解析大题(不用韦达定理)

解析几何中不用韦达定理试题

x 2y 2

1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以

a b

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;

(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

(Ⅰ)求椭圆G 的方程;

,其短轴的两端点分别为A (01),,B (0,-1) . (Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. 3、【2015年西城二模】设

x 2y 2

分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的

a b

左顶点,

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为

,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

4、【东城一模理19】(本小题共13分)

1x 2y 2

B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,

2a b

端点,△A 1BA

2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,

分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.

5、【东城区一模19】((本小题共13分)

x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1

)a b (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C

的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点

动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值.

二、直线不与圆锥曲线相交问题

x 2y 2

1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以

a b

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;

(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.

⎧2a =4,

解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =

2,b =c = ………………3分

⎪a 2-b 2=c 2. ⎩

x 2y 2

所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为+=1. ………………5分

42

2

2

(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则

⎧22

⎪x 0⎨4+y 02=1, 即⎧⎪⎨x 24-2y 2

0=0, 2 ⎪⎩

22

x 2+y =2, ⎪⎩x Q =2-y Q 00. ………………7分

又由AP :y =

y 0x (x +2) 得M (0,2y 0

) . 0+2x 0+2:y =

y 由BP 0x (x -2) 得N (0,-2y 0

x ) . 0-20-2

………………10分

所以

QM uuu r =(-x 2y 0x 0y

0Q , x -y 0) =(-x Q , -) ,

0+2x 0+2

QN uuu r =(-x 2y 0x y Q , -x -y 0) =(-x Q , -00) .

0-2x 0-2

222

所以 QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2x y 2002

(4-2y 0) y 0Q +x 2=2-y 0+2y 2

=0. 0-4-0

所以

QM ⊥QN

,即

∠MQN =90︒. ………………

(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x 0, y 0) ,

AP :y =k (x +2) (k ≠0).

⎧x 2y 2

由⎪⎨=1, ⎪4+

2得⎩

y =k (x +2) (2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-4=0.

8k 2-42-4k 2

所以 -2x 0=2k 2+1,即x 0=2k 2+1

.

14分

4k 2-4k 24k

所以 y 0=,即P (, ) .

2k 2+12k 2+12k 2+1

4k

2=-1. 所以 直线BP 的斜率为

2-4k 22k

-22k 2+11

(x -2) . 所以 BP :y =-2k

1

令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分

k

uuu r uuu r 1

设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .

k

uuu r uuu r 12k 2+1222

所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.

k k

因为 x Q +y 0=2, y 0=

2

2

u u u r u u u r

所以 QM ⋅QN =0.

4k

, 2

2k +1

所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

(Ⅰ)求椭圆G 的方程;

,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),

(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =

1,

2

c 22

,a =2c , =

a 2

∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分

x 2

+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2

(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,

k AC =

y 0-1y +1

, k BD =0, x 0-x 0

AC :y =

y 0-1y +1

x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0

x 0-x 0

, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0

令y =0,则x M =

x 0-x 0

+

1-y 01+y 0x y

, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(

21-y 0

半径为

x |x 0||MN |1x 0

, =|+0|=

221-y 01+y 01-y 02

2

x y x 0

∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22

1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2

∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'

2x 0x 0

2

2

令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x +y =2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,

2

2

22

2

,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2

y =±2,代入⊗'得:

2

4y 4y 0+2x 04

左=0+2===右 ………………13分 222

x 0x 0x 0

∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设

x 2y 2

分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的

a b

左顶点,

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为

,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

4、【东城一模理19】(本小题共13分)

1x 2y 2

B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,

2a b

端点,△A 1BA

2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,

分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.

⎧c 1

⎪a =2, ⎪⎪

(Ⅰ)解:由已知

⎨ab = …………2分

⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩

解得a =

2,b = …………4分

x 2y 2

+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F

设P x 0, y 0

()(x

22≠±2),则3x 0+4y 0=12.

于是直线A 1P 方程为 y =

y 06y 0

x =4,令,得; x +2y =()M

x 0+2x 0+2

所以M (4,

6y 02y 0

) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0

⨯ x 0+2x 0-2

所以F 2M =(3,

所以 F 2M ⋅F 2N =(3,

=9+

223(12-3x 0) 12y 0

=9+ =9+2

2

x 0-4x 0-4

=9-

29(x 0-4)2x 0-4

=9-9=0.

