学科研究2012年5月18日
三垂线定理法求二面角的一个突破口
文/张增喜
摘要：求二面角关键是确定平面角，考题中常结合三垂线定理来确定，论文就此定理找出一种快速确定平面角的方法，提高解题效率.
关键词：三垂线定理；二面角；平面角
求二面角的大小是立体几何中常见的题，也是一个难点，学生
如图2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角C1－BD1－C的
感觉不容易确定二面角的平面角.求二面角大小的方法有好多种，大小.而三垂线定理法是最常见的一种方法.尽管学生也知道此方法，但分析：由BC⊥平面CCDD，可得第三个平面CCDD垂直于
1
1
1
1
在实际寻求或确定平面角时又往往不知何种情形用此方法以及如何作图，在此总结出一种以三垂线定理为依据，简易确定平面角的思维策略，以帮助学生尽快确定二面角的平面角.
一、思维突破口
二面角的一个半平面CBD1，可用上述作法求二面角大小.
解：作C1O⊥CD1于O.因为BC⊥平面CC1D1D，所以平面CC1D1D⊥平面CBD1，由面面垂直的性质定理得C1O⊥平面CBD1.作OM⊥BD1于M，连结C1M，则OM是C1M在平面CD1B上的射影，依三垂线定理得BD1⊥C1M，所以∠C1MO是二面角C1－BD1－C的平面角.
设正方体的棱长为a，则C1O=a，BD1=姨a，BC1=姨a.
BC在Rt△C1D1B中，由BD1··C1M=C1D1BC1得C1M=CD·=
BD1
设所求二面角为α-l-β，先分析题意找出这样一个第如图1，
三个平面γ：γ满足与二面角其中一个半平面垂直，假设γ⊥α于直线m，则求作二面角平γ∩β=n。若存在这样一个第三个平面γ，面角的作法如下：
首先，在n上取一点A，在第三个平面γ内作一条直线AO⊥m，然后，再从O点向l引垂线OB，垂足为B；最后，连结垂足为O；
AB，则由三垂线定理可证∠ABO即为所求二面角α-l-β的平面角。（也可先作AB⊥l于B，再连结OB）
二、用三垂线定理证明并简述过程
∵γ⊥α，AO哿γ，AO⊥m，∴AO⊥α，则AB在α内的射影为
又∵OB⊥l，由三垂线定理可得AB⊥l，OB，∴∠ABO为二面角α-l-β的平面角。
AnOγ
Bα
βDA
A1
D1
1
CC1
M
a.在Rt△C1MO中，因为C1O⊥OM，sin∠C1MO=C1O=，
1∠C1MO=60°.
所以，二面角C1－BD1－C的度数为60°.
总之，一般来说求二面角大小的题，只要认真分析题意，能够找到（确定）第三个平面垂直于其中一个半平面，则就可以用上述作法求解二面角的大小，此思维突破口能够快速帮助学生作出平面角，进而求出二面角的大小。
O
图1图2
（作者单位河北省石家庄市井陉职教中心）
学科研究2012年5月18日
三垂线定理法求二面角的一个突破口
文/张增喜
摘要：求二面角关键是确定平面角，考题中常结合三垂线定理来确定，论文就此定理找出一种快速确定平面角的方法，提高解题效率.
关键词：三垂线定理；二面角；平面角
求二面角的大小是立体几何中常见的题，也是一个难点，学生
如图2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角C1－BD1－C的
感觉不容易确定二面角的平面角.求二面角大小的方法有好多种，大小.而三垂线定理法是最常见的一种方法.尽管学生也知道此方法，但分析：由BC⊥平面CCDD，可得第三个平面CCDD垂直于
1
1
1
1
在实际寻求或确定平面角时又往往不知何种情形用此方法以及如何作图，在此总结出一种以三垂线定理为依据，简易确定平面角的思维策略，以帮助学生尽快确定二面角的平面角.
一、思维突破口
二面角的一个半平面CBD1，可用上述作法求二面角大小.
解：作C1O⊥CD1于O.因为BC⊥平面CC1D1D，所以平面CC1D1D⊥平面CBD1，由面面垂直的性质定理得C1O⊥平面CBD1.作OM⊥BD1于M，连结C1M，则OM是C1M在平面CD1B上的射影，依三垂线定理得BD1⊥C1M，所以∠C1MO是二面角C1－BD1－C的平面角.
设正方体的棱长为a，则C1O=a，BD1=姨a，BC1=姨a.
BC在Rt△C1D1B中，由BD1··C1M=C1D1BC1得C1M=CD·=
BD1
设所求二面角为α-l-β，先分析题意找出这样一个第如图1，
三个平面γ：γ满足与二面角其中一个半平面垂直，假设γ⊥α于直线m，则求作二面角平γ∩β=n。若存在这样一个第三个平面γ，面角的作法如下：
首先，在n上取一点A，在第三个平面γ内作一条直线AO⊥m，然后，再从O点向l引垂线OB，垂足为B；最后，连结垂足为O；
AB，则由三垂线定理可证∠ABO即为所求二面角α-l-β的平面角。（也可先作AB⊥l于B，再连结OB）
二、用三垂线定理证明并简述过程
∵γ⊥α，AO哿γ，AO⊥m，∴AO⊥α，则AB在α内的射影为
又∵OB⊥l，由三垂线定理可得AB⊥l，OB，∴∠ABO为二面角α-l-β的平面角。
AnOγ
Bα
βDA
A1
D1
1
CC1
M
a.在Rt△C1MO中，因为C1O⊥OM，sin∠C1MO=C1O=，
1∠C1MO=60°.
所以，二面角C1－BD1－C的度数为60°.
总之，一般来说求二面角大小的题，只要认真分析题意，能够找到（确定）第三个平面垂直于其中一个半平面，则就可以用上述作法求解二面角的大小，此思维突破口能够快速帮助学生作出平面角，进而求出二面角的大小。
O
图1图2
（作者单位河北省石家庄市井陉职教中心）