《优因数学》的产生、发展与深远意义
作者：郭 启 庶 文章来源：本站原创 点击数：
虽然学校课堂上笔算一统，从学校出来的人人都会笔算，但在实用中，日常生活、财经商贸等等，人们却都是采用珠算，没有使用笔算的。虽然这其中不可能不产生疑惑，但人们来不及深究其所以然，见怪不怪，随大流就是了；个别人也只是暗中研究珠算。
更新时间：2007-12-3 11:02:53
任何事物的产生和发展都不是无缘无故的，与时间、空间的各种环境条件都有关系，有着历史的必然性。优因数学也是这样。
从20世纪开始，中国学校数学教育全盘西化，先仿效日本（日本也是搬西方的），继而仿效美国，再照搬苏联„„教材教法全部照搬，甚至采用西文原版教材。
虽然学校课堂上笔算一统，从学校出来的人人都会笔算，但在实用中，日常生活、财经商贸等等，人们却都是采用珠算，没有使用笔算的。虽然这其中不可能不产生疑惑，但人们来不及深究其所以然，见怪不怪，随大流就是了；个别人也只是暗中研究珠算。
但是，这种现象毕竟隐藏着有朝一日必然会爆发出来的问题，珠算为什么会这么有用？为什么数学课程中不能够运用？必然会有人探索、追根溯源的，只看时机了。
20世纪70年代末，有了“科学是第一生产力”的环境，研究珠算的人也有了希望，申请成立了珠算协会。史无前例的有了中国珠算的学术组织和学术研究。有关珠算的学术研究活动开展了起来，而且活动面越来越广泛。从追溯过去的改进学校珠算教学，到从一年级开始在数学课堂学习珠算的“三算结合教学”都进行了研究；珠算协会成立后广泛研究了在社会面上的珠算活动和业余教育，研究了国内外形成的广泛的珠心算教育活动„„逐渐引向研究中国传统数学（珠算）优越性之所以然的基础理论。
进一步关于中国传统数学的研究也逐渐展开。特别吴文俊先生论述了中国传统数学基本上是机械化的数学。要机器代替部分的脑力劳动，就需要机械化思想方法。所谓机械化，无非就是刻板化和规格化。让机器解答问题，必须先将问题刻板化、规格化，使得每前进一步，都有一个确定的必须选择的下一步，直到问题解决。机械化数学是相对于公理化数学说的。在“数学发展的历史过程中，公理化的演绎倾向与机械化的算法倾向往往互为消长交替成为当时数学的主流。由于计算机的出现，为后一种倾向带来了新的生命力。”吴文俊先生指出，中国传统数学机械化思想方法同公理化思想方法，[1]
是世界数学发展的两大源泉。机械化思想方法是中国古代数学发展的主线，电子计算机时代，正需要机械化数学，所以计算机的迅速发展普及，将为中国传统机械化的数学发扬光大创造极好的机遇。
吴文俊院士在为《中国数学历史》写的序言中具体指出：“以《九章算术》为代表的中国古代传统数学，与以欧几里得《几何原本》为代表的西方数学，代表着两种不同的体系，其思想方法各呈特色。前者着重应用与计算，其成果往往是以算法的形式表达。后者着重概念与推理，其成果一般以定理的形式表达。前者的思维方式是构造性与机械化的，而后者则往往偏重于存在唯一以及概念之间相互关系等非构造性的纯逻辑思维。前者由于它机械化的思维方式与算法形式的具体成果，从思想上与方法上正切合于计算机出现后的时代要求。”
回顾整个20世纪，中国国宝珠算在学校里，并没有受到数学教育主事者应有的重视和公正地对待。例如，虽然受到由于学生将来就业不得不用珠算的压力，小学不得不开设珠算课，但不作为数学课程内容，不是由数学教师任课，可教学可不教学，升学也不考珠算；教学计划中珠算课时越来越少，到了2000年在数学课程标准中完全剔除了珠算；此外，大学里没有珠算专业、学位，全国也没有研究珠算的专门机构„„总之，造成了一些人轻视珠算、轻视中国传统数学的误解，似乎珠算是雕虫小技，不足挂齿；当然，这种思想也有中国历史上“抑商”文化的影响。事实上具体分析起来，排斥珠算的学者、教育者，只是因为他没有学习、研究珠算，不知道珠算；而不是因为他科学论证了珠算对数学教育有什么不利，或者找到了比珠算更好的数学教育利器等等才轻视珠算的。
其实，学校数学课程照搬西方那一套教学知识结构，是16～17世纪在欧洲主要因为采用中国发明的“十进位值制”和印度数码符号，以及数学载体实施符号化等等比较优良的基因、范式编织而成的，比之西欧历史上（例如采用罗马数字的累数算）大大简化了，从而传遍全世界。但拿电子计算机信息时代的眼光来看，这一套教学知识结构并非处处简易无比、完美无缺，或者十分先进、现代化，一些地方已经过时了。例如，笔算模型与计算机算法矛盾。“不识庐山真面目，只缘身在庐山中。”如果，不囿于原来数学课程知识结构的成例，走出习惯圈外，就会发现它有诸多不足，繁琐、中看不中用，尤其不适应电子计算机时代的需要。
不过，直到现在国内外搞数学课改的人，还没有把注意力顾及到数学课程知识结构这一方面，大都是在老的课程知识结构的前提下考虑如何改进教学法。一本新近出版的论述数学教育的著作, 在介绍当前全球数学教育的新动向时，非常全面的概括列出了下页的对照表：
东西方数学教育比较表
平衡点
西 方 东 方
多种选择 统一要求
考试温和 考试严厉 [2]
学生建构 教师中心
强调理解 熟能生巧
基础松散——美国——西欧—俄国——日本——港台地区— 大陆——基础扎实
非形式化 形式演绎
适当演练 反复演练
个性发展 进度一致
轻松学习 负担过重
显然，此表很有独到见地的描绘出了世界数学教育研究当前的图像。作者是屈指可数的数学教育家，此论断是具有权威性的。作者还科学的创造性的指出了找平衡点的研究方向。
从表中我们可俯瞰全世界的数学课改的动向：东西方对比的多达各九项中，没有一项是涉及数学课程知识结构的内容。换句话说，我们可以这样理解：现在全世界大多尚没有考虑到改革数学课程知识结构。更不会考虑引入中国传统数学优秀思想方法„„要改革的仅是如何前后安排、增删内容，如
何教学的问题，即教学法问题；教学法东西方有差别，提出找它们的平衡点是科学的。
数学课程知识结构的决定性作用是显而易见的。例如，现在数学教学如果还采用西欧16世纪以前的那种罗马数字累数算为基础的知识结构，尽管你如何努力改革教材教法，能够取得现今世界上甚至最差的那样的教学效果吗？为什么现代就不需要从最重要、最有效的地方考虑数学课程改革呢？为什么不去考虑数学课程知识结构如何进行改革呢！它真的完美无缺吗？能够适应电子计算机时代的需要吗„„
我们来看作为现行学校数学课程知识结构基础的笔算，它虽然比罗马数字累数算简便易学，但比珠算繁难得多。阿拉伯数码没有计算功能，5＋3
与 拼在一起就是 。
凭借阿拉伯数码仅学会20以内加减，就需要死记硬背162个式子（加减法表）；而珠算只要掌握26个算母，一切计算问题都解决了。
再看，笔算漫布式思想方法与计算机程序式思想方法是矛盾的；笔算需要漫布式的列竖式来进行计算，占用储存空间较多。按笔算竖式脑算既难又缓慢。
珠算程序式与计算机一致，运算模型与计算机运算模型相同：省储存空间，不仅运算速度很快，而且适合脑算、适合计算机，是手脑机通用算法模型。数学教学采用珠算，不仅可大大简化计算，而且能够自然的整合数学与计算机教学。
如 37+52=79，用笔算、珠算、计算机三种方式来实现：
笔算运算模型 珠算运算模型 计算机运算模型
由上面的程序可以看出：笔算的运算模型与计算机是不同的，笔算竖式用了三个储存单元A 、B 、C ，而且3＋5＝8，7＋2＝9，还要靠死记硬背。珠算的运算模型、算法语言、程序与计算机是一致的；都是只用一个储存单元A 。而用笔算模型甚至解释不通计算机语言的涵义，如A ＝A ＋52，说它是方程，解此方程，0＝52有什么意义！可是计算机语句为什么一定要这么写呢„„而珠算则自然体现了计算机算法语言A ＝A ＋52的涵义（看上图）：算盘A 段的数，再＋52，得数还储存在A 段。用现行数学课本知识，之所以解释不通计算机算法语言，原因就在笔算与计算机运算模型矛盾；而珠算与计算机运算模型是相同的。
再来看，中国科学院院士李大潜在谈到“数学教育该走什么路”的问题时反复讲：“数学是一个整体的观念非常重要”，“对于数学教学也应该努力按照数学是一个整体的精神来安排，使学生真正理解数学，掌握数学。把统一的数学划分为支离破碎、没有内在联系的若干个分散、零乱的‘知识点’，然后随意的将它们组合、搭配起来形成各种各样的‘拼盘’交给同学，是一种缺乏科学态度的做法，也很容易将同学引入歧途。”“掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。” 可是，现行数学课程标准、数学课本是“知识点[3]
的拼盘”还是“一个整体”？