所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,

4y 0(x 0-1)

) . …………10分 2

x 0-4

又F 2E =(3,

4y 0(x 0-1)

) ,F 2P =(x 0-1, y 0),

x 02-4

24y 04y 0(x 0-1) (x 0-1)

) 所以F 2E ⋅F 2P =(3,⋅x -1, y =3x -1+()()0002

x 02-4x 0-4

=3(x 0

12-3x )(x (-1+

)

2

-1)

2x 0-4

=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.

所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分

因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)

x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1

),且离心率为.

a b 2

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C

的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点

动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =

1,

c , =

a 解得a =2. …………4分

x 2

+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2

于是直线A 1P 的方程为y =

y 0.

(x +2) ,令x =

y =

x 0+

20即DE =2)

y 0x 0+2

. …………7分

又直线A 2P 的方程为y =

y 02) y 0

(x -2) ,令x =

y =

x 0-

2x 0-2

. …………9分

即DF =2)

y 0x 0-2

y 0y 04y 024y 02

⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2

x 0+2x 0-24-x x 0-40

x 02x 2222

+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044

4-x 02

得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分

4-x 02

解析几何中不用韦达定理试题

x 2y 2

1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以

a b

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;

(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.

⎧2a =4,

解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =

2,b =c = ………………3分

⎪a 2-b 2=c 2. ⎩

x 2y 2

所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为+=1. ………………5分

2

2

42

(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则

⎪x 22

0⎨4+y 02=1, 即⎧⎪22

⎪⎨x 0=4-2y 0, 2 ⎩x 2+y 2x =2-y 2

Q

0=2, ⎪⎩Q 0. ………………7分

又由AP :y =

y 0x (x +2) 得M (0,2y 0) . 0+2x 0+2

由BP :y =y 0x (x -2) 得N (0,-2y 0

) .

0-2x 0-2

………………10分

QM uuu r =(-x 2y 0x y

Q , x +2-y 0) =(-x Q , -00x +2

) ,

00QN uuu r =(-x 2y 0x y Q , -x -y 0) =(-x Q , -00) .

0-2x 0-2

QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2+x 22220y 02

(4-2y 0) y 0Q x 2-4=2-y 0+-2y 2

=0. 00

所以

QM ⊥QN

,即

∠MQN =90︒. ………………

(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x 0, y 0) ,

AP :y =k (x +2) (k ≠0).

⎧x 2由⎪⎨4+y 2

=1, 得(2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2

-4=0⎪2. ⎩

y =k (x +2) 14分

8k 2-42-4k 2

所以 -2x 0=,即x 0=.

2k 2+12k 2+1

4k 2-4k 24k

所以 y 0=,即P (, ) . 222

2k +12k +12k +1

4k

2=-1. 所以 直线BP 的斜率为

2-4k 22k

-22k 2+11

(x -2) . 所以 BP :y =-2k

1

令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分

k

uuu r uuu r 1

设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .

k

uuu r uuu r 12k 2+1222

所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.

k k

因为 x Q +y 0=2, y 0=

2

2

u u u r u u u r

所以 QM ⋅QN =0.

4k

2k 2+1

所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

的离心率为 (Ⅰ)求椭圆G 的方程;

,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),

2

(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =

1,

2

c 22

,a =2c , =

a 2

2

∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分

x 2

+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2

(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,

k AC =

y 0-1y +1

, k BD =0, x 0-x 0

y 0-1y +1

x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0

x 0-x 0

, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0

AC :y =

令y =0,则x M =

x 0-x 0

+

1-y 01+y 0x y

, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(

21-y 0

半径为

x |x 0||MN |1x 0

, =|+0|=2

221-y 01+y 01-y 0

2

x y x 0

∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22

1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2

∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'

2x 0x 0

2

2

令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x 2+y 2=2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,

2

2

2

,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2

y =±2,代入⊗'得:

2

4y 4y 0+2x 04

左=0+2===右 ………………13分 222

x 0x 0x 0

∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设

x 2y 2

分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的

a b

左顶点,

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为

,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

直径的圆经过点F 1,证明:

4、【东城一模理19】(本小题共13分)

1x 2y 2

B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,

2a b

端点,△A 1BA

2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,

分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.

⎧c 1

⎪a =2, ⎪⎪

(Ⅰ)解:由已知

⎨ab = …………2分

⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩

解得a =

2,b = …………4分

x 2y 2

+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F

设P x 0, y 0

()(x

22≠±2),则3x 0+4y 0=12.

