一、四则运算
1．四则运算(1)（教材2～9页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1．掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式题。
2．探索、分析解决问题的策略和方法，会用两三步计算的方法解决一些实际问题。
3．养成认真审题、独立思考等学习习惯。
重难点
重点：理解和掌握含有两级运算的运算顺序。
难点：运用混合运算解决实际问题。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 没有括号的加减混合运算的运算顺序
问题导入 滑冰场上午有72人，中午有44人离去，又有85人到来。现在有多少人在滑冰？
过程讲解
1．分析解答
解法一
(1)分析题意：求现在有多少人在滑冰，应知道滑冰场上人员的变化情况。由上午有72人，中午有44人离去，可以用减法求出离去44人后剩下的人数，即：72-44=28（人）；再用剩下的人数加上又到来的85人，便是现在滑冰的人数，即：28+85 =113（人），以上的分析过程也可用思路图表示：
知识延伸
此分析思路从条件出发，逐步推导出所求结果，它采用了解决应用题的常见方法——综合法。
列综合算式为：72-44+85。
(2)明确运算顺序：此题是一道加减混合运算题，计算时按从左到右的顺序计算。先算出72与44的差，再算出这个差与85的和。
(3)明确运算过程：
72-44+85
=28+85
=113（人）
方法提示
在递等式计算中，没参加运算的数要连同前面的运算符号一同抄写下来。
解法二
(1)分析题意：可以先求出滑冰场共来多少人，即用上午有的72人加上又来的85人；再用总人数减去中午离去的44人，便是滑冰场现在的人数。以上的分析过程也可以用思路图表示：
列综合算式为：72+85-44。
(2)明确运算顺序：此题仍是一道加减混合运算题，因此要按从左到右的顺序计算。
(3)明确运算过程：
72+85-44
=157 - 44
=113（人）
答：现在有113人在滑冰。
难点点拨
同一个问题从不同角度思考就会有不同的解题方法。
2．两种解题方法的比较
(1)两种解法比较：解法一易理解，解法二更训练思维。解法一是解决达样的两步算式的基本方法。
(2)两个算式比较：因为它们都是只含加减法且不带小括号的同级运算，因此都按从左到右的顺序进行计算。
归纳总结
在没有括号的算式里，如果只有加、减法运算，要按从左到右的顺序计算。
拓展提高
1．计算加减混合运算，有时为了计算简便，可以适当调整算式中运算的顺序（把题中的某数带着数前的运算符号“搬家”）。如：
(1) 72-36+28 (2) 213+48-13
=72+28-36 =213-13+48
=100 - 36 =200+48
=64 =248
2.综合法：解答应用题的常用方法之一。它从已知条件出发，根据数量关系选择两个已知量，提出可以解答的问题，然后把所求出的数量作为新的已知条件，再提出可以解答的问题，这样逐步推导，直到求出所要求出的结果为止。
知识点二 没有括号的乘除混合运算的运算顺序
问题导入 “冰雪天地”3天接待987人。照这样计算，6天预计接待多少人？
方法提示
把整体平均分成几份，求一份是多少，用除法计算。
过程讲解
1.分析解答
解法一
要求6天预计接待多少人，可以先求出平均每天接待的人数。已知3天接待987人，987÷3便是一天接待的人数。6天接待的人数便是987÷3³6。以上的分析过程也可用思路图表示：
知识延伸
此分析思路是从要求的问题入手，逐步逆推从而求出结果，它采用了解决应用题的常见方法——分析法。
列式为：987÷3³6
解法二
已知3天接待987人，求6天可以接待多少人，可以想6天里面有几个3天，便可以接待几个987人。
用线段图表示：
方法提示
求一个数里包含几个另一个数用除法计算；求几个凡是多少用乘法计算。
因为6天里面正好有两个3天，因此可以接待两个987人。列式为：6÷3³987。
2．明确运算顺序
987÷3³6 6÷3³987
这两道算式都是只含有乘、除法的同级运算，因此要按照从左到右的顺序进行计算。
3．解答
987÷3³6 6÷3³987
=329³6 或=2³987
=1974（人） =1974(人)
答：6天预计接待1974人。
要点提示
只有同一种量中的两个数正好是整数倍时，才可以选择第二种解法。如：此题中6正好是3的2倍。
归纳总结
在没有括号的算式里，如果只有乘、除法，要按从左到右的顺序计算。
拓展提高
1．在计算只有乘、除法的混合运算（没有括号）时，为了计算简便，可以适当调整算式的运算顺序（把题中的某数带数前的运算符号“搬家”），而结果不变。如：
(1) 72³36÷8 (2) 75÷5³2
=72÷8³36 =75³2÷5
=9³36 =150÷5
=324 =30
2．分析法：解答应用题的常见方法之一。它从应用题要求的未知数入手，根据数量关系，找出解答最后结果所需条件，把其中的一个（或两个）未知条件作为要解的问题，然后找出解决这一个（或两个）问题所需要的条件，这样逐步逆推，直到所找的条件在应用题中都是已知的为止。
知识点三 积商之和（差）的混合运算的顺序
问题导入 星期天，爸爸妈妈带着玲玲去“冰雪天地”游玩。成人票 24元，儿童票半价。
(1)购门票需要花多少钱？
(2)如果买3张成人票，付100元，应找回多少钱？
过程讲解
1．分析、解决问题(1)
(1)分析、列式：求购门票需要花多少钱，就是求爸爸、妈妈购买门票钱与玲玲购买门票钱之和。爸爸和妈妈买两张成人票共需两个24元，列式为：24+24或24³2；玲玲是儿童，已知儿童票半价，也就是24元的一半，列式为：24÷2。所以玲玲一家购门票所花的钱可列综合算式为： ①24³2+24÷2或②24+24+24÷2。
(2)明确计算过程及结果。
①式是求积商之和的混合运算，根据算式的意义要先算乘、除法，再算加法。因为乘、除法属于同级运算，所以可同时计算得出结果，最后计算出积商之和。②式中有加法和除法，根据算式的意义应先算除法，再算加法。因此计算过程如下：
①24³2+24÷2 ②24+24+24÷2
=48+12 =24+24+12
=60(元) =48+12
=60(元)
答：购门票需要花60元。
方法提示
24³2与24+24列式不同，但表示的含义却相同。
2．分析、解决问题(2)
(1)分析、列式：求应找回多少钱，应先知道买3张成人票共花多少钱，再用已付的钱减去花掉的钱即是找回的钱。列综合算式为：100-24³3。
(2)明确计算过程及结果：根据算式的意义先算乘法求出花的钱，再算减法求得找回的钱。计算过程如下：
100-24³3
=100-72
=28(元)
答：应找回28元。
归纳总结
在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。
误区警示 慧眼识真知．错误巧规避！
误区一 75÷5³3
=75÷15
=5 ．
错解分析 此题错在没有掌握同级运算的运算顺序，乘、除法属于同级运算，要遵循从左到右的运算顺序进行计算。 正确解答 75÷5³3
=15³3
=45
温馨提示
在没有括号的算式里，如果只含有同级运算，要按从左到右的顺序计算。
误区二 28+120÷4
=148÷4
=37
错解分析 此题错在没有掌握含有两级运算的混合运算顺序。
正确解答 28+120÷4
=28+30
=58
温馨提示
通常把加法和减法称为第一级运算，把乘法和除法称为第二级运算。在一个算式里，如果只含有这两级运算，要先做第二级（高级）运算，再做第一级（低级）运算。
考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1．重点题 选择。
(1)在没有括号的算式里，如果有乘、除法和加、减法，要先算( )。
A.加、减法 B．乘、除法 C．按从左到右的顺序
(2)计算32-16+ 22时，要先算（ ）。
A. 32-16 B.16+22
2．难点题 计算下面各题。
82-36+25 750³2- 2100÷3
3．易错题 小小门诊室。
56÷7³8 诊治： 25³3÷25³3 诊治：
=56÷56 =75÷75
=1 =1
4．易混题 运算顺序一样的画“√”，不一样的画“³”。
(1)15³6÷3 15+6—3 ( )
(2)80÷8³5 80-8³5( )
(3)65-4³9 65³4³9( )
5．考试题 师傅每小时加工192个零件，徒弟每小时加工的零件个数正好是师傅的一半。师傅和徒弟1小时共加工多少个零件？（2010．武汉）
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！
例1 一部功能最齐全的手机的价格是3870元，比一部普通手机贵1450元，一部功能较齐全的手机比一部普通手机贵210元，一部功能较齐全的手机售价多少元？
解法一
分析 根据一部功能最齐全的手机的价格是3870元，比一部普通手机贵1450元，可用减法求出普通手机的售价；根据一部功能较齐全的手机比一部普通手机贵210元，可用加法求出功能较齐全的手机的售价。
解答 3870 -1450+210
=2420+210
=2630（元） 答：一部功能较齐全的手机售价2630元。
要点提示
当三种事物进行比较时，找准中间量是解题关键。
解法二
分析 如图：
从图中可以看出功能最齐全的手机比功能较齐全的手机贵(1450 - 210)元，又知道功能最齐全的手机的价格是3870元，可用3870- (1450 - 210) 求出功能较齐全的手机的售价。
解答 3870-(1450-210)
=3870 -1240
=2630(元)
答：一部功能较齐全的手机售价2630元。
知识延伸
图解法：解答应用题常用方法之一。它在分析应用题时，把题中的条件和问题用线段图或其他图形表示出来，使分析的问题具体形象。
提示
找出两种量之间的相差量，用较大数一相差量一较小数。
例2 有7个数，它们的平均数是154。把这些数按从小到大的顺序排列起来，那么前两个数的平均数是136，后四个数的平均数是164。求第三个数是多少。
分析 用7个数的总和（7个154）减去前两个数的和（2个136），再减去后四个数的和（4个164），所得的结果是第三个数。以上分析思路的图示如下：
解答 154³7 -136³2-164³4
=1078-272-656
=150
答：第三个数是150。
总结
一组数的平均数³这组数的个数=这组数的总和；一组数的总和÷这组数的个数=平均数。
赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1．创新题 把下面的分步算式合并成综合算式。
(1)35³3=105 (2)760÷10=76 45³3=135 75+105 =180 76+135=211
2．思维训练题 丽丽买了3本笔记本，每本3元钱，又买了4枝钢笔，每枝钢笔的价钱是每本笔记本价钱的2倍，丽丽一共花了多少钱？
3．潜能开发题 有两匹马和一副鞍，白马配鞍售价800元，黑马配鞍售价600元，两匹马售价1000元，那么一副鞍售价多少元？
4．竞赛题 将一些半径相同的小圆按下图所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆„„以此规律，第6个图形中有_________个小圆。（2010．希望杯）
趣味数学 趣题有趣解，细读可掌握！
老寿星
清代乾隆五十年的时候，乾隆皇帝在乾清官摆下千叟宴，参加者有位年龄特大的老人。乾隆帝以他的年龄出了一道上联：花甲重开，外加三七岁月。纪晓岚巧妙地对出了下联：古稀双庆，又多一个春秋。
看到这，你一定想知道这位老寿星的年龄有多大吧？
先看上联。花甲就是甲子，一个甲子是60年时间。“花甲重开”，是说经过了两个甲子，就是120年，这还不够，还要“外加三七岁月”，3和7相乘，是21年，所以总数是60³2+3³7=1410可见乾隆皇帝是说，这位老人家141岁。
再看下联。“古稀”是70岁。唐代诗人杜甫《曲江二首》诗中说，“人生七十古来稀”。“古稀双庆”，是说这位老先生居然有两次庆贺古稀，度过了两个70年，并且不止这些，还“又多一个春秋”，总数是70³2 +1=141。
可见纪晓岚也是在变个花样说，不错，这位老人是141岁。
2．四则运算(2)（教材10～16页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1.掌握含有小括号的运算顺序及有关0的运算，正确计算三步算式。
2.在解决实际问题的过程中，感受规定混合运算顺序的必要性，学会用两三步计算的方法解决实际问题。
3．体验数学与生活的密切联系，激发学习兴趣。
重难点
重点：掌握含有小括号算式的运算顺序及有关O的运算。
难点：列综合算式解决实际问题。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 含有小括号的混合运算的运算顺序
问题导入 上午冰雕区有游人180位，下午有270位。如果每30位游人需要一名保洁员，下午要比上午多派几名保洁员？ 方法讲解
解法一：要求下午比上午多派几名保洁员，先应求出上、下午分别需要派几名保洁员，再用下午派保洁员的人数减去上午派保洁员的人数，就是多派保洁员的人数。因为每30位游客需要一名保洁员，所以游客人数中包含几个30人，就需要几名保洁员。
分步列式：180÷30=6（名） 综合算式： 270÷30-180÷30
270÷30-9（名） =9-6
9-6=3（名） =3（名）
解法二：先求出下午比上午多多少游人，每多出30位游人，就需要多派1名保洁员，多出的游人中有几个30人，就需要多派几名保洁员。
分步列式：270-180=90（位） 90÷30=3（名）
解答此题需要先算减法，求出下午比上午多多少游人。在有减法和除法的算式中，要想先算减法，就必须使用括号把减法算式括起来，计算时就可以先算括号里面的。
综合算式： (270-180)÷30
=90÷30
=3（名）
答：下午要比上午多派3名保洁员。
难点点拨
小括号起到改变运算顺序的作用。
归纳总结
含有小括号的混合运算的运算顺序：算式里有括号，要先算括号里面的。
拓展提高
随着综合算式运算步骤的增多，还将学到中括号“[ ]”和大括号“｛ ｝”，它们同小括号一样，起到改变运算顺序的作用。
例如：[270一(180+30)]÷3，运算顺序是先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算除法。
知识点二 四则混合运算的运算顺序
问题导入 先说出各题的运算顺序，再计算。
(1) 42+6³(12-4) (2)42+6³12-4
要点提示
加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。
过程讲解
1．观察分析
(1)题含有小括号，应先算括号里面的算式，再算括号外面的算式，括号外面的算式有加法和乘法的，应先算乘法，后算加法。其运算顺序如标注所示：
(2)题中含有两级运算，应先算乘法，即6³12，再按从左到右的顺序依次完成加法、减法的运算。其运算顺序如标注所示：
2．尝试、计算
(1) 42+6³(12-4) (2)42+6³12-4
=42+6³8 =42+72-4
=42-I-48 =114-4
=90 =110
3．比较算式
观察两道算式发现：算式中的数字和运算符号是相同的，只是(1)题中含有小括号，使运算顺序发生了改变。算式(1)先求差，再求积，最后求和；算式(2)先求积，再求和，最后求差。运算顺序不同，所得的结果也不一样。
归纳总结
四则运算的运算顺序：在没有括号的算式里，只有加、减法或者只有乘、除法的，要按从左到右的顺序运算；有乘、除法和加、减法的，要先算乘、除法，后算加、减法；如果有括号，要先算括号里面的。
知识巧记
混合算式要计算，明确顺序是关键。
同级运算最好办，从左到右依次算。
两级运算都出现，先算乘除后加减。
遇到括号怎么办，先算里面后外面。
知识点三 有关0的运算
问题导入 想一想，你知道哪些有关0的运算？运算时应该注意些什么？
过程讲解
1．明确0在运算中的特性
在加法中，一个数同0相加还得原数；在减法中，一个数减0仍得原数；在乘法中，任何数和0相乘，仍得O；在除法中，0除以一个非0的数，还得0。
2．探讨0为什么不能作除数
在没有余数的除法算式中，除数³商=被除数。若0可以作除数，则在5÷0=( )中，0乘括号中的数应得5，而0与任何数相乘都得0，找不到一个同0相乘得5的数，所以O作除数没有意义；从另一个角度说，若0可以作除数， 在0÷0=( )中，O乘括号中的数应得0，因为O和任何数相乘都得O，所以0÷O不可能得到一个确定的商，因此，0作除数也没有意义。
知识延伸
0是介于正整数和负整数之间的数。”
归纳总结
有关0的运算用字母可表示为：a+0=a，a-0=a，0³a=0，0÷a=0（a≠0）
误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！
误区一 0除任何非0的数都得0。
错解分析 此题错在对“除”和“除以”认识不清。“0除”表示0作除数，与“0不能作除数”相违背。
正确解答 0除以任何非0的数都得0。
温馨提示
读除法算式时，如果先读被除数，除号就读作“除以”；如果先读除数，除号就读作“除”。在除法中，0不能作除数。 误区二 张师傅要生产600个零件，已经生产了120个，剩下的要10天完成，平均每天生产多少个？
600-120÷10
=480÷10
=48（个）
答：平均每天生产48个。
错解分析 此题错在没有给“600 -120”加小括号。根据题意必须先算减法求出剩下的零件，再算除法求出平均每天生产的个数。在含有两级的运算中，要先算减法，就必须给减法加上小括号。
正确解答 （600 -120）÷10
=480÷10
=48(个) 答：平均每天生产48个。
温馨提示
列综合算式解决实际问题时，如果含有两级运算，又必须先算第一级运算时，一定要给第一级运算加上小括号。 考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1.重点题 填一填。
(1)计算24³(27 -19)÷16，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ），计算结果是（ ）。
(2)一个数同0相乘，积是（ ）；O除以一个（ ）的数，商是0。
(3)36与14的和乘它们的差，积是（ ），列式为（ ）。
2．难点题 脱式计算下面各题。
(466-25³4)÷6 (43+32)÷(357-352)
3．易错题 选一选。
(1) 232³6÷232³6的结果是( )。
A．1392 B．36 C．1
(2)134+135÷135 -134○(134+135)÷(135 -134),○中填( )。
A．
4．易混题 先在□中填上适当的数，再写出综合算式。
5．变式题 妈妈带600元钱去商场，买了一件羊毛衫用去248元，又买了一个皮包用去252元，应找回多少元？（用两种方法解答）
6．考试题 大陆赠送台湾的大熊猫团团、圆圆于2009年1月26日在台北动物园与民众焘式见面。如果一只大熊猫一星
期可以吃竹子166千克，那么团团和圆圆一个月（按4星期计算）要吃竹子多少千克? (2010．郑州)
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！
例1 有两袋糖，第一袋有66块，第二袋有18块。如果每次从第一袋里拿出4块放入第二袋，至少拿多少次，才能使两个袋里的糖一样多？
分析 求“至少拿多少次，才能使两个袋里的糖一样多”，应先求出第一袋比第二袋多多少块糖，然后把多的部分平均分成两份，其中的一份放回第一袋中，从另一份中每次拿出4块糖放入第二袋中，求至少拿多少次也就是求另一份中有多少个4块，用除法计算。
解答 (66-18)÷2÷4
=48÷2÷4
=24÷4
=6（次） 答：至少拿6次，才能使两个袋里的糖一样多。
提示
求出从第一袋中拿出多少块糖放入第二袋中是解此题的关键。
例2 计算89-2³(9÷3-0³2) +11³(0+2)。
分析 按照四则混合运算的顺序，计算时应先算小括号里面的，再算括号外面的。若括号里面的式子含有两级运算，则按照先算乘除法后算加减法的顺序计算，而前后都有括号则按照从左到右的顺序在同一步中同时算出括号里面的。括号里计算完毕后，我们发现算式中还含有两级运算，仍按照先算乘除法后算加减法的顺序计算，最终得出结果。
解答 89-2³(9÷3-0³2)+11³(0+2)
=89-2³(3-0)+11³2
=89-2³3+11³2
=89-6+22
=83+22
=105
总结
括号中含有加、减、乘、除运算时，仍按先算乘、除法后算加、减法的顺序进行计算。
赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1．创新题 在□里填上适当的数。
(1)(□+48)÷25-3=0
(2) 712-3120÷(4³□)=702
2．探究题 一位老爷爷说：“把我的年龄加上12，再除以4，然后减去12，再乘10，恰好是100岁。”这位老爷爷现在多少岁？
3.潜能开发题 计算(1234+2341+3412+4123)÷(1+2+3+4)。
4．竞赛题 王云在计算325-□³5时先算了减法，结果得出1500。那么这道题的正确结果应该是______。（2010．希望杯）
信息窗口
四则运算的起源
四则运算的起源很早，有的几乎与数字同时产生，如罗马数字6写成Ⅵ，即5加1的意思，4写成Ⅳ，即5减去1的意思。在中国古代，四则运算很早就有了。战国（前476—前221）时代，魏国著名政治家、法学家，李悝( kuT)编写的一部有关法律
方面的著作——《法经》中，已有加、减、乘等运算，甚至还有除法运算。
二 位置与方向
1．位置与方向(1)（教材17～21页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它1
1．通过解决实际问题，体会确定位置在生活中的应用，了解确定位置的方法。
2．能根据方向和距离在图上标出物体的位置。
3．培养空间观念及动脑动手的能力。
重难点
重点：了解根据方向和距离确定物体位置的方法。
难点：能根据描述，在平面图上标出物体的具体位置。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 确定物体位置的条件
问题导入 下图是一组参加公园定向越野赛的学生，他们站在起点处，想通过公园定向运动图判断1号点的位置，你能帮助他们确定1号点的位置吗？
过程讲解
1．理解定向运动的含义
定向运动是一种借助地图和指北针（罗盘）按规定的顺序到达地图上所指示的各个点，以最短时间经过所有点并到达终点者为胜利的一项运动。
2．理解确定1号点的必要性
同学们要由起点到达1号点，就要准确判断出1号点在起点的哪个方向上及距离起点有多远，否则在运动中易走“冤枉”路。
3．测定1号点的位置
(1)确定观测点，建立方向标。