中国传统数学代表作《九章算术》，虽然是246个应用题，依然采取“以率为纲”作整体处理。数学是关于数量和形的科学，怎样来看它的整体呢？我们来看华罗庚论数学是从哪里开始的？华罗庚说：“数（sh u ）起源于数（sh u ）, 如一、二、三、四、五„„，一个、两个、三个„„。量（lia ng ）起源于量（lia ng ），先取一个单位作标准，然后一个单位一个单位地量。天下虽有各种不同的量，„„但都必须通过数才能确切地把实际情况表达出来。”显然，这里讲述的就是率思想方法，他讲数学是运用率思想方法从头讲起的。
这么基本、重要而有效的思想方法，现行中小学数学课程并没有有意识的加以运用。因而无法改变“知识点的拼盘”的现象。
中、外数学家都齐声赞叹“十进位值制”这一数学范式的高明、神奇的简化作用，赞叹由于引用十进位值制的“阿拉伯数码”，而使数学和数学教育发生了两重天般的变化。但是，许多数学教育者尚没有从根本认识到数学基因、范式的普遍意义，未能充分发挥这种思想，提出数学教育的“基因分析法”。特别，中国数学教育研究者大多未从这个角度看珠算和中国传统数学，从而不仅不积极引用，反而无端坚决地排斥它们。
电子计算机时代的到来，把以笔算为基础的数学课程知识结构推到改革的历史关口。
李俨、钱宝琮、吴文俊等诸位先生研究发掘中国传统数学的发明和世界意义的价值，把中国传统数学提到它本应当有的理性认识高度。
西洋数学（笔算）与中国传统数学（珠算）的碰撞；对珠算在实用中的优[4]/∨\\
越性、珠算活动的认识、研究；对珠算所以然的半个世纪理论研究等等，促成发现了数学教学基因分析法。
国家改革开发、自主创新的环境，课改的社会需求提供了优因数学孕育生长的空间。
以上这四点，就是优因数学产生的主要根源。这其实是学校数学教育全盘西化近百年来隐藏的问题的必然喷发。
二
优因数学是从珠算研究中萌芽的。由零星经验到理论化、系统化。珠算的应用优势、珠算活动、三算结合教学中显示的积极作用，虽然是零碎的，却给人们以直觉：为什么珠算这么有用？这意味着什么？
陈梓北教授在20世纪50年代就在思考这一问题，他提出“珠算是变而不是算”，就是珠算有自身的特点而不同于笔算；余介石教授于60年代提出珠算的“见子直拨法”，就是作珠算不要再拐向借助别的算法（笔算）来说明，应当根据它本身特点确定算法。
由数学教材中为何不能用珠算的问题，引起了对珠算基本机制的研究。 20世纪80年代研究发现：珠算与电子计算机原理一致，运算模型相同，系统相似，语言相应，程序相当，方法技巧可以共享；珠算是形象化的电脑，电脑是武装以电子技术的珠算；珠算是现成的图灵机，与图灵机等价，具有相同的计算能力。
另一方面，80～90年代，深入研究珠算本身，从基本思想方法（基因、范式）的层面，发现珠算在许多地方非常高明，在可比条件下至今仍然世界无匹。例如，珠算既解决了“位”可赋予不同值的问题，还解决了每个位上
的“记号”怎样最美妙的设计问题；珠码符号既体现累数制思想方法，又体现位值制思想方法，既形象，又直观，数学思想方法内涵十分丰富；珠码符号有计算功能，这是举世无双的记数符号的最突出的优越性；珠码符号，只拨一下某算母符号，输入、储存、运算、输出就一体完成了；珠码符号，既可以写画出来表示程序，又可直接在算盘上用手指拨动操作（拼排珠码自动得数，同时完成运算）；在各档设置好了各种珠码状态，需要谁就将它拨出即可；珠码符号省储存空间，一档就能够拨出十个码，而且这档可以用了再用，从而可普适于手操算、脑算和计算机；珠码符号二元示数，对立统一，处理正、负数自然天成，左右逢源，从而可使整个数学大为简化；珠算符号、模型还有体现数字化几何思想方法的图形功能，操作珠算符号运算，从几何的角度看就是在进行图形变换，既能够透彻地体现数形结合思想方法，又体现了计算机几何的思想方法，即用离散的数字化方式表示图形„„珠算符号、模型是人类最高智慧的显示之一，它的意义和价值比起单说位值制有过之而无不及。古今中外迄今再找不到第二例这么科学，具有这么多优点的相当的记数符号和运算模型。
从珠算进行基因、范式分析的收获中受到启发，进一步对整个中国传统数学深入分析、研究，发现了不少有现代价值的基本思想方法，特别是发现了率思想方法对数学教学教育的无比价值。
人们为什么没有想到在数学课程中运用珠算、运用中国传统数学的率思想方法，就是没有想到对数学课程知识结构进行基因分析。运用“基因分析法”也发现了西洋数学中最有价值的思想方法——符号化思想方法。16～17世纪在西欧形成的数学课程知识结构，之所以传遍全世界，符号化思想方法起着
决定性的作用。
在这些研究收获的基础上，2000年3月初笔者为了在香山会议之科学论坛上发表，写出《采用ZSNJ 算法，实施数学教学“基因工程”》一篇长文。所谓ZSNJ 算法就是通过对中西算法的“扬弃”，从集中体现中算(ZS)法特点的珠算(ZS)的强“基因”中繁衍出的手(S)算、脑(N)算、机(J)•算通用的具有一体性和二元示数特性的简捷(J)算法模型。本文共有以下11个部分：
一、一位老科学家对教育的期望 1
二、我国数学教学怎样改革 1
三、新思路：进行“基因”分析 2
四、阿拉伯数码没有计算功能，“笔算模型”不适用于计算机 3
五、珠算具有强“基因”，将其符号化功能强大优越无比 6
六、脑算是智力核心，采用“笔算模型”是死记硬背的根源 10
七、计算机运算模型、原理机制均与“笔算体系”不同 11
八、实施数学教学“基因工程”：从手拨珠算起步 15
九、“基因工程”里的脑算和计算机 20
十、ZSNJ 算法 25 十一、运用ZSNJ 算法，实施数学教学“基因工程” 27 文章最后说明：特别，珠算是我们的国粹，现在我们从其中发掘出数学、算法的强“基因”，发展成对今天的数学教育特别有效的ZSNJ 算法，是切实的真正的弘扬了中华优秀传统文化，也是进行爱国主义教育的扎实的有说服力的教材。
ZSNJ算法不仅能在数学教育上发挥巨大的作用，而且因为它是在现代科
学技术环境里对东西方数学、算法“扬弃”的结果，既包括着古老科学技术的强“基因”，又直通最先进的计算机信息科学技术。所以，无论从其具有一般意义的哲学思想方法来看，或是从其具体原理、法则、操作技术方面来看，无论从教学或是从科研来看，它都具有积极开拓的意义。
实施数学教学“基因工程”，凭借有计算功能的珠码符号运算，采用ZSNJ 算法，将会同当年采用阿拉伯数码和笔算一样，具有历史意义、世界意义。 笔者感到这是一项大的系统工程，仅仅一篇论文，是难以论述清楚的。尤其，只有“基因工程”的基本思想还不够，必须对古今中外的数学教学发展情况进行分析研究，从正反面经验中看到数学课程知识结构采用优秀基因、范式的决定性意义；还应当给出蓝图，方可奠定实施此教学基因工程的基础。于是笔者（2000年5月开始）即进行系统研究，写作《数学教学优因工程》一书，主要包括中国传统数学的珠算符号、模型，率思想方法，以及西洋数学的符号化思想方法等强基因、范式的论述和运用，直到2005年7月完稿，约80万字。分为下面的九章：
第一章 历史上的欧洲数学及其教学
第二章 中国古代及近代的数学及数学教育
第三章 20世纪中国数学教学概论
第四章 数学教学的“基因”分析法
第五章 珠算“基因”
第六章 率思想方法
第七章 幼儿园数学教学优因工程
第八章 小学数学教学优因工程
第九章 中学数学教学优因工程
显然，只停留在著作，进行论述、宣传道理是不够的，必须开展教学实验。于是从2001年底开始，编著教材；从2002年下学期开始教学实验，从开始时的3个实验班，到目前的30多个班。现在，教材已经编出第8册（准备编出九年义务教育的数学教材18册），最先实验的五龙口班已经到四年级。从2004年开始正式采用“优因数学”这一名称，来概括这一数学课程知识结构和教学实验。
结合教学实验编写教材，是一个不断完善的过程，有更精细的发现，措施也更具体了。如以珠算符号模型、率思想方法、符号化思想方法为基础，已经发现并总结出至少8项强有力的根本简化措施（见专文）；实验效果比预料的好，3年就完成了原来6年的教学任务（见专文）。
三
“优因数学”是一项自主创新工程，是一项有远大研究发展前途的科技教育事业，会惠及亿万子孙后代。在《运用ZSNJ 算法，实施数学教学“基因工程》一文中曾经举过两例：
其一，在农业上，很注重改良品种而不只是注意改善种植、管理技术。袁隆平改良水稻品种，有多么大的作用，农业科技界对其成果给予了多么高的评价！教育教学上有没有“改良品种”的问题？显然，各课程的教学理当有“改良品种”（改进课程知识结构）的问题，而不只是改善“种植、管理技术”，即不只是改善教学方法或改变教学时间。在课程教学上“改良品种”的功效不亚于农业上的改良品种，几亿学生节约时间、提高质量，同水稻提高质量、产量的意义相当，一者是精神形式，一者是物质形式而已。教育界
