机器人工作空间与包容空间的图解法

第20卷第4期南　京　理　工　大　学　学　报Vol.20No.4机器人工作空间与包容空间的图解法

段齐骏　黄德耕　李士

(南京理工大学制造工程系,南京210094)XXX

摘要　机器人工作空间是机器人运行控制过程中的一个重要指标,而包容空间则是设置其位姿特性与轨迹特性测量平面的主要依据。该文研究了直角坐标型、圆柱坐标型、球坐标型及多关节型(主运动自由度数为3)机器人工作空间与包容空间的几何图解法。对多关节型机器人包容空间三维优化求解方法的讨论,确定了在计算机上进行分析计算的数学模型。

关键词　机器人,空间,图解法

分类号　TP242,O177.3,O243

机器人的工作空间是指机器人操作机末端点所能达到的空间点的集合。一般而言,臂部的自由度主要是用来确定手部及工件(或工具)在空间运动的范围或位置,而腕部自由度则主要是用来调整手部及工件(或工具)在空间的姿态。显然,机器人的工作空间取决于臂部的运动。另外,测量机器人位姿特性和轨迹特性时,其测量平面是在包容空间(包容体)内确定的。包容体按下述条件设置:

(1)包容体设置在工作空间中预期应用最多的那一部分;

(2)包容体为6个面与对应基坐标面平行的最大正方体。

机器人按其手臂运动付的类型可分为4类:直角坐标型,圆柱坐标型,球坐标型和多关节型。本文按手臂坐标类型分别讨论其工作空间及包容体的求解方法。

1　直角坐标型机器人

图1所示为直角坐标型机器人,x方向臂1长为L1,可伸缩长度为l1,y方向臂2长为L2,可伸缩长度为l2,z方向臂3长度为L3,可伸缩长度为l3。其工作空间在图1中示出,图1(a)表示工作空间的主视图截面,图1(b)表示工作空间的俯视图截面。由此可知,其工作空间为

　　E=x,y,zûL1-l1≤x≤L1,L2-l2≤y≤L2,L3-l3≤z≤L3(1)

(2)而其体积为　　V=l1õl2õl3

直角坐标型机器人的包容体边长为

本文于1996年3月1日收到

X

总第88期　　　　　段齐骏　黄德耕　李士鰓　机器人工作空间与包容空间的图解法　　　　319　　l=min(l1,l2,l3)(3)

其几何中心与工作空间几何中心重合。包容体图形为

图1中的阴影区。

2　圆柱坐标型机器人

图2所示为圆柱坐标型机器人,径向臂2长为R,臂

1与臂2共轴可伸缩,伸缩长度为r1,臂2可回转,转角为

±A,z方向臂长为L2,可伸缩长度为l2。其工作空间如

图2所示。图2(a)表示工作空间的主视图截面,图2(b)

表示工作空间的俯视图截面。由此可知,其工作空间为

　　E={r,H,zûR-r1≤r≤R,-A≤H≤A,

　　　　　　L2-l2≤z≤L2}

而其体积为

222(4)　　V=A[(R-(R-r1)]l2=Al2(2Rr1+r1)(5)

圆柱坐标型机器人的包容体由如下方法求得:在

图2(b)中,机器人工作空间的外圆弧上任取一点2,过

点2作x轴的垂线得交点3,在x轴取一点4,使得l34=

2l23,连接点2与4,过工作空间内圆弧与x轴的交点1作

24直线的平行线,得线15,5点为工作空间外圆弧上的

一点。过点5作x轴的垂线,与外圆弧又有一交点6,连

线l56。令05线为b,其长度为R,01线为a,其长度为R

-r1,15线为c,则有a+c-2acõcos(P-B)

=b,即c==-acosB±2

b-asin,式中,B=arctan。显然c>0,即有c2

=b-asinacosB,l56=2cõsinB。包容体边长222

　　l=min(l56,l2)(6)

包容体的几何中心与工作空间一致,包容体如图2中阴

影区所示。

3　球坐标型机器人

图3所示为球坐标型机器人,z向臂3长L3,可绕机

座回转2A角,径向臂2可上下俯仰2B角,臂2长度为

L2,其上臂1可伸缩,伸缩长度为l1。因此该机器人的工图2　圆柱坐标型机器人工作空间作空间是球体的一部分,其体积为Fig.2　Workspaceofcircular-

320　　　　　　　　　南　京　理　工　大　学　学　报　　　　　　　　　第20卷第4期　　　　V=2其工作空间为∫0AB(L2+l1)dH-2BL32dH=3022122131∫A2BA(3Ll+3Ll+l)

