：若lim f (x ) =A ，则在x 0的某邻域内
x →x 0
A >0(A 0(f (x )
有界性：若lim f (x ) =A ，则在x 0的某邻域内，f (x ) 有界
x →x 0
2. 无穷小与无穷大
（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以∞为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。
注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。 例如当x →∞时，x sin x 是无界变量，但不是无穷大量。
（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；
x →x 0
lim f (x ) =A 成立的充要条件是f (x ) =A +α（x ∈(x 0-δ, x 0+δ) ，lim α=0）
（3）无穷小的比较（设 lim α=0，lim β=0）： 若lim 的主部
若lim 若lim 若lim 若lim
βα
βαβ
=∞，则称β是比α低阶的无穷小； =C ，则称β与α是同阶无穷小；
=1，则称β与α是等价无穷小，记为β~α； =C ，（C ≠0, k >0）则称β为α的k 阶无穷小；
u v
=∞，则称u 是比v 高阶的
βα
=0，则称β是比α高阶的无穷小，记为o (α) ；特别α称为α+β=α+o (α)
αβα
k
（4）无穷大的比较： 若lim u =∞，lim v =∞，且lim 无穷大，记为o 1(v ) ；特别u 称为u +v =o 1(v ) +v 的主部
3. 等价无穷小的替换
若同一极限过程的无穷小量α~α'，β~β'，且lim
α'β'
存在，则
lim
αf (x ) βg (x )
=lim
α'f (x ) β'g (x )
⎧⎪⎪⎪⎪
常用等价无穷
小⎪
⎨
(limα=0) ⎪
⎪⎪⎪⎪⎩
sin αtan αarcsin αarctan αln(1+α) e
-1
⎫
⎧⎪21
α⎪1-cos α~⎪
2⎪⎪
⎪⎪1
1~α⎪⎪
2 ⎬~α ⎨
1
⎪⎪1n
α⎪⎪(1+α) -1~n ⎪⎪
⎪⎪
a α-1~αln a
⎩⎪
⎭
注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；
（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形； （3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即
若lim f (α) =f (0)，α~α'，则f (α) ~f (α')
4. 极限运算法则（设 lim f (x ) =A ，lim g (x ) =B ） （1） lim [f (x ) ±g (x ) ]=lim f (x ) ±lim g (x ) =A ±B （2） lim [f (x ) ⋅g (x ) ]=lim f (x ) ⋅lim g (x ) =A ⋅B
特别地，lim [Cf (x ) ]=C lim f (x ) ，lim [f (x ) ]=[lim f (x ) ]=A n
n
n
（3） lim
f (x ) g (x )
=
lim f (x ) lim g (x )
=
A B
(B ≠0)
5. 准则与公式（lim α=0，lim β=0） 准则1：（夹逼定理）若ϕ(x ) ≤f (x ) ≤ψ(x ) ，则
lim ϕ(x ) =lim ψ(x ) =A ⇒ lim f (x ) =A
准则2：（单调有界数列必有极限）
若{x n }单调，且x n ≤M （M >0），则lim x n 存在（{x n }收敛）
n →∞
准则3：（主部原则）
lim
α+o (α) β+o (β)
=lim
αβ
； lim
∞1+o 1(∞1) ∞2+o 1(∞2)
=lim
o 1(∞1) o 1(∞2)
公式1： lim
sin x x
x →0
s i α
= 1=1 ⇒ l i α
1
⎧⎧⎫x
lim (1+x ) ⎪1α⎪⎪⎪l i m (+⎪x →0⎪
公式2： ⎨⎬=e ⇒ ⎨11⎪lim (1+) n ⎪⎪l i m (+1
∞⎪⎪n ⎪⎩n →∞⎭⎩
1
α
⎫
) ⎪⎪
⎬=e ∞⎪) ⎪⎭
公式3： lim(1+α) ∞=e lim α⋅∞，一般地，lim(1+α) f =e lim α⋅f
⎧0⎪⎪a =⎨n
⎪b m ⎪∞⎩
n m
公式4：lim
a n x +a n -1x b m x +b m -1x
m
n n -1m -1
+ +a 0+ +b 0
x →∞
=lim
a n x b m x
n m
x →∞
6. 几个常用极限(a >0, a ≠1) （1）lim
n →∞
n
a =1，lim
x
n
n →∞
n =1； （2）lim x x =1，lim x =+∞；
+
x →0
x
x →+∞
（3）lim e =+∞，lim e =0； （4）lim ln x =-∞；
x →0
+
x
x →0
-
x →0
+
⎧
lim +arctan ⎪x ⎪→0
（5）⎨
⎪lim arctan ⎪⎩x →0-
⎧0
=⎪
⎪∞x 2n
； （6）lim q =⎨
n →∞11π⎪=-
⎪不存在x 2⎩
1π
q 1q =1q =-1