解析几何中不用韦达定理试题
x 2y 2
1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以
a b
椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.
2、【2015年延庆一模】已知椭圆G
(Ⅰ)求椭圆G 的方程;
,其短轴的两端点分别为A (01),,B (0,-1) . (Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. 3、【2015年西城二模】设
x 2y 2
分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的
a b
左顶点,
点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为
,求椭圆E 的方程;
⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:
与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为
4、【东城一模理19】(本小题共13分)
1x 2y 2
B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,
2a b
端点,△A 1BA
2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,
分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.
5、【东城区一模19】((本小题共13分)
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1
)a b (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C
的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点
动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值.
二、直线不与圆锥曲线相交问题
x 2y 2
1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以
a b
椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.
⎧2a =4,
⎪
解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =
2,b =c = ………………3分
⎪a 2-b 2=c 2. ⎩
x 2y 2
所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为+=1. ………………5分
42
2
2
(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则
⎧22
⎪x 0⎨4+y 02=1, 即⎧⎪⎨x 24-2y 2
0=0, 2 ⎪⎩
22
x 2+y =2, ⎪⎩x Q =2-y Q 00. ………………7分
又由AP :y =
y 0x (x +2) 得M (0,2y 0
) . 0+2x 0+2:y =
y 由BP 0x (x -2) 得N (0,-2y 0
x ) . 0-20-2
………………10分
所以
QM uuu r =(-x 2y 0x 0y
0Q , x -y 0) =(-x Q , -) ,
0+2x 0+2
QN uuu r =(-x 2y 0x y Q , -x -y 0) =(-x Q , -00) .
0-2x 0-2
222
所以 QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2x y 2002
(4-2y 0) y 0Q +x 2=2-y 0+2y 2
=0. 0-4-0
所以
QM ⊥QN
,即
∠MQN =90︒. ………………
(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x 0, y 0) ,
AP :y =k (x +2) (k ≠0).
⎧x 2y 2
由⎪⎨=1, ⎪4+
2得⎩
y =k (x +2) (2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-4=0.
8k 2-42-4k 2
所以 -2x 0=2k 2+1,即x 0=2k 2+1
.
14分
4k 2-4k 24k
所以 y 0=,即P (, ) .
2k 2+12k 2+12k 2+1
4k
2=-1. 所以 直线BP 的斜率为
2-4k 22k
-22k 2+11
(x -2) . 所以 BP :y =-2k
1
令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分
k
uuu r uuu r 1
设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .
k
uuu r uuu r 12k 2+1222
所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.
k k
因为 x Q +y 0=2, y 0=
2
2
u u u r u u u r
所以 QM ⋅QN =0.
4k
, 2
2k +1
所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分
2、【2015年延庆一模】已知椭圆G
(Ⅰ)求椭圆G 的方程;
,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),
(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =
1,
2
c 22
,a =2c , =
a 2
∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分
x 2
+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2
(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,
k AC =
y 0-1y +1
, k BD =0, x 0-x 0
AC :y =
y 0-1y +1
x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0
x 0-x 0
, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0
令y =0,则x M =
x 0-x 0
+
1-y 01+y 0x y
, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(
21-y 0
半径为
x |x 0||MN |1x 0
, =|+0|=
221-y 01+y 01-y 02
2
x y x 0
∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22
1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2
∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'
2x 0x 0
2
2
令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x +y =2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,
2
2
22
2
,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2
y =±2,代入⊗'得:
2
4y 4y 0+2x 04
左=0+2===右 ………………13分 222
x 0x 0x 0
∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设
x 2y 2
分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的
a b
左顶点,
点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为
,求椭圆E 的方程;
⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:
与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为
4、【东城一模理19】(本小题共13分)
1x 2y 2
B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,
2a b
端点,△A 1BA
2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,
分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.
⎧c 1
⎪a =2, ⎪⎪
(Ⅰ)解:由已知
⎨ab = …………2分
⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩
解得a =
2,b = …………4分
x 2y 2
+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F
设P x 0, y 0
()(x
22≠±2),则3x 0+4y 0=12.
于是直线A 1P 方程为 y =
y 06y 0
x =4,令,得; x +2y =()M
x 0+2x 0+2
所以M (4,
6y 02y 0
) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0
⨯ x 0+2x 0-2
所以F 2M =(3,
所以 F 2M ⋅F 2N =(3,
=9+
223(12-3x 0) 12y 0
=9+ =9+2
2
x 0-4x 0-4
=9-
29(x 0-4)2x 0-4
=9-9=0.