因为同学们是从起点处观测1号点，所以应把起点作为观测点，建立方向标，即以起点为中心点，按上北、下南、左西、右东的方向在地图上标绘方向标（如下图）。
难点点拨
位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。
(2)测定1号点的方向。
连接起点和1号点，发现1号点在起点的东北方向上。而东北方向是一个很大的范围，所以又需要确定一个角度。因为1号点距离正东方向比较近，所以通常用量角器去测量正东方向与1号点所在方向的夹角，从图中可知测量结果为30°，所以说1号点在起点东偏北30°的方向上（如下图）。
方法提示
东偏北306也可说成北偏东60。，但在生活中一般戈说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。 (3)测定起点到1号点的距离。
知道1号点所在的方向还不够，还要知道走多远才能到达1号点，因此必须测得起点距1号点的距离。根据平面图左下角的标注500米，可知平面图上1厘米代表实际距离
，结合在图上量得起点到1号点长2厘米，可算出实际距离约为500³
2=1000（米），所以知道1号点距离起点1千米（如下图）。
要点提示
想确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不行的，要同时知道这两个条件才行。 4．描述1号点的位置
1号点的位置在起点的东偏北30°的方向，大约1千米处。 归纳总结
确定物体位置的条件是方向和距离，二者缺一不可。 知识点二 在平面图上标出物体位置的方法
问题导入 确定物体的位置必须知道它相对于观测点的方向和距离，如果给你物体所在的方向和距离，你能在平面图上标出校园内各建筑物的位置吗？
(1)教学楼在校门的正北方向150米处。 (2)图书馆在校门的北偏东35。方向150米处。 (3)体育馆在校门的西偏北40。方向200米处。 过程讲解
1．确定观测点，建立方向标
此题三处建筑物所在的位置都是相对校门而言的，因此画图时要以校门为观测点，按上北、下南、左西、右东的方向绘制方向标。
2．用量角器确定建筑物的方向
(1)确定出图书馆的方向。图书馆在校门的北偏东35°方向上，将量角器的中心与观测点（校门位置）重合，量角器的0刻度线与方向标的纵轴重合，以量角器所对正北方向的0°为起点向偏东找到35°的角，画出角的另一条边。图书馆就在角的这一边所在直线（方向）上。
(2)确定体育馆所在方向：同理，体育馆在校门的西偏北40°方向上，就把量角器的0刻度线对准正西方向，向偏北找到40°的角，画出角的另一条边，体育馆就在这条边所在的直线（方向）上。
3．用刻度尺根据建筑物的方向、距离确定其位置
(1)在图上用一条注有数量的线段表示地面上相对应的距离：因为三处建筑物距离校门分别是150米、150米、200米，这几个数正好是50
的倍数，所以可以用
要点提示
要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。
(2)根据各建筑物到观测点的距离，用刻度尺确定其位置：教学楼在正北方向150米处，150米中有3个50米，因此，要用刻度尺从校门向正北方向画出3个离的方法也是如此。
从而确定教学楼与测量点之间的距离。确定其他两处建筑物距
50米的距离。
方法提示
绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即4．画出建筑物的具体位置，标出名称
画图为：归纳总结
在平面图上标明物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后画出物体的具体位置，标出名称。
知识巧记
物体位置要想找，方向、距离缺不了。 方向确定再找角，一般选小是首要。 距离大小有参数，下方标注不可少。 误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！
误区一 如图，A点是学校的教学楼，B点是体育馆，则体育馆在教学楼的北偏西30°方向上。
错解分析 此题错在对教学楼的具体方向的叙述不清楚。30°角是由正西方向偏向北得到的，所以叙述时应先说西方，再说北方。
正确解答 体育馆在教学楼的西偏北30°方向上。 温馨提示
在叙述物体的方向时，一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。 误区二 小明家在小东家南偏西40°方向500米处，画平面图表示小明家的位置如下：
错解分析 此题错误有两处：一是观测点确定得不对，应以小东家为观测点画方向标；二是单位长度不统一，小明家到小东家的距离应以图标为准，画出5个等长的
正确解答 温馨提示
画平面图时，首先要确定好观测点，其次确定被观测物体的方向，最后以选定的单位长度为基准来确定距离。 考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1．重点题 以猴山为观测点，说一说其他动物馆的位置。 (1)狮林在猴山的_________偏________方向____________米处。 (2)熊猫馆在猴山的_________偏________方向____________米处。 (3)袋鼠馆在猴山的_________偏________方向____________米处。 2．难点题 根据所给提示，标出同学们家的具体位置。 (1)小红家在学校的东偏北30°方向上，距离学校400米； (2)丽丽家在学校的南偏西40°方向上，距离学校300米； (3)强强家在学校的北偏西45°方向上，距离学校500米。
3．易错题 判断下面各题的说法是否正确。（正确的打“√”，错误的打“³”） (1)只要知道方向或距离就可以确定物体的位置。 （ ） (2)红红家在东偏北30°，距离200米处。 （ ） (3)在图上标出物体的位置，要先确定距离，再确定方向。（ ） 4．变式题 动手连一连。
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！ 例1 请根据叙述画出平面图。
超市在学校西偏北25。方向200米处，电影院在学校东偏南40°方向300米处，少年宫在学校南偏东20°方向150米处，图书馆在学校南偏西20°方向100米处。
分析 通过读题发现本题是以学校为参照物，因此应以学校为中心按照上北、下南、左西、右东的方向绘出方向标。标建筑物的位置，要先确定具体方向，再确定距离。标超市的位置，先用量角器度量，量角器的中心与学校所在位置重合，量角器的0刻度线与正西方向重合，从西向北找到25°角，方向确定后不要忘记在平面图上用一条标有数量的线段表示地面上相对的距离，本题用L一表示50米，在这个方向上画4个格表示4个50米，即200米，就找到了超市的位置。同理可画出电影院、少年宫、图书馆的位置。
提示
画平面图应先确定观测点，再确定方向与距离。
(1)沈阳在石家庄的什么方向上？ (2)石家庄在武汉的什么方向上？ (3)武汉在南京的什么方向上？
分析 确定以哪座城市为观测点是本题解题的关键。想知道沈阳在石家庄的什么方向上，就以石家庄为观测点，观察可知：沈阳在石家庄的东偏北方向上；想知道石家庄在武汉的什么方向上，就以武汉为观测点，观察可知：石家庄在武汉的正北方向上；想知道武汉在南京的什么方向上，就以南京为观测点，武汉在南京的西偏南方向上。
解答 (1)沈阳在石家庄的东偏北约30°方向上。 (2)石家庄在武汉的正北方向上。 (3)武汉在南京的西偏南约15°方向上。 总结
“在”字后面的城市均为观测点。 赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！ 1.创新题 标一标。
(1)书店在艺术中心东偏北25°的方向上。 (2)中心医院在艺术中心南偏东25°的方向上。 (3)南湖公园在艺术中心南偏西40°的方向上。 (4)文化广场在艺术中心北偏西40°的方向上。 2．开放题 做一做，连一连。
丽丽面向北站立，向右转40°后所面对的方向 南偏东40° 丁丁面向西站立，向左转40°后所面对的方向 北偏东40°t 豆豆面向南站立，向左转40°后所面对的方向 西偏南40° 齐齐面向东站立，向右转40°后所面对的方向 东偏南40°
3．探究题 明明家在学校的东偏南40。的方向480米处；丽丽家在学校的西偏北30°的方向600米处。两人步行的速度都是每分钟60米，如果他们同时从各自的家出发去学校，谁会早到？早到多长时间？
4．操作题 某公安局通过信号台发现在东偏北30°方向大约2000米的位置犯罪嫌疑人正在拨打手机，因而发现犯罪嫌疑人的行踪。请你在下面的图上标出犯罪嫌疑人的位置。
信息窗口 窗小信息多，浏览拓视野！
指南针的历史
指南针在起源上可推至战国时代，当时有一种称为“司南”的指南器具，是指南针的雏形。后来又出现了南宋的“罗盘”。指南针的发明并无确切的时间及发明者（在北宋曾公亮的《武经总要》中曾提及在行军时用“指南鱼”来帮助辨别方向）。北宋沈括的《梦溪笔谈》成为了解当时指南针发明的最佳参考资料。
2．位置与方向(2) （教材22～26页）
全解课标要求
目标指南
1．知道如何描述物体的位置与观测点的确定有关。体会物体的位置关系具有相对性。 2．能描述并绘制简单的路线图。 3．在解决问题的过程中，发展空间观念。 重难点
重点：理解物体的位置关系具有相对性。
难点：根据物体的方向和距离绘制简单的路线图。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！ 知识点一 位置关系的相对性
问题导入 北京和上海两地相距大约1067 千米。如右图：上海在北京的南偏东约30°的方向上，那么北京在上海的哪个方向上？
过程讲解
1．理解“上海在北京的南偏东约30°的方向上”
这一句话表明上海的位置是相对于北京来说的，因此要以北京为中心点，建立方向标，以北京为观测点测定上海在北京
的南偏东约30°方向上。
2．明确“北京在上海的哪个方向”
要确定北京在上海的哪个方向上，是以上海为参照物而言的，因此要以上海为观测点，建立方向标，并以上海这一位置为观测点测量出北京的方向。
3．观察中发现
上海在北京的南偏东30°的方向上，北京恰好在上海北偏西30°的方向上。由此可见，两地的位置关系是相对的，方向刚好相反，距离是一样的。
难点点拨
因为东与西、南与北是相对的，所以南偏东的相对位置就是北偏西。 归纳总结
如何描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。 知识点二 描述并绘制简单的路线图
问题导入 你能根据下面的路线图，说一说每一赛段所走的方向和路程吗？
过程讲解 1．明确行走路线
要想知道每一赛段所走的方向和路程，应先明确定向运动所行走的路线。本题中参赛者的行走路线为：起点→号点→2号点→终点。
2．明确每一赛段所走的方向及路程
(1)第一赛段：因为此赛段是从起点处向1号点走，所以应以起点为观测点，建立方向标，测量出1号点在起点的哪个方向，再看起点到1号点之间的路程是几个50米，进而算出所行路程。测量得知l号点在起点北偏东45°方向上，距离起点是200米。因此，第一赛段是从起点向北偏东45°方向行走200米到达1号点。
(2)第二赛段：此赛段的起点是1号点，2号点在1号点的哪个方向，就从1号点向哪个方向走，因此，要以1号点为观测点，建立方向标，相对1号点测出2号点的具体位置。通过测量得知2号点在1号点的西偏北30°方向上，距离1号点是150米。因此，第二赛段是从1号点向西偏北30°方向行走150米到达2号点。
(3)第三赛段：同上方法，以2号点为观测点，建立方向标，测量出终点相对于2号点的方向与距离。第三赛段是从2号点向西偏南40°方向行走250米到达终点。
3．描述运动路线图
由起点出发向东北方向走200米到达1号点，再由l号点出发向西偏北30°方向行走150米到达2号点，最后由2号点向西偏南40°的方向行走250米到达终点。
归纳总结
描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后，以每一个观测点为参照，描述到下一个目标行走的方向和路程。
误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！
误区一 甲地在乙地的东偏北30°方向900米处，也可以说乙地在甲地的西偏南60°方向900米处。 错解分析 此题错在对位置的相对性理解不好，对角的度量知识掌握不扎实。此类题画图理解更直观。 甲、乙两地的位置关系如下图：
正确解答 甲地在乙地的东偏北30°方向900米处，也可以说乙地在甲地的西偏南30°方向900米处。 温馨提示
两地的位置具有相对性，以这两个不同地点为观测点描述对方所在地的方向时，方向正好相反（东→西，北→南，东偏北→西偏南）。
误区二 画出活动中心与幼儿园的位置。 (1)活动中心在广场的西偏北20°方向50米处。 (2)幼儿园在活动中心的南偏东40°方向100米处。
明明的画法是：错解分析
此题错在审题不够认真。幼儿园的位置是相对于活动中心而说的，就应以活动中心为观测点建立方向标来确定幼儿园的位置。
正确解答温馨提示
确定物体的位置，观测点一定要找准。 考点题库 基础对点练，轻松来过关！ 1．重点题 填一填。
(1)B点在A点的_________偏______________方向上，距离是__________。 (2)A点在B点的_________偏______________方向上，距离是__________。 (3)两点的位置是____________的，方向___________，距离___________。 2．易错题 根据路线示意图，补充所走的方向和路程。
一位小朋友从动物园门口向_________偏____________的方向走__________米到达孔雀馆，然后向_________偏_______的方向走__________米到达熊猫馆，再向_______方向走__________米到达老虎馆，然后向_______方向走_______米到达大象馆，最后向________偏_________的方向走_________米到达动物园门口。
3．难点题 假设某校大门在教学楼的正南方向50米处，图书馆在大门北偏西40°方向100米处，操场在图书馆西偏南30°方向150米处。请在下图中标出各建筑物的位置。
4．变式题 根据下面的路线图，说说乐乐上学和放学回家所走的方向和路程。
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！
例1 小奇家在学校北偏西40。方向500米处，小民家在学校东偏北30°方向300米处，如果从小奇家去小民家，该向哪个方向走？大约走多远才能到达小民家？
分析 所求问题也就是问小民家在小奇家的哪个方向，距离小奇家有多远。要想解决这个问题首先必须确定小民家和小奇家的具体位置。位置确定了，就可以以小奇家为观测点，测量出小民家所在方向及距离。具体作法如下：
(1)先以学校为观测点建立方向标，在左下角标注单位长度，图上0.4厘米代表实际100米的距离。根据小奇家在学校的北偏西40°方向500米处，以学校为起点向北偏西40。方向画一条2厘米长的线段，代表500米。用同样方法确定小民家的位置。
(2)连接小奇家和小民家两个点，再以小奇家为观测点建立方向标，用量角器的中心点对准小奇家的点，0刻度线对准正东方向，小奇家和小民家的连线向南偏20°，说明小民家在小奇家东偏南20°的方向上，再用直尺量这条线段，接近2.4厘米。因为0.4厘米代表实际距离100米，所以从小奇家去小民家大约走600米。
解答 从小奇家去小民家，该向东偏南20°的方向大约走600米。 总结
在平面图上确定物体位置与方向关键要做到三点：(1)确定好观测点及单位长度；(2)找准方向；(3)线段上每一段的长度要与图例中的单位长度统一。
例2 281路公共电车从起点站向东偏北30°方向行驶4千米后，再向东行驶5千米，最后向东偏南40°方向行驶2千米到达终点站。根据描述，把电车行驶的路线图画完整。
分析 281路公共电车向东偏北30方向行驶4千米到达A处，即在起点的东偏北30°方向上画4个格，标上A点；再以A处为起点，向东行驶5千米°到达B处，即在A点的正东方向上画5个格（每格长度同上），标上B点；最后以B处为新的起点，在B点的东偏南40°方向上画2 个格标上终点站。
解答
总结
以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点的方向和距离。 赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1.创新题 填一填，算一算。
(1)学校西南方是小明的家，小明的家距学校有（ ）米。如果他每分钟走50米，那么他每天上学要用（ ）分钟。 (2)超市在小明家的西方，距小明家有（ ）米。 (3)公园的东南方是小明家，距小明家有（ ）米。 2.实践题
(1)长春在成都的什么方向上？成都在长春的什么方向上？ (2)拉萨在昆明的什么方向上，两地间的距离大约是多少千米？ (3)一辆普通列车每小时可行116千米，从昆明到拉萨大约需要几小时？
3．操作题 125路公共电车从起点向东偏南40°方向行驶3千米后，再向西行驶6千米，最后向东偏北20°方向行驶2千米到达终点。根据描述，把电车行驶的路线图画完整。
4．思维训练题 小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了400米到达A点，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达B点，然后又向西偏南30°的方向跑了400米到达C点，这时小明离家多少米？
趣味数学
距离有多远
明明和欣欣在同一所学校上学。明明家在学校西偏北40°的方向上，距离学校400米，欣欣家在学校东偏南40°的方向上，距离学校600 米。明明从家出发经过学校去欣欣家要走多远的路？
分析 解答此题的关键是确定好明明家、学校、欣欣家三点的位置关系。（如下图）
作图发现三点在一条直线上。 解答 400+600=1000（米）
答：明明从家出发经过学校去欣欣家要走1000米的路。
三 运算定律与简便计算 1．加法运算定律（教材27～32页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1．探索和理解加法交换律、结合律，并能运用这些运算定律进行一些简便运算。 2．能根据具体情况选择合适的算法，发展思维的灵活性。 3．感受数学与现实生活的联系。 重难点
重点：理解运算定律，并能进行简便运算。 难点：灵活应用运算定律进行计算。 全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！ 知识点一 加法交换律
问题导入 李叔叔准备骑车旅行一个星期。今天上午骑了40千米，下午骑了56千米。李叔叔今天一共骑了多少千米？ 过程讲解 1．分析解答
求李叔叔今天一共骑了多少千米，就是求上午和下午一共走的路程。 列式是：40+56=96(千米)或56+40=96(千米)。 要点提示
为便于理解运算定律，解题时列不同算式计算。 2．观察发现
(1)两道算式的得数相同，所表示的都是李叔叔今天一共走的路程，因此两道算式之间可用等号连接，即40+56=56+40。 (2)观察40+56=56+40发现，等号左、右两边的加数相同，只是交换了位置，但结果不变。由此得出结论：交换加数的位置，和不变。
3．验证结论，理解加法交换律
(1)验证：是否所有的加法算式交换加数的位置，和都不变呢？可以举例验证。如： 0+100 =100 100+0 =100=> 0+100=100+0： 1+78=79 78+1=79 => 1+78=78+l:
25+37=62 37+25=62 => 25+37=37+25„„ 知识延伸
两个数相加，相当于计数。无论是先数第一个数，再数第二个数，还是先数第二个数，再数第一个数，结果都一样。“计数的结果与计数的顺序无关”是计数公理。
(2)结论：任意两个数相加，交换加数的位置，和不变。这就是加法的交换律。 4．用字母表示定律
在数学当中通常运用字母表示定律，如果用a、b分别代表两个加数，则加法交换律就可以表示为：a+b=b+a（a、b代表任意的数）。用字母表示定律更直观、更方便。
归纳总结
加法交换律：两个加数交换位置，和不变。用字母表示是：a+b=b+a。 拓展提高
(1)若干个数相加，任意交换加数的位置，和不变。a+b+c=a+c+b，如37+25+43=37+43+25=80+25=105。
(2)在加减混合运算中，带着数字前面的运算符号交换加数、减数的位置再进行计算，其结果不变。a+b-c=a-c+b（a>c），如57+78-37=57-37+78=20+78=98。
知识点二 加法结合律
问题导入
过程讲解
1．分析、列式
求三天一共骑了多少千米，就是求“第一天所行的路程十第二天所行的路程十第三天所行的路程”是多少。列式为：88+104+96。
方法提示
已知各部分量，求总量，用加法计算。
2．算法探究
方法一：按从左到右的顺序运算。
88+104+96
=192+96
=288(千米)
方法二：观察算式中的三个加数，发现104加上96正好得整百数，所以可以先把104和96加起来，再用88加上它们的和。 88+104+96
=88+(104+96)
=88J-200
=288（千米）
要点提示
要改变运算顺序，如果不采用交换律，需借助小括号来完成。
3．观察、比较
(1)不同点：运算顺序不同，方法一是先把前两个数相加，再加上第三个数；方法二是先把后两个数相加，再与第一个数相加。
(2)相同点，计算结果相同。
(3)结论：(88+104)+96=88+(104+96).
4．验证结论，理解加法结合律
(1)验证：是否所有的连加算式改变运算顺序得数都不变呢？可以举例验证。如69+172)+28=69+(172+28)，
155+(145+207)=(155+145)+207„„
(2)发现：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。这叫做加法结合律。
5．用字母表示定律
如果用a、b、c代表三个任意的数，用字母表示加法结合律是：(a+b)+c一a+(b+c)。
归纳总结
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示：（a+b）+c=a+(b+c)。 拓展提高
在加、减混合运算中，有时为了计算简便，可以把加数、减数用括号结合起来。当加号语面添括号时，原来的加数、减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数。用字母表示为：a+b-c=a+(b 一c)(6>c)，如71+56-26=71+(56-26) =71+30=101;a-b+c=a- (6一c)(6>f)，如71-56+26=71-(56-26)=71-30=41.
