专题一 对运动图象的剖析及应用
一、“三类”运动图象的比较
1．位移—时间(x －t ) 图象
(1)位移是矢量，故位移—时间图象上只能表示物体运动的两个方向；t 轴上方代表的是正方向，t 轴下方代表的负方向；位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图象．
(2)位移—时间图象没有时间t 的负轴，因时间没有负值，画图时要注意这一点．
(3)位移—时间图象中，图线上每一点的斜率代表该点的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示物体速度的方向．
图1
【典例1】 图1是A 、B 两运动物体的位移—时间图象．下列说法正确的是
( ) ．
A ．两物体在同一直线上运动
B ．两物体在t 2时刻相遇
C ．两物体向相同的方向运动
D ．如果以正方向为前方，开始计时时物体B 在物体A 的前方
解析 题目明确指出物体的图象是位移—时间图象，由图象的特点可以知道，两物体做的是在同一直线上的运动，且在t 2时刻两物体相遇．因A 物体运动图线的斜率为正值，即A 物体的速度是正的，沿正方向运动；物体B 运动图线的斜率是负的，即物体B 的速度是负的，沿负方向运动．以正方向为前方，物体A 的初始坐标为负，物体B 的初始坐标为正，所以开始计时时物体B 在物体A 的前方．故正确答案为A 、B 、D.
答案 ABD
图2
即学即练1 甲、乙两车从同一地点出发，向同一方向行驶，它们的x －t 图象如图2所示，则由图可看出( ) ．
A ．乙比甲先出发，甲比乙先到达距出发点x 0处
B ．甲比乙先出发，乙比甲先到达距出发点x 0处
C ．两车的平均速度相同
D ．两车行驶时的速度相同
解析 甲车在t ＝0时开始运动，乙比甲后出发，但先到达距出发点x 0处，选项A 错误，B 正确；甲、乙两车行驶的位移相同，但甲所用时间长，两车的平均速度不相同，选项C 错误；从题图可以看出，直线的斜率相同，即两车行驶时的速度相同，选项D 正确．
答案 BD
2．位置坐标图象
表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动的路线，在坐标图上能表示出运动物体运动的位移．
【典例2】 (2013·全国新课标Ⅰ，24) 水平桌面上有两个玩具车A 和B ，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R . 在初始时橡皮筋处于拉直状态，A 、B 和R 分别位于直角坐标系中的(0,2l ) 、(0，－l ) 和(0,0)点．已知A 从静止开始沿y 轴正向做加速度大小为a 的匀加速运动，B 平行于x 轴朝x 轴正向匀速运动．在两车此后运动的过程中，标记R 在某时刻通过点(l, l) ．假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B 运动速度的大小．
解析 设B 车的速度大小为v . 如图，标记R 在时刻t 通过K (l ，l ) ，此时A 、B 的位置分别为H 、G . 由运动学公式，H 的纵坐标y A 、G 的横坐标x B 分别为
1y A ＝2l ＋2at 2①
x B ＝v t ②
在刚开始运动时，标记R 到A 和B 的距离之比为2∶1，即OE ∶OF ＝2∶1 由于橡皮筋的伸长是均匀的，在以后任一时刻R 到A 和B 的距离之比都为2∶1. 因此，在时刻t 有HK ∶KG ＝2∶1③
由于△FGH ∽△IGK ，有HG ∶KG ＝x B ∶(x B －l ) ④
HG ∶KG ＝(y A ＋l ) ∶2l ⑤
3由③④⑤式得，x B ＝2l ⑥
y A ＝5l ⑦
1联立①②⑥⑦式得，v ＝6al
1答案 6al
即学即练2
图3为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图象，
图3
下列说法正确的是( ) ．
A ．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B ．甲、乙、丙三个分队的位移相等
C ．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等
D ．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
解析 该图既不是运动物体的位移—时间图象，也不是速度—时间图象，而是表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动的路线．由此可以看出，甲、丙两个小分队的运动轨迹为曲线，乙小分队的运动轨迹为直线，三个小分队的位移一样，选项A 、B 均正确．三个小分队的运动时间不一定相等，选项C 、D 均错误．
答案 AB
3．速度—时间(v －t ) 图象
(1)因为速度是矢量，速度—时间图象只能表示物体运动的两个方向，t 轴上方代表正方向，t 轴下方代表负方向，所以速度—时间图象只能描述物体做直线运动的情况．如果物体做曲线运动，则画不出物体的速度—时间图象．
(2)速度—时间图象没有时间t 的负轴，因时间没有负值，画图时要注意这一点．
【典例3】 (2013·青岛质检
)
图4
甲、乙两辆汽车在平直公路上的同一地点，同时出发，分别向相反方向做如图4所示的运动，则下列关于汽车运动的描述正确的是( ) ．
A ．前80 s，乙车平均速度是甲车平均速度的四倍
B ．70 s末，甲乙两车的加速度大小相等、方向相同
C ．60 s末，两车相距最远
D ．80 s末，两车相距最远
解析 前80 s 内，乙车的位移大小是甲车位移大小的两倍，故乙车平均速度是甲车平均速度的两倍，A 项错；由图象知，70 s末甲、乙两车的加速度大小相等、方向相反，B 项错；80 s末两车相距最远，C 项错、D 项正确．