所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,
4y 0(x 0-1)
) . …………10分 2
x 0-4
又F 2E =(3,
4y 0(x 0-1)
) ,F 2P =(x 0-1, y 0),
x 02-4
24y 04y 0(x 0-1) (x 0-1)
) 所以F 2E ⋅F 2P =(3,⋅x -1, y =3x -1+()()0002
x 02-4x 0-4
=3(x 0
12-3x )(x (-1+
)
2
-1)
2x 0-4
=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.
所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分
因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1
),且离心率为.
a b 2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C
的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点
动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =
1,
c , =
a 解得a =2. …………4分
x 2
+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2
于是直线A 1P 的方程为y =
y 0.
(x +2) ,令x =
y =
x 0+
20即DE =2)
y 0x 0+2
. …………7分
又直线A 2P 的方程为y =
y 02) y 0
,
(x -2) ,令x =
y =
x 0-
2x 0-2
. …………9分
即DF =2)
y 0x 0-2
y 0y 04y 024y 02
⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2
x 0+2x 0-24-x x 0-40
x 02x 2222
+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044
4-x 02
得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分
4-x 02
解析几何中不用韦达定理试题
x 2y 2
1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以
a b
椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.
⎧2a =4,
⎪
解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =
2,b =c = ………………3分
⎪a 2-b 2=c 2. ⎩
x 2y 2
所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为+=1. ………………5分
2
2
42
(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则
⎧
⎪x 22
0⎨4+y 02=1, 即⎧⎪22
⎪⎨x 0=4-2y 0, 2 ⎩x 2+y 2x =2-y 2
Q
0=2, ⎪⎩Q 0. ………………7分
又由AP :y =
y 0x (x +2) 得M (0,2y 0) . 0+2x 0+2
由BP :y =y 0x (x -2) 得N (0,-2y 0
) .
0-2x 0-2
………………10分
所
以
QM uuu r =(-x 2y 0x y
Q , x +2-y 0) =(-x Q , -00x +2
) ,
00QN uuu r =(-x 2y 0x y Q , -x -y 0) =(-x Q , -00) .
0-2x 0-2
所
以
QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2+x 22220y 02
(4-2y 0) y 0Q x 2-4=2-y 0+-2y 2
=0. 00
所以
QM ⊥QN
,即
∠MQN =90︒. ………………
(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x 0, y 0) ,
AP :y =k (x +2) (k ≠0).
⎧x 2由⎪⎨4+y 2
=1, 得(2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2
-4=0⎪2. ⎩
y =k (x +2) 14分
8k 2-42-4k 2
所以 -2x 0=,即x 0=.
2k 2+12k 2+1
4k 2-4k 24k
所以 y 0=,即P (, ) . 222
2k +12k +12k +1
4k
2=-1. 所以 直线BP 的斜率为
2-4k 22k
-22k 2+11
(x -2) . 所以 BP :y =-2k
1
令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分
k
uuu r uuu r 1
设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .
k
uuu r uuu r 12k 2+1222
所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.
k k
因为 x Q +y 0=2, y 0=
2
2
u u u r u u u r
所以 QM ⋅QN =0.
4k
,
2k 2+1
所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分
2、【2015年延庆一模】已知椭圆G
的离心率为 (Ⅰ)求椭圆G 的方程;
,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),
2
(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =
1,
2
c 22
,a =2c , =
a 2
2
∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分
x 2
+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2
(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,
k AC =
y 0-1y +1
, k BD =0, x 0-x 0
y 0-1y +1
x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0
x 0-x 0
, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0
AC :y =
令y =0,则x M =
x 0-x 0
+
1-y 01+y 0x y
, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(
21-y 0
半径为
x |x 0||MN |1x 0
, =|+0|=2
221-y 01+y 01-y 0
2
x y x 0
∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22
1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2
∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'
2x 0x 0
2
2
令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x 2+y 2=2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,
2
2
2
,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2
y =±2,代入⊗'得:
2
4y 4y 0+2x 04
左=0+2===右 ………………13分 222
x 0x 0x 0
∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设
x 2y 2
分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的
a b
左顶点,
点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为
,求椭圆E 的方程;
⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为
直径的圆经过点F 1,证明:
4、【东城一模理19】(本小题共13分)
1x 2y 2
B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,
2a b
端点,△A 1BA
2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,
分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.