知识点三 加法交换律、加法结合律的应用
问题导入 下面是李叔叔后四天的行程计划。
按照计划，李叔叔在后四天还要骑多少千米？
过程讲解
1．分析、列式
要求李叔叔后四天还要骑多少千米，只要把后四天每天所行的路程加起来就可以了。
列式为115+132+118+85。
2．观察发现
115与85能凑成整百数，132与118也能凑成整十数，因此为了计算简便，可以运用加法交换律先将85与132交换位置，即：115+85+118 +132。再把能凑成整百、整十的两个数，根据加法结合律结合在一起，即写成：(115+85)+(132+118)。
3．列式解答
115+132+118+85
=115+85+132+118←加法交换律
=(115+85)+(132+118)←加法结合律
=200+250
=450（千米）
答：李叔叔在后四天还要骑450千米。
方法提示
加法交换律与加法结合律最大的区别是：交换律改变的是数的位置，结合律改变的是运算顺序。结合律的重要标志是小括号的应用。
归纳总结
在一个加法算式中，当某些加数可凑感墼士或鍪要翌时，运用加法交换律、加法结合律来改变运算顺序，可以使计算简便。
误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！
误区一 182+765+108
=182+108+765
=300+765
=10 65
错解分析 此题错在计算上的失误。182与108的和不是300，而是290。
正确解答 182+765+108
=182+108+765
=290+765
=1055
温馨提示
在进行加法简便运算时，有时两个数相加未必能凑成整百数，只能凑成整十数，因此要认真观察，准确计算。
24+127+476+573
=24+476-I-127+573
=500+700
=1200
错解分析 此题错在没有真正理解加法的运算定律。一要保证分别计算24加476和127加573得整百数，就要运用加法结合律分别把这两部分用小括号括起来，因为只有这样才能改变运算顺序。
正确解答 24+127+476+573
=(24+476)+(127+573)
=500+700
=1200
温馨提示
运用加法结合律时要注意把结合的两个数用括号括起来。
考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1．重点题 填空。
(1)交换( )的位置，( )不变，这是加法( )律。用字母表示是( )。
(2)加法结合律用字母表示为( )。
(3)根据运算定律把下列算式补充完整。
a+58=( )+( )
172+58+42+28=(172+ )+(42+ )
2．难点题 运用加法运算定律计算下面各题。
368+2649+1351 89+101+111
3．易错题 判断。（对的画“√”错的画“³”）
(1)127+(36-27) =127-27+36=136 ( )
(2)44+39+41- 56= (44+56)-(39+41) （ ）
(3)482+99=482+100+1=583 （ ）
4．变式题 一根铁丝第一次用去358米，第二次又用去250米，余下的一段比第二次用去的长242米。这根铁丝全长多少米？
5．考试题 计算2+4+6+8+„„+96+98。（2010²张家口）
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维、送你金钥匙！
例1 用简便方法计算256+249+251+246。
分析 算式中的几个加数都比较接近250，就可以把250作为基准数，然后把每个数都写成250加上几或250减去几的形式，再进行计算比较简便。
解答 256+249_}-251+246
=250+6+250P1+250+1+250-4
=250X4+(6-1+1-4)
=1000+2
=1002
总结
当几个数相加，加数都比较接近某一个数时，可以把这一个数作为基准数，看看有多少个这样的基准数，然后加上或减去比基准数多或少的数，求出结果。这种方法简称为基准数加法。
例2 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-„+1990。
分析 观察此题发现2-3-4+5=0，6-7—8+9=O„„由此发现，除去第一个数1，从第2个数开始，每四个数的计算结果都是0。因为(1990—1)÷4=497„„1，所以2～1990中共有497组这样的四个数，还剩下1990没参加组合运算，注意，计算时别把1990丢掉。
解答 (1990 -1)÷4=497„„1表明这一列数从2～1990每四个数一组，还剩一个1990，中间每四个数的计算结果都是0。因此计算如下：
1+2-3-4_【-5+6-7-8+9+10-„+1990
= 1+(2-3—4+5)+(6—7-8+9)+(10-11-12+13)+„„+1990
=1+0+O+„+1990
=1+1990
=1991
总结
当计算一列数时，要仔细观察数据及运算上的特点，找出运算规律后，就能化繁为简、化难为易。
赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1．开放题 用简便算法计算下面各题。
999+99+9 156+153+155+152+148+147
2．探究题 用简便方法计算1234+3142+4321+2413。
3．潜能开发题 计算100+99-98-97+96+95-94-93+„+8+7-6-5+4+3-2-1。
趣味数学 趣题有趣解，细读可掌握！
巧算
1—2+3—4+„+97—98+99=？
正确孵答方法一：把算式倒写：
结果也是50。
2．乘法运算定律（教材33～38页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1．理解并掌握乘法交换律、结合律和分配律，并能运用定律进行一些简便的计算。
2．培养根据具体情况，选择算法的意识与能力。
3．感受数学与现实生活的联系，发展思维的灵活性。
重难点
重点：理解乘法运算定律'并能进行简便计算。
难点：灵活应用运算定律解决实际问题。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 乘法交换律
问题导入
负责挖坑、种树的一共有多少人？
过程讲解
1．分析解答
根据已知条件，有25个小组，每组里有4人负责挖坑、种树。求负责挖坑、种树的一共有多少人。也就是求25个4是多少，用乘法计算。列式为：25³4 =100（人）或4³25=100（人）。
2．比较算式，理解定律
观察25³4 =100和4³25 =100，发现两道乘法算式的因数相同，交换因数的位置，积不变。因此，可以得出25³4=4³
25。像这样，交换两个因数的位置，积不变，就叫做乘法交换律。
方法提示
以前乘法验算运用的就是乘法交换律。
3．用字母表示乘法交换律
如果用a、b分别代表任意的一个因数，则乘法交换律就可以用字母表示为：a³b=b³a。
4．比较加法交换律和乘法交换律的异同
(1)加法交换律：交换加数的位置，和不变。
(2)乘法交换律：交换因数的位置，积不变。
归纳总结
乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。用字母表示：a³b=b³a。
拓展提高
多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。如a³6³c³d³e=a³c³e³b³d=a³d³b³c³e。
知识点二 乘法结合律
问题导入 同学们去植树，一共有25个小组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。一共要浇多少桶水？
1．分析解答
解法一：先求一共植多少棵树，再求这些树一共浇多少桶水。
列式为：(25³5)³2=125³2=250（桶）
解法二：先求每组要浇多少桶水，再求25个小组共浇多少桶水。
列式为：25³(5³2) =25³10=250（桶）
2．比较发现
观察两种解法均是25、5、2三个因数相乘，不同的是第一个算式按从左到右的顺序直接计算，第二个算式是先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，但它们的得数却是相同的。因此，可把两个算式用等号连接，即(25³5)³2=25³(5³2)。
要点提示
第二种方法因为5³2得10，使计算简便些。
3．得出结论
三个数相乘，如果后两个数相乘能使计算简便些，就可以先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，所得的积不变。 归纳总结
乘法结合律：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示：（a³b）³c=a³(b³c)。
(1)一个数与两个数的商相乘，可以用这个数先与商里的被除数相乘，再除以商里的除数；或用这个数先除以商里的除数，再与商里的被除数相乘。用字母表示：a³(b÷c) =a³b÷c=a÷c³b。
(2)特殊数的乘积：5³2=10 25³4=100 125³8=1000 625³16=10000 75³4=300 25³8=200 375³8=3000 知识点三 乘法分配律
问题导入 同学们去植树，一共有25个小组，每组里有4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。一共有多少名同学参加了这次植树活动？
过程讲解
1．分析解答
解法一：先求出每组有多少人，再求一共有多少名学生。
列式为：(4+2)³25=6³25=150（人）
解法二：先求负责挖坑、种树的人数，再求负责抬水、浇树的人数，最后求参加植树活动的总人数。
列式为：4³25+2³25=100+50=150（人）
2．比较发现
比较(4+2)³25与4³25+2³25，发现这两道算式都含有乘法和加法两种运算，第一个算式是两个数的和与一个数相乘，第二个算式是把第一个算式中的两个加数分别与这个数相乘之后再相加。因为两种算法解决的是同一个问题，计算结果相同，因而两个算式也一定相等，即(4+2)³25=4³25+2³25。
3．明确乘法分配律
两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示：(a+b)³c=a³c+b³c。
归纳总结
乘法分配律是乘、加这两种运算之间的一种规律，而乘法交换律、结合律只是乘法运算内部的一种规律。
拓展提高
(1)两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。用字母表示：(a-b)³c=a³c-b³c。
(2)多个数的和（或差）与一个数相乘，可以把这些数分别与这个数相乘，再相加（或相减）。用字母表示：（a±b±c）³m=a³m±b³m±c³m(m≠0)。
(3)两个数或几个数的和除以一个数，可以把和里的各个数分别除以这个数，再把它们的商相加。用字母表示：（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)。
(4)两个数的差除以一个数，可以用被减数、减数分别除以这个数，再把所得的商相减。用字母表示：(a-b)÷c=a÷c-b÷c。
知识点四 乘法运算定律的应艉
问题导入 你能运用乘法运算定律计算下面各题吗？
(1) 25³7³4 (2)35³125³8 (3)75³101
1．观察算式特点，选择算法
(1)观察25³7³4中的三个因数，发现如果先算25³4=100会更简便，因此可以运用乘法交换律把7和4交换位置后再计算。
(2)观察35³125³8发现，如果按从左到右的顺序计算，数字较大，计算起来较麻烦，而125乘8正好得1000，因此可以运用乘法结合律先把后两个数相乘，再与第一个数相乘。
(3)75³101运用笔算比较麻烦，因为101接近100，所以可以把101写成100加1的和。把75³101转化成75³(100+1)的形式，再运用乘法分配律计算就简便多了。
2．解答
(1) 25³7³4 (2)35³125³8 (3) 75³101
=25³4³7 =35³(125³8) =75³(100+1)
=100³7 =35³1000 =75³100+75³1
=700 =35000 =7500+75
=7575
归纳总结
运用乘法运算定律，可以使计算更简便。
误区警示 慧眼识真知．错误巧规避！
误区一 50³(4³5)
=50³4+50³5
=200+250
=450
错解分析 此题错在混淆了乘法结合律和乘法分配律。当三个数连乘时，只能运用交换律或结合律。同时此题用四则混合运算顺序计算比较简便，所以没有必要运用乘法运算定律。
正确解答 50³(4³5)
=50³20
=1000
温馨提示
只有运用运算定律能使运算简便时，才运用运算定律，否则直接按四则混合运算顺序计算。乘法结合律与乘法分配律的最大区别是乘法分配律必须在乘、加或乘、减两种运算中进行。
误区二 78³101
=78³10 0+1
=7800+1
=7801
错解分析 此题错在不能正确理解乘法分配律。78³101可以想成是101个78，也就是100个78与1个78的和。
正确解答 78³101
=78³(1OO+1)
=78³100+78³1
=7800+78
=7878
温馨提示
正确理解乘法分配律是运用好乘法分配律的前提。
考点题库 基础对点练。轻松来过关！
1．重点题 根据运算定律在( )里填上适当的数或字母。
(1)(a³b)³c=a³( )
(2)a³b=( )
(3)(a+6)³c=( )+( )
(4)11³( +18) =11³15+( )³18
2.难点题 不计算，把得数相等的式子用线连起来。
25³4³17 46³17 - 21³17
85³（30-28） (37+53)³18
37³18+53³18 85³30-85³28
(46 - 21)³17 25³(4³17)
3．易错题 在下面的○里填上“>”“
24³50○25³40 25³7³4○28³26
70³6○35³12 3³6³15○4³90
4.变式题 用简便方法计算。
39³8³5 (25 +11)³4 56³99+56
125³25³8³4 37³29+37+37³70
5．考试题 新兴小学新购进165套课桌椅，每张课桌66元，每把椅子34元。一共花了多少钱？（2010²上海）
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！
例1 计算25³32³125。
分析 此题按从左到右的顺序计算比较麻烦。但如果将32分成4³8，然后运用乘法结合律分别用4与25，8与125相乘，计算起来就简便多了。
解答 25³32³125
=25³(4³8)³125
=(25³4)³(8³125)
=100³1000
=100000
总结
在乘法计算中，也有“凑整”的计算。如：2³5=10，25³4=100，125³8 =1000。因此计算连乘算式时，当有的因数不具备“凑整”条件时，可以运用分解的方法，把一个因数分解为两个因数相乘的形式，使其中的因数与其他数的乘积“凑整”，这样会使计算更简便。
例2 计算28³11111+99999³8。
分析 观察此题，发现含有加法和乘法，便可想到如果两个乘法算式有共同的因数，便可逆用乘法分配律进行简算。999 99恰好是11111的9倍，因此可以把9999.9分解成11111³9的形式，这 样就可以把两个乘法算式中的相同因数11111提取出来，再进行简便运算。
解答 28³11111+99999³8
=28³11111+ (11111³9)³8
=28³11111+11111³(9³8)
=28³11111+11111³72
=11111³(28+72)
=11111³100
=1111100
总结
在乘加（或乘减）运算中，只有乘法中有相同的因数时，才可以逆用乘法分配律，有时为了计算简便，需要把几个乘法算式转化成含有相同因数的乘法算式。
赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1.探究题 用简便算法计算下面各题。
25³23³8 16³98+32 99³99+99 37³15+37³10³6+37³25
2.实践题 水果店运来苹果和橘子各80筐。苹果每筐25千克，橘子每筐16千克，水果店运来的橘子比苹果少多少千克？
3.开放题 请用两种简便算法计算125³64。
4.思维训练题 计算19999+9999³9999。
3．简便计算（教材39～47页）
第1课时 简便计算(1)（教材39～42页）
全解课标要求
目标指南
1.在理解和掌握加法运算定律的基础上，进一步学习整数四则混合运算中的一些简便计算。
2．根据运算特点和数据特点，灵活选用计算方法，解决生活中的实际问题。
3．培养选择最佳计算方法的习惯。
重难点
重点：掌握连减的简便算法。
难点：能根据运算特点和数据特点，灵活选用计算方法。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 连减的简便计算
问题导入 一本书一共有234页，李叔叔昨天看了66页，今天又看了34页，还剩多少页没看？
过程讲解
1.分析解答
解法一：从总的页数中依次减去每天看的页数，就是还剩的页数。
列式为： 234-66-34
=168-34
=134(页)
解法二：先算出两天共看的页数，再用总的页数减去两天共看的页数，就是还剩的页数。
列式： 234 -( 66+34)
=234-100
=134(页)
解法三：从总的页数中先减去今天看的页数，再减去昨天看的页数，就是还剩的页数。
列式：234- 34 - 66
=200-66
=134（页）
2．比较、发现
(1)比较：比较三道算式，发现第1个算式是从总数中连续减去两个数；第2个算式则是从总数中减去两个数的和，它们所得的差是相同的；第3个算式与第1个算式比较，只是交换了一下减数的位置，差不变。
(2)发现：①从一个数中连续减去两个数，也就相当于从被减数中减去两个减数的和；
②在连减法中任意交换减数的位置，差不变。
(3)结论：234- 66- 34=234-(66+34)=234-34-66。
3．明确、理解减法性质
(1)比较：比较三道算式的计算过程，第1个算式是按从左到右的顺序计算的，并不简便；第2个算式因为66+34=100，所以计算起来比较简便；第3个算式因为234-34=200，计算起来也比较简便。
(2)发现：①当做连减算式时，要观察数的特点，如果减数的和可以凑成整十、整百、整千„„的数时，就可以把连减算式改写成被减数减去两个减数的和的形式，即：a-b-c=a-(b+c)；
②如果被减数减去与它不相邻的数能得到一个整十、整百、整千„„的数，也可以先交换减数的位置再计算，即：a-b-c=a-c-b。
归纳总结
减法的性质：(1)一个数连续减去两个减数，可以用这个数减去这两个减数的和，即：a一b一c=a一(b+c)。
(2)在连减运算中，任意交换减数的位置，差不变。即：a-b-c=a-c-b。
拓展提高
括号前面是加号，去掉括号，原括号内运算符号不变号；加号后面添括号，括号里面原运算符号不变号；括号前面是减号，去掉括号，原括号内的运算符号要变号即a-（b-c）=a-b+c;减号后面添括号，括号里面，原运算符号要变号即a-b+c=a-（b-c）。
知识点二 简算方法的多样化
问题导入
过程讲解
1.解决问题(1)
(1)理解句意：“总价在100元左右”是指总价接近100元，可以比100元多，也可以比100元少。
(2)解决问题：思路一：每三本书的价钱加起来同100元比较。
分析：四本书取三本共有四种情况，即：
①56元，31元，19元的书
②56元，31元，24元的书
③56元，19元，24元的书
④31元，19元，24元的书
方法提示
从四本书中每次去掉一本，取剩下的三本，就可以做到不重复，不遗漏。
解答 ① 56+31+19 ② 56+31+24
=56+(31+19) =56+24+31
=56+50 =80+31
=106（元） =111（元）
③56+19+24 ④ 31+19+24
=56+ 24+19 =50+ 24
=80+19 =74(元)
=99（元）
因为第①、第③两种取法都接近100元，所以《教育心理丛书》、《学生喜欢什么样的老师》、《怎样当一名好教师》这三本书与《教育心理丛书》、《怎样当一名好教师》、《新世纪对教师的挑战》这三本书的总价都在100元左右。
思路二：先算出四本书的总价，然后用总价分别减去每一本书的价格，所得的就是另外三本书的总价，再与100元进行比较。
解答 56+31+19+24
=(56+24)+(31+19)
=80+50
=130(元)
130 -19=111（元） 130-24=106（元）
130–31=99（元） 130-56=74（元）
因为106元、99元都接近100元，所以除去《新世纪对教师的挑战》外，其他三本书的总价在100元左右，或者除去《学生喜欢什么样的老师》外，其他三本书的总价也在100元左右。
(3)比较两种解题思路：第一种思路，计算步骤比较多，第二种思路：反向思考，更有利于问题的解决，计算起来也比较简便。
2．解决问题(2)
方法一：从100元中依次减去每套书的价钱，即100-48-47。
方法二：从100元中减去两套书的价钱之和，即100- (48+47)。
方法三：因为每套书价钱接近且少于50元，所以可以把100元分成两个50元去买每套书，即（50-48）+（50-47）。 解答 100-48-47 100-(48+47) (50-48)+(50-47)
=52-47 =100 - 95 =2+3
=5（元） =5（元） =5（元）
比较三种方法，前两种是解题的基本方法，第三种方法依据数的特点另辟蹊径，显得更灵活、更简便。
归纳总结
当分析、解决问题有很多解题策略时，要根据运算特点和数据的特点，采用最优策略，使计算更简便、合理。 误区警示 慧眼识真知．错误巧规避！
误区一 596-48+52
=596-(48+52)
=596-100
=496
错解分析 此题错在审题不认真，只看数据能否凑整，而忽略了算式的整体性。
