第七章 截面几何性质
思考题与习题
7-1．如图所示T 形截面，C 为形心，z 为形心轴，问z 轴上下两部分对z 轴的静矩存在什么关系？
答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。
7-2．如图所示矩形截面m-m 以上部分对形心轴z 的静矩和m-m 以下部分对形心轴z 的静矩有何关系？
答：同上。
7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？
略。教材中有关定义在有说明。
7-4．图a 所示矩形截面，若将形心轴z 附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b ，问此截面对z 轴的惯性矩有何变化？为什么？
答：惯性矩为变大。因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b) 图离轴远的点更多。 7-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩I z =下计算是否正确？为什么？
πD 4
128
，则对z 1轴的惯性矩如
2
5πD 4⎛D ⎫πD 2
I z 1=I 1+a A =+ ⎪⋅=
128⎝2⎭8128
πD 4
2
答：不对。
平行移轴公式I z =I z C +a 2A 中，I z C 的轴必须是过形心且与z 平行的轴。
7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径i z 是否就是图形形心到该轴的距离？
答：惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：i z =的距离。
7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为z 1轴，试计算对z 1轴的静矩。
。惯性半径不是图形形心到该轴
20040
+40) +160⨯40⨯=1.248⨯106mm 3 22
40
b) S z 1=2⨯(40⨯200⨯100) +240⨯40⨯(+200) =3.712⨯106mm 3
2
解：a) S z 1=40⨯200⨯(
或S z 1=240⨯240⨯120-160⨯200⨯100=3.712⨯106mm 3 c) S z 1=80⨯40⨯(
40120+160) +40⨯120⨯(+40) +120⨯40⨯20=1. 152⨯106mm 3 22
7-8．如图7—20所示截面图形，求 （1）形心C 的位置； （2）阴影部分对z 轴的静矩。
解：1. 求形心C 的位置。
形心在y 轴上，设到底边的距离为y C 。
y C =
300⨯500⨯(250+140) +600⨯140⨯70
=275. 1mm
300⨯500+600⨯140
2. 阴影部分对z 轴的静矩
S *z =-600⨯140⨯(275. 1-70) -300⨯(275. 1-140) ⨯
275. 1-140
=-1.997⨯107mm 3 2
若利用图形对形心轴的静矩为零的性质，可以计算上半部分的静矩，取相反数，更简单。即
S *z =-300⨯(640-275. 1) ⨯
640-275. 1
=-1.997⨯107mm 3 2
7-9．计算图示矩形截面对其形心轴z 的惯性矩；已知b =150mm，h =300mm。如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形，计算此工字形截面对z 轴的惯性矩，并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。
解：1. 矩形惯性矩
bh 3150⨯3003
I z ===3.375⨯108mm 4
12122. 工字形惯性矩
50⨯2003350⨯503
I z =+2⨯(+1252⨯350⨯50) =5.875⨯108mm 4
1212或用负面积法
350⨯3003150⨯2003
I z =-2⨯=5.875⨯108mm 4
12123. 计算增大的百分比p 。
5.875⨯108-3.375⨯108
p =⨯100%=74. 74%
3.375⨯1087-10．计算图示各图对形心轴z c 、y c 的惯性矩。
解：a) 图
b ⨯h 3π⨯D 4240⨯12033. 142⨯604
I z C =-2⨯=-2⨯=3. 329⨯107mm 4
12641264b 3⨯h π⨯D 4602πD 2
I y C =-2⨯(+(30+) ⨯)
126424
2
2403⨯1203. 142⨯6043. 142⨯60=-2⨯(+602⨯) =1. 166⨯108mm 4
12644
b) 图
b ⨯h 3π⨯D 4200⨯8033. 142⨯804
I z C =+2⨯=+2⨯=1. 054⨯107mm 4
1212812128
b 3⨯h 18πR 24R 24
I y C =+2⨯((-2) ⨯πR +⨯(100+) )
1289π23π2003⨯80183. 142⨯4024⨯4024=+2⨯((-) ⨯3. 142⨯40+⨯(100+) )
1289⨯3. 142223⨯3. 142=1. 227⨯108mm 4
7-11．计算图示图形对其形心轴z 的惯性矩。
