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单元评估检测(五)
第五章 (120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·昆明模拟) 设数列{an }的前n 项和为S n , 若S n =a n -, 则a n = ( ) A.2n B.3n C.2n-1 D.3n-1
【解析】选D. 在已知式中令n=1,得a 1
=a 1
-, 所以a 1=1,排除A,B; 令n=2,得a 1+a2=a 2-, 所以a 2=3,排除C, 所以选D.
【加固训练】(2015·武汉模拟) 已知数列{an }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =(1-an ), 则数列{an }的通项公式为( ) A.a n =C.a n =
B.a n = D.a n =3·
-
,
【解析】选B. 当n ≥2时,a n =Sn -S n-1=化简得2a n =-an +an-1, 即又由S 1=a1=
, 得a 1=.
=.
所以数列{an }是首项为, 公比为的等比数列. 所以a n =×
=
.
2. 已知数列{an }的前n 项和S n =n2-9n, 第k 项满足5
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A.9 B.8 C.7 D.6 【解析】选B. 此数列为等差数列,a n =Sn -S n-1=2n-10(n≥2), 由5
【加固训练】已知数列{an }的前n 项和为S n , 且a 1=1,an+1=3Sn (n≥1,n ∈N *), 第k 项满足750
A.8 B.7 C.6 D.5
【解析】选C. 依题意, 由a n+1=3Sn 及a n =3Sn-1(n≥2,n ∈N *), 两式相减得a n+1-a n =3(Sn -S n-1)=3an , 即a n+1=4an (n≥2),a 2=3,所以a n =a k 代入不等式750
, 则满足a n+1
, 将
A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C. 由a n+1
4.(2015·郑州模拟) 若数列{an }的通项公式是a n =(-1)n (2n-1),则a 1+a2+a3+„+a100= ( )
A.-200 B.-100 C.200 D.100
【解析】选D. 由题意知,a 1+a2+a3+…+a100=-1+3-5+7+…+(-1)100(2×100-1) =(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.
5.(2015·衡水模拟) 已知数列{an }的通项公式为a n
=pn+(p,q为常数), 且a 2=,a 4=, 则a 8= ( )
A. B. C. D.2
-=
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【解析】选B. 由题意知所以a 8=8p+=8×+=. 6. 已知数列
,
,
,
是 ( )
A.(19,3) B.(19,-3) C.(, ) D.(,-) 【解析】选C. 由a-b=8,a+b=11解得a=,b=. 【方法技巧】数列通项公式的一般求法
,
, „, 根据前三项给出的规律, 则实数对(a,b)可能
用观察—归纳—猜想—证明的方法, 找数列的通项公式时, 首先要注意观察各个式子的特征, 并据此把式子分解成几个部分, 然后各个击破, 对于正负相间的项, 用-1的指数式来予以调整.
7. 已知数列{an }为等差数列, 数列{bn }是各项均为正数的等比数列, 且公比q>1,若a 5=b5,a 2015=b2015, 则a 1010与b 1010的大小关系是 ( ) A.a 1010=b1010 B.a 1010>b1010 C.a 1010
=8. 数列{an }的通项a n =A.3
, 则数列{an }中的最大值是 ( )
=b1010, 故选B.
B.19 C. D.
, 运用基本不等式得
,
【解析】选C. 因为a n =
≤
, 由于n ∈N *, 不难发现当n=9或10时,a n =最大, 故选C.
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9. 已知数列{an }满足a 1=0,an+1=an +2+1,则a 13等于 ( )
A.143 B.156 C.168 D.195 【解析】选C. 由a n+1=an +2(
+1)2,
即
==
+1,可知a n+1+1=an +1+2
+1,故数列{
+1=
}是首项为1, 公差为
1的等差数列, 所以+12=13,则a 13=168.故选C.
【加固训练】已知数列{an }满足a 1=, 且对任意的正整数m,n, 都有a m+n=am ·a n , 若数列{an }的前n 项和为S n , 则S n 等于( ) A.2-C.2- B.2- D.2-
=a1=, 可知数列{an }是首项为a 1=, 公
=2×
=2-.
【解析】选D. 令m=1,得a n+1=a1〃a n , 即比为q=的等比数列, 于是S n =
=
10. 如果一个数列{an }满足a n+1+an =h(h为常数,n ∈N *), 则称数列{an }为等和数列,h 为公和,S n 是其前n 项和. 已知等和数列{an }中,a 1=1,h=-3,则S 2015等于
( )
A.3020 B.3021 C.-3020 D.-3021 【解析】选C. 由公和h=-3,a1=1,得a 2=-4,
并且数列{an }是以2为周期的数列, 则S 2015=1007(a1+a2)+a1=-3021+1=-3020. 【加固训练】设S n 为数列{an }的前n 项和, 若
(n∈N *) 是非零常数, 则称该数列
为“和等比数列”; 若数列{cn }是首项为2, 公差为d(d≠0) 的等差数列, 且数列{cn }是“和等比数列”, 则d= .
【解析】由题意可知, 数列{cn }的前n 项和为S n
=
, 前2n 项和为
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S 2n =列”, 即答案:4
, 所以==2+=2+. 因为数列{cn }是“和等比数
为非零常数, 所以d=4.
11. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞) 上的单调函数, 且对任意的正数x,y 都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an }的前n 项和为S n , 且满足f(Sn +2)-f(an )=f(3)(n∈N *), 则a n 等于( ) A.2n-1 B.n C.2n-1 D.