正确解答 596-48+52
=596+52-48
=596+(52-48)
=596+4
=600
温馨提示
加、减混合运算中，要想交换数的位置，一定要连同数前面的运算符号一同交换；加括号时，如果括号前面是加号，括号里面不变号，如果括号前面是减号，括号里面要变号。
误区二 762-598
=762-600-2
=162 -2
=160
错解分析 此题错在没真正理解“凑整”的意义。把598看成600时，已经多减去一个2，就要再加上一个2。
正确解答 762-598
=762-600+2
=162+2
=164
温馨提示
在加法或减法计算中，当某个数接近整十、整百或整千时，可以把这个数先当成整十、整百、整千的数进行加、减，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加还要加，多减要加上，少减还要减”的原则进行处理。
考点题库 基础对点练。轻松来过关！
1．重点题 运用运算定律简便计算。 (1)46+35+65= +( +65)
(2)356-27-73=______○（______○______）
(3)478-43-78=______○_____○______
2．难点题 学校组织学生为“希望工程”捐书。四(1)班捐书58本，四(2)班捐书83本，四(3)班捐书72本，四(4)班捐书67本。问哪三个班捐书的总数最接近200本。
3．易错题 改正下面各题中的错误。
436-143-43一 改正：
=436-(143-43)
=436 -100
=336
338-55+45 改正：
=338- (55+45)
=338 -100
=238
4．变式题 请算一算，填一填。
蓝猫连锁商店营业额统计表
（单位：元）
5．考试题 怎样计算简便就怎样计算。（2010²牡丹江） 526- (352-374) 768-303 698-432+502-368
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！ 例1 计算5498-1928-387-1072-16130
分析 此题是一道连减算式，按从左到右的顺序计算，不够简便。再观察四个减数，发现1928和1072、387和1613相加能得到整千数，因此，运用减法的性质a-b-c=a- (b+c)。从被减数中连续减去两组减数的和会使计算更简便。
解答 5498-1928-387-1072-1613 =5498-1928-1072-387-1613 =5498- (1928+1072)-(387+1613) =5498-3000-2000 =5498-(3000+2000) =5498-5000 =498 总结
在简便计算中，包含着一种重要的思考问题的方法：给你一个算式，可以根据相关的运算定律或运算性质，或者改变运算顺序，或者凑整，或者拆整，从而变成一个使运算简便的算式。
例2 计算6230-1-2-3-„-76-77-78-79。
分析 根据减法的性质a-b-c=a-(b+c)，可将此题转化为6230一(1+2+3+„+78+79)。观察括号里面的数，发现这组数可以分成两个数相加和是整十数的形式，(1+79)+„
6230-1-2-3-„-76-77-78-79 =6230-(1+2+3+„+78+79) =6230-[(1+79)+„+(39+41)+40] =6230-(39³80+40) =6230-3160 =3070 提示
用加法运算律进行简便计算时，要仔细观察数据的特点，从而找到解决问题的最优方法。 赛点题库
1．探究题 计算。
475-(175+255) 376- (176-97)
347+(153-129) 947+(372-447)-572
2．开放题 一本故事书共有300页，丽丽上周看了95页，这周看了195页，丽丽还有多少页没看？（用不同的方法解答）
3．思维训练题 用简便方法计算1212-1111+1010-909+808-707+606。
趣味数学 趣题有趣解，细读可掌握！
巧算的应用
一节数学课上，老师问大家：“如果从公元1年算到2010年，你能算出所有偶数年份之和减去所有奇数年份之和的差吗？” 小东思考片刻，很快得出了准确的答案。聪明的同学们，你们会解答吗？
分析 本题可列式为(2+4+6+„+2010)-(1+3+5+„+2009)，两个括号内分别有1005个连续的偶数和奇数，将两个括号中的数两两分成一组，可组成1005个减法算式，原式就变成1005个减法算式的和。而每个减法算式的结果都是1，所以原式的结果就等于1005。
解答 (2+4+6+„+2010)-(1+3+5+„+2009) =(2-1)+(4-3)+(6-5)+„+(2010-2009)
„ 共个 =1005
第2课时 简便计算(2)（教材43～47页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1．在理解和掌握乘法运算定律的基础上，进一步学习整数四则混合运算中的一些简便计算。 2．根据运算特点和数据特点，灵活选用计算方法，解决生活中的实际问题。 3．提高选择最佳计算方法的能力。 重难点
重点：理解和掌握整数四则运算中的简便算法。 难点：灵活选择计算方法解决实际问题。
全解教材知识
知识讲解
知识点一 连除运算中的简便算法
问题导入 一共有25个小组，每个小组种了5棵树苗。购买树苗花了1250元，每棵树苗多少钱？ 1．分析解答
解法一：先算出每组买树苗花了多少元，再求出每棵树苗的钱数。
分析：由已知条件知道25个小组共花1250元，求一组买树苗花多少元，也就是把1250元平均分成25份，求一份是多少，用除法计算。又知道每组种5棵树苗，用每组买树苗花的总钱数除以每组种树苗的棵数，所得的便是一棵树苗的价钱。
以上分析过程也可用思路图表示：
列式为： 1250÷25÷5 =50÷5 =10(元)
解法二：先求出一共种了多少棵树苗，再求每棵树苗的价钱。
分析：已知有25个小组，每个小组种了5棵树苗，用乘法便可计算出树苗的总棵数。用总钱数除以树苗的总棵数即可求出每棵树苗的钱数。以上分析过程也可用思路图表示：
列式为： 1250÷(25³5) =1250÷125 =10(元) 2．比较、发现
(1)比较：1250÷25÷5是一个数连续除以两个数的形式，1250÷(25³5)是一个数除以两个数的乘积的形式。它们的计算结果是相同的，因此可以得出1250÷25÷5=1250÷(25³5)。
(2)发现：由此想到：一个数连续除以两个数等于用这个数除以这两个数的积。 归纳总结
(1)除法的性质：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积，即a÷b÷c=a÷(b³c)。 (2)一个数连续除以几个数，任意交换除数的位置，商不变，即a÷b÷c÷d-a÷c÷b- d-a÷d÷b÷c。 拓展提高
在乘、除法混合运算中，有时为了计算简便，需要添小括号或去掉小括号。因此，一定要牢记：括号前面是乘号，去掉括号，括号里不变号。即：a³(b÷c)=a³b÷c；乘号后面添括号，括号里面不变号。即：a³b÷c=a³(b÷c)；括号前面是除号，去掉括号，括号里面要变号。即：a÷(b³c)=a÷b÷c或a÷(b÷c)=a÷b³c；除号后面添括号，括号里面要变号。即：a÷b÷c=a÷(b³c)或a÷b³c=a÷(b÷c)。
知识点二 乘、除法运算中常用的简便算法
问题导入
(1)王老师一共买了多少个羽毛球？ (2)买球一共花了多少钱？ (3)每枝羽毛球拍多少钱？ 过程讲解 1．解决问题(1)
(1)分析、列式：求王老师一共买了多少个羽毛球，先找到与问题相关的两个已知条件：买25筒羽毛球，每筒有12个羽毛球。求25个12是多少用乘法计算，即：12³25。
(2)探究算法：
方法一：观察算式12³25，发现25与4相乘得整百，而另一个数12恰好能分成3³4，因此原式可转化成(3³4)³25的形式。
解答：12³25=(3³4)³25=3³(4³25) =3³100=300（个）
方法二：观察算式12³25，发现25可以写成100÷4的形式，这样把两位数乘法转化成了能口算的乘法，计算就简便多了。 解答：12³25=12³100÷4=1200÷4=300（个） 或12³25=12³100÷4=12÷4³100=3³100=300（个）
方法三：根据积不变的规律：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积不变。将12³25中的12除以4，25乘4，积保持不变。
解答：12³25=(12÷4)³(25³4)=3³100=300（个） 答：王老师一共买了300个羽毛球。 2．解决问题(2)
(1)分析、列式：求买球一共花了多少钱，先找到与问题相关的两个已知条件：买25筒羽毛球，每筒32元。求买球一共
花了多少钱也就是求25个32是多少，用乘法计算，列式为：25³32。
(2)探究算法：25³32与上题中的12³25比较，它们都是两位数乘两位数，且都有一个特殊的因数25。因此可以仿照12³25的简便算法解决此题。
方法一： 25³32 方法二： 25³32 =25³(4³8) =100÷4³32
=25³4³8 =100³32÷4 =100³8 =3200÷4 =800(元) =800(元) 方法三： 25³32
=(25³4)³(32÷4) =100³8 =800(元) 3．解决问题(3)
(1)分析理解：要求每枝羽毛球拍的价钱，需做到两点：①找到与问题相关的两个已知条件：5副羽毛球拍花330元；②明确每副与每枝的关系：每副中包含两枝。
(2)探究解法。
解法一：先求出一副的价钱，再求出一枝的价钱。 330÷5÷2 =330÷(5³2) =330÷10 =33（元） 方法提示
因为5³2=10，所以根据除法的性质n÷b÷c=a÷(b³c)可以使计算简便。 解法二：先求出5副共多少枝，再求一枝的价钱。 330÷(5³2) =330÷10 =33(元) 归纳总结
在乘法中，如果一个因数是25（或125），另一个因数正好是4（或8）的倍数，则将另一个因数分解成4（或8）与其他数乘积的形式，再利用乘法结合律先算25³4(或125³8)，这样会使计算简便；也可以把25 （或125）写成100÷4（或1000÷8）的形式，再进行口算也很简便；或者根据一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积不变的规律进行简便运算。
知识点三 乘加、乘减运算中常用的简便算法
问题导入
科考队这次考察一共花了多少时间？ 过程讲解 1．理解题意
要求科考队一共花了多少时间也就是求实际花的时间，即计算从3月1日开始到7月26日返回时的总天数。 2．探究解法
解法一：按月计算天数，根据已知的出发、返回时间，可以知道3、4、5、6月份都在野外考察，7月份有26天在野外考察。
因此可列综合算式：31³2+30³2+26。
观察算式发现此题中的31³2+30³2的运算形式恰好是乘法分配律a³c+b³c=(a+b)³c的形式，运用运算律会使计算更简便。所以可以运用乘法分配律，也可以把31、26分别看成30，再根据“少加的再加上，多加了要减去”的原则进行计算。
要点提示
3至6月中，3月、5月是大月，每月有31天；4月、6月是小月，每月有30天。 31³2+30³2+26 31³2+30³2+26 =(31+30)³2+26 =(30³2+2)+30³2+(30-4) =61³2+26 =30³(2+2+1)+2-4 =122+26 =30³5+2-4 =148（天） =150+2-4
=148（天）
解法二：如果按计划时间返回，则应有3个大月，2个小月的时间在野外，但计划比实际多用了5天，就减去5天。列综合算式：31³3+30³2-5。
31³3+30³2-5 =30³3+1³3+30³2-5 =30³(3+2)+3-5 =150+3 -5 =148（天）
解法三：按星期计算天数。一共有21个星期多1天，因此列式为：21³7+1。 21³7+1 =20³7+7+1 =140+7+1 =148（天）
答：科考队这次考察共花了148天。 3．比较三种方法
采用前两种方法关键要知道每月的天数，采用第三种方法关键是要准确数出星期数。因此，一定要细心才能把题做对。 难点点拨
一星期是7天，如果从3月1日数起,3月1日～3月7日是完整的一个星期。 归纳总结
(1)解决问题时，从不同的角度去思考，就会想到不同的解决方法。(2)乘加、乘减运算中，如果两个乘法算式有共同的因数，可逆用乘法分配律a³c±b³c=(a±b)³c进行简便运算。
拓展提高
在一个除加、除减的算式中，当除数相同时，可以运用a÷c±b÷c=(a±b)÷c使运算更简便。 误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！ 误区一 500÷25³4 =500÷100 =5
错解分析 此题错在随意改变运算顺序，导致计算结果出现错误。 正确解答 500÷25³4 =20³4 =80 温馨提示
当乘除混合运算中不具备简算因素时，应按照从左到右的顺序计算。 误区二 简便计算15³21+15³78+15。 15³21+15³78+15 =15³(21+78)+15 =15³99+15
=1485+15 =1500
错解分析 此题虽然计算结果正确，但在简算过程中没有把第三项“15”看成15³1参与到简算中，而导致计算不是最简便。
正确解答 15³21+15³78+15 =15³21+15³78+15³1 =15³(21+78+1) =15³100 =1500 温馨提示
运用简便算法计算时，一定要仔细观察算式结构及数的特点，有时需将一个数转化成两数乘积的形式再进行简便计算。 考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1．重点题 下列算式中应用了哪些运算定律及运算性质？ (1) 36³25³8=36³(25³8)____________________________ (2)33³12+67³12=(33+67)³12_________________________ (3)3600÷25÷8=3600÷(25³8)__________________________ (4)4³78³25=78³(4³25)______________________________ 2．难点题 下面各题怎样计算简便就怎样计算。 72³125 400÷25
56³7+45³7-7 9000÷125÷8
3．易错题 判断。
(1) 560÷28=560÷7÷4=20（ ） (2)45+45³6=45³(0+6)=270（ ） (3)25³71+8=25³8+71= 271（ ）
(4)72³45=9³8³5³9=(9³9)³(8³5)=81³40=3240（ ）
4．变式题 为预防甲型HIN1流感，某制药厂生产了8400支疫苗，每12支装一盒，每70盒装一箱，这些药一共可以装多少箱？
5．考试题 一个服装店一天共卖出80条裤子，上午卖出30条，每条68元，照这样计算，下午比上午多卖多少钱？（用两种方法解答）(2010²大庆)
全解综合能力
能力讲解
例1 计算1999³1998 -1998³1997 -1997³1996+1996³1995。
分析 观察算式，发现前两组乘法算式有共同的因数1998，后两组乘法算式也有共同的因数1996，因此可以逆用乘法分配律进行简算。
解答 1999³1998 -1998³1997-1997³1996+1996³1995 =1998³(1999-1997) -1996³(1997-1995) =1998³2-1996³2 =(1998-1996)³2 =2³2 =4 提示
在乘加、乘减中，找出相同因数，巧用乘法分配律是解答此类题的关键。 例2 计算(1999X 99+2000³100+1999+2000-1900)÷4000。
分析 通过观察我们发现算式中1999³99与1999两项中都含有1999，由此可利用乘法分配律a³c+b³c=(a+b)³c将此题进一步转化为1999³(99+1) =1999³100，而2000-1900 =100，原题此时已转化成(1999³100+2000³100 +100)÷4000。仔
细观察，发现括号内的每一项中都含有100，可进一步利用乘法分配律转化此题为100³(1999+2000+1)÷4000=100³4000÷4000，即可求出结果。
解答 (1999³99+2000³100+1999+2000-1900)÷4000 =[1999³(99+1)+2000³100+2000-1900]÷4000 =(1999³100+ 2000³100+100)÷4000 =100³(1999+2000+1)÷4000 =100³4000÷4000 =100 总结
进行简算时，要观察好数字的特点及算式的结构，准确应用运算定律进行简算。 赛点题库
1.探究题 用简便方法计算下面各题。
4004³25 980000÷25÷25÷4÷4 126³72 123³456÷123÷456
2．实践题 上海世博会从2010年5月1日开幕，到10月31日闭幕一共要经过多少天？
3．开放题 李伯伯家门前有一条甬路（如下图），这条甬路的面积是多少平方米？
4．思维训练题 计算99999³77778+66666³33333。
趣味数学 趣题有趣解，细读可掌握！
综合应用：营养午餐（教材48--49页）
全解目标要求
1．通过探究活动，经历判断、选择的过程，综合运用简单的排列组合、统计等相关知识解决问题。
2．通过了解各种菜肴中热量、脂肪、蛋白质的含量和营养午餐的一些基本指标，克服偏食、挑食的毛病，养成科学饮食的习惯。
3．通过小组间合作，体会数学在日常生活中的应用价值，增强应用数学的意识。
全解活动过程
学校食堂的午餐菜谱每天都在变化，你知道变化的依据是什么吗？今天我们以“营养午餐”为主题，来探究一下其中的奥秘。
活动一 判断菜肴搭配是否符合营养标准
判断民主路小学为学生提供的三种午餐菜谱是否符合营养标准。 （一）了解午餐菜谱的营养含量 1．认识菜谱（如下图）。
(1)认读菜名：炸(zha)鸡排、香菇(gu)油菜、土豆炖(dun)牛肉、韭(jiu)菜豆芽。
(2)分清荤素：菜谱中菜肴要荤素搭配合理，既有荤菜：肉类、蛋类，又要有素菜：蔬菜、水果类。如菜谱C中辣子鸡丁和土豆炖牛肉为肉类，韭菜豆芽为蔬菜类。
2．菜谱中每种菜肴含有的主要营养成分（热量、脂肪、蛋白质）如下表。
说明：(1)热量、脂肪、蛋白质是食物中含有的三种主要营养成分。热量在这里指食物含有热能的多少；脂肪是有机化合物，存在于人体和动物的皮下组织以及植物体中；蛋白质是天然的高分子有机化合物，是构成生物活质的最重要部分，是生命的基础。(2)千焦是热量单位，克是质量单位。
提示
(1)营养含量表所列举菜肴营养成分的含量非固定值，随菜肴总量及菜肴中各原料的多少而变化。 (2)营养含量表比三种午餐菜谱多一种菜肴，是为后面活动准备的。 （二）判断午餐菜谱是否符合营养标准
1．为了让我们科学饮食，营养专家提出10岁左右的儿童从每餐午饭菜肴中获取的热量应不低于2926千焦，脂肪应不超过50克。
2．根据10种菜肴的营养成分含量表，算出每种菜谱中热量和脂肪的含量。 菜谱A 热量：1254+899+911= 3064(千焦) 脂肪：19+15+11= 45（克）
菜谱B 热量：2462+1020+564=4046(千焦) 脂肪：25+16+12= 53（克）
菜谱C 热量：1033+1095+497=2625（千焦） 脂肪：18+23+7=48（克）
3．将每种菜谱中的营养成分含量同营养标准（热量≥2926千焦，脂肪≤50克）比较。 菜谱A 热量 3064千焦>2926千焦 脂肪 45克2926千焦 脂肪 53克>50克 菜谱C 热量 2625千焦
通过比较我们知道：菜谱A符合营养标准，菜谱B脂肪含量超标，菜谱C热量含量不达标。
我们会判断菜谱是否符合营养标准了，那么我们能自己搭配一种既喜爱吃又符合营养标准的菜谱吗？下面来尝试一下。
活动二 按营养标准搭配午餐菜肴
根据活动一中给出的10种菜肴，设计满足两个已知条件（热量不低于2926千焦，脂肪不超过50克）的配菜方案。（每种方案含三种菜肴）
活动过程
（一）任选三种喜爱吃的菜肴搭配，来检验营养含量是否符合标准
如选：炸鸡排、红烧鱼块、鸡蛋西红柿。首先，算出三种菜肴中热量和脂肪含量，热量：1254+1338+899=3491（千焦），脂肪：19 +17 +15=51 （克），然后同营养标准进行比较，3491千焦>2926千焦，51克>50克。
通过比较发现脂肪含量超标，说明这三种菜肴搭配不符合营养标准。 （二）正确设计符合标准的配菜方案
1．先选出两种菜肴，算出它们热量和脂肪的含量，如选：猪肉粉条、辣子鸡丁，热量：2462+1033= 3495（千焦），脂肪：25+18= 43（克）。
2．算出选取两种菜肴的营养含量与营养标准的差距。热量：3495-2926=569（千焦），脂肪：50-43=7(克)。 3．依据所求差距选取符合的菜肴。
选出符合所求营养差距的菜肴，定为第三种菜肴。如上述两种菜肴热量含量已符合标准（不低于2926千焦），可以只考虑选择脂肪含量不超过7克的菜肴，而10种菜肴中只有韭菜豆芽符合。配菜方案为：猪肉粉条、辣子鸡丁、韭菜豆芽。
说明：(1)如果符合条件的第三种菜肴多，就可以用每一种菜肴与前面两种菜肴进行搭配，组成多种搭配方案。 (2)如果没有符合条件的第三种菜肴，则改变前两种菜肴中的一种，重新搭配。
通过上述方法，符合营养标准的搭配方案有24种（括号中的数分别对应教材中列出的10种菜的编号）：1(1，4，10)、2(1，5，10)、3(1，6，10)、4(1,7,9)、5(1,7,10)、6(1, 8,10)、7(1, 9,10)、8(2,4,9)、9(2,5,7)、10(2,5,9)、11(2,5,10)、12(2,6,8)、13(2,6,9)、14(2,8,9)、15(3,5,10)、16 (3,8,9)、17 (4,5,6)、18 (4,5,7)、19 (4,5,9)、20(4,6,8)、21(4,8,9)、22(5,6,8)、23(5,6,9)、24(5,8,9).