解1. 计算形心轴到顶边的距离d 。
d =
180⨯60⨯30+2⨯60⨯15÷2⨯(60+5) +60⨯240⨯(120+60)
=114. 0mm
180⨯60+2⨯60⨯15÷2+60⨯240
2. 计算对形心轴z 的惯性矩。
I Iz c
180⨯603180⨯6032=+180⨯60⨯(d-30) =+180⨯60⨯(114-30) 2=1. 151⨯108mm 4
1212
60⨯15360⨯1532
I II z c =+60⨯15÷2⨯(d-60-5) =+60⨯15÷2⨯(114-60-5) 2
3636
=0. 0109⨯108mm 4
60⨯240360⨯24032
I III z c =+60⨯240⨯(120+60-d) =+60⨯240⨯(120+60-114) 2
1212
=1. 318⨯108mm 4
I z c =I I z c +2⨯I II z c +I III z c =(1. 151+2⨯0. 0108+1. 318) ⨯108=2. 491⨯108mm 4 7-12．计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。
解：由型钢表可查得。单个参数如下： 面积A =19. 261cm 2=1. 9261⨯103mm 2 形心到边的距离z 0=2. 84cm =28. 4mm
对平行于边且过形心的轴的惯性矩I y C =I z C =179. 51cm 4=1. 7951⨯106mm 4
由于y D 是对称轴，且z D 过形心，根据形心主轴的性质可知y D 、z D 是形心主轴。
I z D =2I z C =2⨯1. 7951⨯106=3. 590⨯106mm 4
I y D =2(I y C +A ⨯(z 0+5) 2) =2(1. 7951⨯106+1. 926⨯103⨯(28. 4+5) 2) =7. 887⨯106mm 4 7-13．要使图示两个№10工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等，求距离a 的值。
解：查表得对单个工字钢：
面积A =14. 345cm 2=1. 4345⨯103mm 2
I y C =33. 0cm 4=0. 330⨯106mm 4 I z C =245cm 4=2. 45⨯106mm 4 对两个工字钢
I z =2I z C =2⨯2. 45⨯106mm 4=4. 90⨯106mm 4
I y =2(I y C
a 2a 263
+A ⋅) =2⨯(0. 330⨯10+1. 435⨯10⨯)
44
要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等，即：
a 2
4. 90⨯10=2⨯(0. 330⨯10+1. 435⨯10⨯)
4
6
6
3
解得：a =
76. 9mm
第七章 截面几何性质
思考题与习题
7-1．如图所示T 形截面，C 为形心，z 为形心轴，问z 轴上下两部分对z 轴的静矩存在什么关系？
答：大小相等，正负号相反（上面的静矩为正）。
7-2．如图所示矩形截面m-m 以上部分对形心轴z 的静矩和m-m 以下部分对形心轴z 的静矩有何关系？
答：同上。
7-3．惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的？为什么它们的值有的恒为正？有的可正、可负、还可为零？
略。教材中有关定义在有说明。
7-4．图a 所示矩形截面，若将形心轴z 附近的面积挖去，移至上下边缘处，成为工字形截面图b ，问此截面对z 轴的惯性矩有何变化？为什么？
答：惯性矩为变大。因为点到轴的距离越远越惯性矩越大，b) 图离轴远的点更多。 7-5．图示直径为D 的半圆，已知它对z 轴的惯性矩I z =下计算是否正确？为什么？
πD 4
128
，则对z 1轴的惯性矩如
2
5πD 4⎛D ⎫πD 2
I z 1=I 1+a A =+ ⎪⋅=
128⎝2⎭8128
πD 4
2
答：不对。
平行移轴公式I z =I z C +a 2A 中，I z C 的轴必须是过形心且与z 平行的轴。
7-6．惯性半径与惯性矩有什么关系？惯性半径i z 是否就是图形形心到该轴的距离？
答：惯性半径与惯性矩两者之间的关系是：i z =的距离。
7-7．图示各截面图形，以各截面的底边为z 1轴，试计算对z 1轴的静矩。
。惯性半径不是图形形心到该轴
20040
+40) +160⨯40⨯=1.248⨯106mm 3 22
40
b) S z 1=2⨯(40⨯200⨯100) +240⨯40⨯(+200) =3.712⨯106mm 3
2
解：a) S z 1=40⨯200⨯(
或S z 1=240⨯240⨯120-160⨯200⨯100=3.712⨯106mm 3 c) S z 1=80⨯40⨯(
40120+160) +40⨯120⨯(+40) +120⨯40⨯20=1. 152⨯106mm 3 22
7-8．如图7—20所示截面图形，求 （1）形心C 的位置； （2）阴影部分对z 轴的静矩。
解：1. 求形心C 的位置。
形心在y 轴上，设到底边的距离为y C 。
y C =
300⨯500⨯(250+140) +600⨯140⨯70
=275. 1mm
300⨯500+600⨯140
2. 阴影部分对z 轴的静矩