【解析】选D. 由题意知f(Sn +2)=f(an )+f(3)(n∈N *), 所以S n +2=3an ,S n-1+2=3an-1(n≥2), 两式相减得2a n =3an-1(n≥2), 又n=1时,S 1+2=3a1=a1+2,所以a 1=1,所以数列{an }是首项为1, 公比为的等比数列, 所以a n =
.
12. 已知函数f(x)= 数列{an }满足a n =f(n)(n∈N *), 且数
列{an }是单调递增数列, 则实数a 的取值范围是 ( ) A.(1,4) B.(4,8) C.(0,1) D.(1,+∞) 【解析】选B. 由题可知, 数列{an }单调递增, 则有
:
所以,4
【方法技巧】已知数列的单调性求解某个参数的取值范围, 一般有两种方法:(1)
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利用数列的单调性构建不等式, 然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决, 也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;(2)利用数列与函数之间的特殊关系, 将数列的单调性转化为相应函数的单调性, 利用函数的性质求解参数的取值范围, 但要注意数列通项中n 的取值范围.
二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请把正确答案填在题中横线上)
13.(2015·天水模拟) 已知数列{an }满足
:
n=2,3,4,„, 设b n =
+1,n=1,2,3,„, 则数列{bn }的通项公式是 .
+1,
【解析】由题意得, 对于任意的正整数n,b n =所以b n+1=
+1,
所以b n+1=2bn , 又b 1=a1+1=2,
所以{bn }是首项为2, 公比为2的等比数列, 所以b n =2n . 答案:b n =2n
【加固训练】若数列{an }满足a 1=1,an+1=an +2n , 则a n = . 【解析】由已知a n+1-a n =2n ,
故有a 2-a 1=2,a3-a 2=22,a 4-a 3=23, …,a n -a n-1=2n-1. 以上n-1个式子两边分别相加, 则有a n -a 1=2+22+23+…+2n-1=
=2n -2,
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所以a n =2n -2+a1=2n -1. 答案:2n -1
14.(2015·菏泽模拟) 已知数列{an }满足a 1=0,an+1
=a 20= .
【解析】由题意知,a 1=0,a2=-,a 3=
,a 4=0,a5=-.
,a 6=
, 从而数列{an }的各项
(n∈N *), 则
呈周期性排列, 周期为3, 所以a 20=a2=-答案:-
【加固训练】(2015·成都模拟) 数列{an }是等差数列,a 1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则此数列的前n 项和S n = . 【解析】由题意可得f(x+1)+f(x-1)=0, 即(x+1)2-4(x+1)+2+(x-1)2-4(x-1)+2=0, 解得:x=1或x=3,
当x=1时, 此时a 1=-2,a2=0,a3=2,则d=2,所以S n =n2-3n. 当x=3时,a 1=2,a2=0,a3=-2,则d=-2,所以S n =-n2+3n. 答案:n 2-3n 或-n 2+3n
15. 如图所示是一个树形图的生长过程, 依据图中所示的生长规律, 第15行的实心圆点的个数是
.
【解析】观察图中所示的生长规律, 发现:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实
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心圆点, 而1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点. 如果设第n 行的实心圆点的个数是a n , 空心圆点的个数是b n , 则a 1=0,b1=1,an+1=an +bn ,b n+1=an ,n ∈N *. 所以
a 1=0,a2=1,an+1=an +an-1, 从而{an }
为:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…, 故填377. 答案:377 【加固训练】
(2015·扬州模拟) 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形, 等腰直角三角形边上再连接正方形, „, 如此继续, 若共得到1023个正方形, 设初始正方形的边长
为为 .
【解析】设1+2+4+…+2n-1=1023,即列, 答案:
16. 已知数列{2n-1·a n }的前n 项和S n =9+2n,则数列{an }的通项公式为a n = . 【解析】因为S n =9+2n ①, 所以当n ≥2时,S n-1=9+2(n-1) ②, ①-②得2n-1a n =2,所以a n =
⎧11, n =1,
=2. 当n=1时,a 1=S1=9+2=11,不符合上式, 所以a n =⎨2-n
2, n ≥2. ⎩
2-n
, 则最小正方形的边长
=1023,2n =1024,n=10.正方形边长构成数
=, 即所求最小正方形的边长为.
, , …, 其中第10项为
⎧11,n =1,
答案:⎨2-n
⎩2,n ≥2
【方法技巧】含S n ,a n 问题的求解策略
当已知含有S n+1,S n 之间的等式时, 或者含有S n ,a n 的混合关系的等式时, 可以采用降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式,
两个等式相减就把问题转化为
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数列的项之间的递推关系式.
【加固训练】在数列{an }中,S n 为{an }的前n 项和,n(an+1-a n )=an (n∈N *), 且a 3=π, 则tanS 4= .
【解析】方法一:由n(an+1-a n )=an , 得na n+1=(n+1)an , 则3a 4=4a3, 又a 3=π, 故a 4=, 又由2a 3=3a2, 得a 2
=tanS 4=tan
=
.
=, 所以=
=
=…==,
, 由a 2=2a1, 得a 1
=, 故S 4=a1+a2+a3+a4
=
, 所以
方法二:由n(an+1-a n )=an , 得na n+1=(n+1)an , 即所以a n =n.
故S 4=a1+a2+a3+a4=(1+2+3+4)=tanS 4=tan答案:
=
.
,
三、解答题(本大题共6小题, 共70分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2014·江西高考) 已知数列{an }的前n 项和S n =(1)求数列{an }的通项公式.
