三角形一边的平行线

三角形一边的平行线 教学目标 1. 通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线 的研究问题,并能熟练应用三角形一边的平行线性质定理. 2. 掌握三角形一边的平行线性质定理推论的应用. 3. 了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题. 教学重、难点1. 三角形一边的平行线性质定理的理解和应用. 2. 三角形的重心的性质. 考点及考试要求1.熟练掌握三角形一边的平行线性质定理及其应用；2.三角形重心的性质应用 教学内容 一、三角形一边的平行线 【探究问题 1】已知△ABC，直线 l 与边 AB、AC 分别相交于点 D、E，且 l ∥BC，试证明：AD AE  . DB EC证明：如图，分别联结 BE、CD.设点 E 到 AB 的距离为 h ,则A D ES EAD1 1 S AD  AD  h ， S EDB  DB  h ，得 EAD  2 2 S EDB DBBC同理可得：S EAD AE  S EDC EC∴ SEDB  SEDC∵DE∥BC 得AD AE  DB EC思考：利用比例的性质，还可以得到哪些比例线段？AD AE DB EC  ,  AB AC AB AC【探究问题 2】已知△ABC，直线 l 与边 AB、AC 的延长线分别相交于点 D、E，且 l ∥BC，试 证明：AD AE  . AB ACl'证明：如图，过点 D 作 AC∥ l ' 且交 BC 的延长线于点 C’ ，再过点 A AA ' ∥ DE l ' 作 交 于点 A’. ∵ AA'∥ BC 'A'C'AD DA '  ∴ AB A' C '又∵ AE  AD 'AC  A' C '∴AD AE  AB AC结论 1： （三角形一边的平行线性质定理） 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例。  两种类型 “A”字型 符号语言： ∵DE∥BC,A D EAD AE   BD EC AD AE DB EC  ,  AB AC AB AC“8”字型 符号语言：∵DE∥BC ∴BCAD AE  AB ACAD AE AB AC  ,  DB EC DB EC简记：上 上 上 上 下 下    ， ， 下 下 全 全 全 全【探究问题 3】已知△ABC，直线 l 与边 AB、AC 分别相交于点 D、E，且 l ∥BC，试证明：DE AD AE   . BC AB ACDA EBCBA, CA的延长线上时结论同样成 【探究问题 4】如图，当 DE在AB, AC的延长线上或立）？结论 2： （三角形一边的平行线定理推论） 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的 直线，截得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例。 符号语言：∵DE∥BC ∴DE AD AE   BC AB AC例 1. 如图， 在⊿ABC 中，DE∥BC， S⊿BCD：S⊿ABC=1：4，若 AC=2，求 EC 的长.AD BE C过关练习：如图，AD∥BC， OA : OC  1: 3 ， AB  8 ，求 PB 的值。例 2. 已知：如图 BE、CF 是△ABC 的中线，交于点 G 求证：GE GF 1   . GB GC 2AFGEBC过关练习： 在⊿ABC 中，D 是 AB 的中点，过点 D 的直线交边 AC 于点 E,交 BC 的延长线于点 F，求证：CF CE  BF AE例 3.如图梯形 ABCD 中，CD∥AB，CD 1  ，过 AC 中点 M 作 EF∥BD，BD=8，求 EF 的长． AB 3D E M A O F B C过关练习：在△ABC 中，AD:BD=1：1，AE :CE=1：2，BE 与 CD 交于点 P，则 BP：PE=二、三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.例 4.G 是△ABC 的重心， SABC 30 ，则 SGBD过关练习：如图 3 所示，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，点 D 是斜边 AB 的中点，当 G 是 Rt △ABC 的重心，GE⊥AC 于点 E，若 BC=6cm，则 GE= cm。三、考点例析考点 1：平行线分线段成比例 1.如图，在直角梯形 ABCD 中，DC∥AB， DAB  90 ，AC⊥BC，AC=BC, ABC 的平 分线分别交 AD、AC 于点 E、F，求BF 的值。 EF2.考点 2：黄金三角形 3.如图，在△ABC 中，AB=AC， A  36 ，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD 的长是4.如图，△ABC 顶角是 36°的等腰三角形（底与腰的比为5 1 的三角形是黄金三角 2形） ，若△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，已知 AB=4，则 DE=考点 3：重心的性质应用 5. 在△ABC 中，中线 AD、BE 相交于点 O，若△BOD 的面积等于 5，求△ABC 的面积。考点 4：综合应用 课后作业 一、选择、填空题1.如图，直线 l1 ∥l2 ∥l3 ，另两条直线分别交 l1、l2、l3 于点 A、B、C 及点 D、E、F,且 AB=3， DE=4，EF=2，则（ A.BC:DE=1：2 ） B.BC:DE=2：3 C. BC  DE  8 D. BC  DE  62.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 在 AC 边上，且 AE:EC=1:2，BE 交 AD 于 P，则 AP：PD 等于3.如图， AD 是△ABC 的中线， E 是 AD 的一点， 且 AE  则 AB=1 AD ， CE 交 AB 于点 F.若 AF=1cm， 34.如图 5，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，G 是重心，如果 AG=6，那么线段 DG=。5.如图 6， 在△ABC 中， G 是重心， 点 D 是 BC 的中点， 若△ABC 的面积为 6cm2， 则△CGD 的面积为 。二、解答题6.在△ABC 中，AD:BD=1:1，AE：CE=1:2，BE 与 CD 交于点 P，求 BP:PE 的值？7.思考题（静心思考，认真作答）课后习题参考答案1.D2. 1：13.5cm4. 5.3 1 cm26.7.（思考题）