　　E={rH,

-B≤

图3)。l,(7)(8)球坐标型机器人包容空间的求取与前述方法相似(见

min(l12,2L2sinB)　　　　　A≥2(9)min(l12,2L2sinB,2L2sinA)　A≤2

　　　　l12=2cõsinW(10)

W=arctan,c=-L2cosW+2(L2+l1)-sinWõL2。222　　l=

4　多关节型机器人

4.1　用图解法求解3R机器人的工作空间

3R机器人座高h,大臂长l1,小臂长l2,机身回转

角H1的范围为[C1,C2],大臂俯仰角H2的范围为[A1,

2],小臂俯仰角H3的范围为[B1,B2]。A

机器人工作空间的边界曲线由下述方法确定(如

图4):

(1)在x0z面内的边界曲线是由工作空间与过z

轴的轴平面相截,以其轴截面的截形表示,如图4(a)。

¹当大臂处于左极限位置,小臂由上极限位置摆

到下极限位置,形成圆弧s1;

º当大臂处于右极限位置,小臂由上极限位置摆

到下极限位置,形成圆板s2;

»当小臂处于下极限位置,大臂由左极限位置摆

到右极限位置,形成圆弧s3;

¼当小臂处于上极限位置,大臂由左极限位置摆

到右极限位置,形成圆弧s4。

(2)在x0y平面内的边界曲线是由工作空间中离

z轴最远点和最近点旋转而成,如图4(b)。

3R机器人工作空间的边界曲面由图4(a)所示,轴

1≤t≤C2。截面绕z轴旋转形成,转角为C

多关节机器人的工作空间随着自由度数增加而变

(的图4　3R机器人工作空间Fig.f3R-rt

总第88期　　　　　段齐骏　黄德耕　李士鰓　机器人工作空间与包容空间的图解法　　　　321多关节机器人而言,图解法则不太适用,因此可以利用

解析法求解机器人动作奇异点集合(奇异曲面),最终

求出机器人的工作空间。

4.2　多关节型机器人包容空间的研究

4.2.1　求解包容体的数学模型

确定工作空间包容体只需3个参数,取基座转角对

称,即C1=C2,则可取包容体中心坐标为(x,0,z),包容

体边长d=2a,其中x,z,a即成为需确定的参数,即约

束变量X=[x,z,a]。

如图5所示,包容体8个顶点的坐标都可以用x,z,

a这3个参量表示,中截面顶点A,B,C,D也可以用x,

若机器人工作空间为E,则有z,a这3个参量表示。

　　Di=Di(x,z,a)∈E

式中i=8。据此,可以推导出一系列的约束条件:

　　gk(X)≤0　　k=1,2,…(12)求解包容体就化为如下约束优化问题:目标函数maxF(X)=a或minF(X)=-a;约束条件gk(X)≤0,k=1,2,…。

4.2.2　优化方法

这是一个有约束非线性规划问题,可转变成无约束规划问题。采用内点惩罚函数法定义罚函数:

　　5(X,r(k)__图5　工作空间内接正方体Fig.5　Inscribedcubeofworkspace(11))=F(X)-r(k)∑g(X)u=1um(13)

(k)式中,F(X)为目标函数,X为约束变量,gu(X)为约束条件,u=1,2,…,m,m为约束数,r

为惩罚因子,k为迭代次数。用计算机进行优化求解,可以方便获解。

参　　考　　文　　献

1　张启先.空间机构的分析与综合:上册.北京:机械工业出版社,1984

2　陈立周.机械优化设计.上海:上海科技出版社,1982

3　张伯鹏.机器人工程基础.北京:机械工业出版社,1987.105～120

TheGraphicMethodsofRobotWorkspaceand

InscribedCube

DuanQijun　HuangDegen　LiShipnan

(DepartmentofManufacturingEngineering,NUST,Nanjing210094)ABSTRACT　Theworkspaceandinscribedcubeofrobotareveryimportantfactorforcog

322　　　　　　　　　南　京　理　工　大　学　学　报　　　　　　　　　第20卷第4期coordinate-robot,circular-cylindrical-coordinate-robot,spherical-coordinate-robotandmul-tilink-robotwith3R-degreesoffreedom)arestudiedinthispaper.Thespaceoptimummethodforinscribedcubeofmultilink-robotisdiscussed,andthemathematicalmodelforanalysisbypersonalcomputerisestablished.