(2)证明:对任意的n>1,都有m ∈N *, 使得a 1,a n ,a m 成等比数列. 【解题提示】(1)利用a n =Sn -S n-1(n≥2) 解决. (2)a1,a n ,a m 成等比数列, 转化为【解析】(1)当n=1时a 1=S1=1; 当n ≥2时a n =Sn -S n-1
,n ∈N *.
=a1〃a m .
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=
-=3n-2,
对n=1也满足,
所以{an }的通项公式为a n =3n-2. (2)由(1)得a 1=1,an =3n-2,am =3m-2, 要使a 1,a n ,a m 成等比数列, 需要
=a1〃a m ,
所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N *, 所以对任意n>1,都有m ∈N *使得即a 1,a n ,a m 成等比数列.
【加固训练】已知等比数列{an }的首项为1, 公比q ≠1,S n 为其前n 项和,a 1,a 2,a 3分别为某等差数列的第一、第二、第四项. (1)求a n 和S n . (2)设b n =log2a n+1, 数列
的前n 项和为T n , 求证:Tn
=a1〃a m 成立,
【解析】(1)因为a 1,a 2,a 3为某等差数列的第一、第二、第四项, 所以a 3-a 2=2(a2-a 1), 所以a 1q 2-a 1q=2(a1q-a 1), 因为a 1=1,所以q 2-3q+2=0, 因为q ≠1, 所以q=2, 所以a n =a1q n-1=2n-1. 所以S n =
=
=2n -1.
(2)由(1)知a n+1=2n , 所以b n =log2a n+1=log22n =n. 所以
=
=
.
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所以T n =
==
-
++++…
+
-+
+
18.(12分) 已知成等差数列的三个正数的和等于15, 并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn }中的b 3,b 4,b 5, (1)求数列{bn }的通项公式.
(2)设数列{bn }的前n 项和为S n , 求证:数列{Sn +}是等比数列. 【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意, 得a-d+a+a+d=15,解得a=5.
所以{bn }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d.依题意, 有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-3(舍去).
故b 3=5,公比q=2,由b 3=b1〃22, 即5=b1〃22得b 1=.
所以{bn }是以为首项,2为公比的等比数列, 其通项公式为b n =〃2n-1=5〃2n-3. (2)数列{bn }的前n 项和S n =
=5〃2n-2-, 即S n +=5〃2n-2.
所以比数列.
因此{Sn +}是以为首项, 公比为2的等
【误区警示】关于等差(比) 数列的基本运算, 其实质就是解方程或方程组, 需要认真计算, 灵活处理已知条件. 容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误, 特别是利用因式分解求解方程的根时, 不注意对根的符号进行判断; 二是
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不能灵活运用等差(比) 数列的基本性质转化已知条件, 导致列出的方程或方程组较为复杂, 增大运算量.
19.(12分) 设数列{an }满足a 1=2,a2+a4=8,且对任意的n ∈N *, 都有a n +an+2=2an+1. (1)求数列{an }的通项公式.
(2)设数列{bn }的前n 项和为S n , 且满足S 1·S n =2bn -b 1,n ∈N *,b 1≠0, 求数列{an b n }的前n 项和T n .
【解析】(1)由n ∈N *,a n +an+2=2an+1, 知{an }为等差数列, 设公差为d. 因为a 1=2,a2+a4=8,所以2×2+4d=8,解得d=1. 所以a n =a1+(n-1)d=2+(n-1)〃1 =n+1.
(2)由n ∈N *.S 1S n =2bn -b 1, 得, 当n=1时, 有
=2b1-b 1=b1,
因为b 1≠0, 所以b 1=1,Sn =2bn -1, ① 当n ≥2时,S n-1=2bn-1-1, ② 由①-②得,
S n -S n-1=2bn -1-(2bn-1-1)=2bn -2b n-1 即n ≥2时,b n =2bn -2b n-1, 所以b n =2bn-1,
则数列{bn }是首项为1, 公比为2的等比数列,b n =2n-1. 所以a n 〃b n =(n+1)〃2n-1. 由数列{an b n }的前n 项和为T n , 得
T n =2+3×2+4×22+…+n〃2n-2+(n+1)〃2n-1. ③ 2T n =2×2+3×22+4×23+…+n〃2n-1+(n+1)〃2n , ④
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③-④得,
-T n =2+2+22+…+2n-1-(n+1)〃2n =1+
-(n+1)〃2n =-n〃2n ,
T n =n〃2n , 即数列{an b n }的前n 项和为n 〃2n .
【加固训练】已知等差数列{an }的前n 项和为S n 且满足a 2=3,S6=36. (1)求数列{an }的通项公式.
(2)若数列{bn }是等比数列且满足b 1+b2=3,b4+b5=24.设数列{an ·b n }的前n 项和为T n , 求T n .
【解析】(1)因为数列{an }是等差数列. 所以S 6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36,则a 2+a5=12, 由于a 2=3,所以a 5=9,从而d=2,a1=a2-d=1, 所以a n =2n-1.
(2)设{bn }的公比为q, 因为b 1+b2=3,b4+b5=24. 所以
=q3=8.则q=2.
从而b 1+b2=b1(1+q)=3b1=3,
所以b 1=1,bn =2n-1, 所以a n 〃b n =(2n-1)〃2n-1.
所以T n =1×1+3×2+5×22+…+(2n-3)〃2n-2+(2n-1)〃2n-1. 则2T n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)〃2n-1+(2n-1)〃2n .
两式相减, 得(1-2)Tn =1×1+2×2+2×22+…+2〃2n-2+2〃2n-1-(2n-1)〃2n . 即-T n =1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)〃2n =1+2(2n -2)-(2n-1)〃2n =(3-2n)〃2n -3. 所以T n =(2n-3)〃2n +3.