答案 D
图5
即学即练3 如图5所示是甲、乙两质点从同一地点沿同一直线运动的v －t 图线．关于两质点在0～8 s内的运动，下列说法正确的是( ) ．
A ．甲、乙两质点都在做匀速直线运动
B ．甲、乙图线交点对应的时刻两质点速度相等，且相距最远
C ．乙质点距离出发点的最远距离为80 m
D ．甲、乙两质点在t ＝8 s时同时回到出发点
解析 由v -t 图可知甲质点的运动是匀变速直线运动，乙质点从2 s时刻开始做匀变速直线运动，A 错；甲质点的加速度大小为a 1＝10 m/s2，乙的加速度大
20小为a 2＝3 m/s2，设向右运动为正方向，图线交点时刻为t 0时刻，则甲在前4 s内向右运动，4 s 时刻到t 0时刻向左运动，乙在2～5 s 时间内向左运动，前4 s 时间内甲向右运动而乙向左运动，距离越来越大，4 s 时刻到t 0时刻这段时间内甲、乙运动方向均向左，但甲的速度小于乙的速度，故继续拉大距离，直到t 0时刻以后开始缩小距离，故B 对；乙质点在前5 s内向左运动，之后向右运动，故乙质点在5 s时刻距离出发点最远，由乙图线与坐标轴围成的面积可知乙质点
1离出发点最远距离为2×3×20 m＝30 m，C 错；由图线与坐标轴围成的面积可知，
在8 s内甲运动的位移为零，乙运动的位移也为零，故D 对．
答案 BD
二、图象问题的解题思想
用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法．是一种直观且形象的语言和工具．它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律．运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：
1．读图
即从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过
程及规律，从中获取有效信息，通常情况下，需要关注的特征量有三个层面：
第一层：关注横坐标、纵坐标的物理意义
(1)确认横坐标、纵坐标对应的物理量各是什么．
(2)坐标轴物理量的单位也是不能忽视的．
(3)注意图象是否过坐标原点．
第二层：关注斜率、面积、截距的物理意义
(1)图线的斜率：不同坐标系中，斜率表示的物理意义不同．
(2)面积：由图线、横轴及图线上某两点到横轴的垂线段围成的几何图形的面积或由横轴、纵轴及图线上某点到两轴的垂线段围成的矩形的面积．
(3)截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距．
第三层：重视交点、转折点、渐近线
(1)交点：往往是解决问题的切入点．
(2)转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用．
(3)渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值和它的变化趋势．
图6
【典例4】 t ＝0时，甲、乙两辆汽车从相距70 km 的两地开始相向行驶，它们的v －t 图象如图6所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是( ) ．
A ．在第1小时末，乙车改变运动方向
B ．在第2小时末，甲、乙两车相距10 km
C ．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D ．在第4小时末，甲、乙两车相遇
解析 第1小时末，图象上的拐点并不表示运动方向改变，而表示由匀加速变为匀减速，故A 错；
由0～2小时末甲、乙两图线围成的面积可知，乙车位移为30 km ，甲车位移也是30 km，由图可知，此时两车相距10 km，故B 正确；
v －t 图象的斜率表示加速度，从斜率可以看出，4小时内乙车加速度一直比甲车加速度大，故C 正确；
v －t 图象的交点不表示相遇，只表示速度相等，由图象围成的面积知，甲的位移为120 km，乙的位移为30 km，原来相距70 km，最后相距20 km，故D 错．
答案
BC
图7
即学即练4 如图7所示，物体以初速度v 0冲上足够长的粗糙斜面，下列图中关于物体位移x 与时间t 关系的图象可能正确的是( ) ．
答案 AB
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．
图8
【典例5】 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB 边重合，如图8所示．已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘在桌面间的动摩擦因数为μ2. 现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度的
方向是水平的且垂直于AB 边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？(用g 表示重力加速度
)
解析 由题意可知，桌布以加速度a 在水平方向做匀加速直线运动，圆盘先在桌布上做匀加速直线运动，后脱离桌布在桌面上做匀减速直线运动，最后静止在桌面上．由此可知在v －t 图上画出桌布、圆盘运动的图象．设桌子的边长为l ，桌布在t 0时间内的位移为x 布，圆盘在桌布上做匀加速运动的位移为x 1，在桌面
l l 上做匀减速运动的位移为x 2，由图可知：x 布－x 1＝2，x 1＋x 2≤2.
22μ1⎫1212a t ⎛2＋ 且x 布＝20，x 1＝2a 1t 0，x 2＝2a ，a 1＝μ1g ，a 2＝μ2g . 由以上各式得：a ≥μ2⎪⎝⎭2
μ1g .