三角形一边的平行线 教学目标 1. 通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线 的研究问题,并能熟练应用三角形一边的平行线性质定理. 2. 掌握三角形一边的平行线性质定理推论的应用. 3. 了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题. 教学重、难点1. 三角形一边的平行线性质定理的理解和应用. 2. 三角形的重心的性质. 考点及考试要求1.熟练掌握三角形一边的平行线性质定理及其应用；2.三角形重心的性质应用 教学内容 一、三角形一边的平行线 【探究问题 1】已知△ABC，直线 l 与边 AB、AC 分别相交于点 D、E，且 l ∥BC，试证明：AD AE  . DB EC证明：如图，分别联结 BE、CD.设点 E 到 AB 的距离为 h ,则A D ES EAD1 1 S AD  AD  h ， S EDB  DB  h ，得 EAD  2 2 S EDB DBBC同理可得：S EAD AE  S EDC EC∴ SEDB  SEDC∵DE∥BC 得AD AE  DB EC思考：利用比例的性质，还可以得到哪些比例线段？AD AE DB EC  ,  AB AC AB AC【探究问题 2】已知△ABC，直线 l 与边 AB、AC 的延长线分别相交于点 D、E，且 l ∥BC，试 证明：AD AE  . AB ACl'证明：如图，过点 D 作 AC∥ l ' 且交 BC 的延长线于点 C’ ，再过点 A AA ' ∥ DE l ' 作 交 于点 A’. ∵ AA'∥ BC 'A'C'AD DA '  ∴ AB A' C '又∵ AE  AD 'AC  A' C '∴AD AE  AB AC结论 1： （三角形一边的平行线性质定理） 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例。  两种类型 “A”字型 符号语言： ∵DE∥BC,A D EAD AE   BD EC AD AE DB EC  ,  AB AC AB AC“8”字型 符号语言：∵DE∥BC ∴BCAD AE  AB ACAD AE AB AC  ,  DB EC DB EC简记：上 上 上 上 下 下    ， ， 下 下 全 全 全 全【探究问题 3】已知△ABC，直线 l 与边 AB、AC 分别相交于点 D、E，且 l ∥BC，试证明：DE AD AE   . BC AB ACDA EBCBA, CA的延长线上时结论同样成 【探究问题 4】如图，当 DE在AB, AC的延长线上或立）？结论 2： （三角形一边的平行线定理推论） 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的 直线，截得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例。 符号语言：∵DE∥BC ∴DE AD AE   BC AB AC例 1. 如图， 在⊿ABC 中，DE∥BC， S⊿BCD：S⊿ABC=1：4，若 AC=2，求 EC 的长.AD BE C过关练习：如图，AD∥BC， OA : OC  1: 3 ， AB  8 ，求 PB 的值。例 2. 已知：如图 BE、CF 是△ABC 的中线，交于点 G 求证：GE GF 1   . GB GC 2AFGEBC过关练习： 在⊿ABC 中，D 是 AB 的中点，过点 D 的直线交边 AC 于点 E,交 BC 的延长线于点 F，求证：CF CE  BF AE例 3.如图梯形 ABCD 中，CD∥AB，CD 1  ，过 AC 中点 M 作 EF∥BD，BD=8，求 EF 的长． AB 3D E M A O F B C过关练习：在△ABC 中，AD:BD=1：1，AE :CE=1：2，BE 与 CD 交于点 P，则 BP：PE=二、三角形的重心定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.例 4.G 是△ABC 的重心， SABC 30 ，则 SGBD过关练习：如图 3 所示，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，点 D 是斜边 AB 的中点，当 G 是 Rt △ABC 的重心，GE⊥AC 于点 E，若 BC=6cm，则 GE= cm。三、考点例析考点 1：平行线分线段成比例 1.如图，在直角梯形 ABCD 中，DC∥AB， DAB  90 ，AC⊥BC，AC=BC, ABC 的平 分线分别交 AD、AC 于点 E、F，求BF 的值。 EF2.考点 2：黄金三角形 3.如图，在△ABC 中，AB=AC， A  36 ，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，若 AC=2，则 AD 的长是4.如图，△ABC 顶角是 36°的等腰三角形（底与腰的比为5 1 的三角形是黄金三角 2形） ，若△ABC、△BDC、△DEC 都是黄金三角形，已知 AB=4，则 DE=考点 3：重心的性质应用 5. 在△ABC 中，中线 AD、BE 相交于点 O，若△BOD 的面积等于 5，求△ABC 的面积。考点 4：综合应用 课后作业 一、选择、填空题1.如图，直线 l1 ∥l2 ∥l3 ，另两条直线分别交 l1、l2、l3 于点 A、B、C 及点 D、E、F,且 AB=3， DE=4，EF=2，则（ A.BC:DE=1：2 ） B.BC:DE=2：3 C. BC  DE  8 D. BC  DE  62.如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 在 AC 边上，且 AE:EC=1:2，BE 交 AD 于 P，则 AP：PD 等于3.如图， AD 是△ABC 的中线， E 是 AD 的一点， 且 AE  则 AB=1 AD ， CE 交 AB 于点 F.若 AF=1cm， 34.如图 5，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，G 是重心，如果 AG=6，那么线段 DG=。5.如图 6， 在△ABC 中， G 是重心， 点 D 是 BC 的中点， 若△ABC 的面积为 6cm2， 则△CGD 的面积为 。二、解答题6.在△ABC 中，AD:BD=1:1，AE：CE=1:2，BE 与 CD 交于点 P，求 BP:PE 的值？7.思考题（静心思考，认真作答）课后习题参考答案1.D2. 1：13.5cm4. 5.3 1 cm26.7.（思考题）