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20.(12分) 设数列{an }的前n 项和S n =aqn +b(a,b为非零实数,q ≠0且q ≠1). (1)当a,b 满足什么关系时,{an }是等比数列?
(2)若{an }为等比数列, 证明:以(an ,S n ) 为坐标的点都落在同一条直线上. 【解析】(1)因为S n =aqn +b,所以n ≥2时,a n =Sn -S n-1=(aqn +b)-(aqn-1+b) =a(q-1)qn-1,
所以
故若数列{an }是等比数列, 只要a 1=S1=aq+b符合a n =a1(q-1)qn-1的形式即可. 所以aq+b=a(q-1)〃q 0, 所以a+b=0. 所以当a+b=0时, 数列{an }是等比数列. (2)当{an }是等比数列时,S n =aqn -a, a n =a(q-1)qn-1,a 1
=a(q-1),
即以(an ,S n ) 为坐标的点都落在恒过点(a1,S 1) 且斜率k=
的直线上.
【加固训练】设数列{an }的前n 项和为S n , 其中a n ≠0,a 1为常数, 且-a 1,S n ,a n+1成等差数列.
(1)求{an }的通项公式.
(2)设b n =1-Sn , 问:是否存在a 1, 使数列{bn }为等比数列? 若存在, 求出a 1的值; 若不存在, 请说明理由.
【解析】(1)依题意, 得2S n =an+1-a 1, 当n ≥2时, 有a n+1=3an (n≥2).
两式相减, 得
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又因为a 2=2S1+a1=3a1,a n ≠0, 所以数列{an }是首项为a 1, 公比为3的等比数列. 因此a n =a1〃3n-1(n∈N *). (2)因为S n =
=
-, 所以b n =1-Sn =1+-.
要使{bn }为等比数列, 当且仅当1+a 1=0,即a 1=-2, 所以存在a 1=-2,使数列{bn }为等比数列.
21.(12分) 已知公差大于零的等差数列{an }的前n 足:a3·a 4=117,a2+a5=22. (1)求通项a n .
(2)若数列{bn }是等差数列, 且b n =, 求非零常数c.
(3)求f(n)=
(n∈N *) 的最大值.
【解析】(1){an }为等差数列, 所以a 3+a4=a2+a5=22. 又a 3〃a 4=117,
所以a 3,a 4是方程x 2-22x+117=0的两实根. 又公差d>0,所以a 3
⎧a 1+2d =9, ⎩a 所以⎧⎨a 1=1,
1
+3d =13, ⎩d =4, 所以a n =4n-3.
(2)由(1)知S n =n〃1+〃4=2n2-n,
所以b n =
=, 所以b 1=
,b 2=
,b 3=
因为{bn }是等差数列, 所以2b 2=b1+b3.
项和为S n , 且满
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即〃2=+, 所以2c 2+c=0,
所以c=-(c=0舍去). 故c=-. (3)由(2)得b n =所以f(n)==
=
≤=
=2n, =,
当且仅当n=, 即n=6时取等号, 所以f(n)m ax=. 即f(n)的最大值为.
【加固训练】(2015·凤阳模拟) 已知数列{an }的前n 项和为S n ,a 1=, S n =n2a n -n(n-1),n=1,2,„. (1)证明:数列(2)设b n =
是等差数列, 并求S n . , 求证:b1+b2+„+bn
【解析】(1)由S n =n2a n -n(n-1)知, 当n ≥2时,S n =n2(Sn -S n-1)-n(n-1), 即(n2-1)S n -n 2S n-1=n(n-1),所以又所以(2)bn ==
S 1=1,所以
S n -S n-1=1,对n ≥2成立.
是首项为1, 公差为1的等差数列.
.
S n =1+(n-1)〃1, 所以S n =
=,
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所以b 1+b2+…+bn
=
-+-+…+-+
-=
22.(12分) 设a 是一个自然数,f(a)是a 的各位数字的平方和, 定义数列{an }:a1是自然数,a n =f(an-1)(n∈N *,n ≥2). (1)求f(99),f(2014). (2)若a 1≥100, 求证:a1>a2. (3)求证:存在m ∈N *, 使得a m
(2)假设a 1是一个n 位数(n≥3), 那么可以设a 1=bn 〃10n-1+bn-1〃10n-2+…+b3〃102+b2〃10+b1,
其中0≤b i ≤9且b i ∈N(1≤i ≤n), 且b n ≠0. 由a 2=f(a1) 可得a 2=
+
-1
+…+++.
a 1-a 2=(10n-1-b n )b n +(10n-2-b n-1)b n-1+…+(102-b 3)b 3+(10-b2)b 2+(1-b1)b 1, 所以a 1-a 2≥(10n-1-b n )b n -(b1-1)b 1. 因为b n ≠0, 所以(10n-1-b n )b n ≥99. 而(b1-1)b 1≤72, 所以a 1-a 2>0,即a 1>a2.
(3)由(2)可知当a 1≥100时,a 1>a2. 同理当a n ≥100时,a n >an+1. 若不存在m ∈N *, 使得a m
则对任意的n ∈N *, 有a n ≥100, 总有a n >an+1.
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则a n ≤a n-1-1, 可得a n ≤a 1-(n-1).
取n=a1, 则a n ≤1, 与a n ≥100矛盾. 存在m ∈N *, 使得a m
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单元评估检测(五)
第五章 (120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1.(2015·昆明模拟) 设数列{an }的前n 项和为S n , 若S n =a n -, 则a n = ( ) A.2n B.3n C.2n-1 D.3n-1
【解析】选D. 在已知式中令n=1,得a 1
=a 1
-, 所以a 1=1,排除A,B; 令n=2,得a 1+a2=a 2-, 所以a 2=3,排除C, 所以选D.