μ⎫⎛答案 a ≥ 2μ⎪μ1g ⎝2⎭
即学即练5 某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x ，从着陆到停下来所用的时间为t ，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( ) ．
x A ．v ＝t 2x x 2x C ．v >t D. t v
2x B ．v ＝t
解析 由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小．画出相应的v -t 图象大致如图所示．
根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x ，虚线(匀减速运动) 下
v v 2x 方的“面积”表示的位移为2t . 应有2>x ，所以v >t ，所以选项C 正确．
答案 C
专题强化练一
A 对点训练——练熟基础知识
题组一 位移－时间图象问题
1．(2013·西安模拟)(单选) 一个质点沿x 轴做匀加速直线运动．其位移—时间图象如图9所示，则下列说法正确的是( ) ．
图9
A ．该质点的加速度大小为2 m/s2
B ．该质点在t ＝1 s时的速度大小为2 m/s
C ．该质点在t ＝0到t ＝2 s时间内的位移大小为6 m
D ．该质点在t ＝0时速度为零
解析 质点做匀加速直线运动，设t ＝0时质点的速度为v 0，加速度为a ，
1由图象知t 1＝1 s时，x 1＝2 m；t 2＝2 s时，x 2＝8 m，利用公式x ＝v 0t ＋2at 2得：
1122x 1＝v 0t 1221，x 2＝v 0t 2＋2，代入数据解得a ＝4 m/s，v 0＝0，t ＝1 s时的速度2
大小为4 m/s，故只有D 正确．
答案 D
2．(2013·盐城模拟)(多选) 一条东西方向的平直公路边上有两块路牌A 、B ，A 在西B 在东，一辆匀速行驶的汽车自东向西经过B 路牌时，一只小鸟恰自A 路牌向B 匀速飞去，小鸟飞到汽车正上方立即折返，以原速率飞回A ，过一段时间后，汽车也行驶到A . 以向东为正方向，它们的位移—时间图象如图10所示，图中t 2＝2t 1，由图可知( ) ．
图10
A ．小鸟的速率是汽车速率的两倍
B ．相遇时小鸟与汽车位移的大小之比是3∶1
C ．小鸟飞行的总路程是汽车的1.5倍
D ．小鸟和汽车在0～t 2时间内位移相等
解析 设A 、B 之间的距离为x . 由t 2＝2t 1，结合图象可知，小鸟与汽车相遇
x 3时，汽车的位移大小为4，小鸟的位移大小为4x ，故A 错误，B 正确；小鸟飞行
6的总路程为4x ＝1.5x ，C 正确；小鸟在0～t 2时间内的位移为零，而汽车在0～t 2时间内位移大小为x ，故D 错误．
答案 BC
题组二 速度－时间图象问题
3．(多选) 四个质点做直线运动，它们的速度图象分别如下图所示，在2 s末能回到出发点的是( ) ．
解析 根据速度－时间图象所围的“面积”表示位移，时间轴以上的“面积”表示正向位移，时间轴以下的“面积”表示负向位移，总位移为两位移的代数和，可知A 、D 正确，B 、C 错误．
答案 AD
图11
4．(2013·龙岩质检)(单选) A 和B 两物体在同一直线上运动的v －t 图线如图11所示．已知在第3 s末两个物体在途中相遇，则下列说法正确的是( ) ．
A ．两物体从同一地点出发
B ．出发时B 在A 前3 m处
C ．3 s末两个物体相遇后，两物体可能再相遇
D ．运动过程中B 的加速度大于A 的加速度
解析 由v -t 图线与横轴所围面积表示位移可知，在第3 s末物体A 的位移比物体B 的位移大3 m ，所以出发时B 在A 前3 m 处，两物体不是从同一地点出发，选项B 正确，A 错误；3 s末两个物体相遇后，两物体不可能再相遇，选项C 错误；v -t 图线的斜率表示加速度，运动过程中A 的加速度大于B 的加速度，选项D 错误．
答案 B
5．(2013·银川模拟)(单选) 如图12所示，是从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的v －t 图象．在0～t 2时间内，下列说法中正确的是( ) ．
图12
A ．Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小
B ．在第一次相遇之前，t 1时刻两物体相距最远
C ．t 2时刻两物体相遇
D ．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是v 1＋v 22
解析 物体的加速度在v －t 图象中是每点对应切线的斜率，可知Ⅰ物体的加速度一直在减小，合外力不断减小，Ⅱ物体加速度不变，所受合外力不变，A
错误；由图象可知，在第一次相遇之前，t 1时刻两物体相距最远，t 2时刻两物体不相遇，B 正确，C 错误；Ⅰ物体的平均速度大于
答案 B
6．酒后驾车严重威胁公众交通安全．若将驾驶员从视觉感知前方危险到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离．科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化．一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动v －t 图线分别如图13甲、乙所示．求：
v 1＋v 22，D 错误．
图13
(1)正常驾驶时的感知制动距离x ；
(2)酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离Δx .
解析 (1)设驾驶员饮酒前、后的反应时间分别为t 1、t 2，由图线可得：t 1＝0.5 s t 2＝1.5 s
汽车减速时间为t 3＝4.0 s
初速度v 0＝30 m/s
v 0＋0由图线可得：x ＝v 0t 1＋2t 3
解得：x ＝75 m
(2)Δx ＝v 0(t 2－t 1) ＝30×(1.5－0.5)m ＝30 m
答案 (1)75 m (2)30 m
题组三 运动图象的综合问题
7．(单选) 某同学在学习了动力学知识后，绘出了一个沿直线运动的物体的加速度a 、速度v 、位移x 随时间变化的图象如下图所示，若该物体在t ＝0时刻，初速度均为零，则下列图象中表示该物体沿单一方向运动的图象是( ) ．
解析 A 项位移正负交替，说明物体做往复运动；B 项物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，然后做反向匀加速运动，再做反向匀减速运动，周而复始；C 项表示物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，循环下去，物体始终单向运动，C 正确；D 项从面积判断物体速度有负值出现，不是单向运动．
答案 C
8．(单选) 下列所给的图象中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是( ) ．
解析 A 选项为位移—时间图象，图线与t 轴相交的两个时刻即为相同的初始位置，说明物体回到了初始位置；B 、C 、D 选项中的图象均为速度—时间图象，要回到初始位置，则t 轴上方的图线与坐标轴围成的面积和t 轴下方的图线与坐标轴围成的面积相等，显然B 选项中只有t 轴上方的面积，故B 选项表示物体一直朝一个方向运动，不会回到初始位置，而C 、D 选项在t ＝2 s时刻，物体回到了初始位置，故选B.