这些合理搭配方案你最喜爱哪种？下面我们来选择一下。
活动三 选出5种喜爱的搭配方案进行整理分析
选出全班同学最喜爱的5种搭配方案填表并回答问题。（根据统计表，绘制出复式条形统计图，了解哪一种搭配获取的蛋白质最多）
活动过程
（一）选出全班同学最喜爱的5种菜肴搭配方案填入统计表 1．选出最受喜爱的5种搭配方案，统计人数。
在每人选出5种喜爱的搭配方案的基础上，整理记录原始数据。 2．将整理后的数据填入下表。如：
民主路小学四(1)班同学最喜爱的5种菜肴搭配方案
（二）根据统计表绘制复式条形统计图并回答问题 1．绘制复式条形统计图。
(1)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线，作为纵轴（表示人数）和横轴（表示菜肴搭配方案）。
(2)在横轴上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔（根据菜肴搭配方案的多少和横轴画出的长度来分配）。 (3)在纵轴上确定单位长度，并标出数量的标记和计量单位（在上表中最多为7人，所以纵轴上可以用0.5厘米的长度表示1人，标出最大值是4.5厘米）。
(4)根据数据大小，画出长短不同的直条（用不同颜色的直条区分男生人数和女生人数），并在每个直条的顶端标上表示人数的数据。
(5)在统计图上方写上标题、制图日期及区分男、女生的图例。
民主路小学四(1)班同学最喜爱的5种菜肴搭配方案统计图
2．哪一种搭配方案获取的蛋白质最多？
将每种方案中蛋白质的含量求出，然后进行比较。 方案1 6+7+3 =16（克） 方案12 20+16+1=49（克） 方案16 11+13+7=31（克） 方案17 7+12+16=35（克） 方案23 12+16+7=35(克)
通过比较，第12种搭配方案获取的蛋白质最多。
活动四 调查偏胖或偏瘦人的饮食习惯并提出合理建议
活动内容
调查偏胖或偏瘦人的饮食习惯，提出合理建议。 活动过程
（一）问卷和现场调查
调查偏胖或偏瘦人的饮食习惯，可以采取问卷形式和现场调查形式。问题以最喜爱吃哪类（肉类、蛋类、蔬菜类）食物为主进行设计。
通过调查发现：偏胖人喜爱吃肉类食物的较多，因为肉类脂肪含量高，造成人偏胖；偏瘦人喜爱吃蔬菜类食物的较多，因为蔬菜类脂肪含量低，所以人偏瘦。
（二）明确偏胖或偏瘦的危害
偏胖人体内脂肪过多，易引发一些疾病。如：高血脂、高血压等。青少年过胖则影响身体的生长和发育，影响智力的发展。偏瘦人体内脂肪过少，会出现营养不良、记忆减退等症状。偏胖或偏瘦都会影响人体正常发育，尤其青少年。
（三）对偏胖或偏瘦人提出合理建议
建议偏胖人少吃含脂肪多的食物，多吃蔬菜。偏瘦人应多增加一些肉类食物，两种人都要经常参加体育锻炼。 通过本次实践活动，学会了合理搭配菜肴，知道了在生活中要不挑食、不偏食，要养成科学、合理的饮食习惯，只有这样，我们才能健康地成长、发育。
第三单元整理和复习（教材27～49页）
归纳重点知识
一、四则运算
1．四则运算(1)（教材2～9页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1．掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式题。
2．探索、分析解决问题的策略和方法，会用两三步计算的方法解决一些实际问题。
3．养成认真审题、独立思考等学习习惯。
重难点
重点：理解和掌握含有两级运算的运算顺序。
难点：运用混合运算解决实际问题。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 没有括号的加减混合运算的运算顺序
问题导入 滑冰场上午有72人，中午有44人离去，又有85人到来。现在有多少人在滑冰？
过程讲解
1．分析解答
解法一
(1)分析题意：求现在有多少人在滑冰，应知道滑冰场上人员的变化情况。由上午有72人，中午有44人离去，可以用减法求出离去44人后剩下的人数，即：72-44=28（人）；再用剩下的人数加上又到来的85人，便是现在滑冰的人数，即：28+85 =113（人），以上的分析过程也可用思路图表示：
知识延伸
此分析思路从条件出发，逐步推导出所求结果，它采用了解决应用题的常见方法——综合法。
列综合算式为：72-44+85。
(2)明确运算顺序：此题是一道加减混合运算题，计算时按从左到右的顺序计算。先算出72与44的差，再算出这个差与85的和。
(3)明确运算过程：
72-44+85
=28+85
=113（人）
方法提示
在递等式计算中，没参加运算的数要连同前面的运算符号一同抄写下来。
解法二
(1)分析题意：可以先求出滑冰场共来多少人，即用上午有的72人加上又来的85人；再用总人数减去中午离去的44人，便是滑冰场现在的人数。以上的分析过程也可以用思路图表示：
列综合算式为：72+85-44。
(2)明确运算顺序：此题仍是一道加减混合运算题，因此要按从左到右的顺序计算。
(3)明确运算过程：
72+85-44
=157 - 44
=113（人）
答：现在有113人在滑冰。
难点点拨
同一个问题从不同角度思考就会有不同的解题方法。
2．两种解题方法的比较
(1)两种解法比较：解法一易理解，解法二更训练思维。解法一是解决达样的两步算式的基本方法。
(2)两个算式比较：因为它们都是只含加减法且不带小括号的同级运算，因此都按从左到右的顺序进行计算。
归纳总结
在没有括号的算式里，如果只有加、减法运算，要按从左到右的顺序计算。
拓展提高
1．计算加减混合运算，有时为了计算简便，可以适当调整算式中运算的顺序（把题中的某数带着数前的运算符号“搬家”）。如：
(1) 72-36+28 (2) 213+48-13
=72+28-36 =213-13+48
=100 - 36 =200+48
=64 =248
2.综合法：解答应用题的常用方法之一。它从已知条件出发，根据数量关系选择两个已知量，提出可以解答的问题，然后把所求出的数量作为新的已知条件，再提出可以解答的问题，这样逐步推导，直到求出所要求出的结果为止。
知识点二 没有括号的乘除混合运算的运算顺序
问题导入 “冰雪天地”3天接待987人。照这样计算，6天预计接待多少人？
方法提示
把整体平均分成几份，求一份是多少，用除法计算。
过程讲解
1.分析解答
解法一
要求6天预计接待多少人，可以先求出平均每天接待的人数。已知3天接待987人，987÷3便是一天接待的人数。6天接待的人数便是987÷3³6。以上的分析过程也可用思路图表示：
知识延伸
此分析思路是从要求的问题入手，逐步逆推从而求出结果，它采用了解决应用题的常见方法——分析法。
列式为：987÷3³6
解法二
已知3天接待987人，求6天可以接待多少人，可以想6天里面有几个3天，便可以接待几个987人。
用线段图表示：
方法提示
求一个数里包含几个另一个数用除法计算；求几个凡是多少用乘法计算。
因为6天里面正好有两个3天，因此可以接待两个987人。列式为：6÷3³987。
2．明确运算顺序
987÷3³6 6÷3³987
这两道算式都是只含有乘、除法的同级运算，因此要按照从左到右的顺序进行计算。
3．解答
987÷3³6 6÷3³987
=329³6 或=2³987
=1974（人） =1974(人)
答：6天预计接待1974人。
要点提示
只有同一种量中的两个数正好是整数倍时，才可以选择第二种解法。如：此题中6正好是3的2倍。
归纳总结
在没有括号的算式里，如果只有乘、除法，要按从左到右的顺序计算。
拓展提高
1．在计算只有乘、除法的混合运算（没有括号）时，为了计算简便，可以适当调整算式的运算顺序（把题中的某数带数前的运算符号“搬家”），而结果不变。如：
(1) 72³36÷8 (2) 75÷5³2
=72÷8³36 =75³2÷5
=9³36 =150÷5
=324 =30
2．分析法：解答应用题的常见方法之一。它从应用题要求的未知数入手，根据数量关系，找出解答最后结果所需条件，把其中的一个（或两个）未知条件作为要解的问题，然后找出解决这一个（或两个）问题所需要的条件，这样逐步逆推，直到所找的条件在应用题中都是已知的为止。
知识点三 积商之和（差）的混合运算的顺序
问题导入 星期天，爸爸妈妈带着玲玲去“冰雪天地”游玩。成人票 24元，儿童票半价。
(1)购门票需要花多少钱？
(2)如果买3张成人票，付100元，应找回多少钱？
过程讲解
1．分析、解决问题(1)
(1)分析、列式：求购门票需要花多少钱，就是求爸爸、妈妈购买门票钱与玲玲购买门票钱之和。爸爸和妈妈买两张成人票共需两个24元，列式为：24+24或24³2；玲玲是儿童，已知儿童票半价，也就是24元的一半，列式为：24÷2。所以玲玲一家购门票所花的钱可列综合算式为： ①24³2+24÷2或②24+24+24÷2。
(2)明确计算过程及结果。
①式是求积商之和的混合运算，根据算式的意义要先算乘、除法，再算加法。因为乘、除法属于同级运算，所以可同时计算得出结果，最后计算出积商之和。②式中有加法和除法，根据算式的意义应先算除法，再算加法。因此计算过程如下：
①24³2+24÷2 ②24+24+24÷2
=48+12 =24+24+12
=60(元) =48+12
=60(元)
答：购门票需要花60元。
方法提示
24³2与24+24列式不同，但表示的含义却相同。
2．分析、解决问题(2)
(1)分析、列式：求应找回多少钱，应先知道买3张成人票共花多少钱，再用已付的钱减去花掉的钱即是找回的钱。列综合算式为：100-24³3。
(2)明确计算过程及结果：根据算式的意义先算乘法求出花的钱，再算减法求得找回的钱。计算过程如下：
100-24³3
=100-72
=28(元)
答：应找回28元。
归纳总结
在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘、除法，后算加、减法。
误区警示 慧眼识真知．错误巧规避！
误区一 75÷5³3
=75÷15
=5 ．
错解分析 此题错在没有掌握同级运算的运算顺序，乘、除法属于同级运算，要遵循从左到右的运算顺序进行计算。 正确解答 75÷5³3
=15³3
=45
温馨提示
在没有括号的算式里，如果只含有同级运算，要按从左到右的顺序计算。
误区二 28+120÷4
=148÷4
=37
错解分析 此题错在没有掌握含有两级运算的混合运算顺序。
正确解答 28+120÷4
=28+30
=58
温馨提示
通常把加法和减法称为第一级运算，把乘法和除法称为第二级运算。在一个算式里，如果只含有这两级运算，要先做第二级（高级）运算，再做第一级（低级）运算。
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1．重点题 选择。
(1)在没有括号的算式里，如果有乘、除法和加、减法，要先算( )。
A.加、减法 B．乘、除法 C．按从左到右的顺序
(2)计算32-16+ 22时，要先算（ ）。
A. 32-16 B.16+22
2．难点题 计算下面各题。
82-36+25 750³2- 2100÷3
3．易错题 小小门诊室。
56÷7³8 诊治： 25³3÷25³3 诊治：
=56÷56 =75÷75
=1 =1
4．易混题 运算顺序一样的画“√”，不一样的画“³”。
(1)15³6÷3 15+6—3 ( )
(2)80÷8³5 80-8³5( )
(3)65-4³9 65³4³9( )
5．考试题 师傅每小时加工192个零件，徒弟每小时加工的零件个数正好是师傅的一半。师傅和徒弟1小时共加工多少个零件？（2010．武汉）
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例1 一部功能最齐全的手机的价格是3870元，比一部普通手机贵1450元，一部功能较齐全的手机比一部普通手机贵210元，一部功能较齐全的手机售价多少元？
解法一
分析 根据一部功能最齐全的手机的价格是3870元，比一部普通手机贵1450元，可用减法求出普通手机的售价；根据一部功能较齐全的手机比一部普通手机贵210元，可用加法求出功能较齐全的手机的售价。
解答 3870 -1450+210
=2420+210
=2630（元） 答：一部功能较齐全的手机售价2630元。
要点提示
当三种事物进行比较时，找准中间量是解题关键。
解法二
分析 如图：
从图中可以看出功能最齐全的手机比功能较齐全的手机贵(1450 - 210)元，又知道功能最齐全的手机的价格是3870元，可用3870- (1450 - 210) 求出功能较齐全的手机的售价。
解答 3870-(1450-210)
=3870 -1240
=2630(元)
答：一部功能较齐全的手机售价2630元。
知识延伸
图解法：解答应用题常用方法之一。它在分析应用题时，把题中的条件和问题用线段图或其他图形表示出来，使分析的问题具体形象。
提示
找出两种量之间的相差量，用较大数一相差量一较小数。
例2 有7个数，它们的平均数是154。把这些数按从小到大的顺序排列起来，那么前两个数的平均数是136，后四个数的平均数是164。求第三个数是多少。
分析 用7个数的总和（7个154）减去前两个数的和（2个136），再减去后四个数的和（4个164），所得的结果是第三个数。以上分析思路的图示如下：
解答 154³7 -136³2-164³4
=1078-272-656
=150
答：第三个数是150。
总结
一组数的平均数³这组数的个数=这组数的总和；一组数的总和÷这组数的个数=平均数。
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1．创新题 把下面的分步算式合并成综合算式。
(1)35³3=105 (2)760÷10=76 45³3=135 75+105 =180 76+135=211
2．思维训练题 丽丽买了3本笔记本，每本3元钱，又买了4枝钢笔，每枝钢笔的价钱是每本笔记本价钱的2倍，丽丽一共花了多少钱？
3．潜能开发题 有两匹马和一副鞍，白马配鞍售价800元，黑马配鞍售价600元，两匹马售价1000元，那么一副鞍售价多少元？
4．竞赛题 将一些半径相同的小圆按下图所示的规律摆放：第1个图形中有6个小圆，第2个图形中有10个小圆，第3个图形中有16个小圆，第4个图形中有24个小圆„„以此规律，第6个图形中有_________个小圆。（2010．希望杯）
趣味数学 趣题有趣解，细读可掌握！
老寿星
清代乾隆五十年的时候，乾隆皇帝在乾清官摆下千叟宴，参加者有位年龄特大的老人。乾隆帝以他的年龄出了一道上联：花甲重开，外加三七岁月。纪晓岚巧妙地对出了下联：古稀双庆，又多一个春秋。
看到这，你一定想知道这位老寿星的年龄有多大吧？
先看上联。花甲就是甲子，一个甲子是60年时间。“花甲重开”，是说经过了两个甲子，就是120年，这还不够，还要“外加三七岁月”，3和7相乘，是21年，所以总数是60³2+3³7=1410可见乾隆皇帝是说，这位老人家141岁。
再看下联。“古稀”是70岁。唐代诗人杜甫《曲江二首》诗中说，“人生七十古来稀”。“古稀双庆”，是说这位老先生居然有两次庆贺古稀，度过了两个70年，并且不止这些，还“又多一个春秋”，总数是70³2 +1=141。
可见纪晓岚也是在变个花样说，不错，这位老人是141岁。
2．四则运算(2)（教材10～16页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1.掌握含有小括号的运算顺序及有关0的运算，正确计算三步算式。
2.在解决实际问题的过程中，感受规定混合运算顺序的必要性，学会用两三步计算的方法解决实际问题。
3．体验数学与生活的密切联系，激发学习兴趣。
重难点
重点：掌握含有小括号算式的运算顺序及有关O的运算。
难点：列综合算式解决实际问题。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 含有小括号的混合运算的运算顺序
问题导入 上午冰雕区有游人180位，下午有270位。如果每30位游人需要一名保洁员，下午要比上午多派几名保洁员？ 方法讲解
解法一：要求下午比上午多派几名保洁员，先应求出上、下午分别需要派几名保洁员，再用下午派保洁员的人数减去上午派保洁员的人数，就是多派保洁员的人数。因为每30位游客需要一名保洁员，所以游客人数中包含几个30人，就需要几名保洁员。
分步列式：180÷30=6（名） 综合算式： 270÷30-180÷30
270÷30-9（名） =9-6
9-6=3（名） =3（名）
解法二：先求出下午比上午多多少游人，每多出30位游人，就需要多派1名保洁员，多出的游人中有几个30人，就需要多派几名保洁员。
分步列式：270-180=90（位） 90÷30=3（名）
解答此题需要先算减法，求出下午比上午多多少游人。在有减法和除法的算式中，要想先算减法，就必须使用括号把减法算式括起来，计算时就可以先算括号里面的。
综合算式： (270-180)÷30
=90÷30
=3（名）
答：下午要比上午多派3名保洁员。
难点点拨
小括号起到改变运算顺序的作用。
归纳总结
含有小括号的混合运算的运算顺序：算式里有括号，要先算括号里面的。
拓展提高
随着综合算式运算步骤的增多，还将学到中括号“[ ]”和大括号“｛ ｝”，它们同小括号一样，起到改变运算顺序的作用。
例如：[270一(180+30)]÷3，运算顺序是先算小括号里的加法，再算中括号里的减法，最后算除法。
知识点二 四则混合运算的运算顺序
问题导入 先说出各题的运算顺序，再计算。
(1) 42+6³(12-4) (2)42+6³12-4
要点提示
加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。
过程讲解
1．观察分析
(1)题含有小括号，应先算括号里面的算式，再算括号外面的算式，括号外面的算式有加法和乘法的，应先算乘法，后算加法。其运算顺序如标注所示：
(2)题中含有两级运算，应先算乘法，即6³12，再按从左到右的顺序依次完成加法、减法的运算。其运算顺序如标注所示：
2．尝试、计算
(1) 42+6³(12-4) (2)42+6³12-4
=42+6³8 =42+72-4
=42-I-48 =114-4
=90 =110
3．比较算式
观察两道算式发现：算式中的数字和运算符号是相同的，只是(1)题中含有小括号，使运算顺序发生了改变。算式(1)先求差，再求积，最后求和；算式(2)先求积，再求和，最后求差。运算顺序不同，所得的结果也不一样。
归纳总结
四则运算的运算顺序：在没有括号的算式里，只有加、减法或者只有乘、除法的，要按从左到右的顺序运算；有乘、除法和加、减法的，要先算乘、除法，后算加、减法；如果有括号，要先算括号里面的。
知识巧记
混合算式要计算，明确顺序是关键。
同级运算最好办，从左到右依次算。
两级运算都出现，先算乘除后加减。
遇到括号怎么办，先算里面后外面。
知识点三 有关0的运算
问题导入 想一想，你知道哪些有关0的运算？运算时应该注意些什么？
过程讲解
1．明确0在运算中的特性
在加法中，一个数同0相加还得原数；在减法中，一个数减0仍得原数；在乘法中，任何数和0相乘，仍得O；在除法中，0除以一个非0的数，还得0。
2．探讨0为什么不能作除数
在没有余数的除法算式中，除数³商=被除数。若0可以作除数，则在5÷0=( )中，0乘括号中的数应得5，而0与任何数相乘都得0，找不到一个同0相乘得5的数，所以O作除数没有意义；从另一个角度说，若0可以作除数， 在0÷0=( )中，O乘括号中的数应得0，因为O和任何数相乘都得O，所以0÷O不可能得到一个确定的商，因此，0作除数也没有意义。
知识延伸
0是介于正整数和负整数之间的数。”
归纳总结
有关0的运算用字母可表示为：a+0=a，a-0=a，0³a=0，0÷a=0（a≠0）
误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！
误区一 0除任何非0的数都得0。
错解分析 此题错在对“除”和“除以”认识不清。“0除”表示0作除数，与“0不能作除数”相违背。
正确解答 0除以任何非0的数都得0。
温馨提示
读除法算式时，如果先读被除数，除号就读作“除以”；如果先读除数，除号就读作“除”。在除法中，0不能作除数。 误区二 张师傅要生产600个零件，已经生产了120个，剩下的要10天完成，平均每天生产多少个？
600-120÷10
=480÷10
=48（个）
答：平均每天生产48个。
错解分析 此题错在没有给“600 -120”加小括号。根据题意必须先算减法求出剩下的零件，再算除法求出平均每天生产的个数。在含有两级的运算中，要先算减法，就必须给减法加上小括号。
正确解答 （600 -120）÷10
=480÷10
=48(个) 答：平均每天生产48个。
温馨提示
列综合算式解决实际问题时，如果含有两级运算，又必须先算第一级运算时，一定要给第一级运算加上小括号。 考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1.重点题 填一填。
(1)计算24³(27 -19)÷16，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ），计算结果是（ ）。
(2)一个数同0相乘，积是（ ）；O除以一个（ ）的数，商是0。
(3)36与14的和乘它们的差，积是（ ），列式为（ ）。
2．难点题 脱式计算下面各题。
(466-25³4)÷6 (43+32)÷(357-352)
3．易错题 选一选。
(1) 232³6÷232³6的结果是( )。
A．1392 B．36 C．1
(2)134+135÷135 -134○(134+135)÷(135 -134),○中填( )。
A．
4．易混题 先在□中填上适当的数，再写出综合算式。
5．变式题 妈妈带600元钱去商场，买了一件羊毛衫用去248元，又买了一个皮包用去252元，应找回多少元？（用两种方法解答）
6．考试题 大陆赠送台湾的大熊猫团团、圆圆于2009年1月26日在台北动物园与民众焘式见面。如果一只大熊猫一星
期可以吃竹子166千克，那么团团和圆圆一个月（按4星期计算）要吃竹子多少千克? (2010．郑州)
全解综合能力
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例1 有两袋糖，第一袋有66块，第二袋有18块。如果每次从第一袋里拿出4块放入第二袋，至少拿多少次，才能使两个袋里的糖一样多？
分析 求“至少拿多少次，才能使两个袋里的糖一样多”，应先求出第一袋比第二袋多多少块糖，然后把多的部分平均分成两份，其中的一份放回第一袋中，从另一份中每次拿出4块糖放入第二袋中，求至少拿多少次也就是求另一份中有多少个4块，用除法计算。
解答 (66-18)÷2÷4
=48÷2÷4
=24÷4
=6（次） 答：至少拿6次，才能使两个袋里的糖一样多。
提示
求出从第一袋中拿出多少块糖放入第二袋中是解此题的关键。
例2 计算89-2³(9÷3-0³2) +11³(0+2)。
分析 按照四则混合运算的顺序，计算时应先算小括号里面的，再算括号外面的。若括号里面的式子含有两级运算，则按照先算乘除法后算加减法的顺序计算，而前后都有括号则按照从左到右的顺序在同一步中同时算出括号里面的。括号里计算完毕后，我们发现算式中还含有两级运算，仍按照先算乘除法后算加减法的顺序计算，最终得出结果。
解答 89-2³(9÷3-0³2)+11³(0+2)
=89-2³(3-0)+11³2
=89-2³3+11³2
=89-6+22
=83+22
=105
总结
括号中含有加、减、乘、除运算时，仍按先算乘、除法后算加、减法的顺序进行计算。
赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1．创新题 在□里填上适当的数。
(1)(□+48)÷25-3=0
(2) 712-3120÷(4³□)=702
2．探究题 一位老爷爷说：“把我的年龄加上12，再除以4，然后减去12，再乘10，恰好是100岁。”这位老爷爷现在多少岁？