于是直线A 1P 方程为 y =

y 06y

(x +2),令x =4,得y M =0; x 0+2x 0+2

所以M (4,

6y 02y 0

) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0

⨯ x 0+2x 0-2

所以F 2M =(3,

所以 F 2M ⋅F 2N =(3,

=9+

223(12-3x 0) 12y 0

=9+ =9+2

2

x 0-4x 0-4

29(x 0-4)

=9-

x -4

2

=9-9=0.

所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,

4y 0(x 0-1)

) . …………10分

x 02-4

又F 2E =(3,

4y 0(x 0-1)

) ,F 2P =(x 0-1, y 0), 2

x 0-4

24y 0x 0-1)4y 0(x 0-1) () 所以F 2E ⋅F 2P =(3, ⋅(x 0-1, y 0)=3(x 0-1)+22

x 0-4x 0-4

=3(x 0

12-3x )(x (-1+

)

2

-1)

x -4

20

=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.

所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分

因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)

x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1

),且离心率为.

a b 2

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C

的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点

动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =

1,

c , =

a 2

解得a =2. …………4分

x 2

+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2

于是直线A 1P 的方程为y =

y 02) y 0

.

(x +2) ,令x =

y =

x 0+

2x 0+2

即DE =2)

y 0x 0+2

. …………7分

又直线A 2P 的方程为y =

y 02) y 0

(x -2) ,令x =

y =

x 0-

2x 0-2

. …………9分

即DF =2)

y 0x 0-2

y 0y 04y 024y 02

⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2

x 0+2x 0-2x 0-44-x 0

x 02x 2222

+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044

4-x 02

得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分 2

4-x 0

二、直线不与圆锥曲线相交问题

x 2y 2

1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以

a b

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;

(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.

⎧2a =4,

解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =

2,b =c = ………………3分

⎪a 2-b 2=c 2. ⎩

x 2y 2

+=1. ………………5分 所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为42

2

2

(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则

22⎧x 0y 022

x =4-2y =1, ⎧⎪+⎪00,

2即⎨2 ⎨42

⎪x 2+y 2=2, ⎪⎩x Q =2-y 0. Q 0⎩

………………7分

又由AP :y =

y 02y x +2(x +2) 得M (0,0

x ) . 00+2 由BP :y =

y 0x (x -2) 得N (0,-2y 0

) . 0-2x 0-2

………………10分

所以

QM uuu r =(-x 2y 0x 0y

0Q , x +2-y 0) =(-x Q , -x ) ,

00+2

QN uuu r =(-x 2y 0-y x y 0Q , -x -20) =(-x Q , -0x ) .

00-2

所以 QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2x 2y 222

002

(4-2y 0) y 0Q +x 24=2-y 0+-2y 2

=0. 0-0

所以

QM ⊥QN

,即

∠MQN =90︒. ………………

(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x y 0, 0) ,

AP :y =k (x +2) (k ≠0).

⎧x 2y 2

由⎪⎨+

=1, ⎪42得⎩

y =k (x +2) (2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-4=0.

-2x 8k 2-42-4k 2

所以0=2k 2+1,即x 0=2k 2

+1

. 14分

4k 2-4k 24k

所以 y 0=,即P (, ) .

2k 2+12k 2+12k 2+1

4k

2=-1. 所以 直线BP 的斜率为

2-4k 22k

-22k 2+11

(x -2) . 所以 BP :y =-2k

1

令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分

k

uuu r uuu r 1

设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .

k

uuu r uuu r 12k 2+1222

所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.

k k

因为 x Q +y 0=2, y 0=

2

2

u u u r u u u r

所以 QM ⋅QN =0.

4k

, 2

2k +1

所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

(Ⅰ)求椭圆G 的方程;

,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),

(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =

1,

2

c 22

,a =2c , =

a 2

∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分

x 2

+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2

(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,

k AC =

y 0-1y +1

, k BD =0, x 0-x 0

AC :y =

y 0-1y +1

x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0

x 0-x 0

, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0

令y =0,则x M =

x 0-x 0

+

1-y 01+y 0x y

, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(

21-y 0

半径为

x |x 0||MN |1x 0

, =|+0|=

221-y 01+y 01-y 02

2

x y x 0

∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22

1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2

∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'

2x 0x 0

2

2

令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x +y =2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,

2

22

2

,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2

y =±2,代入⊗'得:

2

2

4y 4y 0+2x 04

左=0+2===右 ………………13分 222

x 0x 0x 0

∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设

x 2y 2

分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的

a b

左顶点,

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为

,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

4、【东城一模理19】(本小题共13分)

1x 2y 2

B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,

2a b

端点,△A 1BA

2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,

分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.