⎧c 1
⎪a =2, ⎪⎪
(Ⅰ)解:由已知
⎨ab = …………2分
⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩
解得a =
2,b = …………4分
x 2y 2
+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F
设P x 0, y 0
()(x
22≠±2),则3x 0+4y 0=12.
于是直线A 1P 方程为 y =
y 06y
(x +2),令x =4,得y M =0; x 0+2x 0+2
所以M (4,
6y 02y 0
) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0
⨯ x 0+2x 0-2
所以F 2M =(3,
所以 F 2M ⋅F 2N =(3,
=9+
223(12-3x 0) 12y 0
=9+ =9+2
2
x 0-4x 0-4
29(x 0-4)
=9-
x -4
2
=9-9=0.
所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,
4y 0(x 0-1)
) . …………10分
x 02-4
又F 2E =(3,
4y 0(x 0-1)
) ,F 2P =(x 0-1, y 0), 2
x 0-4
24y 0x 0-1)4y 0(x 0-1) () 所以F 2E ⋅F 2P =(3, ⋅(x 0-1, y 0)=3(x 0-1)+22
x 0-4x 0-4
=3(x 0
12-3x )(x (-1+
)
2
-1)
x -4
20
=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.
所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分
因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1
),且离心率为.
a b 2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C
的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点
动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =
1,
c , =
a 2
解得a =2. …………4分
x 2
+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2
于是直线A 1P 的方程为y =
y 02) y 0
.
(x +2) ,令x =
y =
x 0+
2x 0+2
即DE =2)
y 0x 0+2
. …………7分
又直线A 2P 的方程为y =
y 02) y 0
,
(x -2) ,令x =
y =
x 0-
2x 0-2
. …………9分
即DF =2)
y 0x 0-2
y 0y 04y 024y 02
⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2
x 0+2x 0-2x 0-44-x 0
x 02x 2222
+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044
4-x 02
得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分 2
4-x 0
二、直线不与圆锥曲线相交问题
x 2y 2
1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以
a b
椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.
⎧2a =4,
⎪
解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =
2,b =c = ………………3分
⎪a 2-b 2=c 2. ⎩
x 2y 2
+=1. ………………5分 所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为42
2
2
(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则
22⎧x 0y 022
x =4-2y =1, ⎧⎪+⎪00,
2即⎨2 ⎨42
⎪x 2+y 2=2, ⎪⎩x Q =2-y 0. Q 0⎩
………………7分
又由AP :y =
y 02y x +2(x +2) 得M (0,0
x ) . 00+2 由BP :y =
y 0x (x -2) 得N (0,-2y 0
) . 0-2x 0-2
………………10分
所以
QM uuu r =(-x 2y 0x 0y
0Q , x +2-y 0) =(-x Q , -x ) ,
00+2
QN uuu r =(-x 2y 0-y x y 0Q , -x -20) =(-x Q , -0x ) .
00-2
所以 QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2x 2y 222
002
(4-2y 0) y 0Q +x 24=2-y 0+-2y 2
=0. 0-0
所以
QM ⊥QN
,即
∠MQN =90︒. ………………
(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x y 0, 0) ,
AP :y =k (x +2) (k ≠0).
⎧x 2y 2
由⎪⎨+
=1, ⎪42得⎩
y =k (x +2) (2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-4=0.
-2x 8k 2-42-4k 2
所以0=2k 2+1,即x 0=2k 2
+1
. 14分
4k 2-4k 24k
所以 y 0=,即P (, ) .
2k 2+12k 2+12k 2+1
4k
2=-1. 所以 直线BP 的斜率为
2-4k 22k
-22k 2+11
(x -2) . 所以 BP :y =-2k
1
令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分
k
uuu r uuu r 1
设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .
k
uuu r uuu r 12k 2+1222
所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.
k k
因为 x Q +y 0=2, y 0=
2
2
u u u r u u u r
所以 QM ⋅QN =0.
4k
, 2
2k +1
所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分
2、【2015年延庆一模】已知椭圆G
(Ⅰ)求椭圆G 的方程;
,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),
(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =
1,
2
c 22
,a =2c , =
a 2
∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分
x 2
+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2
(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,
k AC =
y 0-1y +1
, k BD =0, x 0-x 0
AC :y =
y 0-1y +1
x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0
x 0-x 0
, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0
令y =0,则x M =
x 0-x 0
+
1-y 01+y 0x y
, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(
21-y 0
半径为
x |x 0||MN |1x 0
, =|+0|=
221-y 01+y 01-y 02
2
x y x 0
∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22
1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2
∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'
2x 0x 0
2
2
令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x +y =2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,
2
22
2
,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2
y =±2,代入⊗'得:
2
2
4y 4y 0+2x 04
左=0+2===右 ………………13分 222
x 0x 0x 0
∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设
x 2y 2
分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的
a b
左顶点,
点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为
,求椭圆E 的方程;
⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:
与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为
4、【东城一模理19】(本小题共13分)
1x 2y 2
B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,
2a b
端点,△A 1BA
2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,
分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.