是不是也应当倡导“改良品种”，从“基因”上下功夫，培育“新品种”？道理是明摆着的。
其二，关于中小学开设“信息技术课”是人们关注的焦点，1999年就曾有教育部一基础教育负责人答记者问指出：“以计算机和网络技术为核心的现代技术的不断发展”必须“改变以往按步就班推进的模式，以跳跃式的发展模式使中小学信息技术教育迈上一个新的台阶。”并规定了日程表：小学在2003～2010年，初中在2001～2005年，高中在2001年完成开设信息技术必修课。小学从三或四年级开始，课时一般为68至136学时，“侧重对学习、使用计算机的兴趣和意识的培养。”“我国现有中小学校69万所，中小学生2亿多人，•这意味着巨大的需求，同时也意味着严峻的挑战，面临各种困难。”记者还算了一笔账：两亿学生目前只拥有计算机100万台，专职教师7万名；按5%的学生接受计算机教育，人机比为200:1，生师比是20000:7。于是，信息技术教育须要“做沸水中跳出的青蛙”。
显然，这里仍存在着许多问题，例如，2010年开信息技术课的小学，那么这10年间就不学习信息技术了吗（10年以后信息技术又发展成什么样，可想而知）？只有5%的学生接受计算机教育，另外95%能停止、•中断或不接触信息技术教育吗（因为即便现行数学课有关方法也是与计算机矛盾的，无法借助别的课程进行）？小学三或四年级开始，在这以前呢，就不牵涉信息技术教育吗？68至136学时就能培养起学生“对学习、•使用计算机的兴趣和意识”吗？还有，若平均10人一台机器，需2000万台，何时能装备起这么多机器，缺乏机器就不能进行信息技术教育了吗„„
如果换一个思路，数学教育采用“优因数学”就不存在上述这些问题，[5]
随着数学教育的进行，任何时候都在进行一定的信息技术教育，只不过是用手、脑直接实施算法或进行有关的信息技术操作。一旦有了计算机，对计算机原理或编程方法技巧已是水到渠成，这时“鸟枪换炮”，可以凭借电子技术实施算法、进行信息技术操作，速度和储存量等等不可同日而语，岂不感到十分有趣！而且具体到一定的算法语言，也容易理解操作指令、原理和编程方法，还可以分享ZSNJ 算法之手算、脑算解题时的方法技巧，岂不乐哉。 孙中山先生曾经感慨地说过：“知难行易。”在某些情况下确实如此。优因数学教学实验中就有这种情况。真正认识到位了，做起来并不难。例如五龙口实验小学，校长、教师都相信科研兴校，原来在活动课稿过珠心算；也曾经把珠心算引入数学课堂，用珠心算替代笔算；但感到这样做远不够，于是最先开展优因数学教学实验，取得了一个接一个的激动人心的好效果，学校也由200多学生发展到800多学生，成了全市、全省甚至全国闻名的学校；事实说明，只要认识到了，做起来、搞成功，不是难事，往往比预料的效果还好（详见专文）。再如，河南少年先锋学校，由于校长具有强烈的改革创新意识，在语文、外语等方面都取得了显著成绩，于是想要数学教改也创新局面，遍访全国各地各种数学课改，接触到了“优因数学”后，觉得与其“纳容东西智慧，传承中华文明”的先锋教育理念共识一体，认识到“优因数学”有创纪元的意义，将在历史上留下厚重的一笔，从而开展实验力度很大，一年级下学期中途改为“优因数学”，不惜一切人力物力投入，在一年半内开起了18个实验班，取得了预想的效果；原来有的家长不理解，学校积极宣传、解释、组织教学汇报活动，使得许多家长心悦诚服、大力支持学校开展教学实验。类似的情况还发生在山高学校„„
事实证明，是时代孕育产生了优因数学；而且现在更有了成长的条件。刚刚召开的全国科技大会，提出“建设创新型国家”的概念和任务。胡锦涛讲话指出：“建设创新型国家，必须大力发扬中华文化的优良传统，大力增强全民族的自强自尊精神，大力增强全社会的创造活力。”“要大力弘扬以爱国主义为核心的民族精神和以改革创新为核心的时代精神，增强民族自信心和自豪感，增强不懈奋斗、勇于攀登世界科技高峰的信心和勇气。要在全社会培养创新意识，倡导创新精神，完善创新机制，大力提倡敢为人先、敢冒风险的精神，大力倡导敢于创新、勇于竞争和宽容失败的精神，努力营造鼓励科技人员创新、支持科技人员实现创新的有利条件。”这些话是我们多么殷切的企盼啊！数学课程知识结构全盘照搬100多年，粗暴地排斥中国传统数学优秀思想方法；尽管“优因数学”非常有道理，是唯一大力发扬中华文化的优良传统的数学教育，简易、高效而现代化，实验效果无与伦比地好„„还是屡屡遭遇某些人拿种种条条框框的腰斩；研究人员、实验学校校长、老师无不是冒着“摘掉乌纱帽”、“评不上职称”等等的风险在进行工作, 甚至在做“地下工作”；在走高速公路到达目的后，仍然得不到承认，不得不折回到出发地又从羊肠小路再步行走一趟（考他们原来的那么落后的一套）才被承认到达，白白地浪费了大量的大好时光，加重了学生的负担！ 不难推测，今后的“优因数学”研究、实验，免不了还会遇到种种阻挠或曲折，但在“建设创新型国家”的大环境中，阻挠者毕竟没有法理依据、没有了舆论优势，习惯是挡不住科学的！优因数学幸运，遇上了历史机遇，“天时”难得！又有了一批优因数学研究者、教育改革者、校长和教师，具备“人和”的条件！现在就看“地利”了，中国这么大，世界那么大，总会碰到有
共识者！天时、地利、人和齐备，大事该成！优因数学幸甚！优因数学的发展前景远大，无限美好光明，前途无量！ （完稿于2006.1.12） 注：[1]石赫 著《机械化数学引论》3页，湖南教育出版社，1998年第1版。
[2]张奠宙 李士锜 李俊 编著《数学教育学导论》16页，高等教育出版社，2005年5次印刷。
[3]参见《数学教育该走什么路》一文，载《光明日报》2005年6月7日2版。
[4]《华罗庚科普著作选集》327页，上海教育出版社，1997年3
月第2 次印刷。
[5]见《中国教育报》，1999年12月13日。
作者通讯：邮编：450002， 地址：郑州市农业路23号附10号2-35 电话：（0371）63971425， 电子信箱：[email protected] 《数学教学优因工程》前言
如果学生未能学好数学，就笔者曾经有过的亲身体验所及，作为教师常常只从自身找原因，以为是未能领会教材精神和吃透教材，或者觉得教学法不当；作为教科书编者常常感到自己未能按课程设计者规定的教学知识结构编出好教材，未完全体现其意图；作为课程设计者则觉得照搬外国教学知识结构是先进的可靠的，只怪自己未念好“洋经”；作为数学教育研究者，常常只在从外国引进的圈子里转来转去，苦思冥想；有时也可能出现相互埋怨的情况„„但极少敢从全盘照搬来的数学课程知识结构质疑，特别是不敢质
疑教材所运用的数学基因、范式的优、劣，及其所造成的决定性的影响。例如，不敢质疑“印度——阿拉伯数码”有否缺点和问题。笔者经若干年甚至几十年后，才慢慢地悟出：作为中国数学教育工作者仅自责是不够的，需要调整思路，另辟蹊径，找深层原因。
在数学教学和研究上所经历的曲折和教训，迫使笔者去考察数学教学的历史，例如，西欧16世纪开始，用十进位值制的阿拉伯数码笔算替代罗马数字累数算的课程知识结构，似是微小的变革，却使数学教学跨越了两重天。从这类事例中发现对数学教学真正有决定意义的因素，是选择优秀数学基因、范式，用它们构建优越的数学课程知识结构。这里“数学基因”是借用生物学概念，比喻它们有像生物基因一样的决定性作用。优秀基因繁衍的生物才是真正强大的；同理，用优秀数学基因、范式构建繁衍的数学课程知识结构才是真正优越的，从而花费同样的力气据以编出的教材、实施的教法就能够取得迥然不同的好效果。本书强调首先从基因、范式层面比较、研究，初衷就来自这里。这可能是本书不同于其它数学教育教学著作的地方。 “数学”，从抽象的高度看不可再分化，这是个一般化的总概念。就像“人”，从抽象的高度看也是个一般化的总概念。但仅停留在一般化总概念上是不够的。例如与人打交道，自然而然会去分辨不同人种、国籍、地域、文化、风俗、职业、经历的人，此外还有人的不同个性等等；同样，研究数学教育，也不能停留在数学一般化的总概念上，有必要分辨西洋数学、中国数学；公理化数学、机械化数学；笔算数学、珠算数学；劣因数学、优因数学；甚至还有计算机数学、经济数学等等。中国自1840年以来的屈辱历史，也给中国传统数学带来了灾难。中国学校数学教育全盘照搬西洋数学，极力排斥、
贬抑中国传统数学；现在学校数学课本中已经没有中国传统数学的影子，如果以为这是“中国传统数学融入了世界数学潮流中”，就可能滥用了数学“一般化总概念”。这样来自我安慰，是于事无补的。具体说来，西洋数学、中国数学的区别，就是运用的基因、范式有所不同，或者说基本思想方法上有某种区别和倾向。从而有各自的优点和不足，因此全盘照搬西洋数学，彻底排斥中国数学是不科学的。