⎧c 1

⎪a =2, ⎪⎪

(Ⅰ)解:由已知

⎨ab = …………2分

⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩

解得a =

2,b = …………4分

x 2y 2

+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F

设P x 0, y 0

()(x

22≠±2),则3x 0+4y 0=12.

于是直线A 1P 方程为 y =

y 06y 0

x =4,令,得; x +2y =()M

x 0+2x 0+2

所以M (4,

6y 02y 0

) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0

⨯ x 0+2x 0-2

所以F 2M =(3,

所以 F 2M ⋅F 2N =(3,

=9+

223(12-3x 0) 12y 0

=9+ =9+2

2

x 0-4x 0-4

=9-

29(x 0-4)2x 0-4

=9-9=0.

所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,

4y 0(x 0-1)

) . …………10分 2

x 0-4

又F 2E =(3,

4y 0(x 0-1)

) ,F 2P =(x 0-1, y 0),

x 02-4

24y 04y 0(x 0-1) (x 0-1)

) 所以F 2E ⋅F 2P =(3,⋅x -1, y =3x -1+()()0002

x 02-4x 0-4

=3(x 0

12-3x )(x (-1+

)

2

-1)

2x 0-4

=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.

所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分

因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)

x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1

),且离心率为.

a b 2

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C

的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点

动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =

1,

c , =

a 解得a =2. …………4分

x 2

+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2

于是直线A 1P 的方程为y =

y 0.

(x +2) ,令x =

y =

x 0+

20即DE =2)

y 0x 0+2

. …………7分

又直线A 2P 的方程为y =

y 02) y 0

(x -2) ,令x =

y =

x 0-

2x 0-2

. …………9分

即DF =2)

y 0x 0-2

y 0y 04y 024y 02

⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2

x 0+2x 0-24-x x 0-40

x 02x 2222

+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044

4-x 02

得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分

4-x 02

解析几何中不用韦达定理试题

x 2y 2

1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以

a b

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;

(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

(Ⅰ)求椭圆G 的方程;

,其短轴的两端点分别为A (01),,B (0,-1) . (Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. 3、【2015年西城二模】设

x 2y 2

分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的

a b

左顶点,

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为

,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

4、【东城一模理19】(本小题共13分)

1x 2y 2

B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,

2a b

端点,△A 1BA

2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,

分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.

5、【东城区一模19】((本小题共13分)

x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1

)a b (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C

的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点

动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值.

二、直线不与圆锥曲线相交问题

x 2y 2

1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以

a b

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;

(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.

⎧2a =4,

解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =

2,b =c = ………………3分

⎪a 2-b 2=c 2. ⎩

x 2y 2

所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为+=1. ………………5分

42

2

2

(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则

⎧22

⎪x 0⎨4+y 02=1, 即⎧⎪⎨x 24-2y 2

0=0, 2 ⎪⎩

22

x 2+y =2, ⎪⎩x Q =2-y Q 00. ………………7分

又由AP :y =

y 0x (x +2) 得M (0,2y 0

) . 0+2x 0+2:y =

y 由BP 0x (x -2) 得N (0,-2y 0

x ) . 0-20-2

………………10分

所以

QM uuu r =(-x 2y 0x 0y

0Q , x -y 0) =(-x Q , -) ,

0+2x 0+2

QN uuu r =(-x 2y 0x y Q , -x -y 0) =(-x Q , -00) .

0-2x 0-2

222

所以 QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2x y 2002

(4-2y 0) y 0Q +x 2=2-y 0+2y 2

=0. 0-4-0

所以

QM ⊥QN

,即

∠MQN =90︒. ………………

(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x 0, y 0) ,

AP :y =k (x +2) (k ≠0).

⎧x 2y 2

由⎪⎨=1, ⎪4+

2得⎩

y =k (x +2) (2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-4=0.

8k 2-42-4k 2

所以 -2x 0=2k 2+1,即x 0=2k 2+1

.

14分

4k 2-4k 24k

所以 y 0=,即P (, ) .