【加固训练】(2015·武汉模拟) 已知数列{an }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =(1-an ), 则数列{an }的通项公式为( ) A.a n =C.a n =
B.a n = D.a n =3·
-
,
【解析】选B. 当n ≥2时,a n =Sn -S n-1=化简得2a n =-an +an-1, 即又由S 1=a1=
, 得a 1=.
=.
所以数列{an }是首项为, 公比为的等比数列. 所以a n =×
=
.
2. 已知数列{an }的前n 项和S n =n2-9n, 第k 项满足5
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A.9 B.8 C.7 D.6 【解析】选B. 此数列为等差数列,a n =Sn -S n-1=2n-10(n≥2), 由5
【加固训练】已知数列{an }的前n 项和为S n , 且a 1=1,an+1=3Sn (n≥1,n ∈N *), 第k 项满足750
A.8 B.7 C.6 D.5
【解析】选C. 依题意, 由a n+1=3Sn 及a n =3Sn-1(n≥2,n ∈N *), 两式相减得a n+1-a n =3(Sn -S n-1)=3an , 即a n+1=4an (n≥2),a 2=3,所以a n =a k 代入不等式750
, 则满足a n+1
, 将
A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选C. 由a n+1
4.(2015·郑州模拟) 若数列{an }的通项公式是a n =(-1)n (2n-1),则a 1+a2+a3+„+a100= ( )
A.-200 B.-100 C.200 D.100
【解析】选D. 由题意知,a 1+a2+a3+…+a100=-1+3-5+7+…+(-1)100(2×100-1) =(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.
5.(2015·衡水模拟) 已知数列{an }的通项公式为a n
=pn+(p,q为常数), 且a 2=,a 4=, 则a 8= ( )
A. B. C. D.2
-=
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【解析】选B. 由题意知所以a 8=8p+=8×+=. 6. 已知数列
,
,
,
是 ( )
A.(19,3) B.(19,-3) C.(, ) D.(,-) 【解析】选C. 由a-b=8,a+b=11解得a=,b=. 【方法技巧】数列通项公式的一般求法
,
, „, 根据前三项给出的规律, 则实数对(a,b)可能
用观察—归纳—猜想—证明的方法, 找数列的通项公式时, 首先要注意观察各个式子的特征, 并据此把式子分解成几个部分, 然后各个击破, 对于正负相间的项, 用-1的指数式来予以调整.
7. 已知数列{an }为等差数列, 数列{bn }是各项均为正数的等比数列, 且公比q>1,若a 5=b5,a 2015=b2015, 则a 1010与b 1010的大小关系是 ( ) A.a 1010=b1010 B.a 1010>b1010 C.a 1010
=8. 数列{an }的通项a n =A.3
, 则数列{an }中的最大值是 ( )
=b1010, 故选B.
B.19 C. D.
, 运用基本不等式得
,
【解析】选C. 因为a n =
≤
, 由于n ∈N *, 不难发现当n=9或10时,a n =最大, 故选C.
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9. 已知数列{an }满足a 1=0,an+1=an +2+1,则a 13等于 ( )
A.143 B.156 C.168 D.195 【解析】选C. 由a n+1=an +2(
+1)2,
即
==
+1,可知a n+1+1=an +1+2
+1,故数列{
+1=
}是首项为1, 公差为
1的等差数列, 所以+12=13,则a 13=168.故选C.
【加固训练】已知数列{an }满足a 1=, 且对任意的正整数m,n, 都有a m+n=am ·a n , 若数列{an }的前n 项和为S n , 则S n 等于( ) A.2-C.2- B.2- D.2-
=a1=, 可知数列{an }是首项为a 1=, 公
=2×
=2-.
【解析】选D. 令m=1,得a n+1=a1〃a n , 即比为q=的等比数列, 于是S n =
=
10. 如果一个数列{an }满足a n+1+an =h(h为常数,n ∈N *), 则称数列{an }为等和数列,h 为公和,S n 是其前n 项和. 已知等和数列{an }中,a 1=1,h=-3,则S 2015等于
( )
A.3020 B.3021 C.-3020 D.-3021 【解析】选C. 由公和h=-3,a1=1,得a 2=-4,
并且数列{an }是以2为周期的数列, 则S 2015=1007(a1+a2)+a1=-3021+1=-3020. 【加固训练】设S n 为数列{an }的前n 项和, 若
(n∈N *) 是非零常数, 则称该数列
为“和等比数列”; 若数列{cn }是首项为2, 公差为d(d≠0) 的等差数列, 且数列{cn }是“和等比数列”, 则d= .
【解析】由题意可知, 数列{cn }的前n 项和为S n
=
, 前2n 项和为
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S 2n =列”, 即答案:4
, 所以==2+=2+. 因为数列{cn }是“和等比数
为非零常数, 所以d=4.
11. 已知函数f(x)是定义在(0,+∞) 上的单调函数, 且对任意的正数x,y 都有f(x·y)=f(x)+f(y),若数列{an }的前n 项和为S n , 且满足f(Sn +2)-f(an )=f(3)(n∈N *), 则a n 等于( ) A.2n-1 B.n C.2n-1 D.
