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梅涅劳斯定理和塞瓦定理
中考要求
知识点睛
一、比例的基本性质
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
a c
=⇔ad =bc , 这一性质称为比例的基本性质, 由它可推出许多比例形式; b d
a c b d
=⇔=(反比定理); b d a c
a c a b d c
=⇔=(或=)(更比定理); b d c d b a a c a +b c +d
(合比定理); =⇔=
b d b d a c a -b c -d
(分比定理); =⇔=
b d b d a c a +b c +d
(合分比定理); =⇔=
b d a -b c -d
a c m a +c +⋅⋅⋅+m a ==⋅⋅⋅=(b +d +⋅⋅⋅+n ≠0) ⇔=(等比定理). b d n b +d +⋅⋅⋅+n b
二、平行线分线段成比例定理
1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果l 1∥l 2∥l 3，则
AB DE BC EF AB AC
，，. ===
AC DF AC DF DE DF
A B C
D E F
l 1l 2l 3
2. 平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，如果DE ∥BC ，则
A D A E D E
==A B A C B C
，反之如果有
AD AE DE
，那么DE ∥BC ==
AB AC BC
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A
E
E
D
D
B C B
C
三、梅涅劳斯定理
梅内劳斯（Menelaus ，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理．
梅涅劳斯定理：X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点．则X 、Y 、Z 共线
CX BZ AY
⋅⋅=1． XB ZA YC
根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上． 的充分必要条件是：
A Z b B
a
Y
C
X
Y
Z
b B
c C
X
CX BZ AY
⋅⋅=1． XB ZA YC
设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ．则 证明：（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则
CX c BZ b AY a CX BZ AY c b a
=，=、=，三式相乘即得⋅⋅=⋅⋅=1 XB b ZA a YC c XB ZA YC b a c
CX BZ AY
⋅⋅=1，则X 、Y 、Z 三点共线． XB ZA YC
CX BZ AY '
设直线XZ 交AC 于Y '，由已证必要性得：⋅⋅=1
XB ZA Y 'C
CX BZ AY AY 'AY
又因为． ⋅⋅=1，所以=
XB ZA YC Y 'C YC
因为Y '和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y '和Y 比重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线．
（2）充分性，即若
梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在得第三个．二是证明三点共线．
CX BZ AY
、、三个比中，已知其中两个可以求ZA XB YC
四、塞瓦定理
连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G ·Gevo1647-1734）
是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理．
CZ ．则A X ，B Y ，CZ 共点的充分必要塞瓦定理：从△ABC 的每个顶点出发作一条塞瓦线AX ，BY ，
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梅涅劳斯定理和塞瓦定理
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一、比例的基本性质
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)
a c
=⇔ad =bc , 这一性质称为比例的基本性质, 由它可推出许多比例形式; b d
a c b d
=⇔=(反比定理); b d a c
a c a b d c
=⇔=(或=)(更比定理); b d c d b a a c a +b c +d
(合比定理); =⇔=
b d b d a c a -b c -d
(分比定理); =⇔=
b d b d a c a +b c +d
(合分比定理); =⇔=
b d a -b c -d
a c m a +c +⋅⋅⋅+m a ==⋅⋅⋅=(b +d +⋅⋅⋅+n ≠0) ⇔=(等比定理). b d n b +d +⋅⋅⋅+n b
二、平行线分线段成比例定理
1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果l 1∥l 2∥l 3，则
AB DE BC EF AB AC
，，. ===
AC DF AC DF DE DF
A B C
D E F
l 1l 2l 3
2. 平行线分线段成比例定理的推论： 如图，在三角形中，如果DE ∥BC ，则
A D A E D E
==A B A C B C
，反之如果有
AD AE DE
，那么DE ∥BC ==
AB AC BC
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A
E
E
D
D
B C B
C
三、梅涅劳斯定理
梅内劳斯（Menelaus ，公元98年左右），是希腊数学家兼天文学家．梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理．
梅涅劳斯定理：X 、Y 、Z 分别是△ABC 三边所在直线BC 、CA 、AB 上的点．则X 、Y 、Z 共线
CX BZ AY
⋅⋅=1． XB ZA YC
根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或X 、Y 、Z 三点中只有一点在三角形边的延长线上，而其它两点在三角形的边上；或X 、Y 、Z 三点分别都在三角形三边的延长线上． 的充分必要条件是：
A Z b B
a
Y
C
X
Y
Z
b B
c C
X
CX BZ AY
⋅⋅=1． XB ZA YC
设A 、B 、C 到直线XYZ 的距离分别为a 、b 、c ．则 证明：（1）必要性，即若X 、Y 、Z 三点共线，则
CX c BZ b AY a CX BZ AY c b a
=，=、=，三式相乘即得⋅⋅=⋅⋅=1 XB b ZA a YC c XB ZA YC b a c
CX BZ AY
⋅⋅=1，则X 、Y 、Z 三点共线． XB ZA YC
CX BZ AY '
设直线XZ 交AC 于Y '，由已证必要性得：⋅⋅=1
XB ZA Y 'C
CX BZ AY AY 'AY
又因为． ⋅⋅=1，所以=
XB ZA YC Y 'C YC
因为Y '和Y 或同在AC 线段上，或同在AC 边的延长线上，并且能分得比值相等，所以Y '和Y 比重合为一点，也就是X 、Y 、Z 三点共线．
（2）充分性，即若
梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在得第三个．二是证明三点共线．
CX BZ AY
、、三个比中，已知其中两个可以求ZA XB YC
四、塞瓦定理
连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线．塞瓦（G ·Gevo1647-1734）
是意大利数学家兼水利工程师．他在1678年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理．
CZ ．则A X ，B Y ，CZ 共点的充分必要塞瓦定理：从△ABC 的每个顶点出发作一条塞瓦线AX ，BY ，