§5.3 基本积分公式
重点与难点提示
基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.
因为求不定积分是求导数的逆运算, 所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.
(1)
(2)
(3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 ) (10) ( 5.15 ) （ 5.6 ） ( 5.7 )
(11)
( 5.16 )
对这些公式应正确熟记. 可根据它们的特点分类来记.
公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.
公式（2）、（3）为幂函数
的积分，应分为与
. 当
时，
，
积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.
特别当
时，有
.
当
时，
公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为
，故
母，不在分子，应记清. （
，
）式右边的
是在分
当 时，有
.
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量. 要加以区别，不要混淆. 它们的不定积分所采用的公式不同.
公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分
公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.
例1 求不定积分
.
分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
解：
（为任意常数 ）
例2 求不定积分
.
分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
解：由于
，所以
（为任意常数 ） 例3 求不定积分
.
分析：将
按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解：
(为任意常数 ) 例4 求不定积分
.
分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解：
（为任意常数 ） 例5 求不定积分
.
分析：基本积分公式表中只有
但我们知道有三角恒等式：
解：
（为任意常数 ） 同理我们有：
（为任意常数 ） 例
6
（为任意常数 ）
§5.3 基本积分公式
重点与难点提示
基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.
因为求不定积分是求导数的逆运算, 所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.
(1)
(2)
(3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 ) (10) ( 5.15 ) （ 5.6 ） ( 5.7 )
(11)
( 5.16 )
对这些公式应正确熟记. 可根据它们的特点分类来记.
公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.
公式（2）、（3）为幂函数
的积分，应分为与
. 当
时，
，
积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.
特别当
时，有
.
当
时，
公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为
，故
母，不在分子，应记清. （
，
）式右边的
是在分
当 时，有
.
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量. 要加以区别，不要混淆. 它们的不定积分所采用的公式不同.
公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
公式（10）是一个关于无理函数的积分
公式（11）是一个关于有理函数的积分
下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.
例1 求不定积分
.
分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
解：
（为任意常数 ）
例2 求不定积分
.
分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
解：由于
，所以
（为任意常数 ） 例3 求不定积分
.
分析：将
按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解：
(为任意常数 ) 例4 求不定积分
.
分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解：
（为任意常数 ） 例5 求不定积分
.
分析：基本积分公式表中只有
但我们知道有三角恒等式：
解：
（为任意常数 ） 同理我们有：
（为任意常数 ） 例
6
（为任意常数 ）