初三数学圆知识点
一.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
简单记成：一条直线：①过圆心②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧
以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①
B
⌒ =⌒ ⑤⌒ =⌒ 中
AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④BCBDACAD
任意2个条件推出其他3个结论。
例1．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ___． 例2 ．已知⊙O的直径CD
A
．=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ C ）
B
．
C
．
D
．
或
例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 ．
例4、如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A．点P B．点Q C．点R D．点M 二、圆周角定理
1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：∵∠AOB和
⌒ 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB
∠ACB是AB
2、圆周角定理的推论：
推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90︒圆周角所对的弦直径 推论2：圆内接四边形的对角互补；
由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等； 2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等； 简记：在同圆或等圆中，①弦②圆心角③弧中只要一个相等，其它两个也相等。
例1、如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 70° ．
例2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A．
B．C． D．
例3、如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙0上，顶点C在⊙0的直径BE上，连接AE，∠E=360
，
则∠ADC=( ) A,440 B．54
C．720 D．530
学生练习：
三、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆内⇔______；点在圆上⇔_______；•点在圆外⇔_______． 2．直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：
（1）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_____，公共点叫做_____，此时d_____r； （2）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的______，公共点叫做______，此时d_______r． （3）直线和圆有____个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d______r． 3.切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA
=PB PO平分∠BPA
例1.已知⊙O的半径为3,A为线段PO的中点,则当OP=6时,点A与⊙O的位置关系为( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
2.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长为
以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
3.如图所示,⊙O的外形梯形ABCD中,如果AD∥BC,那么∠DOC的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°
4.如图所示,PA与PB分别切⊙O于A、B两点,C是 AB上任意一点,过C作⊙O的切线,交PA及PB于D、E两点,若PA=PB=5cm,则△PDE的周长是_______cm.
5、如图2，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 A．1 B．1或5 C．3 D．5
6、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
(第6题)
7．如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，
AB=4
，求⊙O的面积．
8.如图所示,点I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC外接圆于点E. (1)求证:IE=BE;(2)若IE=4,AE=8,求DE的长.
9、已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线y=点．
12
x上的一个动4
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=
练习：
12
x的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM． 4
8、如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是 2 ．
9、已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： ∠BAE=90° 或者 ∠EAC=∠ABC ．
（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
四.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
D1
nπRnπR21
=lR 1、扇形：（1）弧长公式：l=；（2）扇形面积公式： S=
1803602
C1
n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积
2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图： S表（2）圆柱的体积：V
=S侧+2S底=2πrh+2πr2
=πrh
2
122
3、圆锥侧面展开图（1）S表=S侧+S底=πRr+πr （2）圆锥的体积：V=πrh
3
4、正多边形的其它性质
(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似。
5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。 正n边形的有关计算公式
（n-2）18003600；3600 0
(1)每个内角==180-每个外角=
nnn
（2）正n边形边长a=2R⋅sin180，内切圆半径r=R⋅cos180，正n边形周长=
nn
n⋅a
[1**********]
(3)正n边形面积S=n⋅⋅r⋅a=Pr=nR⋅sin ⋅cos
22nn
注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比=cos180。
n
这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比=cos180
n
例1、一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（ ）
A．
8164
cm B．cm C．3cm D．cm 333
例2、
已知圆的半径是 ）
（A
）（B
） （C
）（D
）
4、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
222
A． R﹣r=aB．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
5、如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D. （1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长.