【解析】选D. 由题意知f(Sn +2)=f(an )+f(3)(n∈N *), 所以S n +2=3an ,S n-1+2=3an-1(n≥2), 两式相减得2a n =3an-1(n≥2), 又n=1时,S 1+2=3a1=a1+2,所以a 1=1,所以数列{an }是首项为1, 公比为的等比数列, 所以a n =
.
12. 已知函数f(x)= 数列{an }满足a n =f(n)(n∈N *), 且数
列{an }是单调递增数列, 则实数a 的取值范围是 ( ) A.(1,4) B.(4,8) C.(0,1) D.(1,+∞) 【解析】选B. 由题可知, 数列{an }单调递增, 则有
:
所以,4
【方法技巧】已知数列的单调性求解某个参数的取值范围, 一般有两种方法:(1)
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利用数列的单调性构建不等式, 然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决, 也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;(2)利用数列与函数之间的特殊关系, 将数列的单调性转化为相应函数的单调性, 利用函数的性质求解参数的取值范围, 但要注意数列通项中n 的取值范围.
二、填空题(本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请把正确答案填在题中横线上)
13.(2015·天水模拟) 已知数列{an }满足
:
n=2,3,4,„, 设b n =
+1,n=1,2,3,„, 则数列{bn }的通项公式是 .
+1,
【解析】由题意得, 对于任意的正整数n,b n =所以b n+1=
+1,
所以b n+1=2bn , 又b 1=a1+1=2,
所以{bn }是首项为2, 公比为2的等比数列, 所以b n =2n . 答案:b n =2n
【加固训练】若数列{an }满足a 1=1,an+1=an +2n , 则a n = . 【解析】由已知a n+1-a n =2n ,
故有a 2-a 1=2,a3-a 2=22,a 4-a 3=23, …,a n -a n-1=2n-1. 以上n-1个式子两边分别相加, 则有a n -a 1=2+22+23+…+2n-1=
=2n -2,
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所以a n =2n -2+a1=2n -1. 答案:2n -1
14.(2015·菏泽模拟) 已知数列{an }满足a 1=0,an+1
=a 20= .
【解析】由题意知,a 1=0,a2=-,a 3=
,a 4=0,a5=-.
,a 6=
, 从而数列{an }的各项
(n∈N *), 则
呈周期性排列, 周期为3, 所以a 20=a2=-答案:-
【加固训练】(2015·成都模拟) 数列{an }是等差数列,a 1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,则此数列的前n 项和S n = . 【解析】由题意可得f(x+1)+f(x-1)=0, 即(x+1)2-4(x+1)+2+(x-1)2-4(x-1)+2=0, 解得:x=1或x=3,
当x=1时, 此时a 1=-2,a2=0,a3=2,则d=2,所以S n =n2-3n. 当x=3时,a 1=2,a2=0,a3=-2,则d=-2,所以S n =-n2+3n. 答案:n 2-3n 或-n 2+3n
15. 如图所示是一个树形图的生长过程, 依据图中所示的生长规律, 第15行的实心圆点的个数是
.
【解析】观察图中所示的生长规律, 发现:1个空心圆点到下一行仅生长出1个实
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心圆点, 而1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点. 如果设第n 行的实心圆点的个数是a n , 空心圆点的个数是b n , 则a 1=0,b1=1,an+1=an +bn ,b n+1=an ,n ∈N *. 所以
a 1=0,a2=1,an+1=an +an-1, 从而{an }
为:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…, 故填377. 答案:377 【加固训练】
(2015·扬州模拟) 如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序:正方形上连接着等腰直角三角形, 等腰直角三角形边上再连接正方形, „, 如此继续, 若共得到1023个正方形, 设初始正方形的边长
为为 .
【解析】设1+2+4+…+2n-1=1023,即列, 答案:
16. 已知数列{2n-1·a n }的前n 项和S n =9+2n,则数列{an }的通项公式为a n = . 【解析】因为S n =9+2n ①, 所以当n ≥2时,S n-1=9+2(n-1) ②, ①-②得2n-1a n =2,所以a n =
⎧11, n =1,
=2. 当n=1时,a 1=S1=9+2=11,不符合上式, 所以a n =⎨2-n
2, n ≥2. ⎩
2-n
, 则最小正方形的边长
=1023,2n =1024,n=10.正方形边长构成数
=, 即所求最小正方形的边长为.
, , …, 其中第10项为
⎧11,n =1,
答案:⎨2-n
⎩2,n ≥2
【方法技巧】含S n ,a n 问题的求解策略
当已知含有S n+1,S n 之间的等式时, 或者含有S n ,a n 的混合关系的等式时, 可以采用降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式,
两个等式相减就把问题转化为
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数列的项之间的递推关系式.
【加固训练】在数列{an }中,S n 为{an }的前n 项和,n(an+1-a n )=an (n∈N *), 且a 3=π, 则tanS 4= .
【解析】方法一:由n(an+1-a n )=an , 得na n+1=(n+1)an , 则3a 4=4a3, 又a 3=π, 故a 4=, 又由2a 3=3a2, 得a 2
=tanS 4=tan
=
.
=, 所以=
=
=…==,
, 由a 2=2a1, 得a 1
=, 故S 4=a1+a2+a3+a4
=
, 所以
方法二:由n(an+1-a n )=an , 得na n+1=(n+1)an , 即所以a n =n.
故S 4=a1+a2+a3+a4=(1+2+3+4)=tanS 4=tan答案:
=
.
,
三、解答题(本大题共6小题, 共70分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2014·江西高考) 已知数列{an }的前n 项和S n =(1)求数列{an }的通项公式.