S *z =-600⨯140⨯(275. 1-70) -300⨯(275. 1-140) ⨯
275. 1-140
=-1.997⨯107mm 3 2
若利用图形对形心轴的静矩为零的性质，可以计算上半部分的静矩，取相反数，更简单。即
S *z =-300⨯(640-275. 1) ⨯
640-275. 1
=-1.997⨯107mm 3 2
7-9．计算图示矩形截面对其形心轴z 的惯性矩；已知b =150mm，h =300mm。如按图中虚线所示，将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形，计算此工字形截面对z 轴的惯性矩，并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。
解：1. 矩形惯性矩
bh 3150⨯3003
I z ===3.375⨯108mm 4
12122. 工字形惯性矩
50⨯2003350⨯503
I z =+2⨯(+1252⨯350⨯50) =5.875⨯108mm 4
1212或用负面积法
350⨯3003150⨯2003
I z =-2⨯=5.875⨯108mm 4
12123. 计算增大的百分比p 。
5.875⨯108-3.375⨯108
p =⨯100%=74. 74%
3.375⨯1087-10．计算图示各图对形心轴z c 、y c 的惯性矩。
解：a) 图
b ⨯h 3π⨯D 4240⨯12033. 142⨯604
I z C =-2⨯=-2⨯=3. 329⨯107mm 4
12641264b 3⨯h π⨯D 4602πD 2
I y C =-2⨯(+(30+) ⨯)
126424
2
2403⨯1203. 142⨯6043. 142⨯60=-2⨯(+602⨯) =1. 166⨯108mm 4
12644
b) 图
b ⨯h 3π⨯D 4200⨯8033. 142⨯804
I z C =+2⨯=+2⨯=1. 054⨯107mm 4
1212812128
b 3⨯h 18πR 24R 24
I y C =+2⨯((-2) ⨯πR +⨯(100+) )
1289π23π2003⨯80183. 142⨯4024⨯4024=+2⨯((-) ⨯3. 142⨯40+⨯(100+) )
1289⨯3. 142223⨯3. 142=1. 227⨯108mm 4
7-11．计算图示图形对其形心轴z 的惯性矩。
解1. 计算形心轴到顶边的距离d 。
d =
180⨯60⨯30+2⨯60⨯15÷2⨯(60+5) +60⨯240⨯(120+60)
=114. 0mm
180⨯60+2⨯60⨯15÷2+60⨯240
2. 计算对形心轴z 的惯性矩。
I Iz c
180⨯603180⨯6032=+180⨯60⨯(d-30) =+180⨯60⨯(114-30) 2=1. 151⨯108mm 4
1212
60⨯15360⨯1532
I II z c =+60⨯15÷2⨯(d-60-5) =+60⨯15÷2⨯(114-60-5) 2
3636
=0. 0109⨯108mm 4
60⨯240360⨯24032
I III z c =+60⨯240⨯(120+60-d) =+60⨯240⨯(120+60-114) 2
1212
=1. 318⨯108mm 4
I z c =I I z c +2⨯I II z c +I III z c =(1. 151+2⨯0. 0108+1. 318) ⨯108=2. 491⨯108mm 4 7-12．计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。
解：由型钢表可查得。单个参数如下： 面积A =19. 261cm 2=1. 9261⨯103mm 2 形心到边的距离z 0=2. 84cm =28. 4mm
对平行于边且过形心的轴的惯性矩I y C =I z C =179. 51cm 4=1. 7951⨯106mm 4
由于y D 是对称轴，且z D 过形心，根据形心主轴的性质可知y D 、z D 是形心主轴。
I z D =2I z C =2⨯1. 7951⨯106=3. 590⨯106mm 4
I y D =2(I y C +A ⨯(z 0+5) 2) =2(1. 7951⨯106+1. 926⨯103⨯(28. 4+5) 2) =7. 887⨯106mm 4 7-13．要使图示两个№10工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等，求距离a 的值。
解：查表得对单个工字钢：
面积A =14. 345cm 2=1. 4345⨯103mm 2
I y C =33. 0cm 4=0. 330⨯106mm 4 I z C =245cm 4=2. 45⨯106mm 4 对两个工字钢
I z =2I z C =2⨯2. 45⨯106mm 4=4. 90⨯106mm 4
I y =2(I y C
a 2a 263
+A ⋅) =2⨯(0. 330⨯10+1. 435⨯10⨯)
44
要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等，即：
a 2
4. 90⨯10=2⨯(0. 330⨯10+1. 435⨯10⨯)
4
6
6
3
解得：a =
76. 9mm