⎧c 1
⎪a =2, ⎪⎪
(Ⅰ)解:由已知
⎨ab = …………2分
⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩
解得a =
2,b = …………4分
x 2y 2
+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F
设P x 0, y 0
()(x
22≠±2),则3x 0+4y 0=12.
于是直线A 1P 方程为 y =
y 06y 0
x =4,令,得; x +2y =()M
x 0+2x 0+2
所以M (4,
6y 02y 0
) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0
⨯ x 0+2x 0-2
所以F 2M =(3,
所以 F 2M ⋅F 2N =(3,
=9+
223(12-3x 0) 12y 0
=9+ =9+2
2
x 0-4x 0-4
=9-
29(x 0-4)2x 0-4
=9-9=0.
所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,
4y 0(x 0-1)
) . …………10分 2
x 0-4
又F 2E =(3,
4y 0(x 0-1)
) ,F 2P =(x 0-1, y 0),
x 02-4
24y 04y 0(x 0-1) (x 0-1)
) 所以F 2E ⋅F 2P =(3,⋅x -1, y =3x -1+()()0002
x 02-4x 0-4
=3(x 0
12-3x )(x (-1+
)
2
-1)
2x 0-4
=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.
所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分
因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1
),且离心率为.
a b 2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C
的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点
动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =
1,
c , =
a 解得a =2. …………4分
x 2
+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2
于是直线A 1P 的方程为y =
y 0.
(x +2) ,令x =
y =
x 0+
20即DE =2)
y 0x 0+2
. …………7分
又直线A 2P 的方程为y =
y 02) y 0
,
(x -2) ,令x =
y =
x 0-
2x 0-2
. …………9分
即DF =2)
y 0x 0-2
y 0y 04y 024y 02
⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2
x 0+2x 0-24-x x 0-40
x 02x 2222
+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044
4-x 02
得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分
4-x 02
解析几何中不用韦达定理试题
x 2y 2
1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以
a b
椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.
2、【2015年延庆一模】已知椭圆G
(Ⅰ)求椭圆G 的方程;
,其短轴的两端点分别为A (01),,B (0,-1) . (Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. 3、【2015年西城二模】设
x 2y 2
分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的
a b
左顶点,
点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为
,求椭圆E 的方程;
⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:
与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为
4、【东城一模理19】(本小题共13分)
1x 2y 2
B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,
2a b
端点,△A 1BA
2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,
分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.
5、【东城区一模19】((本小题共13分)
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1
)a b (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C
的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点
动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值.
二、直线不与圆锥曲线相交问题
x 2y 2
1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以
a b
椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.
⎧2a =4,
⎪
解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =
2,b =c = ………………3分
⎪a 2-b 2=c 2. ⎩
x 2y 2
所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为+=1. ………………5分
42
2
2
(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则
⎧22
⎪x 0⎨4+y 02=1, 即⎧⎪⎨x 24-2y 2
0=0, 2 ⎪⎩
22
x 2+y =2, ⎪⎩x Q =2-y Q 00. ………………7分
又由AP :y =
y 0x (x +2) 得M (0,2y 0
) . 0+2x 0+2:y =
y 由BP 0x (x -2) 得N (0,-2y 0
x ) . 0-20-2
………………10分
所以
QM uuu r =(-x 2y 0x 0y
0Q , x -y 0) =(-x Q , -) ,
0+2x 0+2
QN uuu r =(-x 2y 0x y Q , -x -y 0) =(-x Q , -00) .
0-2x 0-2
222
所以 QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2x y 2002
(4-2y 0) y 0Q +x 2=2-y 0+2y 2
=0. 0-4-0
所以
QM ⊥QN
,即
∠MQN =90︒. ………………
(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x 0, y 0) ,
AP :y =k (x +2) (k ≠0).
⎧x 2y 2
由⎪⎨=1, ⎪4+
2得⎩
y =k (x +2) (2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-4=0.
8k 2-42-4k 2
所以 -2x 0=2k 2+1,即x 0=2k 2+1
.