KEYWORDS　robot,space,graphicmethods

õ简讯õ

联合社会各界　共商学校未来

1996年5月5日,南京理工大学董事会第2次会议隆重召开,总公司及江苏、浙江、贵州、海南等地的近30位企事业单位和政府部门的董事、领导出席了会议。

王德臣副总经理在讲话中充分肯定了南京理工大学近年来的发展成就,抓住了象“211工程”预审等重大的发展机遇,使学校办学水平、实力和层次迈上了一个新的台阶。结合“九五”兵器工业的发展目标和兵工教育面临的形势与任务,围绕着南京理工大学的未来发展,王德臣副总经理着重指出:学校必须积极适应建立社会主义市场经济的客观要求,树立为行业、地方经济建设服务的办学思想,采取多种形式,不断扩大对外合作的范围和层次,争取各种优惠政策和多渠道的办学经费;面向经济建设,继续调整学科专业结构;深入研讨并轨招生后如何保证为行业服务的新问题;增强师资和科研队伍的发展后劲,形成合理的人才梯次结构。

自1994年首届董事会成立的2年来,南京理工大学坚持发挥优势、内外并重的发展战略,以人才培养为先导,建立与董事单位及社会各界牢固、有效的信任机制;以服务经济建设为方向,开发实用技术成果为基础,开发高新技术为重点,促使科技工作不断长入经济。在总公司和各董事单位领导的关心、支持下,学校在探索高等教育体制改革、密切与社会各界联系等方面取得了长足的进步,初步形成了开放式办学的新格局。由于董事会这一组织形式的推动和促进,学校的对外开拓进入到自觉、有序、稳步、健康发展的新阶段。

会议围绕“学校如何更好地为行业和地方经济建设服务”、“如何建立产学研合作的有效运行机制”两个议题,进行了广泛而深入的研讨。董事们纷纷发言,他们在肯定学校与董事单位开展卓有成效合作的同时,为学校的未来发展积极献计献策。

自首届董事会召开以来,共有12个董事单位在学校设立了共288万元的董事会基金。根据董事会章程和董事单位的要求,会议期间,对11名主要从事教学工作的优秀青年教师和71名优秀学生进行了表彰和奖励,设立基金的董事单位的领导为他们颁发了学校董事会基金奖。

本次董事会的召开及南京理工大学近2年的建设成就,进一步坚定了董事单位和社会各界继续支持学校办学的信心和决心,与会领导表示:将在资金和科技合作的项目上,采取更加切实有效的措施,支持南京理工大学实现“九五规划”和“211工程”的长远建设目标。

第20卷第4期南　京　理　工　大　学　学　报Vol.20No.4机器人工作空间与包容空间的图解法

段齐骏　黄德耕　李士

(南京理工大学制造工程系,南京210094)XXX

摘要　机器人工作空间是机器人运行控制过程中的一个重要指标,而包容空间则是设置其位姿特性与轨迹特性测量平面的主要依据。该文研究了直角坐标型、圆柱坐标型、球坐标型及多关节型(主运动自由度数为3)机器人工作空间与包容空间的几何图解法。对多关节型机器人包容空间三维优化求解方法的讨论,确定了在计算机上进行分析计算的数学模型。

关键词　机器人,空间,图解法

分类号　TP242,O177.3,O243

机器人的工作空间是指机器人操作机末端点所能达到的空间点的集合。一般而言,臂部的自由度主要是用来确定手部及工件(或工具)在空间运动的范围或位置,而腕部自由度则主要是用来调整手部及工件(或工具)在空间的姿态。显然,机器人的工作空间取决于臂部的运动。另外,测量机器人位姿特性和轨迹特性时,其测量平面是在包容空间(包容体)内确定的。包容体按下述条件设置:

(1)包容体设置在工作空间中预期应用最多的那一部分;

(2)包容体为6个面与对应基坐标面平行的最大正方体。

机器人按其手臂运动付的类型可分为4类:直角坐标型,圆柱坐标型,球坐标型和多关节型。本文按手臂坐标类型分别讨论其工作空间及包容体的求解方法。

1　直角坐标型机器人

图1所示为直角坐标型机器人,x方向臂1长为L1,可伸缩长度为l1,y方向臂2长为L2,可伸缩长度为l2,z方向臂3长度为L3,可伸缩长度为l3。其工作空间在图1中示出,图1(a)表示工作空间的主视图截面,图1(b)表示工作空间的俯视图截面。由此可知,其工作空间为

　　E=x,y,zûL1-l1≤x≤L1,L2-l2≤y≤L2,L3-l3≤z≤L3(1)

(2)而其体积为　　V=l1õl2õl3

直角坐标型机器人的包容体边长为

本文于1996年3月1日收到

X

总第88期　　　　　段齐骏　黄德耕　李士鰓　机器人工作空间与包容空间的图解法　　　　319　　l=min(l1,l2,l3)(3)