本书倡导对于数学教学，要首先进行基因分析，提出了基因分析法。运用古今中外的数学教育兴衰的历史事实论证了优秀数学基因、范式的决定性作用。尤其是论述了西洋数学、中国数学中的优秀基因、范式。例如，西洋数学之符号化思想方法；中国数学之珠算符号、模型，率思想方法，机械化思想方法，等等，都具有无比的优越性。运用基因分析法，不论对现行的、历史的、引进的数学课程知识结构都有法分辨优劣，过去看不透的问题，能够看清楚了；有可能跳出习惯、迷信和成见的包围圈。本书对于珠算符号、模型及率思想方法等的发现、发明是较多的，论述也比较有力、详尽；特别对于中国民间的数学教育情况，积累的经验等进行了收集、整理；对于民间数学教育所起到的作用，从基因层面进行了探讨。许多论述，是其它同类著作中没有的，也是著者本人以往的著作所不能比拟的；其原因盖在是否运用基因分析法。
本书不仅停留在对优秀数学基因、范式的发现和论证上，而是研究如何选择、融合中西数学优秀基因、范式来构建简易、高效且现代化的数学课程知识结构，以达既减轻负担，又提高质量。本书给出了这种数学课程知识结构基本框架，描绘出了蓝图。特别对于第一学段（一至三年级），已经按蓝图
编著了教材1～6册（现在已经编著出九册），进行了教学实验，初步获得了成功：花费相同的教学时间，三年基本完成了按搬来的课程知识结构六年的教学任务；而且后续的许多个实验班证明，这种数学教学是可以复制的，并不限个案。
从数学基因、范式层面看，中国传统数学是一座蕴量丰富的大宝藏。除少数数学史家特别是以吴文俊先生为代表的数学史研究者作出了它本来应当有的高度评价外，更多的是不了解机械化数学的意义，因而使中国传统数学蒙受不公正的待遇，无端受贬抑。不仅某些外国学者贬抑、漠视，说“忽略”中国数学是因为它“对于数学思想的主流没有重大的影响”；而且还有中国某些学者也跟着误解、贬抑，其状也不逊色。
其中突出的例子就是对待珠算。珠算至迟从明代开始，就风行全国以致日本、东南亚等地六百多年，直到电子计算机出现之前，无论东方和西方各种算具算法包括手摇计算机，从实用方面来看，功能、效率没有超过珠算的。即便到今天，从处理信息方面看：最好的机器方式是电子计算机，最好的人工方式仍然是珠算、珠心算；从作为数学教育的优秀基因、范式层面看，其优越性堪称天下无匹。本书从基因、范式层面系统论述了珠算直至今天为止的许多世界第一（占全书篇幅的五分之一），意在尽可能弥补历史缺憾。 可能因为不了解机械化数学的意义，未从基因、方式层面进行分析，中国确曾有过学者有意无意地贬抑珠算。例如，明代珠算发展趋于完善，标志着中国历史上机械化数学发展的高峰，从全世界范围看，当时也没有能够出其右者。然而中国有的数学史研究者，可能单纯以公理化数学为圭臬，从而不屑看珠算，把明代定为中国数学发展的“沉寂期”；其后，又有人进一步的
发挥，如说：中国数学到明代“中断”，进而是“倒退”，再进而“倒退是由于珠算发达引起的”„„极端者甚至说：“中国发明珠算不啻是历史悲剧”！本书就历史事实进行了详细考证考察，发现论者并没有什么事实根据，未见其对珠算“缺点”进行过科学论证。始作论者无非是想当然的臆断，追随者则以讹传讹。应当恢复历史的本来面目，还珠算以公道。在这方面，本书正本清源，论证是比较详尽的。
上述对珠算的种种非论，虽然与珠算使用者的实际经验体会相悖，但使用珠算的受益者没有时间或没有条件给以辨析，以致弄假似乎成真，使数学教育界百年以来，陷入两难境地：学校数学课程如果纳入珠算，怕给数学教学造成“不良后果”；不教珠算又不能满足实际需要。造成学校数学教学中“学的（笔算）无用，用的（珠算）不学”的畸形。到了今天，以为有电算机（器），实用中可以不用珠算，在某些人中有了“理由”，似乎“谈珠色变”，数学教学中忌讳珠算，教材中回避珠算字眼和算盘图唯恐不及（虽然在那里引用珠算会大大有好处），宁可用小棒、每档10珠的“计数器”（实际是俄罗斯算盘）等，也要远离世界第一的中国珠算。本书对这些现象追根究底，拨乱反正，特别考证考察了中国数学课程全盘西化以来的数学教育历史，发现并没有谁对珠算进行过独立思考的科学研究，论证过用珠算对数学教学有没有不良影响。数学课程中排斥珠算的操持者，从来也没拿出过科学根据。本书特别注意从这方面进行专题研究、论证，澄清事实真相，阐述珠算和数学教育的有关问题、纠葛的症结所在和来龙去脉。
珠算是凸现中国古人的高超智慧的一项天才发明。特别通过现代研究，对古珠算“扬弃旧义，创立新知”实现了珠算符号化；从数学教育基因、范
式层面看，珠算简单而功能强大，优越无比，经得起严格科学论证和推敲。例如，珠算模型是手操算—脑算—计算机通用算法模型，世界独一无二；珠码符号是集成了包括累数制、位值制的优秀机制的记数符号，也是世界独一无二的；由珠算符号获得了算母符号，拼排算母即完成运算；过去只有字母拼排词而没有算母拼排算，现在从珠算中发现了算母符号，在世界上举不出第二例，很难再设计出一种算母符号！珠算具有输入、储存、运算、输出一体性，还有二元示数，使教学正负数自然天成„„更一般地设想一下，即便现代人聪慧，也难再创造一种比珠算更简单而功能更强大的信息处理载体机制，难再创造出这么唯肖唯妙的数学模型和教具、学具„„我们如果设身处地想一想，试一试就不难体会到！ 有人认为电子计算机比珠算强，但从基因层面即从数学原理、算法机制方面看，二者是一样的（计算机尚未能实现“一体性”），差别只在计算机运用了电子技术，驱动方式比手工操作强。
我们应当为祖先发明了珠算而自豪！尤其，我们现在想到的运用符号化思想方法，以及珠算符号、模型、率思想方法等中、西数学这些最优秀的基因、范式，用它们来构建简易高效而现代化的数学课程知识结构（简称优因数学），将胜过历史上的，包括用阿拉伯数码笔算构建的一切数学课程知识结构，将创造出史无前例的数学教育。尤其从传承中华优秀文化传统内容角度来看，更觉此途径优越、机会难得、发人深省。笔者每思及此，就不免感到很幸运！真正的好东西终究会被人们认识和接受的，会兴起来而传遍全世界的。因此，实施这种数学课程知识结构是早晚的事，晚实施不如早着手！
显然，这是一项系统工程。本书创建了理论基础，相当描绘出了这种数学课程知识结构蓝图；教材相当是依据蓝图的建筑物，通过教材才能把这种
数学课程知识结构落实下来。当然编写教材又是一个再创造过程。我们已经完成了第一学段三年的教材，待到全部教材完成之日，也就是中国传统数学，以及珠算、率思想方法等在数学教育中的地位和作用不易撼动之时。珠算优越无比，但过去处于弱势地位，重要原因之一，就是没有由珠算符号、模型构建的数学课程知识结构；笔算远远不如珠算，但由于有用笔算构建的数学课程知识结构和编写的教材，就反而被人误认为笔算高人一等，“珠算不能与笔算相比”、“上不得大雅之堂”；处处以笔算为圭臬，要珠算归化成笔算向落后看齐。
“闻道有先后，术业有专攻”。虽然这种数学课程知识结构优越无比，但不能一蹴而就。开普勒在《宇宙的和谐》一书中写道：“我为同时代以及后代的读者写的这本书，也许要等待100年后才会等到它的读者，可是神不也是等了6000年才等到它的观察者吗？”其实，历史上西欧用中国十进位值制和阿拉伯数码的笔算取代罗马数字的累数算也花费了400多年；即便在中国引进阿拉伯数码笔算也经历了诸多曲折。
我们比较乐观，相信被人们广泛认识而推广开来，不会等那么多年！因为，首先有现在提倡弘扬中国优秀文化、提倡改革和自主创新的大环境；再者，由于笔算与计算机运算模型、算法思想是矛盾的，速度缓慢缺乏追求高效率的观念，几何也只限于连续方式表达的模拟图形等等，原来以笔算为基因、范式建立的数学教学知识结构，已经不适应电子计算机时代的需要，到了必须改革的历史关口，换言之是有历史机遇；最后，由于这种融合中、西数学优秀基因、范式构建的数学课程知识结构，不仅简易、高效而现代化，具有无比优越性，而且道理清楚明白，又很容易验证：用到数学教育中，很
快就能够看到它的突出效果；特别还很容易复制而推广开来。
事实上，这些已被河南济源五龙口学校、河南少年先锋学校、海口山高学校等等学校的教学实验所证明或正在被证明。海南一二三文教有限公司，从珠心算教育起步，面向现代，面向未来，面向世界，追求自主创新数学教育，以传承中华优秀文化传统为己任，全力推行简易高效而现代化的优因数学教育事业，积极开展优因数学科学技术转化、教育产品研发以及教学实践活动，为子孙后代造福。
本书的出版，得到了海南一二三文教有限公司、上海市珠算心算协会等的资助和支持，以便实验者和教师等理解有关的理论基础、理念和构建蓝图，切实推动优因数学实验研究。在此作者衷心地表示感谢！
编辑：乐天
