等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
平行四边形的性质定理和判定定理及其证明
一、一周知识概述
1、等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)．
2、等腰三角形性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3、等腰三角形的判定定理
两个角相等的三角形是等腰三角形．
4、等腰三角形判定定理的推论
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
5、直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
6、平行四边形的性质定理
定理1：平行四边形的对边相等．
定理2、平行四边形的对角相等．
定理3、平行四边形的对角线互相平分．
7、平行四边形的判定定理
定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
8、三角形中位线的性质定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
二、重难点知识 1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明．
2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点．
三、典型例题讲解
例1、如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE．
分析：因为DE=DF＋FE，即结论为BD＋EC=DF＋FE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立．
证明：∵DE∥BC(已知)， ∴∠3=∠2(两直线平行，内错角相等)．
又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DB=DF(等角对等边)．
同理可证EF=CE． ∴BD＋EC=DF＋EF，即BD＋EC=DE．
小结：过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交，所构成的三角形是一个等腰三角形，这是一个常见的构图，应熟练掌握．
例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？
如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．
解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，
想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．
证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．
又∵AE=AF，∴∠1=∠E． 又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，
∴∠3=∠E， ∴AG//EF， ∴EF⊥BC．
接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．
证明2：过A作AH⊥EF于H．
∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH． 又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．
又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C， ∴∠EAH=∠B， ∴AH//BC， ∴EF⊥BC．
小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．
证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．
∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．
又∵AB=AC，∴∠B=∠1． 又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，
∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE， ∴DE//MC，
∴EF⊥BC．
小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．
证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．
∵AE=AF， ∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°， ∴∠1=∠B，∴EN//BC， ∴EF⊥BC．
小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．
证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．
又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．
又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．
大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）． 证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．
又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，
∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，
∴EF⊥BC．
小结：本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，要注意灵活运用与牢固掌握相结合．
例3、如图，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ。 分析：在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
证明：∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ
例4、(2006·黄冈)如图所示，DB∥AC，且DB1
2AC，E是AC的中点．求证BC=DE．
分析：本题考查运用三角形中位线的性质、平行四边形的判定定理等进行证明．
证明：∵E是AC的中点， EC
1
212AC BDAC ∴EC=DB． ∵DB∥AC，∴DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC=DE．
例5、如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是AB，CD的中点，AD，BC的延长线分别与EF的延长线交于点H，G，求证∠1=∠2．
分析：本题的条件与结论较为分散，利用三角形中位线的性质定理将它们集中起来，有利于问题的解决． 证明：连接AC，取AC的中点M，连接MF，ME，
则ME，MF分别是△ABC和△CDA的中位线，
故ME∥BC且ME1
2BC ,MF∥AD且MF1
2AD
∴∠1=∠3，∠2=∠4．又∵AD=BC，∴ME=MF．∴∠3=∠4．∴∠1=∠2．