3.潜能开发题 计算(1234+2341+3412+4123)÷(1+2+3+4)。
4．竞赛题 王云在计算325-□³5时先算了减法，结果得出1500。那么这道题的正确结果应该是______。（2010．希望杯）
信息窗口
四则运算的起源
四则运算的起源很早，有的几乎与数字同时产生，如罗马数字6写成Ⅵ，即5加1的意思，4写成Ⅳ，即5减去1的意思。在中国古代，四则运算很早就有了。战国（前476—前221）时代，魏国著名政治家、法学家，李悝( kuT)编写的一部有关法律
方面的著作——《法经》中，已有加、减、乘等运算，甚至还有除法运算。
二 位置与方向
1．位置与方向(1)（教材17～21页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它1
1．通过解决实际问题，体会确定位置在生活中的应用，了解确定位置的方法。
2．能根据方向和距离在图上标出物体的位置。
3．培养空间观念及动脑动手的能力。
重难点
重点：了解根据方向和距离确定物体位置的方法。
难点：能根据描述，在平面图上标出物体的具体位置。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 确定物体位置的条件
问题导入 下图是一组参加公园定向越野赛的学生，他们站在起点处，想通过公园定向运动图判断1号点的位置，你能帮助他们确定1号点的位置吗？
过程讲解
1．理解定向运动的含义
定向运动是一种借助地图和指北针（罗盘）按规定的顺序到达地图上所指示的各个点，以最短时间经过所有点并到达终点者为胜利的一项运动。
2．理解确定1号点的必要性
同学们要由起点到达1号点，就要准确判断出1号点在起点的哪个方向上及距离起点有多远，否则在运动中易走“冤枉”路。
3．测定1号点的位置
(1)确定观测点，建立方向标。
因为同学们是从起点处观测1号点，所以应把起点作为观测点，建立方向标，即以起点为中心点，按上北、下南、左西、右东的方向在地图上标绘方向标（如下图）。
难点点拨
位置是相对的，要指出一个物体的位置，必须以另一个物体为参照物。以谁为参照物，就以谁为观测点。
(2)测定1号点的方向。
连接起点和1号点，发现1号点在起点的东北方向上。而东北方向是一个很大的范围，所以又需要确定一个角度。因为1号点距离正东方向比较近，所以通常用量角器去测量正东方向与1号点所在方向的夹角，从图中可知测量结果为30°，所以说1号点在起点东偏北30°的方向上（如下图）。
方法提示
东偏北306也可说成北偏东60。，但在生活中一般戈说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。 (3)测定起点到1号点的距离。
知道1号点所在的方向还不够，还要知道走多远才能到达1号点，因此必须测得起点距1号点的距离。根据平面图左下角的标注500米，可知平面图上1厘米代表实际距离
，结合在图上量得起点到1号点长2厘米，可算出实际距离约为500³
2=1000（米），所以知道1号点距离起点1千米（如下图）。
要点提示
想确定一个物体的准确位置，只知道方向或距离是不行的，要同时知道这两个条件才行。 4．描述1号点的位置
1号点的位置在起点的东偏北30°的方向，大约1千米处。 归纳总结
确定物体位置的条件是方向和距离，二者缺一不可。 知识点二 在平面图上标出物体位置的方法
问题导入 确定物体的位置必须知道它相对于观测点的方向和距离，如果给你物体所在的方向和距离，你能在平面图上标出校园内各建筑物的位置吗？
(1)教学楼在校门的正北方向150米处。 (2)图书馆在校门的北偏东35。方向150米处。 (3)体育馆在校门的西偏北40。方向200米处。 过程讲解
1．确定观测点，建立方向标
此题三处建筑物所在的位置都是相对校门而言的，因此画图时要以校门为观测点，按上北、下南、左西、右东的方向绘制方向标。
2．用量角器确定建筑物的方向
(1)确定出图书馆的方向。图书馆在校门的北偏东35°方向上，将量角器的中心与观测点（校门位置）重合，量角器的0刻度线与方向标的纵轴重合，以量角器所对正北方向的0°为起点向偏东找到35°的角，画出角的另一条边。图书馆就在角的这一边所在直线（方向）上。
(2)确定体育馆所在方向：同理，体育馆在校门的西偏北40°方向上，就把量角器的0刻度线对准正西方向，向偏北找到40°的角，画出角的另一条边，体育馆就在这条边所在的直线（方向）上。
3．用刻度尺根据建筑物的方向、距离确定其位置
(1)在图上用一条注有数量的线段表示地面上相对应的距离：因为三处建筑物距离校门分别是150米、150米、200米，这几个数正好是50
的倍数，所以可以用
要点提示
要标出物体的位置必须先确定方向，再确定在这一方向上的距离。
(2)根据各建筑物到观测点的距离，用刻度尺确定其位置：教学楼在正北方向150米处，150米中有3个50米，因此，要用刻度尺从校门向正北方向画出3个离的方法也是如此。
从而确定教学楼与测量点之间的距离。确定其他两处建筑物距
50米的距离。
方法提示
绘制平面图时，要根据实际距离确定好单位长度，即4．画出建筑物的具体位置，标出名称
画图为：归纳总结
在平面图上标明物体位置的方法：先确定方向，再以选定的单位长度为基准来确定距离，最后画出物体的具体位置，标出名称。
知识巧记
物体位置要想找，方向、距离缺不了。 方向确定再找角，一般选小是首要。 距离大小有参数，下方标注不可少。 误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！
误区一 如图，A点是学校的教学楼，B点是体育馆，则体育馆在教学楼的北偏西30°方向上。
错解分析 此题错在对教学楼的具体方向的叙述不清楚。30°角是由正西方向偏向北得到的，所以叙述时应先说西方，再说北方。
正确解答 体育馆在教学楼的西偏北30°方向上。 温馨提示
在叙述物体的方向时，一般先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。 误区二 小明家在小东家南偏西40°方向500米处，画平面图表示小明家的位置如下：
错解分析 此题错误有两处：一是观测点确定得不对，应以小东家为观测点画方向标；二是单位长度不统一，小明家到小东家的距离应以图标为准，画出5个等长的
正确解答 温馨提示
画平面图时，首先要确定好观测点，其次确定被观测物体的方向，最后以选定的单位长度为基准来确定距离。 考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1．重点题 以猴山为观测点，说一说其他动物馆的位置。 (1)狮林在猴山的_________偏________方向____________米处。 (2)熊猫馆在猴山的_________偏________方向____________米处。 (3)袋鼠馆在猴山的_________偏________方向____________米处。 2．难点题 根据所给提示，标出同学们家的具体位置。 (1)小红家在学校的东偏北30°方向上，距离学校400米； (2)丽丽家在学校的南偏西40°方向上，距离学校300米； (3)强强家在学校的北偏西45°方向上，距离学校500米。
3．易错题 判断下面各题的说法是否正确。（正确的打“√”，错误的打“³”） (1)只要知道方向或距离就可以确定物体的位置。 （ ） (2)红红家在东偏北30°，距离200米处。 （ ） (3)在图上标出物体的位置，要先确定距离，再确定方向。（ ） 4．变式题 动手连一连。
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！ 例1 请根据叙述画出平面图。
超市在学校西偏北25。方向200米处，电影院在学校东偏南40°方向300米处，少年宫在学校南偏东20°方向150米处，图书馆在学校南偏西20°方向100米处。
分析 通过读题发现本题是以学校为参照物，因此应以学校为中心按照上北、下南、左西、右东的方向绘出方向标。标建筑物的位置，要先确定具体方向，再确定距离。标超市的位置，先用量角器度量，量角器的中心与学校所在位置重合，量角器的0刻度线与正西方向重合，从西向北找到25°角，方向确定后不要忘记在平面图上用一条标有数量的线段表示地面上相对的距离，本题用L一表示50米，在这个方向上画4个格表示4个50米，即200米，就找到了超市的位置。同理可画出电影院、少年宫、图书馆的位置。
提示
画平面图应先确定观测点，再确定方向与距离。
(1)沈阳在石家庄的什么方向上？ (2)石家庄在武汉的什么方向上？ (3)武汉在南京的什么方向上？
分析 确定以哪座城市为观测点是本题解题的关键。想知道沈阳在石家庄的什么方向上，就以石家庄为观测点，观察可知：沈阳在石家庄的东偏北方向上；想知道石家庄在武汉的什么方向上，就以武汉为观测点，观察可知：石家庄在武汉的正北方向上；想知道武汉在南京的什么方向上，就以南京为观测点，武汉在南京的西偏南方向上。
解答 (1)沈阳在石家庄的东偏北约30°方向上。 (2)石家庄在武汉的正北方向上。 (3)武汉在南京的西偏南约15°方向上。 总结
“在”字后面的城市均为观测点。 赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！ 1.创新题 标一标。
(1)书店在艺术中心东偏北25°的方向上。 (2)中心医院在艺术中心南偏东25°的方向上。 (3)南湖公园在艺术中心南偏西40°的方向上。 (4)文化广场在艺术中心北偏西40°的方向上。 2．开放题 做一做，连一连。
丽丽面向北站立，向右转40°后所面对的方向 南偏东40° 丁丁面向西站立，向左转40°后所面对的方向 北偏东40°t 豆豆面向南站立，向左转40°后所面对的方向 西偏南40° 齐齐面向东站立，向右转40°后所面对的方向 东偏南40°
3．探究题 明明家在学校的东偏南40。的方向480米处；丽丽家在学校的西偏北30°的方向600米处。两人步行的速度都是每分钟60米，如果他们同时从各自的家出发去学校，谁会早到？早到多长时间？
4．操作题 某公安局通过信号台发现在东偏北30°方向大约2000米的位置犯罪嫌疑人正在拨打手机，因而发现犯罪嫌疑人的行踪。请你在下面的图上标出犯罪嫌疑人的位置。
信息窗口 窗小信息多，浏览拓视野！
指南针的历史
指南针在起源上可推至战国时代，当时有一种称为“司南”的指南器具，是指南针的雏形。后来又出现了南宋的“罗盘”。指南针的发明并无确切的时间及发明者（在北宋曾公亮的《武经总要》中曾提及在行军时用“指南鱼”来帮助辨别方向）。北宋沈括的《梦溪笔谈》成为了解当时指南针发明的最佳参考资料。
2．位置与方向(2) （教材22～26页）
全解课标要求
目标指南
1．知道如何描述物体的位置与观测点的确定有关。体会物体的位置关系具有相对性。 2．能描述并绘制简单的路线图。 3．在解决问题的过程中，发展空间观念。 重难点
重点：理解物体的位置关系具有相对性。
难点：根据物体的方向和距离绘制简单的路线图。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！ 知识点一 位置关系的相对性
问题导入 北京和上海两地相距大约1067 千米。如右图：上海在北京的南偏东约30°的方向上，那么北京在上海的哪个方向上？
过程讲解
1．理解“上海在北京的南偏东约30°的方向上”
这一句话表明上海的位置是相对于北京来说的，因此要以北京为中心点，建立方向标，以北京为观测点测定上海在北京
的南偏东约30°方向上。
2．明确“北京在上海的哪个方向”
要确定北京在上海的哪个方向上，是以上海为参照物而言的，因此要以上海为观测点，建立方向标，并以上海这一位置为观测点测量出北京的方向。
3．观察中发现
上海在北京的南偏东30°的方向上，北京恰好在上海北偏西30°的方向上。由此可见，两地的位置关系是相对的，方向刚好相反，距离是一样的。
难点点拨
因为东与西、南与北是相对的，所以南偏东的相对位置就是北偏西。 归纳总结
如何描述物体的位置与观测点有关，观测点不同，物体位置的描述就不同。 知识点二 描述并绘制简单的路线图
问题导入 你能根据下面的路线图，说一说每一赛段所走的方向和路程吗？
过程讲解 1．明确行走路线
要想知道每一赛段所走的方向和路程，应先明确定向运动所行走的路线。本题中参赛者的行走路线为：起点→号点→2号点→终点。
2．明确每一赛段所走的方向及路程
(1)第一赛段：因为此赛段是从起点处向1号点走，所以应以起点为观测点，建立方向标，测量出1号点在起点的哪个方向，再看起点到1号点之间的路程是几个50米，进而算出所行路程。测量得知l号点在起点北偏东45°方向上，距离起点是200米。因此，第一赛段是从起点向北偏东45°方向行走200米到达1号点。
(2)第二赛段：此赛段的起点是1号点，2号点在1号点的哪个方向，就从1号点向哪个方向走，因此，要以1号点为观测点，建立方向标，相对1号点测出2号点的具体位置。通过测量得知2号点在1号点的西偏北30°方向上，距离1号点是150米。因此，第二赛段是从1号点向西偏北30°方向行走150米到达2号点。
(3)第三赛段：同上方法，以2号点为观测点，建立方向标，测量出终点相对于2号点的方向与距离。第三赛段是从2号点向西偏南40°方向行走250米到达终点。
3．描述运动路线图
由起点出发向东北方向走200米到达1号点，再由l号点出发向西偏北30°方向行走150米到达2号点，最后由2号点向西偏南40°的方向行走250米到达终点。
归纳总结
描述路线图时，要先按行走路线确定每一个观测点，然后，以每一个观测点为参照，描述到下一个目标行走的方向和路程。
误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！
误区一 甲地在乙地的东偏北30°方向900米处，也可以说乙地在甲地的西偏南60°方向900米处。 错解分析 此题错在对位置的相对性理解不好，对角的度量知识掌握不扎实。此类题画图理解更直观。 甲、乙两地的位置关系如下图：
正确解答 甲地在乙地的东偏北30°方向900米处，也可以说乙地在甲地的西偏南30°方向900米处。 温馨提示
两地的位置具有相对性，以这两个不同地点为观测点描述对方所在地的方向时，方向正好相反（东→西，北→南，东偏北→西偏南）。
误区二 画出活动中心与幼儿园的位置。 (1)活动中心在广场的西偏北20°方向50米处。 (2)幼儿园在活动中心的南偏东40°方向100米处。
明明的画法是：错解分析
此题错在审题不够认真。幼儿园的位置是相对于活动中心而说的，就应以活动中心为观测点建立方向标来确定幼儿园的位置。
正确解答温馨提示
确定物体的位置，观测点一定要找准。 考点题库 基础对点练，轻松来过关！ 1．重点题 填一填。
(1)B点在A点的_________偏______________方向上，距离是__________。 (2)A点在B点的_________偏______________方向上，距离是__________。 (3)两点的位置是____________的，方向___________，距离___________。 2．易错题 根据路线示意图，补充所走的方向和路程。
一位小朋友从动物园门口向_________偏____________的方向走__________米到达孔雀馆，然后向_________偏_______的方向走__________米到达熊猫馆，再向_______方向走__________米到达老虎馆，然后向_______方向走_______米到达大象馆，最后向________偏_________的方向走_________米到达动物园门口。
3．难点题 假设某校大门在教学楼的正南方向50米处，图书馆在大门北偏西40°方向100米处，操场在图书馆西偏南30°方向150米处。请在下图中标出各建筑物的位置。
4．变式题 根据下面的路线图，说说乐乐上学和放学回家所走的方向和路程。
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！
例1 小奇家在学校北偏西40。方向500米处，小民家在学校东偏北30°方向300米处，如果从小奇家去小民家，该向哪个方向走？大约走多远才能到达小民家？
分析 所求问题也就是问小民家在小奇家的哪个方向，距离小奇家有多远。要想解决这个问题首先必须确定小民家和小奇家的具体位置。位置确定了，就可以以小奇家为观测点，测量出小民家所在方向及距离。具体作法如下：
(1)先以学校为观测点建立方向标，在左下角标注单位长度，图上0.4厘米代表实际100米的距离。根据小奇家在学校的北偏西40°方向500米处，以学校为起点向北偏西40。方向画一条2厘米长的线段，代表500米。用同样方法确定小民家的位置。
(2)连接小奇家和小民家两个点，再以小奇家为观测点建立方向标，用量角器的中心点对准小奇家的点，0刻度线对准正东方向，小奇家和小民家的连线向南偏20°，说明小民家在小奇家东偏南20°的方向上，再用直尺量这条线段，接近2.4厘米。因为0.4厘米代表实际距离100米，所以从小奇家去小民家大约走600米。
解答 从小奇家去小民家，该向东偏南20°的方向大约走600米。 总结
在平面图上确定物体位置与方向关键要做到三点：(1)确定好观测点及单位长度；(2)找准方向；(3)线段上每一段的长度要与图例中的单位长度统一。
例2 281路公共电车从起点站向东偏北30°方向行驶4千米后，再向东行驶5千米，最后向东偏南40°方向行驶2千米到达终点站。根据描述，把电车行驶的路线图画完整。
分析 281路公共电车向东偏北30方向行驶4千米到达A处，即在起点的东偏北30°方向上画4个格，标上A点；再以A处为起点，向东行驶5千米°到达B处，即在A点的正东方向上画5个格（每格长度同上），标上B点；最后以B处为新的起点，在B点的东偏南40°方向上画2 个格标上终点站。
解答
总结
以谁为观测点就以谁为中心画出方向标，然后判断出另一点的方向和距离。 赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1.创新题 填一填，算一算。
(1)学校西南方是小明的家，小明的家距学校有（ ）米。如果他每分钟走50米，那么他每天上学要用（ ）分钟。 (2)超市在小明家的西方，距小明家有（ ）米。 (3)公园的东南方是小明家，距小明家有（ ）米。 2.实践题
(1)长春在成都的什么方向上？成都在长春的什么方向上？ (2)拉萨在昆明的什么方向上，两地间的距离大约是多少千米？ (3)一辆普通列车每小时可行116千米，从昆明到拉萨大约需要几小时？
3．操作题 125路公共电车从起点向东偏南40°方向行驶3千米后，再向西行驶6千米，最后向东偏北20°方向行驶2千米到达终点。根据描述，把电车行驶的路线图画完整。
4．思维训练题 小明从家出发，先向东偏北30°的方向跑了400米到达A点，接着向北偏西30°的方向跑了200米到达B点，然后又向西偏南30°的方向跑了400米到达C点，这时小明离家多少米？
趣味数学
距离有多远
明明和欣欣在同一所学校上学。明明家在学校西偏北40°的方向上，距离学校400米，欣欣家在学校东偏南40°的方向上，距离学校600 米。明明从家出发经过学校去欣欣家要走多远的路？
分析 解答此题的关键是确定好明明家、学校、欣欣家三点的位置关系。（如下图）
作图发现三点在一条直线上。 解答 400+600=1000（米）
答：明明从家出发经过学校去欣欣家要走1000米的路。
三 运算定律与简便计算 1．加法运算定律（教材27～32页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1．探索和理解加法交换律、结合律，并能运用这些运算定律进行一些简便运算。 2．能根据具体情况选择合适的算法，发展思维的灵活性。 3．感受数学与现实生活的联系。 重难点
重点：理解运算定律，并能进行简便运算。 难点：灵活应用运算定律进行计算。 全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！ 知识点一 加法交换律
问题导入 李叔叔准备骑车旅行一个星期。今天上午骑了40千米，下午骑了56千米。李叔叔今天一共骑了多少千米？ 过程讲解 1．分析解答
求李叔叔今天一共骑了多少千米，就是求上午和下午一共走的路程。 列式是：40+56=96(千米)或56+40=96(千米)。 要点提示
为便于理解运算定律，解题时列不同算式计算。 2．观察发现
(1)两道算式的得数相同，所表示的都是李叔叔今天一共走的路程，因此两道算式之间可用等号连接，即40+56=56+40。 (2)观察40+56=56+40发现，等号左、右两边的加数相同，只是交换了位置，但结果不变。由此得出结论：交换加数的位置，和不变。
3．验证结论，理解加法交换律
(1)验证：是否所有的加法算式交换加数的位置，和都不变呢？可以举例验证。如： 0+100 =100 100+0 =100=> 0+100=100+0： 1+78=79 78+1=79 => 1+78=78+l:
25+37=62 37+25=62 => 25+37=37+25„„ 知识延伸
两个数相加，相当于计数。无论是先数第一个数，再数第二个数，还是先数第二个数，再数第一个数，结果都一样。“计数的结果与计数的顺序无关”是计数公理。
(2)结论：任意两个数相加，交换加数的位置，和不变。这就是加法的交换律。 4．用字母表示定律
在数学当中通常运用字母表示定律，如果用a、b分别代表两个加数，则加法交换律就可以表示为：a+b=b+a（a、b代表任意的数）。用字母表示定律更直观、更方便。
归纳总结
加法交换律：两个加数交换位置，和不变。用字母表示是：a+b=b+a。 拓展提高
(1)若干个数相加，任意交换加数的位置，和不变。a+b+c=a+c+b，如37+25+43=37+43+25=80+25=105。
(2)在加减混合运算中，带着数字前面的运算符号交换加数、减数的位置再进行计算，其结果不变。a+b-c=a-c+b（a>c），如57+78-37=57-37+78=20+78=98。
知识点二 加法结合律
问题导入
过程讲解
1．分析、列式
求三天一共骑了多少千米，就是求“第一天所行的路程十第二天所行的路程十第三天所行的路程”是多少。列式为：88+104+96。
方法提示
已知各部分量，求总量，用加法计算。
2．算法探究
方法一：按从左到右的顺序运算。
88+104+96
=192+96
=288(千米)
方法二：观察算式中的三个加数，发现104加上96正好得整百数，所以可以先把104和96加起来，再用88加上它们的和。 88+104+96
=88+(104+96)
=88J-200
=288（千米）
要点提示
要改变运算顺序，如果不采用交换律，需借助小括号来完成。
3．观察、比较
(1)不同点：运算顺序不同，方法一是先把前两个数相加，再加上第三个数；方法二是先把后两个数相加，再与第一个数相加。
(2)相同点，计算结果相同。
(3)结论：(88+104)+96=88+(104+96).
4．验证结论，理解加法结合律
(1)验证：是否所有的连加算式改变运算顺序得数都不变呢？可以举例验证。如69+172)+28=69+(172+28)，
155+(145+207)=(155+145)+207„„
(2)发现：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。这叫做加法结合律。
5．用字母表示定律
如果用a、b、c代表三个任意的数，用字母表示加法结合律是：(a+b)+c一a+(b+c)。
归纳总结
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示：（a+b）+c=a+(b+c)。 拓展提高
在加、减混合运算中，有时为了计算简便，可以把加数、减数用括号结合起来。当加号语面添括号时，原来的加数、减数都不变；当减号后面添括号时，则原来的减数变加数，加数变减数。用字母表示为：a+b-c=a+(b 一c)(6>c)，如71+56-26=71+(56-26) =71+30=101;a-b+c=a- (6一c)(6>f)，如71-56+26=71-(56-26)=71-30=41.