14分
4k 2-4k 24k
所以 y 0=,即P (, ) .
2k 2+12k 2+12k 2+1
4k
2=-1. 所以 直线BP 的斜率为
2-4k 22k
-22k 2+11
(x -2) . 所以 BP :y =-2k
1
令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分
k
uuu r uuu r 1
设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .
k
uuu r uuu r 12k 2+1222
所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.
k k
因为 x Q +y 0=2, y 0=
2
2
u u u r u u u r
所以 QM ⋅QN =0.
4k
, 2
2k +1
所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分
2、【2015年延庆一模】已知椭圆G
(Ⅰ)求椭圆G 的方程;
,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),
(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =
1,
2
c 22
,a =2c , =
a 2
∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分
x 2
+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2
(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,
k AC =
y 0-1y +1
, k BD =0, x 0-x 0
AC :y =
y 0-1y +1
x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0
x 0-x 0
, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0
令y =0,则x M =
x 0-x 0
+
1-y 01+y 0x y
, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(
21-y 0
半径为
x |x 0||MN |1x 0
, =|+0|=
221-y 01+y 01-y 02
2
x y x 0
∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22
1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2
∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'
2x 0x 0
2
2
令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x +y =2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,
2
2
22
2
,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2
y =±2,代入⊗'得:
2
4y 4y 0+2x 04
左=0+2===右 ………………13分 222
x 0x 0x 0
∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设
x 2y 2
分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的
a b
左顶点,
点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为
,求椭圆E 的方程;
⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:
与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为
4、【东城一模理19】(本小题共13分)
1x 2y 2
B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,
2a b
端点,△A 1BA
2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,
分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.
⎧c 1
⎪a =2, ⎪⎪
(Ⅰ)解:由已知
⎨ab = …………2分
⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩
解得a =
2,b = …………4分
x 2y 2
+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F
设P x 0, y 0
()(x
22≠±2),则3x 0+4y 0=12.
于是直线A 1P 方程为 y =
y 06y 0
x =4,令,得; x +2y =()M
x 0+2x 0+2
所以M (4,
6y 02y 0
) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0
⨯ x 0+2x 0-2
所以F 2M =(3,
所以 F 2M ⋅F 2N =(3,
=9+
223(12-3x 0) 12y 0
=9+ =9+2
2
x 0-4x 0-4
=9-
29(x 0-4)2x 0-4
=9-9=0.
所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,
4y 0(x 0-1)
) . …………10分 2
x 0-4
又F 2E =(3,
4y 0(x 0-1)
) ,F 2P =(x 0-1, y 0),
x 02-4
24y 04y 0(x 0-1) (x 0-1)
) 所以F 2E ⋅F 2P =(3,⋅x -1, y =3x -1+()()0002
x 02-4x 0-4
=3(x 0
12-3x )(x (-1+
)
2
-1)
2x 0-4
=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.
所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分
因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1
),且离心率为.
a b 2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C
的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点
动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =
1,
c , =
a 解得a =2. …………4分
x 2
+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2
于是直线A 1P 的方程为y =
y 0.
(x +2) ,令x =
y =
x 0+
20即DE =2)
y 0x 0+2
. …………7分
又直线A 2P 的方程为y =
y 02) y 0
,
(x -2) ,令x =
y =
x 0-
2x 0-2
. …………9分
即DF =2)
y 0x 0-2
y 0y 04y 024y 02
⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2
x 0+2x 0-24-x x 0-40
x 02x 2222
+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044
4-x 02
得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分
4-x 02
解析几何中不用韦达定理试题
x 2y 2
1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以
a b
椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.
⎧2a =4,
⎪
解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =
2,b =c = ………………3分
⎪a 2-b 2=c 2. ⎩
x 2y 2
所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为+=1. ………………5分
2
2
42
(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则
⎧
⎪x 22
0⎨4+y 02=1, 即⎧⎪22
⎪⎨x 0=4-2y 0, 2 ⎩x 2+y 2x =2-y 2
Q
0=2, ⎪⎩Q 0. ………………7分
又由AP :y =
y 0x (x +2) 得M (0,2y 0) . 0+2x 0+2
由BP :y =y 0x (x -2) 得N (0,-2y 0
) .
0-2x 0-2
………………10分
所
以
QM uuu r =(-x 2y 0x y
Q , x +2-y 0) =(-x Q , -00x +2
) ,
00QN uuu r =(-x 2y 0x y Q , -x -y 0) =(-x Q , -00) .