小结：(1)在有关平行四边形的证明问题中，常用到与全等三角形及平行线有关的公理、定理，需在学习过程中灵活应用和深入理解．
(2)在运用三角形中位线定理时，一定要注意中位线与它所平行的边之间的关系是“中位线平行于第三边并且等于它的一半”，这为线段之间关系的确定提供了一个依据．
等腰三角形的性质定理和判定定理及其证明
平行四边形的性质定理和判定定理及其证明
一、一周知识概述
1、等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)．
2、等腰三角形性质定理的推论
推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
3、等腰三角形的判定定理
两个角相等的三角形是等腰三角形．
4、等腰三角形判定定理的推论
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
5、直角三角形的性质定理
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
6、平行四边形的性质定理
定理1：平行四边形的对边相等．
定理2、平行四边形的对角相等．
定理3、平行四边形的对角线互相平分．
7、平行四边形的判定定理
定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
8、三角形中位线的性质定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
二、重难点知识 1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明．
2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点．
三、典型例题讲解
例1、如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于D，交AC于E．求证：BD＋EC=DE．
分析：因为DE=DF＋FE，即结论为BD＋EC=DF＋FE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立．
证明：∵DE∥BC(已知)， ∴∠3=∠2(两直线平行，内错角相等)．
又∵BF平分∠ABC，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴DB=DF(等角对等边)．
同理可证EF=CE． ∴BD＋EC=DF＋EF，即BD＋EC=DE．
小结：过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交，所构成的三角形是一个等腰三角形，这是一个常见的构图，应熟练掌握．
例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？
如图，已知△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．
解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，
想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线，如图．
证明1：过A作AG⊥BC于G．∵AB=AC，∴∠3=∠4．
又∵AE=AF，∴∠1=∠E． 又∵∠3＋∠4=∠1＋∠E，
∴∠3=∠E， ∴AG//EF， ∴EF⊥BC．
接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线，如图．
证明2：过A作AH⊥EF于H．
∵AE=AF，∴∠EAH=∠FAH． 又∵∠AB=AC，∴∠B=∠C．
又∵∠EAH＋∠FAH=∠B＋∠C， ∴∠EAH=∠B， ∴AH//BC， ∴EF⊥BC．
小彬也作出了一条辅助线，过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，如图．
证明3：过C作MC⊥BC交BA的延长线于M，则∠1＋∠2=90°．
∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠AFE．
又∵AB=AC，∴∠B=∠1． 又∵∠EAF=∠B＋∠1，∴∠EAF=2∠1，
∴2∠1=180°－2∠AFE，∴∠1＋∠AFE=90°，∴∠2=∠AFE， ∴DE//MC，
∴EF⊥BC．
小颖的作法是：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，如图．
证明4：过E作EN⊥EF交CA的延长线于N，则∠1＋∠2=90°．
∵AE=AF， ∴∠2=∠AFE，∴∠EAF=180°－2∠2．
又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EAF=∠B＋∠C=2∠B，∴2∠B=180°－2∠2，∴∠B＋∠2=90°， ∴∠1=∠B，∴EN//BC， ∴EF⊥BC．
小虎的作法是：过E点作EP//AC交BC的延长线于P，如图．
证明5：过E作EP//AC交BC的延长线于P，则∠AFE=∠2，∠3=∠P．
又∵AE=AF，∴∠1=∠AFE，∴∠1=∠2．
又∵AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠B=∠P，∴EB=EP，∴EF⊥BC．
大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）． 证明6：∵AE=AF，∴∠1=∠E．
又∵∠2=∠1＋∠E，∴∠2=2∠E．又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠2=180°－2∠B，
∴2∠E=180°－2∠B，即∠E＋∠B=90°，∴∠3=180°－90°=90°，
∴EF⊥BC．
小结：本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，要注意灵活运用与牢固掌握相结合．
例3、如图，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ。 分析：在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
证明：∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ
例4、(2006·黄冈)如图所示，DB∥AC，且DB1
2AC，E是AC的中点．求证BC=DE．
分析：本题考查运用三角形中位线的性质、平行四边形的判定定理等进行证明．
证明：∵E是AC的中点， EC
1
212AC BDAC ∴EC=DB． ∵DB∥AC，∴DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形，∴BC=DE．
例5、如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是AB，CD的中点，AD，BC的延长线分别与EF的延长线交于点H，G，求证∠1=∠2．
分析：本题的条件与结论较为分散，利用三角形中位线的性质定理将它们集中起来，有利于问题的解决． 证明：连接AC，取AC的中点M，连接MF，ME，
则ME，MF分别是△ABC和△CDA的中位线，
故ME∥BC且ME1
2BC ,MF∥AD且MF1
2AD
∴∠1=∠3，∠2=∠4．又∵AD=BC，∴ME=MF．∴∠3=∠4．∴∠1=∠2．
小结：(1)在有关平行四边形的证明问题中，常用到与全等三角形及平行线有关的公理、定理，需在学习过程中灵活应用和深入理解．
(2)在运用三角形中位线定理时，一定要注意中位线与它所平行的边之间的关系是“中位线平行于第三边并且等于它的一半”，这为线段之间关系的确定提供了一个依据．