答案
B
图14
9．(多选) 如图14所示的图象表示做直线运动的某一物体在0～5 s内的运动情况，由于画图人粗心未标明此图是v －t 图还是x －t 图，但已知第1 s 内的速度小于第3 s内的速度，则下列说法正确的是( ) ．
A ．该图一定是v －t 图
B ．该图一定是x －t 图
C ．在这5 s内，物体的速度越来越大
D ．在这5 s内，物体的位移越来越大
解析 若该图是x －t 图象，则图象的斜率表示速度，根据题图，该图线在第1 s内的斜率不为零，而第3 s内的斜率为零，说明物体在第1 s内的速度大于第3 s内的速度，故该图是v －t 图，选项B 错误，A 正确；v －t 图象的纵坐标表示瞬时速度，根据题图，该物体的速度先增大(0～2 s)后不变(2～4 s)然后再逐渐减小(4～5 s)，所以选项C 错误；v －t 图象的“面积”表示位移，根据题图，该“面积”越来越大，所以物体的位移越来越大，选项D 正确．
答案 AD
10．(单选) 如图15所示为物体做直线运动的v －t 图象．若将该物体的运动过程用x －t 图象表示出来(其中x 为物体相对出发点的位移) ，则下列四幅图中描述正确的是( ) ．
图
15
解析 0～t 1时间内物体沿正向匀速运动，选项A 错误；t 1～t 2时间内，物体静止，且此时离出发点有一定距离，选项B 、D 错误；t 2～t 3时间内，物体反向运动，且速度大小不变，即x －t 图象中，0～t 1和t 2～t 3两段时间内，图线斜率的绝对值相等，选项C 正确．
答案 C
B 深化训练——提高能力技巧
11．(2013·海南卷，4)(单选) 一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a －t 图象如图16所示．下列v －t 图象中，可能正确描述此物体运动的是( ) ．
图
16
T 解析 由a －t 图象知T ～2T 时间内的加速度跟0～2时间内的加速度大小相
等，方向相反，从而排除选项A 、B 、C ，本题选D.
答案 D
12．(多选) A 、B 两物体同时同地同向出发，其运动的v －t 图象和a －t 图象如图17甲、乙所示，已知在0～t 0和t 0～2t 0两段时间内，A 物体在v －t 图象中的两段曲线形状相同，则有关A 、B 两物体的说法中，正确的为( ) ．
图17
A ．A 物体先加速后减速
B ．a 2＝2a 1
C ．t 0时刻，A 、B 两物体第一次相遇
D ．2t 0时刻，A 、B 两物体第一次相遇
解析 由题图可知，虽然A 物体的加速度先增大后减小，但速度一直在增大，所以A 物体一直在做加速运动；由v －t 图象不难判断，在2t 0时刻，A 、B 两物体位移相同，又由于两物体从同地出发，故两者此时第一次相遇，C 错误、D 正确；由v －t 图象可知v 2＝2v 1，又由a －t 图象与时间轴所围面积等于速度的改变量，可得a 2＝2a 1，B 正确．
答案 BD
13．(单选) 我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年6月24日以7 020 m深度创下世界最新纪录(国外最深不超过6 500 m)．预示着可以征服全球99.8%的海底世界．假设在某次试验时，深潜器内的显示屏上显示出了深潜器
从水面开始下潜到最后返回水面这10 min内的深度图象(a)和速度图象(b)，如图18所示，则有( ) ．
图18
A ．(a)图中h 3代表本次下潜的最大深度，应为60 m
B ．全过程中最大加速度是0.025 m/s2
C ．超重现象应发生在3～4 min和6～8 min的时间段内
D ．整个深潜器在8～10 min时间段内机械能守恒
解析 由速度图象(b)可知，(a)图中h 3代表本次下潜的最大深度，应为(2＋4)×60222×2 m＝360 m，A 错误；全过程中最大加速度为 m/s＝0.033 m/s，260
B 错误；当深潜器有竖直向上的加速度时，处于超重状态，由图(b)可知应发生在3～4 min和6～8 min的时间段内，C 正确；整个深潜器在8～10 min时间段内减速运动的加速度是0.025 m/s2，所以机械能不守恒，D 错误．
答案 C
14．如图19甲所示，在水平地面上固定一倾角为30°的光滑斜面，一劲度系数k ＝100 N/m的轻质弹簧，其下端固定在斜面底端，整根弹簧足够长且处于自然状态．质量为m ＝2.0 kg的滑块从距离弹簧上端x 0＝0.35 m处由静止释放．设滑块与弹簧接触过程系统没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，取重力加速度大小为g ＝10 m/s2. 规定滑块释放处为坐标原点、沿斜面向下为位移x 正向．
图19
(1)请在图乙所示的坐标纸上画出滑块下滑位移在0.55 m 范围内，滑块加速度a 随位移x 变化的图象(即a －x 图象) ；
(2)由a －x 图象求出滑块下滑速度的最大值v m .
解析 (1)当滑块下滑位移x ≤x 0时，其加速度大小为a ＝g sin 30°＝5 m/s2；当滑块下滑位移大于x 0时，其加速度大小为a ＝
50x )m/s2. 所以，a －x 图象如图所示．
mg sin 30°－k (x －x 0)＝(22.5－m
(2)由a －x 图象可以看出，滑块下滑位移x ≤0.45 m时，滑块加速下滑，当x ＝0.45 m时，滑块加速度为零，此时速度最大．由运动学公式可以推得v 2m ＝2ax ，其中的“ax ”为a －x 图象时图线与x 轴包围的“面积”，由此可求得滑块下滑速度的最大值为：v m ＝ (5×0.35＋5×0.1
2)×2 m/s＝2.0 m/s.
