利用平面向量的知识，三角形有以下性质： [1] 如图1，已知点G 是∆A B C 的重心，过G 作直
线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且A M =x A B ， 11
=3。 A N =y A C ，则+
x y
B
图1
N C
证 点G 是∆A B C 的重心，知G A +G B +G C =O ，
1
得-A G +(A B -A G ) +(A C -A G ) =O ，有A G =(A B +A C ) 。
3
又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN 上），
于是存在λ, μ，使得A G =λA M +μA N (且λ+μ=1) ， 1
有A G =λx A B +μy A C =(A B +A C ) ，
3⎧λ+μ=1
11⎪
=3。 得⎨1，于是得+
x y λx =μy =⎪
3⎩
C 1
B 1G
A 1
图2
经研究，笔者发现三棱锥的重心也有类似性质： [2] 如图2，任一经过三棱锥P -A B C 的重心G
的平面分别与三条侧棱交于A 1, B 1, C 1，且P A 1=
x P A ，P B 1=y P B ，P C 1=z P C ，
1x
1y
1z
则++=4。
证 点G 是三棱锥P -A B C 的重心，知G P +G A +G B +G C =ο，
1
得-P G +(P A -P G ) +(P B -P G ) +(P C -P G ) =ο，即P G =(P A +P B +P C ) 。
4
又G , A 1, B 1, C 1四点共面（P 为平面A 1B 1C 1外一点），
得P G =αP A 1+βP B 1+γP C 1(且α+β+γ=1)
1
于是P G =x αP A +y βP B +z γP C =(P A +P B +P C ) 。
4
9
⎧α+β+γ=1
111⎪
++=4。 得⎨，有1
x y z ⎪x α=y β=z γ=
⎩4
事实上，我们可以将这个性质推广到n 棱锥中去（n ≥3）。
（柯正摘自《数学通讯》2006年1月第1期）
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利用平面向量的知识，三角形有以下性质： [1] 如图1，已知点G 是∆A B C 的重心，过G 作直
线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且A M =x A B ， 11
=3。 A N =y A C ，则+
x y
B
图1
N C
证 点G 是∆A B C 的重心，知G A +G B +G C =O ，
1
得-A G +(A B -A G ) +(A C -A G ) =O ，有A G =(A B +A C ) 。
3
又M ，N ，G 三点共线（A 不在直线MN 上），
于是存在λ, μ，使得A G =λA M +μA N (且λ+μ=1) ， 1
有A G =λx A B +μy A C =(A B +A C ) ，
3⎧λ+μ=1
11⎪
=3。 得⎨1，于是得+
x y λx =μy =⎪
3⎩
C 1
B 1G
A 1
图2
经研究，笔者发现三棱锥的重心也有类似性质： [2] 如图2，任一经过三棱锥P -A B C 的重心G
的平面分别与三条侧棱交于A 1, B 1, C 1，且P A 1=
x P A ，P B 1=y P B ，P C 1=z P C ，
1x
1y
1z
则++=4。
证 点G 是三棱锥P -A B C 的重心，知G P +G A +G B +G C =ο，
1
得-P G +(P A -P G ) +(P B -P G ) +(P C -P G ) =ο，即P G =(P A +P B +P C ) 。
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又G , A 1, B 1, C 1四点共面（P 为平面A 1B 1C 1外一点），
得P G =αP A 1+βP B 1+γP C 1(且α+β+γ=1)
1
于是P G =x αP A +y βP B +z γP C =(P A +P B +P C ) 。
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⎧α+β+γ=1
111⎪
++=4。 得⎨，有1
x y z ⎪x α=y β=z γ=
⎩4
事实上，我们可以将这个性质推广到n 棱锥中去（n ≥3）。
（柯正摘自《数学通讯》2006年1月第1期）
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