《优因数学》的产生、发展与深远意义
作者：郭 启 庶 文章来源：本站原创 点击数：
虽然学校课堂上笔算一统，从学校出来的人人都会笔算，但在实用中，日常生活、财经商贸等等，人们却都是采用珠算，没有使用笔算的。虽然这其中不可能不产生疑惑，但人们来不及深究其所以然，见怪不怪，随大流就是了；个别人也只是暗中研究珠算。
更新时间：2007-12-3 11:02:53
任何事物的产生和发展都不是无缘无故的，与时间、空间的各种环境条件都有关系，有着历史的必然性。优因数学也是这样。
从20世纪开始，中国学校数学教育全盘西化，先仿效日本（日本也是搬西方的），继而仿效美国，再照搬苏联„„教材教法全部照搬，甚至采用西文原版教材。
虽然学校课堂上笔算一统，从学校出来的人人都会笔算，但在实用中，日常生活、财经商贸等等，人们却都是采用珠算，没有使用笔算的。虽然这其中不可能不产生疑惑，但人们来不及深究其所以然，见怪不怪，随大流就是了；个别人也只是暗中研究珠算。
但是，这种现象毕竟隐藏着有朝一日必然会爆发出来的问题，珠算为什么会这么有用？为什么数学课程中不能够运用？必然会有人探索、追根溯源的，只看时机了。
20世纪70年代末，有了“科学是第一生产力”的环境，研究珠算的人也有了希望，申请成立了珠算协会。史无前例的有了中国珠算的学术组织和学术研究。有关珠算的学术研究活动开展了起来，而且活动面越来越广泛。从追溯过去的改进学校珠算教学，到从一年级开始在数学课堂学习珠算的“三算结合教学”都进行了研究；珠算协会成立后广泛研究了在社会面上的珠算活动和业余教育，研究了国内外形成的广泛的珠心算教育活动„„逐渐引向研究中国传统数学（珠算）优越性之所以然的基础理论。
进一步关于中国传统数学的研究也逐渐展开。特别吴文俊先生论述了中国传统数学基本上是机械化的数学。要机器代替部分的脑力劳动，就需要机械化思想方法。所谓机械化，无非就是刻板化和规格化。让机器解答问题，必须先将问题刻板化、规格化，使得每前进一步，都有一个确定的必须选择的下一步，直到问题解决。机械化数学是相对于公理化数学说的。在“数学发展的历史过程中，公理化的演绎倾向与机械化的算法倾向往往互为消长交替成为当时数学的主流。由于计算机的出现，为后一种倾向带来了新的生命力。”吴文俊先生指出，中国传统数学机械化思想方法同公理化思想方法，[1]
是世界数学发展的两大源泉。机械化思想方法是中国古代数学发展的主线，电子计算机时代，正需要机械化数学，所以计算机的迅速发展普及，将为中国传统机械化的数学发扬光大创造极好的机遇。
吴文俊院士在为《中国数学历史》写的序言中具体指出：“以《九章算术》为代表的中国古代传统数学，与以欧几里得《几何原本》为代表的西方数学，代表着两种不同的体系，其思想方法各呈特色。前者着重应用与计算，其成果往往是以算法的形式表达。后者着重概念与推理，其成果一般以定理的形式表达。前者的思维方式是构造性与机械化的，而后者则往往偏重于存在唯一以及概念之间相互关系等非构造性的纯逻辑思维。前者由于它机械化的思维方式与算法形式的具体成果，从思想上与方法上正切合于计算机出现后的时代要求。”
回顾整个20世纪，中国国宝珠算在学校里，并没有受到数学教育主事者应有的重视和公正地对待。例如，虽然受到由于学生将来就业不得不用珠算的压力，小学不得不开设珠算课，但不作为数学课程内容，不是由数学教师任课，可教学可不教学，升学也不考珠算；教学计划中珠算课时越来越少，到了2000年在数学课程标准中完全剔除了珠算；此外，大学里没有珠算专业、学位，全国也没有研究珠算的专门机构„„总之，造成了一些人轻视珠算、轻视中国传统数学的误解，似乎珠算是雕虫小技，不足挂齿；当然，这种思想也有中国历史上“抑商”文化的影响。事实上具体分析起来，排斥珠算的学者、教育者，只是因为他没有学习、研究珠算，不知道珠算；而不是因为他科学论证了珠算对数学教育有什么不利，或者找到了比珠算更好的数学教育利器等等才轻视珠算的。
其实，学校数学课程照搬西方那一套教学知识结构，是16～17世纪在欧洲主要因为采用中国发明的“十进位值制”和印度数码符号，以及数学载体实施符号化等等比较优良的基因、范式编织而成的，比之西欧历史上（例如采用罗马数字的累数算）大大简化了，从而传遍全世界。但拿电子计算机信息时代的眼光来看，这一套教学知识结构并非处处简易无比、完美无缺，或者十分先进、现代化，一些地方已经过时了。例如，笔算模型与计算机算法矛盾。“不识庐山真面目，只缘身在庐山中。”如果，不囿于原来数学课程知识结构的成例，走出习惯圈外，就会发现它有诸多不足，繁琐、中看不中用，尤其不适应电子计算机时代的需要。
不过，直到现在国内外搞数学课改的人，还没有把注意力顾及到数学课程知识结构这一方面，大都是在老的课程知识结构的前提下考虑如何改进教学法。一本新近出版的论述数学教育的著作, 在介绍当前全球数学教育的新动向时，非常全面的概括列出了下页的对照表：
东西方数学教育比较表
平衡点
西 方 东 方
多种选择 统一要求
考试温和 考试严厉 [2]
学生建构 教师中心
强调理解 熟能生巧
基础松散——美国——西欧—俄国——日本——港台地区— 大陆——基础扎实
非形式化 形式演绎
适当演练 反复演练
个性发展 进度一致
轻松学习 负担过重
显然，此表很有独到见地的描绘出了世界数学教育研究当前的图像。作者是屈指可数的数学教育家，此论断是具有权威性的。作者还科学的创造性的指出了找平衡点的研究方向。
从表中我们可俯瞰全世界的数学课改的动向：东西方对比的多达各九项中，没有一项是涉及数学课程知识结构的内容。换句话说，我们可以这样理解：现在全世界大多尚没有考虑到改革数学课程知识结构。更不会考虑引入中国传统数学优秀思想方法„„要改革的仅是如何前后安排、增删内容，如
何教学的问题，即教学法问题；教学法东西方有差别，提出找它们的平衡点是科学的。
数学课程知识结构的决定性作用是显而易见的。例如，现在数学教学如果还采用西欧16世纪以前的那种罗马数字累数算为基础的知识结构，尽管你如何努力改革教材教法，能够取得现今世界上甚至最差的那样的教学效果吗？为什么现代就不需要从最重要、最有效的地方考虑数学课程改革呢？为什么不去考虑数学课程知识结构如何进行改革呢！它真的完美无缺吗？能够适应电子计算机时代的需要吗„„
我们来看作为现行学校数学课程知识结构基础的笔算，它虽然比罗马数字累数算简便易学，但比珠算繁难得多。阿拉伯数码没有计算功能，5＋3
与 拼在一起就是 。
凭借阿拉伯数码仅学会20以内加减，就需要死记硬背162个式子（加减法表）；而珠算只要掌握26个算母，一切计算问题都解决了。
再看，笔算漫布式思想方法与计算机程序式思想方法是矛盾的；笔算需要漫布式的列竖式来进行计算，占用储存空间较多。按笔算竖式脑算既难又缓慢。
珠算程序式与计算机一致，运算模型与计算机运算模型相同：省储存空间，不仅运算速度很快，而且适合脑算、适合计算机，是手脑机通用算法模型。数学教学采用珠算，不仅可大大简化计算，而且能够自然的整合数学与计算机教学。
如 37+52=79，用笔算、珠算、计算机三种方式来实现：
笔算运算模型 珠算运算模型 计算机运算模型
由上面的程序可以看出：笔算的运算模型与计算机是不同的，笔算竖式用了三个储存单元A 、B 、C ，而且3＋5＝8，7＋2＝9，还要靠死记硬背。珠算的运算模型、算法语言、程序与计算机是一致的；都是只用一个储存单元A 。而用笔算模型甚至解释不通计算机语言的涵义，如A ＝A ＋52，说它是方程，解此方程，0＝52有什么意义！可是计算机语句为什么一定要这么写呢„„而珠算则自然体现了计算机算法语言A ＝A ＋52的涵义（看上图）：算盘A 段的数，再＋52，得数还储存在A 段。用现行数学课本知识，之所以解释不通计算机算法语言，原因就在笔算与计算机运算模型矛盾；而珠算与计算机运算模型是相同的。
再来看，中国科学院院士李大潜在谈到“数学教育该走什么路”的问题时反复讲：“数学是一个整体的观念非常重要”，“对于数学教学也应该努力按照数学是一个整体的精神来安排，使学生真正理解数学，掌握数学。把统一的数学划分为支离破碎、没有内在联系的若干个分散、零乱的‘知识点’，然后随意的将它们组合、搭配起来形成各种各样的‘拼盘’交给同学，是一种缺乏科学态度的做法，也很容易将同学引入歧途。”“掌握了数学的思想方法和精神实质，就可以由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。” 可是，现行数学课程标准、数学课本是“知识点[3]
的拼盘”还是“一个整体”？