知识点三 加法交换律、加法结合律的应用
问题导入 下面是李叔叔后四天的行程计划。
按照计划，李叔叔在后四天还要骑多少千米？
过程讲解
1．分析、列式
要求李叔叔后四天还要骑多少千米，只要把后四天每天所行的路程加起来就可以了。
列式为115+132+118+85。
2．观察发现
115与85能凑成整百数，132与118也能凑成整十数，因此为了计算简便，可以运用加法交换律先将85与132交换位置，即：115+85+118 +132。再把能凑成整百、整十的两个数，根据加法结合律结合在一起，即写成：(115+85)+(132+118)。
3．列式解答
115+132+118+85
=115+85+132+118←加法交换律
=(115+85)+(132+118)←加法结合律
=200+250
=450（千米）
答：李叔叔在后四天还要骑450千米。
方法提示
加法交换律与加法结合律最大的区别是：交换律改变的是数的位置，结合律改变的是运算顺序。结合律的重要标志是小括号的应用。
归纳总结
在一个加法算式中，当某些加数可凑感墼士或鍪要翌时，运用加法交换律、加法结合律来改变运算顺序，可以使计算简便。
误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！
误区一 182+765+108
=182+108+765
=300+765
=10 65
错解分析 此题错在计算上的失误。182与108的和不是300，而是290。
正确解答 182+765+108
=182+108+765
=290+765
=1055
温馨提示
在进行加法简便运算时，有时两个数相加未必能凑成整百数，只能凑成整十数，因此要认真观察，准确计算。
24+127+476+573
=24+476-I-127+573
=500+700
=1200
错解分析 此题错在没有真正理解加法的运算定律。一要保证分别计算24加476和127加573得整百数，就要运用加法结合律分别把这两部分用小括号括起来，因为只有这样才能改变运算顺序。
正确解答 24+127+476+573
=(24+476)+(127+573)
=500+700
=1200
温馨提示
运用加法结合律时要注意把结合的两个数用括号括起来。
考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1．重点题 填空。
(1)交换( )的位置，( )不变，这是加法( )律。用字母表示是( )。
(2)加法结合律用字母表示为( )。
(3)根据运算定律把下列算式补充完整。
a+58=( )+( )
172+58+42+28=(172+ )+(42+ )
2．难点题 运用加法运算定律计算下面各题。
368+2649+1351 89+101+111
3．易错题 判断。（对的画“√”错的画“³”）
(1)127+(36-27) =127-27+36=136 ( )
(2)44+39+41- 56= (44+56)-(39+41) （ ）
(3)482+99=482+100+1=583 （ ）
4．变式题 一根铁丝第一次用去358米，第二次又用去250米，余下的一段比第二次用去的长242米。这根铁丝全长多少米？
5．考试题 计算2+4+6+8+„„+96+98。（2010²张家口）
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维、送你金钥匙！
例1 用简便方法计算256+249+251+246。
分析 算式中的几个加数都比较接近250，就可以把250作为基准数，然后把每个数都写成250加上几或250减去几的形式，再进行计算比较简便。
解答 256+249_}-251+246
=250+6+250P1+250+1+250-4
=250X4+(6-1+1-4)
=1000+2
=1002
总结
当几个数相加，加数都比较接近某一个数时，可以把这一个数作为基准数，看看有多少个这样的基准数，然后加上或减去比基准数多或少的数，求出结果。这种方法简称为基准数加法。
例2 计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-„+1990。
分析 观察此题发现2-3-4+5=0，6-7—8+9=O„„由此发现，除去第一个数1，从第2个数开始，每四个数的计算结果都是0。因为(1990—1)÷4=497„„1，所以2～1990中共有497组这样的四个数，还剩下1990没参加组合运算，注意，计算时别把1990丢掉。
解答 (1990 -1)÷4=497„„1表明这一列数从2～1990每四个数一组，还剩一个1990，中间每四个数的计算结果都是0。因此计算如下：
1+2-3-4_【-5+6-7-8+9+10-„+1990
= 1+(2-3—4+5)+(6—7-8+9)+(10-11-12+13)+„„+1990
=1+0+O+„+1990
=1+1990
=1991
总结
当计算一列数时，要仔细观察数据及运算上的特点，找出运算规律后，就能化繁为简、化难为易。
赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1．开放题 用简便算法计算下面各题。
999+99+9 156+153+155+152+148+147
2．探究题 用简便方法计算1234+3142+4321+2413。
3．潜能开发题 计算100+99-98-97+96+95-94-93+„+8+7-6-5+4+3-2-1。
趣味数学 趣题有趣解，细读可掌握！
巧算
1—2+3—4+„+97—98+99=？
正确孵答方法一：把算式倒写：
结果也是50。
2．乘法运算定律（教材33～38页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1．理解并掌握乘法交换律、结合律和分配律，并能运用定律进行一些简便的计算。
2．培养根据具体情况，选择算法的意识与能力。
3．感受数学与现实生活的联系，发展思维的灵活性。
重难点
重点：理解乘法运算定律'并能进行简便计算。
难点：灵活应用运算定律解决实际问题。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 乘法交换律
问题导入
负责挖坑、种树的一共有多少人？
过程讲解
1．分析解答
根据已知条件，有25个小组，每组里有4人负责挖坑、种树。求负责挖坑、种树的一共有多少人。也就是求25个4是多少，用乘法计算。列式为：25³4 =100（人）或4³25=100（人）。
2．比较算式，理解定律
观察25³4 =100和4³25 =100，发现两道乘法算式的因数相同，交换因数的位置，积不变。因此，可以得出25³4=4³
25。像这样，交换两个因数的位置，积不变，就叫做乘法交换律。
方法提示
以前乘法验算运用的就是乘法交换律。
3．用字母表示乘法交换律
如果用a、b分别代表任意的一个因数，则乘法交换律就可以用字母表示为：a³b=b³a。
4．比较加法交换律和乘法交换律的异同
(1)加法交换律：交换加数的位置，和不变。
(2)乘法交换律：交换因数的位置，积不变。
归纳总结
乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。用字母表示：a³b=b³a。
拓展提高
多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。如a³6³c³d³e=a³c³e³b³d=a³d³b³c³e。
知识点二 乘法结合律
问题导入 同学们去植树，一共有25个小组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。一共要浇多少桶水？
1．分析解答
解法一：先求一共植多少棵树，再求这些树一共浇多少桶水。
列式为：(25³5)³2=125³2=250（桶）
解法二：先求每组要浇多少桶水，再求25个小组共浇多少桶水。
列式为：25³(5³2) =25³10=250（桶）
2．比较发现
观察两种解法均是25、5、2三个因数相乘，不同的是第一个算式按从左到右的顺序直接计算，第二个算式是先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，但它们的得数却是相同的。因此，可把两个算式用等号连接，即(25³5)³2=25³(5³2)。
要点提示
第二种方法因为5³2得10，使计算简便些。
3．得出结论
三个数相乘，如果后两个数相乘能使计算简便些，就可以先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，所得的积不变。 归纳总结
乘法结合律：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示：（a³b）³c=a³(b³c)。
(1)一个数与两个数的商相乘，可以用这个数先与商里的被除数相乘，再除以商里的除数；或用这个数先除以商里的除数，再与商里的被除数相乘。用字母表示：a³(b÷c) =a³b÷c=a÷c³b。
(2)特殊数的乘积：5³2=10 25³4=100 125³8=1000 625³16=10000 75³4=300 25³8=200 375³8=3000 知识点三 乘法分配律
问题导入 同学们去植树，一共有25个小组，每组里有4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。一共有多少名同学参加了这次植树活动？
过程讲解
1．分析解答
解法一：先求出每组有多少人，再求一共有多少名学生。
列式为：(4+2)³25=6³25=150（人）
解法二：先求负责挖坑、种树的人数，再求负责抬水、浇树的人数，最后求参加植树活动的总人数。
列式为：4³25+2³25=100+50=150（人）
2．比较发现
比较(4+2)³25与4³25+2³25，发现这两道算式都含有乘法和加法两种运算，第一个算式是两个数的和与一个数相乘，第二个算式是把第一个算式中的两个加数分别与这个数相乘之后再相加。因为两种算法解决的是同一个问题，计算结果相同，因而两个算式也一定相等，即(4+2)³25=4³25+2³25。
3．明确乘法分配律
两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示：(a+b)³c=a³c+b³c。
归纳总结
乘法分配律是乘、加这两种运算之间的一种规律，而乘法交换律、结合律只是乘法运算内部的一种规律。
拓展提高
(1)两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，再把所得的积相减。用字母表示：(a-b)³c=a³c-b³c。
(2)多个数的和（或差）与一个数相乘，可以把这些数分别与这个数相乘，再相加（或相减）。用字母表示：（a±b±c）³m=a³m±b³m±c³m(m≠0)。
(3)两个数或几个数的和除以一个数，可以把和里的各个数分别除以这个数，再把它们的商相加。用字母表示：（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)。
(4)两个数的差除以一个数，可以用被减数、减数分别除以这个数，再把所得的商相减。用字母表示：(a-b)÷c=a÷c-b÷c。
知识点四 乘法运算定律的应艉
问题导入 你能运用乘法运算定律计算下面各题吗？
(1) 25³7³4 (2)35³125³8 (3)75³101
1．观察算式特点，选择算法
(1)观察25³7³4中的三个因数，发现如果先算25³4=100会更简便，因此可以运用乘法交换律把7和4交换位置后再计算。
(2)观察35³125³8发现，如果按从左到右的顺序计算，数字较大，计算起来较麻烦，而125乘8正好得1000，因此可以运用乘法结合律先把后两个数相乘，再与第一个数相乘。
(3)75³101运用笔算比较麻烦，因为101接近100，所以可以把101写成100加1的和。把75³101转化成75³(100+1)的形式，再运用乘法分配律计算就简便多了。
2．解答
(1) 25³7³4 (2)35³125³8 (3) 75³101
=25³4³7 =35³(125³8) =75³(100+1)
=100³7 =35³1000 =75³100+75³1
=700 =35000 =7500+75
=7575
归纳总结
运用乘法运算定律，可以使计算更简便。
误区警示 慧眼识真知．错误巧规避！
误区一 50³(4³5)
=50³4+50³5
=200+250
=450
错解分析 此题错在混淆了乘法结合律和乘法分配律。当三个数连乘时，只能运用交换律或结合律。同时此题用四则混合运算顺序计算比较简便，所以没有必要运用乘法运算定律。
正确解答 50³(4³5)
=50³20
=1000
温馨提示
只有运用运算定律能使运算简便时，才运用运算定律，否则直接按四则混合运算顺序计算。乘法结合律与乘法分配律的最大区别是乘法分配律必须在乘、加或乘、减两种运算中进行。
误区二 78³101
=78³10 0+1
=7800+1
=7801
错解分析 此题错在不能正确理解乘法分配律。78³101可以想成是101个78，也就是100个78与1个78的和。
正确解答 78³101
=78³(1OO+1)
=78³100+78³1
=7800+78
=7878
温馨提示
正确理解乘法分配律是运用好乘法分配律的前提。
考点题库 基础对点练。轻松来过关！
1．重点题 根据运算定律在( )里填上适当的数或字母。
(1)(a³b)³c=a³( )
(2)a³b=( )
(3)(a+6)³c=( )+( )
(4)11³( +18) =11³15+( )³18
2.难点题 不计算，把得数相等的式子用线连起来。
25³4³17 46³17 - 21³17
85³（30-28） (37+53)³18
37³18+53³18 85³30-85³28
(46 - 21)³17 25³(4³17)
3．易错题 在下面的○里填上“>”“
24³50○25³40 25³7³4○28³26
70³6○35³12 3³6³15○4³90
4.变式题 用简便方法计算。
39³8³5 (25 +11)³4 56³99+56
125³25³8³4 37³29+37+37³70
5．考试题 新兴小学新购进165套课桌椅，每张课桌66元，每把椅子34元。一共花了多少钱？（2010²上海）
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！
例1 计算25³32³125。
分析 此题按从左到右的顺序计算比较麻烦。但如果将32分成4³8，然后运用乘法结合律分别用4与25，8与125相乘，计算起来就简便多了。
解答 25³32³125
=25³(4³8)³125
=(25³4)³(8³125)
=100³1000
=100000
总结
在乘法计算中，也有“凑整”的计算。如：2³5=10，25³4=100，125³8 =1000。因此计算连乘算式时，当有的因数不具备“凑整”条件时，可以运用分解的方法，把一个因数分解为两个因数相乘的形式，使其中的因数与其他数的乘积“凑整”，这样会使计算更简便。
例2 计算28³11111+99999³8。
分析 观察此题，发现含有加法和乘法，便可想到如果两个乘法算式有共同的因数，便可逆用乘法分配律进行简算。999 99恰好是11111的9倍，因此可以把9999.9分解成11111³9的形式，这 样就可以把两个乘法算式中的相同因数11111提取出来，再进行简便运算。
解答 28³11111+99999³8
=28³11111+ (11111³9)³8
=28³11111+11111³(9³8)
=28³11111+11111³72
=11111³(28+72)
=11111³100
=1111100
总结
在乘加（或乘减）运算中，只有乘法中有相同的因数时，才可以逆用乘法分配律，有时为了计算简便，需要把几个乘法算式转化成含有相同因数的乘法算式。
赛点题库 勇敢来探索，风采尽展现！
1.探究题 用简便算法计算下面各题。
25³23³8 16³98+32 99³99+99 37³15+37³10³6+37³25
2.实践题 水果店运来苹果和橘子各80筐。苹果每筐25千克，橘子每筐16千克，水果店运来的橘子比苹果少多少千克？
3.开放题 请用两种简便算法计算125³64。
4.思维训练题 计算19999+9999³9999。
3．简便计算（教材39～47页）
第1课时 简便计算(1)（教材39～42页）
全解课标要求
目标指南
1.在理解和掌握加法运算定律的基础上，进一步学习整数四则混合运算中的一些简便计算。
2．根据运算特点和数据特点，灵活选用计算方法，解决生活中的实际问题。
3．培养选择最佳计算方法的习惯。
重难点
重点：掌握连减的简便算法。
难点：能根据运算特点和数据特点，灵活选用计算方法。
全解教材知识
知识讲解 名师到身边，亲自来指点！
知识点一 连减的简便计算
问题导入 一本书一共有234页，李叔叔昨天看了66页，今天又看了34页，还剩多少页没看？
过程讲解
1.分析解答
解法一：从总的页数中依次减去每天看的页数，就是还剩的页数。
列式为： 234-66-34
=168-34
=134(页)
解法二：先算出两天共看的页数，再用总的页数减去两天共看的页数，就是还剩的页数。
列式： 234 -( 66+34)
=234-100
=134(页)
解法三：从总的页数中先减去今天看的页数，再减去昨天看的页数，就是还剩的页数。
列式：234- 34 - 66
=200-66
=134（页）
2．比较、发现
(1)比较：比较三道算式，发现第1个算式是从总数中连续减去两个数；第2个算式则是从总数中减去两个数的和，它们所得的差是相同的；第3个算式与第1个算式比较，只是交换了一下减数的位置，差不变。
(2)发现：①从一个数中连续减去两个数，也就相当于从被减数中减去两个减数的和；
②在连减法中任意交换减数的位置，差不变。
(3)结论：234- 66- 34=234-(66+34)=234-34-66。
3．明确、理解减法性质
(1)比较：比较三道算式的计算过程，第1个算式是按从左到右的顺序计算的，并不简便；第2个算式因为66+34=100，所以计算起来比较简便；第3个算式因为234-34=200，计算起来也比较简便。
(2)发现：①当做连减算式时，要观察数的特点，如果减数的和可以凑成整十、整百、整千„„的数时，就可以把连减算式改写成被减数减去两个减数的和的形式，即：a-b-c=a-(b+c)；
②如果被减数减去与它不相邻的数能得到一个整十、整百、整千„„的数，也可以先交换减数的位置再计算，即：a-b-c=a-c-b。
归纳总结
减法的性质：(1)一个数连续减去两个减数，可以用这个数减去这两个减数的和，即：a一b一c=a一(b+c)。
(2)在连减运算中，任意交换减数的位置，差不变。即：a-b-c=a-c-b。
拓展提高
括号前面是加号，去掉括号，原括号内运算符号不变号；加号后面添括号，括号里面原运算符号不变号；括号前面是减号，去掉括号，原括号内的运算符号要变号即a-（b-c）=a-b+c;减号后面添括号，括号里面，原运算符号要变号即a-b+c=a-（b-c）。
知识点二 简算方法的多样化
问题导入
过程讲解
1.解决问题(1)
(1)理解句意：“总价在100元左右”是指总价接近100元，可以比100元多，也可以比100元少。
(2)解决问题：思路一：每三本书的价钱加起来同100元比较。
分析：四本书取三本共有四种情况，即：
①56元，31元，19元的书
②56元，31元，24元的书
③56元，19元，24元的书
④31元，19元，24元的书
方法提示
从四本书中每次去掉一本，取剩下的三本，就可以做到不重复，不遗漏。
解答 ① 56+31+19 ② 56+31+24
=56+(31+19) =56+24+31
=56+50 =80+31
=106（元） =111（元）
③56+19+24 ④ 31+19+24
=56+ 24+19 =50+ 24
=80+19 =74(元)
=99（元）
因为第①、第③两种取法都接近100元，所以《教育心理丛书》、《学生喜欢什么样的老师》、《怎样当一名好教师》这三本书与《教育心理丛书》、《怎样当一名好教师》、《新世纪对教师的挑战》这三本书的总价都在100元左右。
思路二：先算出四本书的总价，然后用总价分别减去每一本书的价格，所得的就是另外三本书的总价，再与100元进行比较。
解答 56+31+19+24
=(56+24)+(31+19)
=80+50
=130(元)
130 -19=111（元） 130-24=106（元）
130–31=99（元） 130-56=74（元）
因为106元、99元都接近100元，所以除去《新世纪对教师的挑战》外，其他三本书的总价在100元左右，或者除去《学生喜欢什么样的老师》外，其他三本书的总价也在100元左右。
(3)比较两种解题思路：第一种思路，计算步骤比较多，第二种思路：反向思考，更有利于问题的解决，计算起来也比较简便。
2．解决问题(2)
方法一：从100元中依次减去每套书的价钱，即100-48-47。
方法二：从100元中减去两套书的价钱之和，即100- (48+47)。
方法三：因为每套书价钱接近且少于50元，所以可以把100元分成两个50元去买每套书，即（50-48）+（50-47）。 解答 100-48-47 100-(48+47) (50-48)+(50-47)
=52-47 =100 - 95 =2+3
=5（元） =5（元） =5（元）
比较三种方法，前两种是解题的基本方法，第三种方法依据数的特点另辟蹊径，显得更灵活、更简便。
归纳总结
当分析、解决问题有很多解题策略时，要根据运算特点和数据的特点，采用最优策略，使计算更简便、合理。 误区警示 慧眼识真知．错误巧规避！
误区一 596-48+52
=596-(48+52)
=596-100
=496
错解分析 此题错在审题不认真，只看数据能否凑整，而忽略了算式的整体性。
正确解答 596-48+52
=596+52-48
=596+(52-48)
=596+4
=600
温馨提示
加、减混合运算中，要想交换数的位置，一定要连同数前面的运算符号一同交换；加括号时，如果括号前面是加号，括号里面不变号，如果括号前面是减号，括号里面要变号。
误区二 762-598
=762-600-2
=162 -2
=160
错解分析 此题错在没真正理解“凑整”的意义。把598看成600时，已经多减去一个2，就要再加上一个2。
正确解答 762-598
=762-600+2
=162+2
=164
温馨提示
在加法或减法计算中，当某个数接近整十、整百或整千时，可以把这个数先当成整十、整百、整千的数进行加、减，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加还要加，多减要加上，少减还要减”的原则进行处理。
考点题库 基础对点练。轻松来过关！
1．重点题 运用运算定律简便计算。 (1)46+35+65= +( +65)
(2)356-27-73=______○（______○______）
(3)478-43-78=______○_____○______
2．难点题 学校组织学生为“希望工程”捐书。四(1)班捐书58本，四(2)班捐书83本，四(3)班捐书72本，四(4)班捐书67本。问哪三个班捐书的总数最接近200本。