6.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点．
例1、∆ABC中，AB=AC=10，BC=12，则∆ABC的外接圆半径是 .外切圆半径为
7.辅助线总结 圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明． 3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算． 4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径． 9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点． 11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．
初三数学圆知识点
一.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
简单记成：一条直线：①过圆心②垂直弦 ③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧
以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①
B
⌒ =⌒ ⑤⌒ =⌒ 中
AB是直径 ②AB⊥CD ③CE=DE ④BCBDACAD
任意2个条件推出其他3个结论。
例1．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ___． 例2 ．已知⊙O的直径CD
A
．=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ C ）
B
．
C
．
D
．
或
例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 ．
例4、如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A．点P B．点Q C．点R D．点M 二、圆周角定理
1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：∵∠AOB和
⌒ 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB
∠ACB是AB
2、圆周角定理的推论：
推论1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90︒圆周角所对的弦直径 推论2：圆内接四边形的对角互补；
由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等； 2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等； 简记：在同圆或等圆中，①弦②圆心角③弧中只要一个相等，其它两个也相等。
例1、如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 70° ．
例2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A．
B．C． D．
例3、如图，□ABCD的顶点A、B、D在⊙0上，顶点C在⊙0的直径BE上，连接AE，∠E=360
，
则∠ADC=( ) A,440 B．54
C．720 D．530
学生练习：
三、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆内⇔______；点在圆上⇔_______；•点在圆外⇔_______． 2．直线与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么：
（1）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_____，公共点叫做_____，此时d_____r； （2）直线和圆有_____个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的______，公共点叫做______，此时d_______r． （3）直线和圆有____个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d______r． 3.切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MN（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
⊥OA且MN过半径OA外端 ∴MN是⊙O的切线
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA
=PB PO平分∠BPA
例1.已知⊙O的半径为3,A为线段PO的中点,则当OP=6时,点A与⊙O的位置关系为( )
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
2.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB长为
以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
3.如图所示,⊙O的外形梯形ABCD中,如果AD∥BC,那么∠DOC的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°
4.如图所示,PA与PB分别切⊙O于A、B两点,C是 AB上任意一点,过C作⊙O的切线,交PA及PB于D、E两点,若PA=PB=5cm,则△PDE的周长是_______cm.
5、如图2，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(-3,0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为 A．1 B．1或5 C．3 D．5
6、如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．
（1）求证：DE是半圆⊙O的切线． （2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．
(第6题)
7．如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C． （1）求证：AB与⊙O相切； （2）若∠AOB=120°，
AB=4
，求⊙O的面积．
8.如图所示,点I是△ABC的内心,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC外接圆于点E. (1)求证:IE=BE;(2)若IE=4,AE=8,求DE的长.
9、已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线y=点．
12
x上的一个动4
（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=
练习：
12
x的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：∠PNM=∠QNM． 4
8、如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x﹣y）的最大值是 2 ．
9、已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①所示，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种）： ∠BAE=90° 或者 ∠EAC=∠ABC ．
（2）如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是⊙O的切线吗？试证明你的判断．
四.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
D1
nπRnπR21
=lR 1、扇形：（1）弧长公式：l=；（2）扇形面积公式： S=
1803602
C1
n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形弧长 S：扇形面积
2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图： S表（2）圆柱的体积：V
=S侧+2S底=2πrh+2πr2
=πrh
2
122
3、圆锥侧面展开图（1）S表=S侧+S底=πRr+πr （2）圆锥的体积：V=πrh
3
4、正多边形的其它性质
(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似。
5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。 正n边形的有关计算公式
（n-2）18003600；3600 0
(1)每个内角==180-每个外角=
nnn
（2）正n边形边长a=2R⋅sin180，内切圆半径r=R⋅cos180，正n边形周长=
nn
n⋅a
[1**********]
(3)正n边形面积S=n⋅⋅r⋅a=Pr=nR⋅sin ⋅cos
22nn
注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比=cos180。
n
这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比=cos180
n
例1、一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（ ）
A．
8164
cm B．cm C．3cm D．cm 333
例2、
已知圆的半径是 ）
（A
）（B
） （C
）（D
）
4、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
222
A． R﹣r=aB．a=2Rsin36° C．a=2rtan36° D．r=Rcos36°
5、如图,⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D. （1）求弧BC的长； （2）求弦BD的长.
6.三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点．
例1、∆ABC中，AB=AC=10，BC=12，则∆ABC的外接圆半径是 .外切圆半径为
7.辅助线总结 圆中常见的辅助线
1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．
2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明． 3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算． 4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．
5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角． 6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角． 7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．
8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径． 9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．
10)．遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点． 11)．遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线．