中国传统数学代表作《九章算术》，虽然是246个应用题，依然采取“以率为纲”作整体处理。数学是关于数量和形的科学，怎样来看它的整体呢？我们来看华罗庚论数学是从哪里开始的？华罗庚说：“数（sh u ）起源于数（sh u ）, 如一、二、三、四、五„„，一个、两个、三个„„。量（lia ng ）起源于量（lia ng ），先取一个单位作标准，然后一个单位一个单位地量。天下虽有各种不同的量，„„但都必须通过数才能确切地把实际情况表达出来。”显然，这里讲述的就是率思想方法，他讲数学是运用率思想方法从头讲起的。
这么基本、重要而有效的思想方法，现行中小学数学课程并没有有意识的加以运用。因而无法改变“知识点的拼盘”的现象。
中、外数学家都齐声赞叹“十进位值制”这一数学范式的高明、神奇的简化作用，赞叹由于引用十进位值制的“阿拉伯数码”，而使数学和数学教育发生了两重天般的变化。但是，许多数学教育者尚没有从根本认识到数学基因、范式的普遍意义，未能充分发挥这种思想，提出数学教育的“基因分析法”。特别，中国数学教育研究者大多未从这个角度看珠算和中国传统数学，从而不仅不积极引用，反而无端坚决地排斥它们。
电子计算机时代的到来，把以笔算为基础的数学课程知识结构推到改革的历史关口。
李俨、钱宝琮、吴文俊等诸位先生研究发掘中国传统数学的发明和世界意义的价值，把中国传统数学提到它本应当有的理性认识高度。
西洋数学（笔算）与中国传统数学（珠算）的碰撞；对珠算在实用中的优[4]/∨\\
越性、珠算活动的认识、研究；对珠算所以然的半个世纪理论研究等等，促成发现了数学教学基因分析法。
国家改革开发、自主创新的环境，课改的社会需求提供了优因数学孕育生长的空间。
以上这四点，就是优因数学产生的主要根源。这其实是学校数学教育全盘西化近百年来隐藏的问题的必然喷发。
二
优因数学是从珠算研究中萌芽的。由零星经验到理论化、系统化。珠算的应用优势、珠算活动、三算结合教学中显示的积极作用，虽然是零碎的，却给人们以直觉：为什么珠算这么有用？这意味着什么？
陈梓北教授在20世纪50年代就在思考这一问题，他提出“珠算是变而不是算”，就是珠算有自身的特点而不同于笔算；余介石教授于60年代提出珠算的“见子直拨法”，就是作珠算不要再拐向借助别的算法（笔算）来说明，应当根据它本身特点确定算法。
由数学教材中为何不能用珠算的问题，引起了对珠算基本机制的研究。 20世纪80年代研究发现：珠算与电子计算机原理一致，运算模型相同，系统相似，语言相应，程序相当，方法技巧可以共享；珠算是形象化的电脑，电脑是武装以电子技术的珠算；珠算是现成的图灵机，与图灵机等价，具有相同的计算能力。
另一方面，80～90年代，深入研究珠算本身，从基本思想方法（基因、范式）的层面，发现珠算在许多地方非常高明，在可比条件下至今仍然世界无匹。例如，珠算既解决了“位”可赋予不同值的问题，还解决了每个位上
的“记号”怎样最美妙的设计问题；珠码符号既体现累数制思想方法，又体现位值制思想方法，既形象，又直观，数学思想方法内涵十分丰富；珠码符号有计算功能，这是举世无双的记数符号的最突出的优越性；珠码符号，只拨一下某算母符号，输入、储存、运算、输出就一体完成了；珠码符号，既可以写画出来表示程序，又可直接在算盘上用手指拨动操作（拼排珠码自动得数，同时完成运算）；在各档设置好了各种珠码状态，需要谁就将它拨出即可；珠码符号省储存空间，一档就能够拨出十个码，而且这档可以用了再用，从而可普适于手操算、脑算和计算机；珠码符号二元示数，对立统一，处理正、负数自然天成，左右逢源，从而可使整个数学大为简化；珠算符号、模型还有体现数字化几何思想方法的图形功能，操作珠算符号运算，从几何的角度看就是在进行图形变换，既能够透彻地体现数形结合思想方法，又体现了计算机几何的思想方法，即用离散的数字化方式表示图形„„珠算符号、模型是人类最高智慧的显示之一，它的意义和价值比起单说位值制有过之而无不及。古今中外迄今再找不到第二例这么科学，具有这么多优点的相当的记数符号和运算模型。
从珠算进行基因、范式分析的收获中受到启发，进一步对整个中国传统数学深入分析、研究，发现了不少有现代价值的基本思想方法，特别是发现了率思想方法对数学教学教育的无比价值。
人们为什么没有想到在数学课程中运用珠算、运用中国传统数学的率思想方法，就是没有想到对数学课程知识结构进行基因分析。运用“基因分析法”也发现了西洋数学中最有价值的思想方法——符号化思想方法。16～17世纪在西欧形成的数学课程知识结构，之所以传遍全世界，符号化思想方法起着
决定性的作用。
在这些研究收获的基础上，2000年3月初笔者为了在香山会议之科学论坛上发表，写出《采用ZSNJ 算法，实施数学教学“基因工程”》一篇长文。所谓ZSNJ 算法就是通过对中西算法的“扬弃”，从集中体现中算(ZS)法特点的珠算(ZS)的强“基因”中繁衍出的手(S)算、脑(N)算、机(J)•算通用的具有一体性和二元示数特性的简捷(J)算法模型。本文共有以下11个部分：
一、一位老科学家对教育的期望 1
二、我国数学教学怎样改革 1
三、新思路：进行“基因”分析 2
四、阿拉伯数码没有计算功能，“笔算模型”不适用于计算机 3
五、珠算具有强“基因”，将其符号化功能强大优越无比 6
六、脑算是智力核心，采用“笔算模型”是死记硬背的根源 10
七、计算机运算模型、原理机制均与“笔算体系”不同 11
八、实施数学教学“基因工程”：从手拨珠算起步 15
九、“基因工程”里的脑算和计算机 20
十、ZSNJ 算法 25 十一、运用ZSNJ 算法，实施数学教学“基因工程” 27 文章最后说明：特别，珠算是我们的国粹，现在我们从其中发掘出数学、算法的强“基因”，发展成对今天的数学教育特别有效的ZSNJ 算法，是切实的真正的弘扬了中华优秀传统文化，也是进行爱国主义教育的扎实的有说服力的教材。
ZSNJ算法不仅能在数学教育上发挥巨大的作用，而且因为它是在现代科
学技术环境里对东西方数学、算法“扬弃”的结果，既包括着古老科学技术的强“基因”，又直通最先进的计算机信息科学技术。所以，无论从其具有一般意义的哲学思想方法来看，或是从其具体原理、法则、操作技术方面来看，无论从教学或是从科研来看，它都具有积极开拓的意义。
实施数学教学“基因工程”，凭借有计算功能的珠码符号运算，采用ZSNJ 算法，将会同当年采用阿拉伯数码和笔算一样，具有历史意义、世界意义。 笔者感到这是一项大的系统工程，仅仅一篇论文，是难以论述清楚的。尤其，只有“基因工程”的基本思想还不够，必须对古今中外的数学教学发展情况进行分析研究，从正反面经验中看到数学课程知识结构采用优秀基因、范式的决定性意义；还应当给出蓝图，方可奠定实施此教学基因工程的基础。于是笔者（2000年5月开始）即进行系统研究，写作《数学教学优因工程》一书，主要包括中国传统数学的珠算符号、模型，率思想方法，以及西洋数学的符号化思想方法等强基因、范式的论述和运用，直到2005年7月完稿，约80万字。分为下面的九章：
第一章 历史上的欧洲数学及其教学
第二章 中国古代及近代的数学及数学教育
第三章 20世纪中国数学教学概论
第四章 数学教学的“基因”分析法
第五章 珠算“基因”
第六章 率思想方法
第七章 幼儿园数学教学优因工程
第八章 小学数学教学优因工程
第九章 中学数学教学优因工程
显然，只停留在著作，进行论述、宣传道理是不够的，必须开展教学实验。于是从2001年底开始，编著教材；从2002年下学期开始教学实验，从开始时的3个实验班，到目前的30多个班。现在，教材已经编出第8册（准备编出九年义务教育的数学教材18册），最先实验的五龙口班已经到四年级。从2004年开始正式采用“优因数学”这一名称，来概括这一数学课程知识结构和教学实验。
结合教学实验编写教材，是一个不断完善的过程，有更精细的发现，措施也更具体了。如以珠算符号模型、率思想方法、符号化思想方法为基础，已经发现并总结出至少8项强有力的根本简化措施（见专文）；实验效果比预料的好，3年就完成了原来6年的教学任务（见专文）。
三
“优因数学”是一项自主创新工程，是一项有远大研究发展前途的科技教育事业，会惠及亿万子孙后代。在《运用ZSNJ 算法，实施数学教学“基因工程》一文中曾经举过两例：
其一，在农业上，很注重改良品种而不只是注意改善种植、管理技术。袁隆平改良水稻品种，有多么大的作用，农业科技界对其成果给予了多么高的评价！教育教学上有没有“改良品种”的问题？显然，各课程的教学理当有“改良品种”（改进课程知识结构）的问题，而不只是改善“种植、管理技术”，即不只是改善教学方法或改变教学时间。在课程教学上“改良品种”的功效不亚于农业上的改良品种，几亿学生节约时间、提高质量，同水稻提高质量、产量的意义相当，一者是精神形式，一者是物质形式而已。教育界