0-2x 0-2
所
以
QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2+x 22220y 02
(4-2y 0) y 0Q x 2-4=2-y 0+-2y 2
=0. 00
所以
QM ⊥QN
,即
∠MQN =90︒. ………………
(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x 0, y 0) ,
AP :y =k (x +2) (k ≠0).
⎧x 2由⎪⎨4+y 2
=1, 得(2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2
-4=0⎪2. ⎩
y =k (x +2) 14分
8k 2-42-4k 2
所以 -2x 0=,即x 0=.
2k 2+12k 2+1
4k 2-4k 24k
所以 y 0=,即P (, ) . 222
2k +12k +12k +1
4k
2=-1. 所以 直线BP 的斜率为
2-4k 22k
-22k 2+11
(x -2) . 所以 BP :y =-2k
1
令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分
k
uuu r uuu r 1
设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .
k
uuu r uuu r 12k 2+1222
所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.
k k
因为 x Q +y 0=2, y 0=
2
2
u u u r u u u r
所以 QM ⋅QN =0.
4k
,
2k 2+1
所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分
2、【2015年延庆一模】已知椭圆G
的离心率为 (Ⅰ)求椭圆G 的方程;
,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),
2
(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =
1,
2
c 22
,a =2c , =
a 2
2
∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分
x 2
+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2
(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,
k AC =
y 0-1y +1
, k BD =0, x 0-x 0
y 0-1y +1
x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0
x 0-x 0
, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0
AC :y =
令y =0,则x M =
x 0-x 0
+
1-y 01+y 0x y
, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(
21-y 0
半径为
x |x 0||MN |1x 0
, =|+0|=2
221-y 01+y 01-y 0
2
x y x 0
∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22
1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2
∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'
2x 0x 0
2
2
令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x 2+y 2=2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,
2
2
2
,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2
y =±2,代入⊗'得:
2
4y 4y 0+2x 04
左=0+2===右 ………………13分 222
x 0x 0x 0
∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设
x 2y 2
分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的
a b
左顶点,
点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为
,求椭圆E 的方程;
⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为
直径的圆经过点F 1,证明:
4、【东城一模理19】(本小题共13分)
1x 2y 2
B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,
2a b
端点,△A 1BA
2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,
分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.
⎧c 1
⎪a =2, ⎪⎪
(Ⅰ)解:由已知
⎨ab = …………2分
⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩
解得a =
2,b = …………4分
x 2y 2
+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F
设P x 0, y 0
()(x
22≠±2),则3x 0+4y 0=12.
于是直线A 1P 方程为 y =
y 06y
(x +2),令x =4,得y M =0; x 0+2x 0+2
所以M (4,
6y 02y 0
) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0
⨯ x 0+2x 0-2
所以F 2M =(3,
所以 F 2M ⋅F 2N =(3,
=9+
223(12-3x 0) 12y 0
=9+ =9+2
2
x 0-4x 0-4
29(x 0-4)
=9-
x -4
2
=9-9=0.
所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,
4y 0(x 0-1)
) . …………10分
x 02-4
又F 2E =(3,
4y 0(x 0-1)
) ,F 2P =(x 0-1, y 0), 2
x 0-4
24y 0x 0-1)4y 0(x 0-1) () 所以F 2E ⋅F 2P =(3, ⋅(x 0-1, y 0)=3(x 0-1)+22
x 0-4x 0-4
=3(x 0
12-3x )(x (-1+
)
2
-1)
x -4
20
=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.
所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分
因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1
),且离心率为.
a b 2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C
的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点
动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =
1,
c , =
a 2
解得a =2. …………4分
x 2
+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2
于是直线A 1P 的方程为y =
y 02) y 0
.
(x +2) ,令x =
y =
x 0+
2x 0+2
即DE =2)
y 0x 0+2
. …………7分
又直线A 2P 的方程为y =
y 02) y 0
,
(x -2) ,令x =
y =
x 0-
2x 0-2
. …………9分
即DF =2)
y 0x 0-2
y 0y 04y 024y 02
⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2
x 0+2x 0-2x 0-44-x 0
x 02x 2222
+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044
4-x 02
得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分 2
4-x 0
二、直线不与圆锥曲线相交问题
x 2y 2
1、【2015年海淀二模】已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以
a b
椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点,点A ,B 分别是椭圆C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆O 和椭圆C 的方程;
(Ⅱ)已知P ,Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点(P ,Q 位于y 轴两侧),且直线PQ 与x 轴平行,直线AP ,BP 分别与y 轴交于点M ,N . 求证:∠MQN 为定值.