答案 (1)见解析 (2)2.0 m/s
专题一 对运动图象的剖析及应用
一、“三类”运动图象的比较
1．位移—时间(x －t ) 图象
(1)位移是矢量，故位移—时间图象上只能表示物体运动的两个方向；t 轴上方代表的是正方向，t 轴下方代表的负方向；位移—时间图象只能描述物体做直线运动的情况，如果物体做曲线运动，则画不出位移—时间图象．
(2)位移—时间图象没有时间t 的负轴，因时间没有负值，画图时要注意这一点．
(3)位移—时间图象中，图线上每一点的斜率代表该点的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示物体速度的方向．
图1
【典例1】 图1是A 、B 两运动物体的位移—时间图象．下列说法正确的是
( ) ．
A ．两物体在同一直线上运动
B ．两物体在t 2时刻相遇
C ．两物体向相同的方向运动
D ．如果以正方向为前方，开始计时时物体B 在物体A 的前方
解析 题目明确指出物体的图象是位移—时间图象，由图象的特点可以知道，两物体做的是在同一直线上的运动，且在t 2时刻两物体相遇．因A 物体运动图线的斜率为正值，即A 物体的速度是正的，沿正方向运动；物体B 运动图线的斜率是负的，即物体B 的速度是负的，沿负方向运动．以正方向为前方，物体A 的初始坐标为负，物体B 的初始坐标为正，所以开始计时时物体B 在物体A 的前方．故正确答案为A 、B 、D.
答案 ABD
图2
即学即练1 甲、乙两车从同一地点出发，向同一方向行驶，它们的x －t 图象如图2所示，则由图可看出( ) ．
A ．乙比甲先出发，甲比乙先到达距出发点x 0处
B ．甲比乙先出发，乙比甲先到达距出发点x 0处
C ．两车的平均速度相同
D ．两车行驶时的速度相同
解析 甲车在t ＝0时开始运动，乙比甲后出发，但先到达距出发点x 0处，选项A 错误，B 正确；甲、乙两车行驶的位移相同，但甲所用时间长，两车的平均速度不相同，选项C 错误；从题图可以看出，直线的斜率相同，即两车行驶时的速度相同，选项D 正确．
答案 BD
2．位置坐标图象
表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动的路线，在坐标图上能表示出运动物体运动的位移．
【典例2】 (2013·全国新课标Ⅰ，24) 水平桌面上有两个玩具车A 和B ，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R . 在初始时橡皮筋处于拉直状态，A 、B 和R 分别位于直角坐标系中的(0,2l ) 、(0，－l ) 和(0,0)点．已知A 从静止开始沿y 轴正向做加速度大小为a 的匀加速运动，B 平行于x 轴朝x 轴正向匀速运动．在两车此后运动的过程中，标记R 在某时刻通过点(l, l) ．假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B 运动速度的大小．
解析 设B 车的速度大小为v . 如图，标记R 在时刻t 通过K (l ，l ) ，此时A 、B 的位置分别为H 、G . 由运动学公式，H 的纵坐标y A 、G 的横坐标x B 分别为
1y A ＝2l ＋2at 2①
x B ＝v t ②
在刚开始运动时，标记R 到A 和B 的距离之比为2∶1，即OE ∶OF ＝2∶1 由于橡皮筋的伸长是均匀的，在以后任一时刻R 到A 和B 的距离之比都为2∶1. 因此，在时刻t 有HK ∶KG ＝2∶1③
由于△FGH ∽△IGK ，有HG ∶KG ＝x B ∶(x B －l ) ④
HG ∶KG ＝(y A ＋l ) ∶2l ⑤
3由③④⑤式得，x B ＝2l ⑥
y A ＝5l ⑦
1联立①②⑥⑦式得，v ＝6al
1答案 6al
即学即练2
图3为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图象，
图3
下列说法正确的是( ) ．
A ．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线
B ．甲、乙、丙三个分队的位移相等
C ．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等
D ．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等
解析 该图既不是运动物体的位移—时间图象，也不是速度—时间图象，而是表示物体位置的坐标图，图线表示物体的实际运动的路线．由此可以看出，甲、丙两个小分队的运动轨迹为曲线，乙小分队的运动轨迹为直线，三个小分队的位移一样，选项A 、B 均正确．三个小分队的运动时间不一定相等，选项C 、D 均错误．
答案 AB
3．速度—时间(v －t ) 图象
(1)因为速度是矢量，速度—时间图象只能表示物体运动的两个方向，t 轴上方代表正方向，t 轴下方代表负方向，所以速度—时间图象只能描述物体做直线运动的情况．如果物体做曲线运动，则画不出物体的速度—时间图象．
(2)速度—时间图象没有时间t 的负轴，因时间没有负值，画图时要注意这一点．
【典例3】 (2013·青岛质检
)
图4
甲、乙两辆汽车在平直公路上的同一地点，同时出发，分别向相反方向做如图4所示的运动，则下列关于汽车运动的描述正确的是( ) ．
A ．前80 s，乙车平均速度是甲车平均速度的四倍
B ．70 s末，甲乙两车的加速度大小相等、方向相同
C ．60 s末，两车相距最远