是不是也应当倡导“改良品种”，从“基因”上下功夫，培育“新品种”？道理是明摆着的。
其二，关于中小学开设“信息技术课”是人们关注的焦点，1999年就曾有教育部一基础教育负责人答记者问指出：“以计算机和网络技术为核心的现代技术的不断发展”必须“改变以往按步就班推进的模式，以跳跃式的发展模式使中小学信息技术教育迈上一个新的台阶。”并规定了日程表：小学在2003～2010年，初中在2001～2005年，高中在2001年完成开设信息技术必修课。小学从三或四年级开始，课时一般为68至136学时，“侧重对学习、使用计算机的兴趣和意识的培养。”“我国现有中小学校69万所，中小学生2亿多人，•这意味着巨大的需求，同时也意味着严峻的挑战，面临各种困难。”记者还算了一笔账：两亿学生目前只拥有计算机100万台，专职教师7万名；按5%的学生接受计算机教育，人机比为200:1，生师比是20000:7。于是，信息技术教育须要“做沸水中跳出的青蛙”。
显然，这里仍存在着许多问题，例如，2010年开信息技术课的小学，那么这10年间就不学习信息技术了吗（10年以后信息技术又发展成什么样，可想而知）？只有5%的学生接受计算机教育，另外95%能停止、•中断或不接触信息技术教育吗（因为即便现行数学课有关方法也是与计算机矛盾的，无法借助别的课程进行）？小学三或四年级开始，在这以前呢，就不牵涉信息技术教育吗？68至136学时就能培养起学生“对学习、•使用计算机的兴趣和意识”吗？还有，若平均10人一台机器，需2000万台，何时能装备起这么多机器，缺乏机器就不能进行信息技术教育了吗„„
如果换一个思路，数学教育采用“优因数学”就不存在上述这些问题，[5]
随着数学教育的进行，任何时候都在进行一定的信息技术教育，只不过是用手、脑直接实施算法或进行有关的信息技术操作。一旦有了计算机，对计算机原理或编程方法技巧已是水到渠成，这时“鸟枪换炮”，可以凭借电子技术实施算法、进行信息技术操作，速度和储存量等等不可同日而语，岂不感到十分有趣！而且具体到一定的算法语言，也容易理解操作指令、原理和编程方法，还可以分享ZSNJ 算法之手算、脑算解题时的方法技巧，岂不乐哉。 孙中山先生曾经感慨地说过：“知难行易。”在某些情况下确实如此。优因数学教学实验中就有这种情况。真正认识到位了，做起来并不难。例如五龙口实验小学，校长、教师都相信科研兴校，原来在活动课稿过珠心算；也曾经把珠心算引入数学课堂，用珠心算替代笔算；但感到这样做远不够，于是最先开展优因数学教学实验，取得了一个接一个的激动人心的好效果，学校也由200多学生发展到800多学生，成了全市、全省甚至全国闻名的学校；事实说明，只要认识到了，做起来、搞成功，不是难事，往往比预料的效果还好（详见专文）。再如，河南少年先锋学校，由于校长具有强烈的改革创新意识，在语文、外语等方面都取得了显著成绩，于是想要数学教改也创新局面，遍访全国各地各种数学课改，接触到了“优因数学”后，觉得与其“纳容东西智慧，传承中华文明”的先锋教育理念共识一体，认识到“优因数学”有创纪元的意义，将在历史上留下厚重的一笔，从而开展实验力度很大，一年级下学期中途改为“优因数学”，不惜一切人力物力投入，在一年半内开起了18个实验班，取得了预想的效果；原来有的家长不理解，学校积极宣传、解释、组织教学汇报活动，使得许多家长心悦诚服、大力支持学校开展教学实验。类似的情况还发生在山高学校„„
事实证明，是时代孕育产生了优因数学；而且现在更有了成长的条件。刚刚召开的全国科技大会，提出“建设创新型国家”的概念和任务。胡锦涛讲话指出：“建设创新型国家，必须大力发扬中华文化的优良传统，大力增强全民族的自强自尊精神，大力增强全社会的创造活力。”“要大力弘扬以爱国主义为核心的民族精神和以改革创新为核心的时代精神，增强民族自信心和自豪感，增强不懈奋斗、勇于攀登世界科技高峰的信心和勇气。要在全社会培养创新意识，倡导创新精神，完善创新机制，大力提倡敢为人先、敢冒风险的精神，大力倡导敢于创新、勇于竞争和宽容失败的精神，努力营造鼓励科技人员创新、支持科技人员实现创新的有利条件。”这些话是我们多么殷切的企盼啊！数学课程知识结构全盘照搬100多年，粗暴地排斥中国传统数学优秀思想方法；尽管“优因数学”非常有道理，是唯一大力发扬中华文化的优良传统的数学教育，简易、高效而现代化，实验效果无与伦比地好„„还是屡屡遭遇某些人拿种种条条框框的腰斩；研究人员、实验学校校长、老师无不是冒着“摘掉乌纱帽”、“评不上职称”等等的风险在进行工作, 甚至在做“地下工作”；在走高速公路到达目的后，仍然得不到承认，不得不折回到出发地又从羊肠小路再步行走一趟（考他们原来的那么落后的一套）才被承认到达，白白地浪费了大量的大好时光，加重了学生的负担！ 不难推测，今后的“优因数学”研究、实验，免不了还会遇到种种阻挠或曲折，但在“建设创新型国家”的大环境中，阻挠者毕竟没有法理依据、没有了舆论优势，习惯是挡不住科学的！优因数学幸运，遇上了历史机遇，“天时”难得！又有了一批优因数学研究者、教育改革者、校长和教师，具备“人和”的条件！现在就看“地利”了，中国这么大，世界那么大，总会碰到有
共识者！天时、地利、人和齐备，大事该成！优因数学幸甚！优因数学的发展前景远大，无限美好光明，前途无量！ （完稿于2006.1.12） 注：[1]石赫 著《机械化数学引论》3页，湖南教育出版社，1998年第1版。
[2]张奠宙 李士锜 李俊 编著《数学教育学导论》16页，高等教育出版社，2005年5次印刷。
[3]参见《数学教育该走什么路》一文，载《光明日报》2005年6月7日2版。
[4]《华罗庚科普著作选集》327页，上海教育出版社，1997年3
月第2 次印刷。
[5]见《中国教育报》，1999年12月13日。
作者通讯：邮编：450002， 地址：郑州市农业路23号附10号2-35 电话：（0371）63971425， 电子信箱：[email protected] 《数学教学优因工程》前言
如果学生未能学好数学，就笔者曾经有过的亲身体验所及，作为教师常常只从自身找原因，以为是未能领会教材精神和吃透教材，或者觉得教学法不当；作为教科书编者常常感到自己未能按课程设计者规定的教学知识结构编出好教材，未完全体现其意图；作为课程设计者则觉得照搬外国教学知识结构是先进的可靠的，只怪自己未念好“洋经”；作为数学教育研究者，常常只在从外国引进的圈子里转来转去，苦思冥想；有时也可能出现相互埋怨的情况„„但极少敢从全盘照搬来的数学课程知识结构质疑，特别是不敢质
疑教材所运用的数学基因、范式的优、劣，及其所造成的决定性的影响。例如，不敢质疑“印度——阿拉伯数码”有否缺点和问题。笔者经若干年甚至几十年后，才慢慢地悟出：作为中国数学教育工作者仅自责是不够的，需要调整思路，另辟蹊径，找深层原因。
在数学教学和研究上所经历的曲折和教训，迫使笔者去考察数学教学的历史，例如，西欧16世纪开始，用十进位值制的阿拉伯数码笔算替代罗马数字累数算的课程知识结构，似是微小的变革，却使数学教学跨越了两重天。从这类事例中发现对数学教学真正有决定意义的因素，是选择优秀数学基因、范式，用它们构建优越的数学课程知识结构。这里“数学基因”是借用生物学概念，比喻它们有像生物基因一样的决定性作用。优秀基因繁衍的生物才是真正强大的；同理，用优秀数学基因、范式构建繁衍的数学课程知识结构才是真正优越的，从而花费同样的力气据以编出的教材、实施的教法就能够取得迥然不同的好效果。本书强调首先从基因、范式层面比较、研究，初衷就来自这里。这可能是本书不同于其它数学教育教学著作的地方。 “数学”，从抽象的高度看不可再分化，这是个一般化的总概念。就像“人”，从抽象的高度看也是个一般化的总概念。但仅停留在一般化总概念上是不够的。例如与人打交道，自然而然会去分辨不同人种、国籍、地域、文化、风俗、职业、经历的人，此外还有人的不同个性等等；同样，研究数学教育，也不能停留在数学一般化的总概念上，有必要分辨西洋数学、中国数学；公理化数学、机械化数学；笔算数学、珠算数学；劣因数学、优因数学；甚至还有计算机数学、经济数学等等。中国自1840年以来的屈辱历史，也给中国传统数学带来了灾难。中国学校数学教育全盘照搬西洋数学，极力排斥、
贬抑中国传统数学；现在学校数学课本中已经没有中国传统数学的影子，如果以为这是“中国传统数学融入了世界数学潮流中”，就可能滥用了数学“一般化总概念”。这样来自我安慰，是于事无补的。具体说来，西洋数学、中国数学的区别，就是运用的基因、范式有所不同，或者说基本思想方法上有某种区别和倾向。从而有各自的优点和不足，因此全盘照搬西洋数学，彻底排斥中国数学是不科学的。