2k 2+12k 2+12k 2+1

4k

2=-1. 所以 直线BP 的斜率为

2-4k 22k

-22k 2+11

(x -2) . 所以 BP :y =-2k

1

令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分

k

uuu r uuu r 1

设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .

k

uuu r uuu r 12k 2+1222

所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.

k k

因为 x Q +y 0=2, y 0=

2

2

u u u r u u u r

所以 QM ⋅QN =0.

4k

, 2

2k +1

所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

(Ⅰ)求椭圆G 的方程;

,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),

(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =

1,

2

c 22

,a =2c , =

a 2

∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分

x 2

+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2

(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,

k AC =

y 0-1y +1

, k BD =0, x 0-x 0

AC :y =

y 0-1y +1

x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0

x 0-x 0

, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0

令y =0,则x M =

x 0-x 0

+

1-y 01+y 0x y

, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(

21-y 0

半径为

x |x 0||MN |1x 0

, =|+0|=

221-y 01+y 01-y 02

2

x y x 0

∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22

1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2

∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'

2x 0x 0

2

2

令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x +y =2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,

2

2

22

2

,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2

y =±2,代入⊗'得:

2

4y 4y 0+2x 04

左=0+2===右 ………………13分 222

x 0x 0x 0

∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设

x 2y 2

分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的

a b

左顶点,

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为

,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

4、【东城一模理19】(本小题共13分)

1x 2y 2

B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,

2a b

端点,△A 1BA

2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,

分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.

⎧c 1

⎪a =2, ⎪⎪

(Ⅰ)解:由已知

⎨ab = …………2分

⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩

解得a =

2,b = …………4分

x 2y 2

+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F

设P x 0, y 0

()(x

22≠±2),则3x 0+4y 0=12.

于是直线A 1P 方程为 y =

y 06y 0

x =4,令,得; x +2y =()M

x 0+2x 0+2

所以M (4,

6y 02y 0

) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0

⨯ x 0+2x 0-2

所以F 2M =(3,

所以 F 2M ⋅F 2N =(3,

=9+

223(12-3x 0) 12y 0

=9+ =9+2

2

x 0-4x 0-4

=9-

29(x 0-4)2x 0-4

=9-9=0.

所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,

4y 0(x 0-1)

) . …………10分 2

x 0-4

又F 2E =(3,

4y 0(x 0-1)

) ,F 2P =(x 0-1, y 0),

x 02-4

24y 04y 0(x 0-1) (x 0-1)

) 所以F 2E ⋅F 2P =(3,⋅x -1, y =3x -1+()()0002

x 02-4x 0-4

=3(x 0

12-3x )(x (-1+

)

2

-1)

2x 0-4

=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.

所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分

因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)

x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1

),且离心率为.

a b 2

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C

的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点

动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =

1,

c , =

a 解得a =2. …………4分

x 2

+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2

于是直线A 1P 的方程为y =

y 0.

(x +2) ,令x =

y =

x 0+

20即DE =2)

y 0x 0+2

. …………7分

又直线A 2P 的方程为y =

y 02) y 0

(x -2) ,令x =

y =

x 0-

2x 0-2

. …………9分

即DF =2)

y 0x 0-2

y 0y 04y 024y 02

⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2

x 0+2x 0-24-x x 0-40

x 02x 2222

+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044

4-x 02

得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分

4-x 02

解析几何中不用韦达定理试题

x 2y 2

1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以

a b

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;

(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.

⎧2a =4,

解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =

2,b =c = ………………3分

⎪a 2-b 2=c 2. ⎩

x 2y 2

所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为+=1. ………………5分

2

2

42

(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则

⎪x 22

0⎨4+y 02=1, 即⎧⎪22

⎪⎨x 0=4-2y 0, 2 ⎩x 2+y 2x =2-y 2

Q

0=2, ⎪⎩Q 0. ………………7分

又由AP :y =

y 0x (x +2) 得M (0,2y 0) . 0+2x 0+2

由BP :y =y 0x (x -2) 得N (0,-2y 0

) .

0-2x 0-2

………………10分

QM uuu r =(-x 2y 0x y

Q , x +2-y 0) =(-x Q , -00x +2

) ,

00QN uuu r =(-x 2y 0x y Q , -x -y 0) =(-x Q , -00) .

0-2x 0-2

QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2+x 22220y 02

(4-2y 0) y 0Q x 2-4=2-y 0+-2y 2

=0. 00

所以

QM ⊥QN

,即

∠MQN =90︒. ………………

(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x 0, y 0) ,

AP :y =k (x +2) (k ≠0).