⎧2a =4,
⎪
解:(Ⅰ)依题意得⎨c =b , 解得:a =
2,b =c = ………………3分
⎪a 2-b 2=c 2. ⎩
x 2y 2
+=1. ………………5分 所以圆O 的方程为x +y =2,椭圆C 的方程为42
2
2
(Ⅱ)解法一:如图所示,设P (x 0, y 0) (y 0≠0),Qx (Q , y ) 0,则
22⎧x 0y 022
x =4-2y =1, ⎧⎪+⎪00,
2即⎨2 ⎨42
⎪x 2+y 2=2, ⎪⎩x Q =2-y 0. Q 0⎩
………………7分
又由AP :y =
y 02y x +2(x +2) 得M (0,0
x ) . 00+2 由BP :y =
y 0x (x -2) 得N (0,-2y 0
) . 0-2x 0-2
………………10分
所以
QM uuu r =(-x 2y 0x 0y
0Q , x +2-y 0) =(-x Q , -x ) ,
00+2
QN uuu r =(-x 2y 0-y x y 0Q , -x -20) =(-x Q , -0x ) .
00-2
所以 QM uuu r ⋅QN uuu r =x 2x 2y 222
002
(4-2y 0) y 0Q +x 24=2-y 0+-2y 2
=0. 0-0
所以
QM ⊥QN
,即
∠MQN =90︒. ………………
(Ⅱ)解法二:如图所示,设P (x y 0, 0) ,
AP :y =k (x +2) (k ≠0).
⎧x 2y 2
由⎪⎨+
=1, ⎪42得⎩
y =k (x +2) (2k 2+1) x 2+8k 2x +8k 2-4=0.
-2x 8k 2-42-4k 2
所以0=2k 2+1,即x 0=2k 2
+1
. 14分
4k 2-4k 24k
所以 y 0=,即P (, ) .
2k 2+12k 2+12k 2+1
4k
2=-1. 所以 直线BP 的斜率为
2-4k 22k
-22k 2+11
(x -2) . 所以 BP :y =-2k
1
令x =0得:M (0,2k ) ,N (0,) . ………………10分
k
uuu r uuu r 1
设Q (x Q , y 0) ,则QM =(-x Q , 2k -y 0) ,QN =(-x Q , -y 0) .
k
uuu r uuu r 12k 2+1222
所以 QM ⋅QN =x Q +(2k -y 0)(-y 0) =x Q +y 0+2-⋅y 0.
k k
因为 x Q +y 0=2, y 0=
2
2
u u u r u u u r
所以 QM ⋅QN =0.
4k
, 2
2k +1
所以 QM ⊥QN ,即∠MQN =90︒. ………………14分
2、【2015年延庆一模】已知椭圆G
(Ⅰ)求椭圆G 的方程;
,B (0,-1) . ,其短轴的两端点分别为A (01),
(Ⅱ)若C , D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点,直线AC , BD 与x 轴分别交于点M , N . 试判断以MN 为直径的圆是否过定点,如经过,求出定点坐标;如不过定点,请说明理由. (Ⅰ)b =
1,
2
c 22
,a =2c , =
a 2
∴ c =1,∴a =2, b 2=1,…………3分
x 2
+y 2=1 …………5分 ∴ 椭圆方程为2
(Ⅱ)设C (x 0, y 0) ,则D (-x 0, y 0) ,
k AC =
y 0-1y +1
, k BD =0, x 0-x 0
AC :y =
y 0-1y +1
x +1, BD :y =0x -1, ……………………7分 x 0-x 0
x 0-x 0
, x N =, ……………………8分 1-y 01+y 0
令y =0,则x M =
x 0-x 0
+
1-y 01+y 0x y
, 0) ,即:E (002, 0) , 设MN 的中点为E , 则的坐标为(
21-y 0
半径为
x |x 0||MN |1x 0
, =|+0|=
221-y 01+y 01-y 02
2
x y x 0
∴ 圆E 的方程为(x -002) 2+y 2= ⊗,………10分 22
1-y 0(1-y 0) 2y 24x 2
∵1-y 0=0 ,∴ ⊗化为(x -0) +y =2⊗'
2x 0x 0
2
2
令x 0=-2,则y 0=0,代入⊗得:x +y =2, …①………11分 令x 0=1,则y 0=± 由①②得:x =0,
2
22
2
,代入⊗得:x 2+y 2-22x =2,…②…12分 2
y =±2,代入⊗'得:
2
2
4y 4y 0+2x 04
左=0+2===右 ………………13分 222
x 0x 0x 0
∴ 圆E 恒过定点(0, ±2) ………………14分 3、【2015年西城二模】设
x 2y 2
分别为椭圆E :2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点,点A 为椭圆E 的
a b
左顶点,
点B 为椭圆E 的上顶点,且|AB |=2. ⑴ 若椭圆E 的离心率为
,求椭圆E 的方程;
⑵ 设P 为椭圆E 上一点,且在第一象限内,直线直径的圆经过点F 1,证明:
与y 轴相交于点Q ,若以PQ 为
4、【东城一模理19】(本小题共13分)
1x 2y 2
B 为短轴的已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率是,其左、右顶点分别为A 1,A 2,
2a b
端点,△A 1BA
2的面积为 (Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)F 2为椭圆C 的右焦点,若点P 是椭圆C 上异于A 直线A 1P ,A 2P 与直线x =41,A 2的任意一点,
分别交于M ,N 两点,证明:以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于点F 2.