3．易错题 改正下面各题中的错误。
436-143-43一 改正：
=436-(143-43)
=436 -100
=336
338-55+45 改正：
=338- (55+45)
=338 -100
=238
4．变式题 请算一算，填一填。
蓝猫连锁商店营业额统计表
（单位：元）
5．考试题 怎样计算简便就怎样计算。（2010²牡丹江） 526- (352-374) 768-303 698-432+502-368
全解综合能力
能力讲解 激活巧思维，送你金钥匙！ 例1 计算5498-1928-387-1072-16130
分析 此题是一道连减算式，按从左到右的顺序计算，不够简便。再观察四个减数，发现1928和1072、387和1613相加能得到整千数，因此，运用减法的性质a-b-c=a- (b+c)。从被减数中连续减去两组减数的和会使计算更简便。
解答 5498-1928-387-1072-1613 =5498-1928-1072-387-1613 =5498- (1928+1072)-(387+1613) =5498-3000-2000 =5498-(3000+2000) =5498-5000 =498 总结
在简便计算中，包含着一种重要的思考问题的方法：给你一个算式，可以根据相关的运算定律或运算性质，或者改变运算顺序，或者凑整，或者拆整，从而变成一个使运算简便的算式。
例2 计算6230-1-2-3-„-76-77-78-79。
分析 根据减法的性质a-b-c=a-(b+c)，可将此题转化为6230一(1+2+3+„+78+79)。观察括号里面的数，发现这组数可以分成两个数相加和是整十数的形式，(1+79)+„
6230-1-2-3-„-76-77-78-79 =6230-(1+2+3+„+78+79) =6230-[(1+79)+„+(39+41)+40] =6230-(39³80+40) =6230-3160 =3070 提示
用加法运算律进行简便计算时，要仔细观察数据的特点，从而找到解决问题的最优方法。 赛点题库
1．探究题 计算。
475-(175+255) 376- (176-97)
347+(153-129) 947+(372-447)-572
2．开放题 一本故事书共有300页，丽丽上周看了95页，这周看了195页，丽丽还有多少页没看？（用不同的方法解答）
3．思维训练题 用简便方法计算1212-1111+1010-909+808-707+606。
趣味数学 趣题有趣解，细读可掌握！
巧算的应用
一节数学课上，老师问大家：“如果从公元1年算到2010年，你能算出所有偶数年份之和减去所有奇数年份之和的差吗？” 小东思考片刻，很快得出了准确的答案。聪明的同学们，你们会解答吗？
分析 本题可列式为(2+4+6+„+2010)-(1+3+5+„+2009)，两个括号内分别有1005个连续的偶数和奇数，将两个括号中的数两两分成一组，可组成1005个减法算式，原式就变成1005个减法算式的和。而每个减法算式的结果都是1，所以原式的结果就等于1005。
解答 (2+4+6+„+2010)-(1+3+5+„+2009) =(2-1)+(4-3)+(6-5)+„+(2010-2009)
„ 共个 =1005
第2课时 简便计算(2)（教材43～47页）
全解课标要求
目标指南 目标出现啦，我们抓住它！
1．在理解和掌握乘法运算定律的基础上，进一步学习整数四则混合运算中的一些简便计算。 2．根据运算特点和数据特点，灵活选用计算方法，解决生活中的实际问题。 3．提高选择最佳计算方法的能力。 重难点
重点：理解和掌握整数四则运算中的简便算法。 难点：灵活选择计算方法解决实际问题。
全解教材知识
知识讲解
知识点一 连除运算中的简便算法
问题导入 一共有25个小组，每个小组种了5棵树苗。购买树苗花了1250元，每棵树苗多少钱？ 1．分析解答
解法一：先算出每组买树苗花了多少元，再求出每棵树苗的钱数。
分析：由已知条件知道25个小组共花1250元，求一组买树苗花多少元，也就是把1250元平均分成25份，求一份是多少，用除法计算。又知道每组种5棵树苗，用每组买树苗花的总钱数除以每组种树苗的棵数，所得的便是一棵树苗的价钱。
以上分析过程也可用思路图表示：
列式为： 1250÷25÷5 =50÷5 =10(元)
解法二：先求出一共种了多少棵树苗，再求每棵树苗的价钱。
分析：已知有25个小组，每个小组种了5棵树苗，用乘法便可计算出树苗的总棵数。用总钱数除以树苗的总棵数即可求出每棵树苗的钱数。以上分析过程也可用思路图表示：
列式为： 1250÷(25³5) =1250÷125 =10(元) 2．比较、发现
(1)比较：1250÷25÷5是一个数连续除以两个数的形式，1250÷(25³5)是一个数除以两个数的乘积的形式。它们的计算结果是相同的，因此可以得出1250÷25÷5=1250÷(25³5)。
(2)发现：由此想到：一个数连续除以两个数等于用这个数除以这两个数的积。 归纳总结
(1)除法的性质：一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积，即a÷b÷c=a÷(b³c)。 (2)一个数连续除以几个数，任意交换除数的位置，商不变，即a÷b÷c÷d-a÷c÷b- d-a÷d÷b÷c。 拓展提高
在乘、除法混合运算中，有时为了计算简便，需要添小括号或去掉小括号。因此，一定要牢记：括号前面是乘号，去掉括号，括号里不变号。即：a³(b÷c)=a³b÷c；乘号后面添括号，括号里面不变号。即：a³b÷c=a³(b÷c)；括号前面是除号，去掉括号，括号里面要变号。即：a÷(b³c)=a÷b÷c或a÷(b÷c)=a÷b³c；除号后面添括号，括号里面要变号。即：a÷b÷c=a÷(b³c)或a÷b³c=a÷(b÷c)。
知识点二 乘、除法运算中常用的简便算法
问题导入
(1)王老师一共买了多少个羽毛球？ (2)买球一共花了多少钱？ (3)每枝羽毛球拍多少钱？ 过程讲解 1．解决问题(1)
(1)分析、列式：求王老师一共买了多少个羽毛球，先找到与问题相关的两个已知条件：买25筒羽毛球，每筒有12个羽毛球。求25个12是多少用乘法计算，即：12³25。
(2)探究算法：
方法一：观察算式12³25，发现25与4相乘得整百，而另一个数12恰好能分成3³4，因此原式可转化成(3³4)³25的形式。
解答：12³25=(3³4)³25=3³(4³25) =3³100=300（个）
方法二：观察算式12³25，发现25可以写成100÷4的形式，这样把两位数乘法转化成了能口算的乘法，计算就简便多了。 解答：12³25=12³100÷4=1200÷4=300（个） 或12³25=12³100÷4=12÷4³100=3³100=300（个）
方法三：根据积不变的规律：一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积不变。将12³25中的12除以4，25乘4，积保持不变。
解答：12³25=(12÷4)³(25³4)=3³100=300（个） 答：王老师一共买了300个羽毛球。 2．解决问题(2)
(1)分析、列式：求买球一共花了多少钱，先找到与问题相关的两个已知条件：买25筒羽毛球，每筒32元。求买球一共
花了多少钱也就是求25个32是多少，用乘法计算，列式为：25³32。
(2)探究算法：25³32与上题中的12³25比较，它们都是两位数乘两位数，且都有一个特殊的因数25。因此可以仿照12³25的简便算法解决此题。
方法一： 25³32 方法二： 25³32 =25³(4³8) =100÷4³32
=25³4³8 =100³32÷4 =100³8 =3200÷4 =800(元) =800(元) 方法三： 25³32
=(25³4)³(32÷4) =100³8 =800(元) 3．解决问题(3)
(1)分析理解：要求每枝羽毛球拍的价钱，需做到两点：①找到与问题相关的两个已知条件：5副羽毛球拍花330元；②明确每副与每枝的关系：每副中包含两枝。
(2)探究解法。
解法一：先求出一副的价钱，再求出一枝的价钱。 330÷5÷2 =330÷(5³2) =330÷10 =33（元） 方法提示
因为5³2=10，所以根据除法的性质n÷b÷c=a÷(b³c)可以使计算简便。 解法二：先求出5副共多少枝，再求一枝的价钱。 330÷(5³2) =330÷10 =33(元) 归纳总结
在乘法中，如果一个因数是25（或125），另一个因数正好是4（或8）的倍数，则将另一个因数分解成4（或8）与其他数乘积的形式，再利用乘法结合律先算25³4(或125³8)，这样会使计算简便；也可以把25 （或125）写成100÷4（或1000÷8）的形式，再进行口算也很简便；或者根据一个因数乘几，另一个因数除以相同的数，积不变的规律进行简便运算。
知识点三 乘加、乘减运算中常用的简便算法
问题导入
科考队这次考察一共花了多少时间？ 过程讲解 1．理解题意
要求科考队一共花了多少时间也就是求实际花的时间，即计算从3月1日开始到7月26日返回时的总天数。 2．探究解法
解法一：按月计算天数，根据已知的出发、返回时间，可以知道3、4、5、6月份都在野外考察，7月份有26天在野外考察。
因此可列综合算式：31³2+30³2+26。
观察算式发现此题中的31³2+30³2的运算形式恰好是乘法分配律a³c+b³c=(a+b)³c的形式，运用运算律会使计算更简便。所以可以运用乘法分配律，也可以把31、26分别看成30，再根据“少加的再加上，多加了要减去”的原则进行计算。
要点提示
3至6月中，3月、5月是大月，每月有31天；4月、6月是小月，每月有30天。 31³2+30³2+26 31³2+30³2+26 =(31+30)³2+26 =(30³2+2)+30³2+(30-4) =61³2+26 =30³(2+2+1)+2-4 =122+26 =30³5+2-4 =148（天） =150+2-4
=148（天）
解法二：如果按计划时间返回，则应有3个大月，2个小月的时间在野外，但计划比实际多用了5天，就减去5天。列综合算式：31³3+30³2-5。
31³3+30³2-5 =30³3+1³3+30³2-5 =30³(3+2)+3-5 =150+3 -5 =148（天）
解法三：按星期计算天数。一共有21个星期多1天，因此列式为：21³7+1。 21³7+1 =20³7+7+1 =140+7+1 =148（天）
答：科考队这次考察共花了148天。 3．比较三种方法
采用前两种方法关键要知道每月的天数，采用第三种方法关键是要准确数出星期数。因此，一定要细心才能把题做对。 难点点拨
一星期是7天，如果从3月1日数起,3月1日～3月7日是完整的一个星期。 归纳总结
(1)解决问题时，从不同的角度去思考，就会想到不同的解决方法。(2)乘加、乘减运算中，如果两个乘法算式有共同的因数，可逆用乘法分配律a³c±b³c=(a±b)³c进行简便运算。
拓展提高
在一个除加、除减的算式中，当除数相同时，可以运用a÷c±b÷c=(a±b)÷c使运算更简便。 误区警示 慧眼识真知，错误巧规避！ 误区一 500÷25³4 =500÷100 =5
错解分析 此题错在随意改变运算顺序，导致计算结果出现错误。 正确解答 500÷25³4 =20³4 =80 温馨提示
当乘除混合运算中不具备简算因素时，应按照从左到右的顺序计算。 误区二 简便计算15³21+15³78+15。 15³21+15³78+15 =15³(21+78)+15 =15³99+15
=1485+15 =1500
错解分析 此题虽然计算结果正确，但在简算过程中没有把第三项“15”看成15³1参与到简算中，而导致计算不是最简便。
正确解答 15³21+15³78+15 =15³21+15³78+15³1 =15³(21+78+1) =15³100 =1500 温馨提示
运用简便算法计算时，一定要仔细观察算式结构及数的特点，有时需将一个数转化成两数乘积的形式再进行简便计算。 考点题库 基础对点练，轻松来过关！
1．重点题 下列算式中应用了哪些运算定律及运算性质？ (1) 36³25³8=36³(25³8)____________________________ (2)33³12+67³12=(33+67)³12_________________________ (3)3600÷25÷8=3600÷(25³8)__________________________ (4)4³78³25=78³(4³25)______________________________ 2．难点题 下面各题怎样计算简便就怎样计算。 72³125 400÷25
56³7+45³7-7 9000÷125÷8
3．易错题 判断。
(1) 560÷28=560÷7÷4=20（ ） (2)45+45³6=45³(0+6)=270（ ） (3)25³71+8=25³8+71= 271（ ）
(4)72³45=9³8³5³9=(9³9)³(8³5)=81³40=3240（ ）
4．变式题 为预防甲型HIN1流感，某制药厂生产了8400支疫苗，每12支装一盒，每70盒装一箱，这些药一共可以装多少箱？
5．考试题 一个服装店一天共卖出80条裤子，上午卖出30条，每条68元，照这样计算，下午比上午多卖多少钱？（用两种方法解答）(2010²大庆)
全解综合能力
能力讲解
例1 计算1999³1998 -1998³1997 -1997³1996+1996³1995。
分析 观察算式，发现前两组乘法算式有共同的因数1998，后两组乘法算式也有共同的因数1996，因此可以逆用乘法分配律进行简算。
解答 1999³1998 -1998³1997-1997³1996+1996³1995 =1998³(1999-1997) -1996³(1997-1995) =1998³2-1996³2 =(1998-1996)³2 =2³2 =4 提示
在乘加、乘减中，找出相同因数，巧用乘法分配律是解答此类题的关键。 例2 计算(1999X 99+2000³100+1999+2000-1900)÷4000。
分析 通过观察我们发现算式中1999³99与1999两项中都含有1999，由此可利用乘法分配律a³c+b³c=(a+b)³c将此题进一步转化为1999³(99+1) =1999³100，而2000-1900 =100，原题此时已转化成(1999³100+2000³100 +100)÷4000。仔
细观察，发现括号内的每一项中都含有100，可进一步利用乘法分配律转化此题为100³(1999+2000+1)÷4000=100³4000÷4000，即可求出结果。
解答 (1999³99+2000³100+1999+2000-1900)÷4000 =[1999³(99+1)+2000³100+2000-1900]÷4000 =(1999³100+ 2000³100+100)÷4000 =100³(1999+2000+1)÷4000 =100³4000÷4000 =100 总结
进行简算时，要观察好数字的特点及算式的结构，准确应用运算定律进行简算。 赛点题库
1.探究题 用简便方法计算下面各题。
4004³25 980000÷25÷25÷4÷4 126³72 123³456÷123÷456
2．实践题 上海世博会从2010年5月1日开幕，到10月31日闭幕一共要经过多少天？
3．开放题 李伯伯家门前有一条甬路（如下图），这条甬路的面积是多少平方米？
4．思维训练题 计算99999³77778+66666³33333。
趣味数学 趣题有趣解，细读可掌握！
综合应用：营养午餐（教材48--49页）
全解目标要求
1．通过探究活动，经历判断、选择的过程，综合运用简单的排列组合、统计等相关知识解决问题。
2．通过了解各种菜肴中热量、脂肪、蛋白质的含量和营养午餐的一些基本指标，克服偏食、挑食的毛病，养成科学饮食的习惯。
3．通过小组间合作，体会数学在日常生活中的应用价值，增强应用数学的意识。
全解活动过程
学校食堂的午餐菜谱每天都在变化，你知道变化的依据是什么吗？今天我们以“营养午餐”为主题，来探究一下其中的奥秘。
活动一 判断菜肴搭配是否符合营养标准
判断民主路小学为学生提供的三种午餐菜谱是否符合营养标准。 （一）了解午餐菜谱的营养含量 1．认识菜谱（如下图）。
(1)认读菜名：炸(zha)鸡排、香菇(gu)油菜、土豆炖(dun)牛肉、韭(jiu)菜豆芽。
(2)分清荤素：菜谱中菜肴要荤素搭配合理，既有荤菜：肉类、蛋类，又要有素菜：蔬菜、水果类。如菜谱C中辣子鸡丁和土豆炖牛肉为肉类，韭菜豆芽为蔬菜类。
2．菜谱中每种菜肴含有的主要营养成分（热量、脂肪、蛋白质）如下表。
说明：(1)热量、脂肪、蛋白质是食物中含有的三种主要营养成分。热量在这里指食物含有热能的多少；脂肪是有机化合物，存在于人体和动物的皮下组织以及植物体中；蛋白质是天然的高分子有机化合物，是构成生物活质的最重要部分，是生命的基础。(2)千焦是热量单位，克是质量单位。
提示
(1)营养含量表所列举菜肴营养成分的含量非固定值，随菜肴总量及菜肴中各原料的多少而变化。 (2)营养含量表比三种午餐菜谱多一种菜肴，是为后面活动准备的。 （二）判断午餐菜谱是否符合营养标准
1．为了让我们科学饮食，营养专家提出10岁左右的儿童从每餐午饭菜肴中获取的热量应不低于2926千焦，脂肪应不超过50克。
2．根据10种菜肴的营养成分含量表，算出每种菜谱中热量和脂肪的含量。 菜谱A 热量：1254+899+911= 3064(千焦) 脂肪：19+15+11= 45（克）
菜谱B 热量：2462+1020+564=4046(千焦) 脂肪：25+16+12= 53（克）
菜谱C 热量：1033+1095+497=2625（千焦） 脂肪：18+23+7=48（克）
3．将每种菜谱中的营养成分含量同营养标准（热量≥2926千焦，脂肪≤50克）比较。 菜谱A 热量 3064千焦>2926千焦 脂肪 45克2926千焦 脂肪 53克>50克 菜谱C 热量 2625千焦
通过比较我们知道：菜谱A符合营养标准，菜谱B脂肪含量超标，菜谱C热量含量不达标。
我们会判断菜谱是否符合营养标准了，那么我们能自己搭配一种既喜爱吃又符合营养标准的菜谱吗？下面来尝试一下。
活动二 按营养标准搭配午餐菜肴
根据活动一中给出的10种菜肴，设计满足两个已知条件（热量不低于2926千焦，脂肪不超过50克）的配菜方案。（每种方案含三种菜肴）
活动过程
（一）任选三种喜爱吃的菜肴搭配，来检验营养含量是否符合标准
如选：炸鸡排、红烧鱼块、鸡蛋西红柿。首先，算出三种菜肴中热量和脂肪含量，热量：1254+1338+899=3491（千焦），脂肪：19 +17 +15=51 （克），然后同营养标准进行比较，3491千焦>2926千焦，51克>50克。
通过比较发现脂肪含量超标，说明这三种菜肴搭配不符合营养标准。 （二）正确设计符合标准的配菜方案
1．先选出两种菜肴，算出它们热量和脂肪的含量，如选：猪肉粉条、辣子鸡丁，热量：2462+1033= 3495（千焦），脂肪：25+18= 43（克）。
2．算出选取两种菜肴的营养含量与营养标准的差距。热量：3495-2926=569（千焦），脂肪：50-43=7(克)。 3．依据所求差距选取符合的菜肴。
选出符合所求营养差距的菜肴，定为第三种菜肴。如上述两种菜肴热量含量已符合标准（不低于2926千焦），可以只考虑选择脂肪含量不超过7克的菜肴，而10种菜肴中只有韭菜豆芽符合。配菜方案为：猪肉粉条、辣子鸡丁、韭菜豆芽。
说明：(1)如果符合条件的第三种菜肴多，就可以用每一种菜肴与前面两种菜肴进行搭配，组成多种搭配方案。 (2)如果没有符合条件的第三种菜肴，则改变前两种菜肴中的一种，重新搭配。
通过上述方法，符合营养标准的搭配方案有24种（括号中的数分别对应教材中列出的10种菜的编号）：1(1，4，10)、2(1，5，10)、3(1，6，10)、4(1,7,9)、5(1,7,10)、6(1, 8,10)、7(1, 9,10)、8(2,4,9)、9(2,5,7)、10(2,5,9)、11(2,5,10)、12(2,6,8)、13(2,6,9)、14(2,8,9)、15(3,5,10)、16 (3,8,9)、17 (4,5,6)、18 (4,5,7)、19 (4,5,9)、20(4,6,8)、21(4,8,9)、22(5,6,8)、23(5,6,9)、24(5,8,9).
这些合理搭配方案你最喜爱哪种？下面我们来选择一下。
活动三 选出5种喜爱的搭配方案进行整理分析
选出全班同学最喜爱的5种搭配方案填表并回答问题。（根据统计表，绘制出复式条形统计图，了解哪一种搭配获取的蛋白质最多）
活动过程
（一）选出全班同学最喜爱的5种菜肴搭配方案填入统计表 1．选出最受喜爱的5种搭配方案，统计人数。
在每人选出5种喜爱的搭配方案的基础上，整理记录原始数据。 2．将整理后的数据填入下表。如：
民主路小学四(1)班同学最喜爱的5种菜肴搭配方案
（二）根据统计表绘制复式条形统计图并回答问题 1．绘制复式条形统计图。
(1)根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线，作为纵轴（表示人数）和横轴（表示菜肴搭配方案）。
(2)在横轴上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔（根据菜肴搭配方案的多少和横轴画出的长度来分配）。 (3)在纵轴上确定单位长度，并标出数量的标记和计量单位（在上表中最多为7人，所以纵轴上可以用0.5厘米的长度表示1人，标出最大值是4.5厘米）。
(4)根据数据大小，画出长短不同的直条（用不同颜色的直条区分男生人数和女生人数），并在每个直条的顶端标上表示人数的数据。
(5)在统计图上方写上标题、制图日期及区分男、女生的图例。
民主路小学四(1)班同学最喜爱的5种菜肴搭配方案统计图
2．哪一种搭配方案获取的蛋白质最多？
将每种方案中蛋白质的含量求出，然后进行比较。 方案1 6+7+3 =16（克） 方案12 20+16+1=49（克） 方案16 11+13+7=31（克） 方案17 7+12+16=35（克） 方案23 12+16+7=35(克)
通过比较，第12种搭配方案获取的蛋白质最多。
活动四 调查偏胖或偏瘦人的饮食习惯并提出合理建议
活动内容
调查偏胖或偏瘦人的饮食习惯，提出合理建议。 活动过程
（一）问卷和现场调查
调查偏胖或偏瘦人的饮食习惯，可以采取问卷形式和现场调查形式。问题以最喜爱吃哪类（肉类、蛋类、蔬菜类）食物为主进行设计。
通过调查发现：偏胖人喜爱吃肉类食物的较多，因为肉类脂肪含量高，造成人偏胖；偏瘦人喜爱吃蔬菜类食物的较多，因为蔬菜类脂肪含量低，所以人偏瘦。
（二）明确偏胖或偏瘦的危害
偏胖人体内脂肪过多，易引发一些疾病。如：高血脂、高血压等。青少年过胖则影响身体的生长和发育，影响智力的发展。偏瘦人体内脂肪过少，会出现营养不良、记忆减退等症状。偏胖或偏瘦都会影响人体正常发育，尤其青少年。
（三）对偏胖或偏瘦人提出合理建议
建议偏胖人少吃含脂肪多的食物，多吃蔬菜。偏瘦人应多增加一些肉类食物，两种人都要经常参加体育锻炼。 通过本次实践活动，学会了合理搭配菜肴，知道了在生活中要不挑食、不偏食，要养成科学、合理的饮食习惯，只有这样，我们才能健康地成长、发育。
第三单元整理和复习（教材27～49页）
归纳重点知识