⎧x 2由⎪⎨4+y 2

=1, 得(2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2

-4=0⎪2. ⎩

y =k (x +2) 14分

8k 2-42-4k 2

所以 -2x 0=,即x 0=.

2k 2+12k 2+1

4k 2-4k 24k

所以 y 0=,即P (, ) . 222

2k +12k +12k +1

4k

2=-1. 所以 直线BP 的斜率为

2-4k 22k

-22k 2+11

(x -2) . 所以 BP :y =-2k

1

令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分

k

uuu r uuu r 1

设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .

k

uuu r uuu r 12k 2+1222

所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.

k k

因为 x Q +y 0=2, y 0=

2

2

u u u r u u u r

所以 QM ⋅QN =0.

4k

2k 2+1

所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

的离心率为 (Ⅰ)求椭圆G 的方程;

,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),

2

(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =

1,

2

c 22

,a =2c , =

a 2

2

∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分

x 2

+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2

(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,

k AC =

y 0-1y +1

, k BD =0, x 0-x 0

y 0-1y +1

x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0

x 0-x 0

, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0

AC :y =

令y =0,则x M =

x 0-x 0

+

1-y 01+y 0x y

, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(

21-y 0

半径为

x |x 0||MN |1x 0

, =|+0|=2

221-y 01+y 01-y 0

2

x y x 0

∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22

1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2

∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'

2x 0x 0

2

2

令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x 2+y 2=2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,

2

2

2

,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2

y =±2,代入⊗'得:

2

4y 4y 0+2x 04

左=0+2===右 ………………13分 222

x 0x 0x 0

∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设

x 2y 2

分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的

a b

左顶点,

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为

,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

直径的圆经过点F 1,证明:

4、【东城一模理19】(本小题共13分)

1x 2y 2

B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,

2a b

端点,△A 1BA

2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,

分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.

⎧c 1

⎪a =2, ⎪⎪

(Ⅰ)解:由已知

⎨ab = …………2分

⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩

解得a =

2,b = …………4分

x 2y 2

+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F

设P x 0, y 0

()(x

22≠±2),则3x 0+4y 0=12.

于是直线A 1P 方程为 y =

y 06y

(x +2),令x =4,得y M =0; x 0+2x 0+2

所以M (4,

6y 02y 0

) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0

⨯ x 0+2x 0-2

所以F 2M =(3,

所以 F 2M ⋅F 2N =(3,

=9+

223(12-3x 0) 12y 0

=9+ =9+2

2

x 0-4x 0-4

29(x 0-4)

=9-

x -4

2

=9-9=0.

所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,

4y 0(x 0-1)

) . …………10分

x 02-4

又F 2E =(3,

4y 0(x 0-1)

) ,F 2P =(x 0-1, y 0), 2

x 0-4

24y 0x 0-1)4y 0(x 0-1) () 所以F 2E ⋅F 2P =(3, ⋅(x 0-1, y 0)=3(x 0-1)+22

x 0-4x 0-4

=3(x 0

12-3x )(x (-1+

)

2

-1)

x -4

20

=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.

所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分

因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)

x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1

),且离心率为.

a b 2

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C

的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点

动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =

1,

c , =

a 2

解得a =2. …………4分

x 2

+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2

于是直线A 1P 的方程为y =

y 02) y 0

.

(x +2) ,令x =

y =

x 0+

2x 0+2

即DE =2)

y 0x 0+2

. …………7分

又直线A 2P 的方程为y =

y 02) y 0

(x -2) ,令x =

y =

x 0-

2x 0-2

. …………9分

即DF =2)

y 0x 0-2

y 0y 04y 024y 02

⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2

x 0+2x 0-2x 0-44-x 0

x 02x 2222

+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044

4-x 02

得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分 2

4-x 0

二、直线不与圆锥曲线相交问题

x 2y 2

1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以

a b

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;

(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.

⎧2a =4,

解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =

2,b =c = ………………3分

⎪a 2-b 2=c 2. ⎩

x 2y 2

+=1. ………………5分 所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为42

2

2

(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则

22⎧x 0y 022

x =4-2y =1, ⎧⎪+⎪00,

2即⎨2 ⎨42

⎪x 2+y 2=2, ⎪⎩x Q =2-y 0. Q 0⎩

………………7分

又由AP :y =

y 02y x +2(x +2) 得M (0,0

x ) . 00+2 由BP :y =

y 0x (x -2) 得N (0,-2y 0

) . 0-2x 0-2

………………10分

所以

QM uuu r =(-x 2y 0x 0y

0Q , x +2-y 0) =(-x Q , -x ) ,

00+2

QN uuu r =(-x 2y 0-y x y 0Q , -x -20) =(-x Q , -0x ) .