⎧c 1
⎪a =2, ⎪⎪
(Ⅰ)解:由已知
⎨ab = …………2分
⎪a 2=b 2+c 2. ⎪⎪⎩
解得a =
2,b = …………4分
x 2y 2
+=1. …………5分 故所求椭圆方程为43
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知A ,0). 1(-2,0),A 2(12(2,0),F
设P x 0, y 0
()(x
22≠±2),则3x 0+4y 0=12.
于是直线A 1P 方程为 y =
y 06y 0
x =4,令,得; x +2y =()M
x 0+2x 0+2
所以M (4,
6y 02y 0
) ,同理N (4, ) . …………7分 x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ,F 2N =(3, ) . x 0+2x 0-2
6y 02y 0
) ⋅(3, ) x 0+2x 0-26y 02y 0
⨯ x 0+2x 0-2
所以F 2M =(3,
所以 F 2M ⋅F 2N =(3,
=9+
223(12-3x 0) 12y 0
=9+ =9+2
2
x 0-4x 0-4
=9-
29(x 0-4)2x 0-4
=9-9=0.
所以 F 2M ⊥F 2N ,点F 2在以MN 为直径的圆上. …………9分 设MN 的中点为E ,则E (4,
4y 0(x 0-1)
) . …………10分 2
x 0-4
又F 2E =(3,
4y 0(x 0-1)
) ,F 2P =(x 0-1, y 0),
x 02-4
24y 04y 0(x 0-1) (x 0-1)
) 所以F 2E ⋅F 2P =(3,⋅x -1, y =3x -1+()()0002
x 02-4x 0-4
=3(x 0
12-3x )(x (-1+
)
2
-1)
2x 0-4
=3(x 0-1)-3(x 0-1)=0.
所以 F 2E ⊥F 2P . …………12分
因为F 2E 是以MN 为直径的圆的半径,E 为圆心,F 2E ⊥F 2P , 故以MN 为直径的圆与直线PF 2相切于右焦点. …………13分 5、【东城区一模19】((本小题共13分)
x 2y 2已知椭圆C :2+2=1(a >b >0) 过点(0,1
),且离心率为.
a b 2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
D ,点P 是椭圆C 上异于A 1, A 2的(Ⅱ)A 1, A 2为椭圆C
的左、右顶点,直线l :x =x 轴交于点
动点,直线A 1P , A 2P 分别交直线l 于E , F 两点. 证明:DE ⋅DF 恒为定值. (Ⅰ)解:由题意可知,b =
1,
c , =
a 解得a =2. …………4分
x 2
+y 2=1. …………5分 所以椭圆的方程为4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知, A 1(-2,0) ,A 2(2,0). 设P (x 0, y 0) ,依题意-2
于是直线A 1P 的方程为y =
y 0.
(x +2) ,令x =
y =
x 0+
20即DE =2)
y 0x 0+2
. …………7分
又直线A 2P 的方程为y =
y 02) y 0
,
(x -2) ,令x =
y =
x 0-
2x 0-2
. …………9分
即DF =2)
y 0x 0-2
y 0y 04y 024y 02
⋅2) =2=所以DE ⋅DF =2) ,………11分 2
x 0+2x 0-24-x x 0-40
x 02x 2222
+y =1上,所以+y 02=1, 即4y 0又P (x 0, y 0) 在,代入上式, =4-x 044
4-x 02
得DE ⋅DF ==1, 所以|DE |⋅|DF |为定值1. ……13分
4-x 02