本书倡导对于数学教学，要首先进行基因分析，提出了基因分析法。运用古今中外的数学教育兴衰的历史事实论证了优秀数学基因、范式的决定性作用。尤其是论述了西洋数学、中国数学中的优秀基因、范式。例如，西洋数学之符号化思想方法；中国数学之珠算符号、模型，率思想方法，机械化思想方法，等等，都具有无比的优越性。运用基因分析法，不论对现行的、历史的、引进的数学课程知识结构都有法分辨优劣，过去看不透的问题，能够看清楚了；有可能跳出习惯、迷信和成见的包围圈。本书对于珠算符号、模型及率思想方法等的发现、发明是较多的，论述也比较有力、详尽；特别对于中国民间的数学教育情况，积累的经验等进行了收集、整理；对于民间数学教育所起到的作用，从基因层面进行了探讨。许多论述，是其它同类著作中没有的，也是著者本人以往的著作所不能比拟的；其原因盖在是否运用基因分析法。
本书不仅停留在对优秀数学基因、范式的发现和论证上，而是研究如何选择、融合中西数学优秀基因、范式来构建简易、高效且现代化的数学课程知识结构，以达既减轻负担，又提高质量。本书给出了这种数学课程知识结构基本框架，描绘出了蓝图。特别对于第一学段（一至三年级），已经按蓝图
编著了教材1～6册（现在已经编著出九册），进行了教学实验，初步获得了成功：花费相同的教学时间，三年基本完成了按搬来的课程知识结构六年的教学任务；而且后续的许多个实验班证明，这种数学教学是可以复制的，并不限个案。
从数学基因、范式层面看，中国传统数学是一座蕴量丰富的大宝藏。除少数数学史家特别是以吴文俊先生为代表的数学史研究者作出了它本来应当有的高度评价外，更多的是不了解机械化数学的意义，因而使中国传统数学蒙受不公正的待遇，无端受贬抑。不仅某些外国学者贬抑、漠视，说“忽略”中国数学是因为它“对于数学思想的主流没有重大的影响”；而且还有中国某些学者也跟着误解、贬抑，其状也不逊色。
其中突出的例子就是对待珠算。珠算至迟从明代开始，就风行全国以致日本、东南亚等地六百多年，直到电子计算机出现之前，无论东方和西方各种算具算法包括手摇计算机，从实用方面来看，功能、效率没有超过珠算的。即便到今天，从处理信息方面看：最好的机器方式是电子计算机，最好的人工方式仍然是珠算、珠心算；从作为数学教育的优秀基因、范式层面看，其优越性堪称天下无匹。本书从基因、范式层面系统论述了珠算直至今天为止的许多世界第一（占全书篇幅的五分之一），意在尽可能弥补历史缺憾。 可能因为不了解机械化数学的意义，未从基因、方式层面进行分析，中国确曾有过学者有意无意地贬抑珠算。例如，明代珠算发展趋于完善，标志着中国历史上机械化数学发展的高峰，从全世界范围看，当时也没有能够出其右者。然而中国有的数学史研究者，可能单纯以公理化数学为圭臬，从而不屑看珠算，把明代定为中国数学发展的“沉寂期”；其后，又有人进一步的
发挥，如说：中国数学到明代“中断”，进而是“倒退”，再进而“倒退是由于珠算发达引起的”„„极端者甚至说：“中国发明珠算不啻是历史悲剧”！本书就历史事实进行了详细考证考察，发现论者并没有什么事实根据，未见其对珠算“缺点”进行过科学论证。始作论者无非是想当然的臆断，追随者则以讹传讹。应当恢复历史的本来面目，还珠算以公道。在这方面，本书正本清源，论证是比较详尽的。
上述对珠算的种种非论，虽然与珠算使用者的实际经验体会相悖，但使用珠算的受益者没有时间或没有条件给以辨析，以致弄假似乎成真，使数学教育界百年以来，陷入两难境地：学校数学课程如果纳入珠算，怕给数学教学造成“不良后果”；不教珠算又不能满足实际需要。造成学校数学教学中“学的（笔算）无用，用的（珠算）不学”的畸形。到了今天，以为有电算机（器），实用中可以不用珠算，在某些人中有了“理由”，似乎“谈珠色变”，数学教学中忌讳珠算，教材中回避珠算字眼和算盘图唯恐不及（虽然在那里引用珠算会大大有好处），宁可用小棒、每档10珠的“计数器”（实际是俄罗斯算盘）等，也要远离世界第一的中国珠算。本书对这些现象追根究底，拨乱反正，特别考证考察了中国数学课程全盘西化以来的数学教育历史，发现并没有谁对珠算进行过独立思考的科学研究，论证过用珠算对数学教学有没有不良影响。数学课程中排斥珠算的操持者，从来也没拿出过科学根据。本书特别注意从这方面进行专题研究、论证，澄清事实真相，阐述珠算和数学教育的有关问题、纠葛的症结所在和来龙去脉。
珠算是凸现中国古人的高超智慧的一项天才发明。特别通过现代研究，对古珠算“扬弃旧义，创立新知”实现了珠算符号化；从数学教育基因、范
式层面看，珠算简单而功能强大，优越无比，经得起严格科学论证和推敲。例如，珠算模型是手操算—脑算—计算机通用算法模型，世界独一无二；珠码符号是集成了包括累数制、位值制的优秀机制的记数符号，也是世界独一无二的；由珠算符号获得了算母符号，拼排算母即完成运算；过去只有字母拼排词而没有算母拼排算，现在从珠算中发现了算母符号，在世界上举不出第二例，很难再设计出一种算母符号！珠算具有输入、储存、运算、输出一体性，还有二元示数，使教学正负数自然天成„„更一般地设想一下，即便现代人聪慧，也难再创造一种比珠算更简单而功能更强大的信息处理载体机制，难再创造出这么唯肖唯妙的数学模型和教具、学具„„我们如果设身处地想一想，试一试就不难体会到！ 有人认为电子计算机比珠算强，但从基因层面即从数学原理、算法机制方面看，二者是一样的（计算机尚未能实现“一体性”），差别只在计算机运用了电子技术，驱动方式比手工操作强。
我们应当为祖先发明了珠算而自豪！尤其，我们现在想到的运用符号化思想方法，以及珠算符号、模型、率思想方法等中、西数学这些最优秀的基因、范式，用它们来构建简易高效而现代化的数学课程知识结构（简称优因数学），将胜过历史上的，包括用阿拉伯数码笔算构建的一切数学课程知识结构，将创造出史无前例的数学教育。尤其从传承中华优秀文化传统内容角度来看，更觉此途径优越、机会难得、发人深省。笔者每思及此，就不免感到很幸运！真正的好东西终究会被人们认识和接受的，会兴起来而传遍全世界的。因此，实施这种数学课程知识结构是早晚的事，晚实施不如早着手！
显然，这是一项系统工程。本书创建了理论基础，相当描绘出了这种数学课程知识结构蓝图；教材相当是依据蓝图的建筑物，通过教材才能把这种
数学课程知识结构落实下来。当然编写教材又是一个再创造过程。我们已经完成了第一学段三年的教材，待到全部教材完成之日，也就是中国传统数学，以及珠算、率思想方法等在数学教育中的地位和作用不易撼动之时。珠算优越无比，但过去处于弱势地位，重要原因之一，就是没有由珠算符号、模型构建的数学课程知识结构；笔算远远不如珠算，但由于有用笔算构建的数学课程知识结构和编写的教材，就反而被人误认为笔算高人一等，“珠算不能与笔算相比”、“上不得大雅之堂”；处处以笔算为圭臬，要珠算归化成笔算向落后看齐。
“闻道有先后，术业有专攻”。虽然这种数学课程知识结构优越无比，但不能一蹴而就。开普勒在《宇宙的和谐》一书中写道：“我为同时代以及后代的读者写的这本书，也许要等待100年后才会等到它的读者，可是神不也是等了6000年才等到它的观察者吗？”其实，历史上西欧用中国十进位值制和阿拉伯数码的笔算取代罗马数字的累数算也花费了400多年；即便在中国引进阿拉伯数码笔算也经历了诸多曲折。
我们比较乐观，相信被人们广泛认识而推广开来，不会等那么多年！因为，首先有现在提倡弘扬中国优秀文化、提倡改革和自主创新的大环境；再者，由于笔算与计算机运算模型、算法思想是矛盾的，速度缓慢缺乏追求高效率的观念，几何也只限于连续方式表达的模拟图形等等，原来以笔算为基因、范式建立的数学教学知识结构，已经不适应电子计算机时代的需要，到了必须改革的历史关口，换言之是有历史机遇；最后，由于这种融合中、西数学优秀基因、范式构建的数学课程知识结构，不仅简易、高效而现代化，具有无比优越性，而且道理清楚明白，又很容易验证：用到数学教育中，很
快就能够看到它的突出效果；特别还很容易复制而推广开来。
事实上，这些已被河南济源五龙口学校、河南少年先锋学校、海口山高学校等等学校的教学实验所证明或正在被证明。海南一二三文教有限公司，从珠心算教育起步，面向现代，面向未来，面向世界，追求自主创新数学教育，以传承中华优秀文化传统为己任，全力推行简易高效而现代化的优因数学教育事业，积极开展优因数学科学技术转化、教育产品研发以及教学实践活动，为子孙后代造福。
本书的出版，得到了海南一二三文教有限公司、上海市珠算心算协会等的资助和支持，以便实验者和教师等理解有关的理论基础、理念和构建蓝图，切实推动优因数学实验研究。在此作者衷心地表示感谢！
编辑：乐天