其几何中心与工作空间几何中心重合。包容体图形为

图1中的阴影区。

2　圆柱坐标型机器人

图2所示为圆柱坐标型机器人,径向臂2长为R,臂

1与臂2共轴可伸缩,伸缩长度为r1,臂2可回转,转角为

±A,z方向臂长为L2,可伸缩长度为l2。其工作空间如

图2所示。图2(a)表示工作空间的主视图截面,图2(b)

表示工作空间的俯视图截面。由此可知,其工作空间为

　　E={r,H,zûR-r1≤r≤R,-A≤H≤A,

　　　　　　L2-l2≤z≤L2}

而其体积为

222(4)　　V=A[(R-(R-r1)]l2=Al2(2Rr1+r1)(5)

圆柱坐标型机器人的包容体由如下方法求得:在

图2(b)中,机器人工作空间的外圆弧上任取一点2,过

点2作x轴的垂线得交点3,在x轴取一点4,使得l34=

2l23,连接点2与4,过工作空间内圆弧与x轴的交点1作

24直线的平行线,得线15,5点为工作空间外圆弧上的

一点。过点5作x轴的垂线,与外圆弧又有一交点6,连

线l56。令05线为b,其长度为R,01线为a,其长度为R

-r1,15线为c,则有a+c-2acõcos(P-B)

=b,即c==-acosB±2

b-asin,式中,B=arctan。显然c>0,即有c2

=b-asinacosB,l56=2cõsinB。包容体边长222

　　l=min(l56,l2)(6)

包容体的几何中心与工作空间一致,包容体如图2中阴

影区所示。

3　球坐标型机器人

图3所示为球坐标型机器人,z向臂3长L3,可绕机

座回转2A角,径向臂2可上下俯仰2B角,臂2长度为

L2,其上臂1可伸缩,伸缩长度为l1。因此该机器人的工图2　圆柱坐标型机器人工作空间作空间是球体的一部分,其体积为Fig.2　Workspaceofcircular-

320　　　　　　　　　南　京　理　工　大　学　学　报　　　　　　　　　第20卷第4期　　　　V=2其工作空间为∫0AB(L2+l1)dH-2BL32dH=3022122131∫A2BA(3Ll+3Ll+l)

　　E={rH,

-B≤

图3)。l,(7)(8)球坐标型机器人包容空间的求取与前述方法相似(见

min(l12,2L2sinB)　　　　　A≥2(9)min(l12,2L2sinB,2L2sinA)　A≤2

　　　　l12=2cõsinW(10)

W=arctan,c=-L2cosW+2(L2+l1)-sinWõL2。222　　l=

4　多关节型机器人

4.1　用图解法求解3R机器人的工作空间

3R机器人座高h,大臂长l1,小臂长l2,机身回转

角H1的范围为[C1,C2],大臂俯仰角H2的范围为[A1,

2],小臂俯仰角H3的范围为[B1,B2]。A

机器人工作空间的边界曲线由下述方法确定(如

图4):

(1)在x0z面内的边界曲线是由工作空间与过z

轴的轴平面相截,以其轴截面的截形表示,如图4(a)。

¹当大臂处于左极限位置,小臂由上极限位置摆

到下极限位置,形成圆弧s1;

º当大臂处于右极限位置,小臂由上极限位置摆

到下极限位置,形成圆板s2;

»当小臂处于下极限位置,大臂由左极限位置摆

到右极限位置,形成圆弧s3;

¼当小臂处于上极限位置,大臂由左极限位置摆

到右极限位置,形成圆弧s4。

(2)在x0y平面内的边界曲线是由工作空间中离

z轴最远点和最近点旋转而成,如图4(b)。

3R机器人工作空间的边界曲面由图4(a)所示,轴

1≤t≤C2。截面绕z轴旋转形成,转角为C

多关节机器人的工作空间随着自由度数增加而变

(的图4　3R机器人工作空间Fig.f3R-rt

总第88期　　　　　段齐骏　黄德耕　李士鰓　机器人工作空间与包容空间的图解法　　　　321多关节机器人而言,图解法则不太适用,因此可以利用

解析法求解机器人动作奇异点集合(奇异曲面),最终

求出机器人的工作空间。

4.2　多关节型机器人包容空间的研究

4.2.1　求解包容体的数学模型

确定工作空间包容体只需3个参数,取基座转角对

称,即C1=C2,则可取包容体中心坐标为(x,0,z),包容

体边长d=2a,其中x,z,a即成为需确定的参数,即约

束变量X=[x,z,a]。

如图5所示,包容体8个顶点的坐标都可以用x,z,

a这3个参量表示,中截面顶点A,B,C,D也可以用x,

若机器人工作空间为E,则有z,a这3个参量表示。

　　Di=Di(x,z,a)∈E

式中i=8。据此,可以推导出一系列的约束条件:

　　gk(X)≤0　　k=1,2,…(12)求解包容体就化为如下约束优化问题:目标函数maxF(X)=a或minF(X)=-a;约束条件gk(X)≤0,k=1,2,…。