D ．80 s末，两车相距最远
解析 前80 s 内，乙车的位移大小是甲车位移大小的两倍，故乙车平均速度是甲车平均速度的两倍，A 项错；由图象知，70 s末甲、乙两车的加速度大小相等、方向相反，B 项错；80 s末两车相距最远，C 项错、D 项正确．
答案 D
图5
即学即练3 如图5所示是甲、乙两质点从同一地点沿同一直线运动的v －t 图线．关于两质点在0～8 s内的运动，下列说法正确的是( ) ．
A ．甲、乙两质点都在做匀速直线运动
B ．甲、乙图线交点对应的时刻两质点速度相等，且相距最远
C ．乙质点距离出发点的最远距离为80 m
D ．甲、乙两质点在t ＝8 s时同时回到出发点
解析 由v -t 图可知甲质点的运动是匀变速直线运动，乙质点从2 s时刻开始做匀变速直线运动，A 错；甲质点的加速度大小为a 1＝10 m/s2，乙的加速度大
20小为a 2＝3 m/s2，设向右运动为正方向，图线交点时刻为t 0时刻，则甲在前4 s内向右运动，4 s 时刻到t 0时刻向左运动，乙在2～5 s 时间内向左运动，前4 s 时间内甲向右运动而乙向左运动，距离越来越大，4 s 时刻到t 0时刻这段时间内甲、乙运动方向均向左，但甲的速度小于乙的速度，故继续拉大距离，直到t 0时刻以后开始缩小距离，故B 对；乙质点在前5 s内向左运动，之后向右运动，故乙质点在5 s时刻距离出发点最远，由乙图线与坐标轴围成的面积可知乙质点
1离出发点最远距离为2×3×20 m＝30 m，C 错；由图线与坐标轴围成的面积可知，
在8 s内甲运动的位移为零，乙运动的位移也为零，故D 对．
答案 BD
二、图象问题的解题思想
用图象来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法．是一种直观且形象的语言和工具．它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律．运用图象解题的能力可归纳为以下两个方面：
1．读图
即从图象中获取有用信息作为解题的条件，弄清试题中图象所反映的物理过
程及规律，从中获取有效信息，通常情况下，需要关注的特征量有三个层面：
第一层：关注横坐标、纵坐标的物理意义
(1)确认横坐标、纵坐标对应的物理量各是什么．
(2)坐标轴物理量的单位也是不能忽视的．
(3)注意图象是否过坐标原点．
第二层：关注斜率、面积、截距的物理意义
(1)图线的斜率：不同坐标系中，斜率表示的物理意义不同．
(2)面积：由图线、横轴及图线上某两点到横轴的垂线段围成的几何图形的面积或由横轴、纵轴及图线上某点到两轴的垂线段围成的矩形的面积．
(3)截距：图线在纵轴上以及横轴上的截距．
第三层：重视交点、转折点、渐近线
(1)交点：往往是解决问题的切入点．
(2)转折点：满足不同的函数关系式，对解题起关键作用．
(3)渐近线：往往可以利用渐近线求出该物理量的极值和它的变化趋势．
图6
【典例4】 t ＝0时，甲、乙两辆汽车从相距70 km 的两地开始相向行驶，它们的v －t 图象如图6所示．忽略汽车掉头所需时间．下列对汽车运动状况的描述正确的是( ) ．
A ．在第1小时末，乙车改变运动方向
B ．在第2小时末，甲、乙两车相距10 km
C ．在前4小时内，乙车运动加速度的大小总比甲车的大
D ．在第4小时末，甲、乙两车相遇
解析 第1小时末，图象上的拐点并不表示运动方向改变，而表示由匀加速变为匀减速，故A 错；
由0～2小时末甲、乙两图线围成的面积可知，乙车位移为30 km ，甲车位移也是30 km，由图可知，此时两车相距10 km，故B 正确；
v －t 图象的斜率表示加速度，从斜率可以看出，4小时内乙车加速度一直比甲车加速度大，故C 正确；
v －t 图象的交点不表示相遇，只表示速度相等，由图象围成的面积知，甲的位移为120 km，乙的位移为30 km，原来相距70 km，最后相距20 km，故D 错．
答案
BC
图7
即学即练4 如图7所示，物体以初速度v 0冲上足够长的粗糙斜面，下列图中关于物体位移x 与时间t 关系的图象可能正确的是( ) ．
答案 AB
2．作图和用图
依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图象来研究和处理问题．
图8
【典例5】 一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB 边重合，如图8所示．已知盘与桌布间的动摩擦因数为μ1，盘在桌面间的动摩擦因数为μ2. 现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度的
方向是水平的且垂直于AB 边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？(用g 表示重力加速度
)
解析 由题意可知，桌布以加速度a 在水平方向做匀加速直线运动，圆盘先在桌布上做匀加速直线运动，后脱离桌布在桌面上做匀减速直线运动，最后静止在桌面上．由此可知在v －t 图上画出桌布、圆盘运动的图象．设桌子的边长为l ，桌布在t 0时间内的位移为x 布，圆盘在桌布上做匀加速运动的位移为x 1，在桌面
l l 上做匀减速运动的位移为x 2，由图可知：x 布－x 1＝2，x 1＋x 2≤2.
22μ1⎫1212a t ⎛2＋ 且x 布＝20，x 1＝2a 1t 0，x 2＝2a ，a 1＝μ1g ，a 2＝μ2g . 由以上各式得：a ≥μ2⎪⎝⎭2
μ1g .
