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函数单调性的应用
作者：蔡平
来源：《理科考试研究·高中》2016年第04期
函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本.
在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来就来谈谈函数单调性的应用.
例1试讨论函数f （x ）=xx2+1的单调性.
分析可采用定义法或导数法判断.
解法一f （x ）的定义域为R ，在定义域内任取x1
都有f （x1）-f （x2）=x1x21+1-x2x22+1=（x1-x2）（1-x1x2）（x21+1）（x22+1）， 其中x1-x20，x22+1>0.
①当x1，x2∈（-1，1）时，即|x1|
所以|x1x2|
则x1x20，f （x1）-f （x2）
②当x1，x2∈（-∞，-1]或[1，+∞）时，
1-x1x2f（x2），所以f （x ）为减函数.
综上所述，f （x ）在[-1，1]上是增函数，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数. 解法二因为f ′（x ）=（xx2+1）′=x2+1-x （x2+1）′（x2+1）2
=x2+1-2x2（x2+1）2=1-x2（x2+1）2，
所以由f ′（x ）>0解得-1
由f ′（x ）1，
所以f （x ）在[-1，1]上是增函数，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数.
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函数单调性的应用
作者：蔡平
来源：《理科考试研究·高中》2016年第04期
函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本.
在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来就来谈谈函数单调性的应用.
例1试讨论函数f （x ）=xx2+1的单调性.
分析可采用定义法或导数法判断.
解法一f （x ）的定义域为R ，在定义域内任取x1
都有f （x1）-f （x2）=x1x21+1-x2x22+1=（x1-x2）（1-x1x2）（x21+1）（x22+1）， 其中x1-x20，x22+1>0.
①当x1，x2∈（-1，1）时，即|x1|
所以|x1x2|
则x1x20，f （x1）-f （x2）
②当x1，x2∈（-∞，-1]或[1，+∞）时，
1-x1x2f（x2），所以f （x ）为减函数.
综上所述，f （x ）在[-1，1]上是增函数，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数. 解法二因为f ′（x ）=（xx2+1）′=x2+1-x （x2+1）′（x2+1）2
=x2+1-2x2（x2+1）2=1-x2（x2+1）2，
所以由f ′（x ）>0解得-1
由f ′（x ）1，
所以f （x ）在[-1，1]上是增函数，在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数.