4.2.2　优化方法

这是一个有约束非线性规划问题,可转变成无约束规划问题。采用内点惩罚函数法定义罚函数:

　　5(X,r(k)__图5　工作空间内接正方体Fig.5　Inscribedcubeofworkspace(11))=F(X)-r(k)∑g(X)u=1um(13)

(k)式中,F(X)为目标函数,X为约束变量,gu(X)为约束条件,u=1,2,…,m,m为约束数,r

为惩罚因子,k为迭代次数。用计算机进行优化求解,可以方便获解。

参　　考　　文　　献

1　张启先.空间机构的分析与综合:上册.北京:机械工业出版社,1984

2　陈立周.机械优化设计.上海:上海科技出版社,1982

3　张伯鹏.机器人工程基础.北京:机械工业出版社,1987.105～120

TheGraphicMethodsofRobotWorkspaceand

InscribedCube

DuanQijun　HuangDegen　LiShipnan

(DepartmentofManufacturingEngineering,NUST,Nanjing210094)ABSTRACT　Theworkspaceandinscribedcubeofrobotareveryimportantfactorforcog

322　　　　　　　　　南　京　理　工　大　学　学　报　　　　　　　　　第20卷第4期coordinate-robot,circular-cylindrical-coordinate-robot,spherical-coordinate-robotandmul-tilink-robotwith3R-degreesoffreedom)arestudiedinthispaper.Thespaceoptimummethodforinscribedcubeofmultilink-robotisdiscussed,andthemathematicalmodelforanalysisbypersonalcomputerisestablished.

KEYWORDS　robot,space,graphicmethods

õ简讯õ

联合社会各界　共商学校未来

1996年5月5日,南京理工大学董事会第2次会议隆重召开,总公司及江苏、浙江、贵州、海南等地的近30位企事业单位和政府部门的董事、领导出席了会议。

王德臣副总经理在讲话中充分肯定了南京理工大学近年来的发展成就,抓住了象“211工程”预审等重大的发展机遇,使学校办学水平、实力和层次迈上了一个新的台阶。结合“九五”兵器工业的发展目标和兵工教育面临的形势与任务,围绕着南京理工大学的未来发展,王德臣副总经理着重指出:学校必须积极适应建立社会主义市场经济的客观要求,树立为行业、地方经济建设服务的办学思想,采取多种形式,不断扩大对外合作的范围和层次,争取各种优惠政策和多渠道的办学经费;面向经济建设,继续调整学科专业结构;深入研讨并轨招生后如何保证为行业服务的新问题;增强师资和科研队伍的发展后劲,形成合理的人才梯次结构。

自1994年首届董事会成立的2年来,南京理工大学坚持发挥优势、内外并重的发展战略,以人才培养为先导,建立与董事单位及社会各界牢固、有效的信任机制;以服务经济建设为方向,开发实用技术成果为基础,开发高新技术为重点,促使科技工作不断长入经济。在总公司和各董事单位领导的关心、支持下,学校在探索高等教育体制改革、密切与社会各界联系等方面取得了长足的进步,初步形成了开放式办学的新格局。由于董事会这一组织形式的推动和促进,学校的对外开拓进入到自觉、有序、稳步、健康发展的新阶段。

会议围绕“学校如何更好地为行业和地方经济建设服务”、“如何建立产学研合作的有效运行机制”两个议题,进行了广泛而深入的研讨。董事们纷纷发言,他们在肯定学校与董事单位开展卓有成效合作的同时,为学校的未来发展积极献计献策。

自首届董事会召开以来,共有12个董事单位在学校设立了共288万元的董事会基金。根据董事会章程和董事单位的要求,会议期间,对11名主要从事教学工作的优秀青年教师和71名优秀学生进行了表彰和奖励,设立基金的董事单位的领导为他们颁发了学校董事会基金奖。

本次董事会的召开及南京理工大学近2年的建设成就,进一步坚定了董事单位和社会各界继续支持学校办学的信心和决心,与会领导表示:将在资金和科技合作的项目上,采取更加切实有效的措施,支持南京理工大学实现“九五规划”和“211工程”的长远建设目标。