μ⎫⎛答案 a ≥ 2μ⎪μ1g ⎝2⎭
即学即练5 某同学欲估算飞机着陆时的速度，他假设飞机在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为x ，从着陆到停下来所用的时间为t ，实际上，飞机的速度越大，所受的阻力越大，则飞机着陆时的速度应是( ) ．
x A ．v ＝t 2x x 2x C ．v >t D. t v
2x B ．v ＝t
解析 由题意知，当飞机的速度减小时，所受的阻力减小，因而它的加速度会逐渐变小．画出相应的v -t 图象大致如图所示．
根据图象的意义可知，实线与坐标轴包围的面积为x ，虚线(匀减速运动) 下
v v 2x 方的“面积”表示的位移为2t . 应有2>x ，所以v >t ，所以选项C 正确．
答案 C
专题强化练一
A 对点训练——练熟基础知识
题组一 位移－时间图象问题
1．(2013·西安模拟)(单选) 一个质点沿x 轴做匀加速直线运动．其位移—时间图象如图9所示，则下列说法正确的是( ) ．
图9
A ．该质点的加速度大小为2 m/s2
B ．该质点在t ＝1 s时的速度大小为2 m/s
C ．该质点在t ＝0到t ＝2 s时间内的位移大小为6 m
D ．该质点在t ＝0时速度为零
解析 质点做匀加速直线运动，设t ＝0时质点的速度为v 0，加速度为a ，
1由图象知t 1＝1 s时，x 1＝2 m；t 2＝2 s时，x 2＝8 m，利用公式x ＝v 0t ＋2at 2得：
1122x 1＝v 0t 1221，x 2＝v 0t 2＋2，代入数据解得a ＝4 m/s，v 0＝0，t ＝1 s时的速度2
大小为4 m/s，故只有D 正确．
答案 D
2．(2013·盐城模拟)(多选) 一条东西方向的平直公路边上有两块路牌A 、B ，A 在西B 在东，一辆匀速行驶的汽车自东向西经过B 路牌时，一只小鸟恰自A 路牌向B 匀速飞去，小鸟飞到汽车正上方立即折返，以原速率飞回A ，过一段时间后，汽车也行驶到A . 以向东为正方向，它们的位移—时间图象如图10所示，图中t 2＝2t 1，由图可知( ) ．
图10
A ．小鸟的速率是汽车速率的两倍
B ．相遇时小鸟与汽车位移的大小之比是3∶1
C ．小鸟飞行的总路程是汽车的1.5倍
D ．小鸟和汽车在0～t 2时间内位移相等
解析 设A 、B 之间的距离为x . 由t 2＝2t 1，结合图象可知，小鸟与汽车相遇
x 3时，汽车的位移大小为4，小鸟的位移大小为4x ，故A 错误，B 正确；小鸟飞行
6的总路程为4x ＝1.5x ，C 正确；小鸟在0～t 2时间内的位移为零，而汽车在0～t 2时间内位移大小为x ，故D 错误．
答案 BC
题组二 速度－时间图象问题
3．(多选) 四个质点做直线运动，它们的速度图象分别如下图所示，在2 s末能回到出发点的是( ) ．
解析 根据速度－时间图象所围的“面积”表示位移，时间轴以上的“面积”表示正向位移，时间轴以下的“面积”表示负向位移，总位移为两位移的代数和，可知A 、D 正确，B 、C 错误．
答案 AD
图11
4．(2013·龙岩质检)(单选) A 和B 两物体在同一直线上运动的v －t 图线如图11所示．已知在第3 s末两个物体在途中相遇，则下列说法正确的是( ) ．
A ．两物体从同一地点出发
B ．出发时B 在A 前3 m处
C ．3 s末两个物体相遇后，两物体可能再相遇
D ．运动过程中B 的加速度大于A 的加速度
解析 由v -t 图线与横轴所围面积表示位移可知，在第3 s末物体A 的位移比物体B 的位移大3 m ，所以出发时B 在A 前3 m 处，两物体不是从同一地点出发，选项B 正确，A 错误；3 s末两个物体相遇后，两物体不可能再相遇，选项C 错误；v -t 图线的斜率表示加速度，运动过程中A 的加速度大于B 的加速度，选项D 错误．
答案 B
5．(2013·银川模拟)(单选) 如图12所示，是从同一地点同时开始沿同一直线运动的两个物体Ⅰ、Ⅱ的v －t 图象．在0～t 2时间内，下列说法中正确的是( ) ．
图12
A ．Ⅰ物体所受的合外力不断增大，Ⅱ物体所受的合外力不断减小
B ．在第一次相遇之前，t 1时刻两物体相距最远
C ．t 2时刻两物体相遇
D ．Ⅰ、Ⅱ两个物体的平均速度大小都是v 1＋v 22
解析 物体的加速度在v －t 图象中是每点对应切线的斜率，可知Ⅰ物体的加速度一直在减小，合外力不断减小，Ⅱ物体加速度不变，所受合外力不变，A
错误；由图象可知，在第一次相遇之前，t 1时刻两物体相距最远，t 2时刻两物体不相遇，B 正确，C 错误；Ⅰ物体的平均速度大于
答案 B
6．酒后驾车严重威胁公众交通安全．若将驾驶员从视觉感知前方危险到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离．科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化．一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动v －t 图线分别如图13甲、乙所示．求：
v 1＋v 22，D 错误．
图13
(1)正常驾驶时的感知制动距离x ；
(2)酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离Δx .
解析 (1)设驾驶员饮酒前、后的反应时间分别为t 1、t 2，由图线可得：t 1＝0.5 s t 2＝1.5 s
汽车减速时间为t 3＝4.0 s
初速度v 0＝30 m/s
v 0＋0由图线可得：x ＝v 0t 1＋2t 3
解得：x ＝75 m
(2)Δx ＝v 0(t 2－t 1) ＝30×(1.5－0.5)m ＝30 m
答案 (1)75 m (2)30 m
题组三 运动图象的综合问题
7．(单选) 某同学在学习了动力学知识后，绘出了一个沿直线运动的物体的加速度a 、速度v 、位移x 随时间变化的图象如下图所示，若该物体在t ＝0时刻，初速度均为零，则下列图象中表示该物体沿单一方向运动的图象是( ) ．
解析 A 项位移正负交替，说明物体做往复运动；B 项物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，然后做反向匀加速运动，再做反向匀减速运动，周而复始；C 项表示物体先做匀加速运动，再做匀减速运动，循环下去，物体始终单向运动，C 正确；D 项从面积判断物体速度有负值出现，不是单向运动．
答案 C
8．(单选) 下列所给的图象中能反映做直线运动的物体不会回到初始位置的是( ) ．
解析 A 选项为位移—时间图象，图线与t 轴相交的两个时刻即为相同的初始位置，说明物体回到了初始位置；B 、C 、D 选项中的图象均为速度—时间图象，要回到初始位置，则t 轴上方的图线与坐标轴围成的面积和t 轴下方的图线与坐标轴围成的面积相等，显然B 选项中只有t 轴上方的面积，故B 选项表示物体一直朝一个方向运动，不会回到初始位置，而C 、D 选项在t ＝2 s时刻，物体回到了初始位置，故选B.