00-2

所以 QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2x 2y 222

002

(4-2y 0) y 0Q +x 24=2-y 0+-2y 2

=0. 0-0

所以

QM ⊥QN

,即

∠MQN =90︒. ………………

(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x y 0, 0) ,

AP :y =k (x +2) (k ≠0).

⎧x 2y 2

由⎪⎨+

=1, ⎪42得⎩

y =k (x +2) (2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-4=0.

-2x 8k 2-42-4k 2

所以0=2k 2+1,即x 0=2k 2

+1

. 14分

4k 2-4k 24k

所以 y 0=,即P (, ) .

2k 2+12k 2+12k 2+1

4k

2=-1. 所以 直线BP 的斜率为

2-4k 22k

-22k 2+11

(x -2) . 所以 BP :y =-2k

1

令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分

k

uuu r uuu r 1

设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .

k

uuu r uuu r 12k 2+1222

所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.

k k

因为 x Q +y 0=2, y 0=

2

2

u u u r u u u r

所以 QM ⋅QN =0.

4k

, 2

2k +1

所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

(Ⅰ)求椭圆G 的方程;

,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),

(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =

1,

2

c 22

,a =2c , =

a 2

∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分

x 2

+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2

(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,

k AC =

y 0-1y +1

, k BD =0, x 0-x 0

AC :y =

y 0-1y +1

x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0

x 0-x 0

, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0

令y =0,则x M =

x 0-x 0

+

1-y 01+y 0x y

, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(

21-y 0

半径为

x |x 0||MN |1x 0

, =|+0|=

221-y 01+y 01-y 02

2

x y x 0

∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22

1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2

∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'

2x 0x 0

2

2

令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x +y =2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,

2

22

2

,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2

y =±2,代入⊗'得:

2

2

4y 4y 0+2x 04

左=0+2===右 ………………13分 222

x 0x 0x 0

∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设

x 2y 2

分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的

a b

左顶点,

点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为

,求椭圆E 的方程;

⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:

与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为

4、【东城一模理19】(本小题共13分)

1x 2y 2

B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,

2a b

端点,△A 1BA

2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,

分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.

⎧c 1

⎪a =2, ⎪⎪

(Ⅰ)解:由已知

⎨ab = …………2分

⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩

解得a =

2,b = …………4分

x 2y 2

+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F

设P x 0, y 0

()(x

22≠±2),则3x 0+4y 0=12.

于是直线A 1P 方程为 y =

y 06y 0

x =4,令,得; x +2y =()M

x 0+2x 0+2

所以M (4,

6y 02y 0

) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2

6y 02y 0

) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0

⨯ x 0+2x 0-2

所以F 2M =(3,

所以 F 2M ⋅F 2N =(3,

=9+

223(12-3x 0) 12y 0

=9+ =9+2

2

x 0-4x 0-4

=9-

29(x 0-4)2x 0-4

=9-9=0.

所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,

4y 0(x 0-1)

) . …………10分 2

x 0-4

又F 2E =(3,

4y 0(x 0-1)

) ,F 2P =(x 0-1, y 0),

x 02-4

24y 04y 0(x 0-1) (x 0-1)

) 所以F 2E ⋅F 2P =(3,⋅x -1, y =3x -1+()()0002

x 02-4x 0-4

=3(x 0

12-3x )(x (-1+

)

2

-1)

2x 0-4

=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.

所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分

因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)

x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1

),且离心率为.

a b 2

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C

的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点

动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =

1,

c , =

a 解得a =2. …………4分

x 2

+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2

于是直线A 1P 的方程为y =

y 0.

(x +2) ,令x =

y =

x 0+

20即DE =2)

y 0x 0+2

. …………7分

又直线A 2P 的方程为y =

y 02) y 0

(x -2) ,令x =

y =

x 0-

2x 0-2

. …………9分

即DF =2)

y 0x 0-2

y 0y 04y 024y 02

⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2

x 0+2x 0-24-x x 0-40

x 02x 2222

+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044

4-x 02

得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分

4-x 02


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