(2)证明:对任意的n>1,都有m ∈N *, 使得a 1,a n ,a m 成等比数列. 【解题提示】(1)利用a n =Sn -S n-1(n≥2) 解决. (2)a1,a n ,a m 成等比数列, 转化为【解析】(1)当n=1时a 1=S1=1; 当n ≥2时a n =Sn -S n-1
,n ∈N *.
=a1〃a m .
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=
-=3n-2,
对n=1也满足,
所以{an }的通项公式为a n =3n-2. (2)由(1)得a 1=1,an =3n-2,am =3m-2, 要使a 1,a n ,a m 成等比数列, 需要
=a1〃a m ,
所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N *, 所以对任意n>1,都有m ∈N *使得即a 1,a n ,a m 成等比数列.
【加固训练】已知等比数列{an }的首项为1, 公比q ≠1,S n 为其前n 项和,a 1,a 2,a 3分别为某等差数列的第一、第二、第四项. (1)求a n 和S n . (2)设b n =log2a n+1, 数列
的前n 项和为T n , 求证:Tn
=a1〃a m 成立,
【解析】(1)因为a 1,a 2,a 3为某等差数列的第一、第二、第四项, 所以a 3-a 2=2(a2-a 1), 所以a 1q 2-a 1q=2(a1q-a 1), 因为a 1=1,所以q 2-3q+2=0, 因为q ≠1, 所以q=2, 所以a n =a1q n-1=2n-1. 所以S n =
=
=2n -1.
(2)由(1)知a n+1=2n , 所以b n =log2a n+1=log22n =n. 所以
=
=
.
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所以T n =
==
-
++++…
+
-+
+
18.(12分) 已知成等差数列的三个正数的和等于15, 并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{bn }中的b 3,b 4,b 5, (1)求数列{bn }的通项公式.
(2)设数列{bn }的前n 项和为S n , 求证:数列{Sn +}是等比数列. 【解析】(1)设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意, 得a-d+a+a+d=15,解得a=5.
所以{bn }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d.依题意, 有(7-d)(18+d)=100,解得d=2或d=-3(舍去).
故b 3=5,公比q=2,由b 3=b1〃22, 即5=b1〃22得b 1=.
所以{bn }是以为首项,2为公比的等比数列, 其通项公式为b n =〃2n-1=5〃2n-3. (2)数列{bn }的前n 项和S n =
=5〃2n-2-, 即S n +=5〃2n-2.
所以比数列.
因此{Sn +}是以为首项, 公比为2的等
【误区警示】关于等差(比) 数列的基本运算, 其实质就是解方程或方程组, 需要认真计算, 灵活处理已知条件. 容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误, 特别是利用因式分解求解方程的根时, 不注意对根的符号进行判断; 二是
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不能灵活运用等差(比) 数列的基本性质转化已知条件, 导致列出的方程或方程组较为复杂, 增大运算量.
19.(12分) 设数列{an }满足a 1=2,a2+a4=8,且对任意的n ∈N *, 都有a n +an+2=2an+1. (1)求数列{an }的通项公式.
(2)设数列{bn }的前n 项和为S n , 且满足S 1·S n =2bn -b 1,n ∈N *,b 1≠0, 求数列{an b n }的前n 项和T n .
【解析】(1)由n ∈N *,a n +an+2=2an+1, 知{an }为等差数列, 设公差为d. 因为a 1=2,a2+a4=8,所以2×2+4d=8,解得d=1. 所以a n =a1+(n-1)d=2+(n-1)〃1 =n+1.
(2)由n ∈N *.S 1S n =2bn -b 1, 得, 当n=1时, 有
=2b1-b 1=b1,
因为b 1≠0, 所以b 1=1,Sn =2bn -1, ① 当n ≥2时,S n-1=2bn-1-1, ② 由①-②得,
S n -S n-1=2bn -1-(2bn-1-1)=2bn -2b n-1 即n ≥2时,b n =2bn -2b n-1, 所以b n =2bn-1,
则数列{bn }是首项为1, 公比为2的等比数列,b n =2n-1. 所以a n 〃b n =(n+1)〃2n-1. 由数列{an b n }的前n 项和为T n , 得
T n =2+3×2+4×22+…+n〃2n-2+(n+1)〃2n-1. ③ 2T n =2×2+3×22+4×23+…+n〃2n-1+(n+1)〃2n , ④
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③-④得,
-T n =2+2+22+…+2n-1-(n+1)〃2n =1+
-(n+1)〃2n =-n〃2n ,
T n =n〃2n , 即数列{an b n }的前n 项和为n 〃2n .
【加固训练】已知等差数列{an }的前n 项和为S n 且满足a 2=3,S6=36. (1)求数列{an }的通项公式.
(2)若数列{bn }是等比数列且满足b 1+b2=3,b4+b5=24.设数列{an ·b n }的前n 项和为T n , 求T n .
【解析】(1)因为数列{an }是等差数列. 所以S 6=3(a1+a6)=3(a2+a5)=36,则a 2+a5=12, 由于a 2=3,所以a 5=9,从而d=2,a1=a2-d=1, 所以a n =2n-1.
(2)设{bn }的公比为q, 因为b 1+b2=3,b4+b5=24. 所以
=q3=8.则q=2.
从而b 1+b2=b1(1+q)=3b1=3,
所以b 1=1,bn =2n-1, 所以a n 〃b n =(2n-1)〃2n-1.
所以T n =1×1+3×2+5×22+…+(2n-3)〃2n-2+(2n-1)〃2n-1. 则2T n =1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)〃2n-1+(2n-1)〃2n .