答案
B
图14
9．(多选) 如图14所示的图象表示做直线运动的某一物体在0～5 s内的运动情况，由于画图人粗心未标明此图是v －t 图还是x －t 图，但已知第1 s 内的速度小于第3 s内的速度，则下列说法正确的是( ) ．
A ．该图一定是v －t 图
B ．该图一定是x －t 图
C ．在这5 s内，物体的速度越来越大
D ．在这5 s内，物体的位移越来越大
解析 若该图是x －t 图象，则图象的斜率表示速度，根据题图，该图线在第1 s内的斜率不为零，而第3 s内的斜率为零，说明物体在第1 s内的速度大于第3 s内的速度，故该图是v －t 图，选项B 错误，A 正确；v －t 图象的纵坐标表示瞬时速度，根据题图，该物体的速度先增大(0～2 s)后不变(2～4 s)然后再逐渐减小(4～5 s)，所以选项C 错误；v －t 图象的“面积”表示位移，根据题图，该“面积”越来越大，所以物体的位移越来越大，选项D 正确．
答案 AD
10．(单选) 如图15所示为物体做直线运动的v －t 图象．若将该物体的运动过程用x －t 图象表示出来(其中x 为物体相对出发点的位移) ，则下列四幅图中描述正确的是( ) ．
图
15
解析 0～t 1时间内物体沿正向匀速运动，选项A 错误；t 1～t 2时间内，物体静止，且此时离出发点有一定距离，选项B 、D 错误；t 2～t 3时间内，物体反向运动，且速度大小不变，即x －t 图象中，0～t 1和t 2～t 3两段时间内，图线斜率的绝对值相等，选项C 正确．
答案 C
B 深化训练——提高能力技巧
11．(2013·海南卷，4)(单选) 一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a －t 图象如图16所示．下列v －t 图象中，可能正确描述此物体运动的是( ) ．
图
16
T 解析 由a －t 图象知T ～2T 时间内的加速度跟0～2时间内的加速度大小相
等，方向相反，从而排除选项A 、B 、C ，本题选D.
答案 D
12．(多选) A 、B 两物体同时同地同向出发，其运动的v －t 图象和a －t 图象如图17甲、乙所示，已知在0～t 0和t 0～2t 0两段时间内，A 物体在v －t 图象中的两段曲线形状相同，则有关A 、B 两物体的说法中，正确的为( ) ．
图17
A ．A 物体先加速后减速
B ．a 2＝2a 1
C ．t 0时刻，A 、B 两物体第一次相遇
D ．2t 0时刻，A 、B 两物体第一次相遇
解析 由题图可知，虽然A 物体的加速度先增大后减小，但速度一直在增大，所以A 物体一直在做加速运动；由v －t 图象不难判断，在2t 0时刻，A 、B 两物体位移相同，又由于两物体从同地出发，故两者此时第一次相遇，C 错误、D 正确；由v －t 图象可知v 2＝2v 1，又由a －t 图象与时间轴所围面积等于速度的改变量，可得a 2＝2a 1，B 正确．
答案 BD
13．(单选) 我国“蛟龙号”深潜器经过多次试验，终于在2012年6月24日以7 020 m深度创下世界最新纪录(国外最深不超过6 500 m)．预示着可以征服全球99.8%的海底世界．假设在某次试验时，深潜器内的显示屏上显示出了深潜器
从水面开始下潜到最后返回水面这10 min内的深度图象(a)和速度图象(b)，如图18所示，则有( ) ．
图18
A ．(a)图中h 3代表本次下潜的最大深度，应为60 m
B ．全过程中最大加速度是0.025 m/s2
C ．超重现象应发生在3～4 min和6～8 min的时间段内
D ．整个深潜器在8～10 min时间段内机械能守恒
解析 由速度图象(b)可知，(a)图中h 3代表本次下潜的最大深度，应为(2＋4)×60222×2 m＝360 m，A 错误；全过程中最大加速度为 m/s＝0.033 m/s，260
B 错误；当深潜器有竖直向上的加速度时，处于超重状态，由图(b)可知应发生在3～4 min和6～8 min的时间段内，C 正确；整个深潜器在8～10 min时间段内减速运动的加速度是0.025 m/s2，所以机械能不守恒，D 错误．
答案 C
14．如图19甲所示，在水平地面上固定一倾角为30°的光滑斜面，一劲度系数k ＝100 N/m的轻质弹簧，其下端固定在斜面底端，整根弹簧足够长且处于自然状态．质量为m ＝2.0 kg的滑块从距离弹簧上端x 0＝0.35 m处由静止释放．设滑块与弹簧接触过程系统没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，取重力加速度大小为g ＝10 m/s2. 规定滑块释放处为坐标原点、沿斜面向下为位移x 正向．
图19
(1)请在图乙所示的坐标纸上画出滑块下滑位移在0.55 m 范围内，滑块加速度a 随位移x 变化的图象(即a －x 图象) ；
(2)由a －x 图象求出滑块下滑速度的最大值v m .
解析 (1)当滑块下滑位移x ≤x 0时，其加速度大小为a ＝g sin 30°＝5 m/s2；当滑块下滑位移大于x 0时，其加速度大小为a ＝
50x )m/s2. 所以，a －x 图象如图所示．
mg sin 30°－k (x －x 0)＝(22.5－m
(2)由a －x 图象可以看出，滑块下滑位移x ≤0.45 m时，滑块加速下滑，当x ＝0.45 m时，滑块加速度为零，此时速度最大．由运动学公式可以推得v 2m ＝2ax ，其中的“ax ”为a －x 图象时图线与x 轴包围的“面积”，由此可求得滑块下滑速度的最大值为：v m ＝ (5×0.35＋5×0.1
2)×2 m/s＝2.0 m/s.
答案 (1)见解析 (2)2.0 m/s