两式相减, 得(1-2)Tn =1×1+2×2+2×22+…+2〃2n-2+2〃2n-1-(2n-1)〃2n . 即-T n =1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)〃2n =1+2(2n -2)-(2n-1)〃2n =(3-2n)〃2n -3. 所以T n =(2n-3)〃2n +3.
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20.(12分) 设数列{an }的前n 项和S n =aqn +b(a,b为非零实数,q ≠0且q ≠1). (1)当a,b 满足什么关系时,{an }是等比数列?
(2)若{an }为等比数列, 证明:以(an ,S n ) 为坐标的点都落在同一条直线上. 【解析】(1)因为S n =aqn +b,所以n ≥2时,a n =Sn -S n-1=(aqn +b)-(aqn-1+b) =a(q-1)qn-1,
所以
故若数列{an }是等比数列, 只要a 1=S1=aq+b符合a n =a1(q-1)qn-1的形式即可. 所以aq+b=a(q-1)〃q 0, 所以a+b=0. 所以当a+b=0时, 数列{an }是等比数列. (2)当{an }是等比数列时,S n =aqn -a, a n =a(q-1)qn-1,a 1
=a(q-1),
即以(an ,S n ) 为坐标的点都落在恒过点(a1,S 1) 且斜率k=
的直线上.
【加固训练】设数列{an }的前n 项和为S n , 其中a n ≠0,a 1为常数, 且-a 1,S n ,a n+1成等差数列.
(1)求{an }的通项公式.
(2)设b n =1-Sn , 问:是否存在a 1, 使数列{bn }为等比数列? 若存在, 求出a 1的值; 若不存在, 请说明理由.
【解析】(1)依题意, 得2S n =an+1-a 1, 当n ≥2时, 有a n+1=3an (n≥2).
两式相减, 得
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又因为a 2=2S1+a1=3a1,a n ≠0, 所以数列{an }是首项为a 1, 公比为3的等比数列. 因此a n =a1〃3n-1(n∈N *). (2)因为S n =
=
-, 所以b n =1-Sn =1+-.
要使{bn }为等比数列, 当且仅当1+a 1=0,即a 1=-2, 所以存在a 1=-2,使数列{bn }为等比数列.
21.(12分) 已知公差大于零的等差数列{an }的前n 足:a3·a 4=117,a2+a5=22. (1)求通项a n .
(2)若数列{bn }是等差数列, 且b n =, 求非零常数c.
(3)求f(n)=
(n∈N *) 的最大值.
【解析】(1){an }为等差数列, 所以a 3+a4=a2+a5=22. 又a 3〃a 4=117,
所以a 3,a 4是方程x 2-22x+117=0的两实根. 又公差d>0,所以a 3
⎧a 1+2d =9, ⎩a 所以⎧⎨a 1=1,
1
+3d =13, ⎩d =4, 所以a n =4n-3.
(2)由(1)知S n =n〃1+〃4=2n2-n,
所以b n =
=, 所以b 1=
,b 2=
,b 3=
因为{bn }是等差数列, 所以2b 2=b1+b3.
项和为S n , 且满
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即〃2=+, 所以2c 2+c=0,
所以c=-(c=0舍去). 故c=-. (3)由(2)得b n =所以f(n)==
=
≤=
=2n, =,
当且仅当n=, 即n=6时取等号, 所以f(n)m ax=. 即f(n)的最大值为.
【加固训练】(2015·凤阳模拟) 已知数列{an }的前n 项和为S n ,a 1=, S n =n2a n -n(n-1),n=1,2,„. (1)证明:数列(2)设b n =
是等差数列, 并求S n . , 求证:b1+b2+„+bn
【解析】(1)由S n =n2a n -n(n-1)知, 当n ≥2时,S n =n2(Sn -S n-1)-n(n-1), 即(n2-1)S n -n 2S n-1=n(n-1),所以又所以(2)bn ==
S 1=1,所以
S n -S n-1=1,对n ≥2成立.
是首项为1, 公差为1的等差数列.
.
S n =1+(n-1)〃1, 所以S n =
=,
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所以b 1+b2+…+bn
=
-+-+…+-+
-=
22.(12分) 设a 是一个自然数,f(a)是a 的各位数字的平方和, 定义数列{an }:a1是自然数,a n =f(an-1)(n∈N *,n ≥2). (1)求f(99),f(2014). (2)若a 1≥100, 求证:a1>a2. (3)求证:存在m ∈N *, 使得a m
(2)假设a 1是一个n 位数(n≥3), 那么可以设a 1=bn 〃10n-1+bn-1〃10n-2+…+b3〃102+b2〃10+b1,
其中0≤b i ≤9且b i ∈N(1≤i ≤n), 且b n ≠0. 由a 2=f(a1) 可得a 2=
+
-1
+…+++.
a 1-a 2=(10n-1-b n )b n +(10n-2-b n-1)b n-1+…+(102-b 3)b 3+(10-b2)b 2+(1-b1)b 1, 所以a 1-a 2≥(10n-1-b n )b n -(b1-1)b 1. 因为b n ≠0, 所以(10n-1-b n )b n ≥99. 而(b1-1)b 1≤72, 所以a 1-a 2>0,即a 1>a2.
(3)由(2)可知当a 1≥100时,a 1>a2. 同理当a n ≥100时,a n >an+1. 若不存在m ∈N *, 使得a m
则对任意的n ∈N *, 有a n ≥100, 总有a n >an+1.
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则a n ≤a n-1-1, 可得a n ≤a 1-(n-1).
取n=a1, 则a n ≤1, 与a n ≥100矛盾. 存在m ∈N *, 使得a m
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