1
全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案 ( 2011年5月22日!!!第八届)
一、看似简单的小试验(30 分)
(1)小球1 P 不可能直接击中A 点,证明见详细解答。
(2)小球P2与圆盘开始分离时的角度ϕ= arcsin( 3 −1) ≈47°。
(3)碰撞结束后瞬时小球3 P 与半圆盘的动能之比为5:4。
二、组合变形的圆柱体(20 分)
(1)1 3
32 πT s M = Dτ。
(2)在柱B端同时施加σ= 3τs 的轴向拉伸应力不产生屈服。
(3)圆柱体的体积改变量1 2 ( )
4 ΔV = σπD L 1−2ν/ E。
三、顶部增强的悬臂梁(30 分)
(1)组合截面形心的位置:0 C z = ,1 0.592 C y = h 。
(2)使梁B 端下表面刚好接触C 台面所需的竖向力为3 3
1 1 0.4 / PF = E bhΔL 。
(3)不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为top 2 2
Q 1 1 F = 0.28E bhΔ/ L 。
(4)梁的剪应力为3
2 1 C ( ) 2 2 3 / τ= E Δy −y L ,沿梁截面高度的分布图见详细解答。
四、令人惊讶的魔术师(20 分)
(1)力学原理:沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动的方式也不同:沿
AB 推,推力1 F 最大,木条平动;垂直AB 在不同位置推动木条,木条绕不同的点转动, 且推力2 F 的大小、转动位置均与推力位置有关。
(2)根据滚动小球的号码信息,推力位置位于[num, num+1] 号小球之间,且 2 2
max
max
2
4 2
num n Q
n Q
−
=
−
取整。(注意Q = N, or N −1, or N +1均算正确)。
(3)设2 1 F / F =η,η∈[0, 0.414)不可能出现。当η∈[0.414, 0.828)时,观众如果故意把
2 F 错报为1
F ,一定会被魔术师发现。若η∈[0.828, 1]时,观众故意报错不会被发现。 2 2
五、对称破缺的太极图(20 分)
(1)x z x' z ' I = I = I = I 成立,见详细解答。
(2)在x = −r, z = 0处粘上质量为1
4 m 的配重,图形就可以在空中绕Z 轴稳定地转动。
2
详细解答及评分标准
总体原则:
(1)计算题的某一小问,只要最后结果正确且有适当的步骤,就给全分。
(2)如结果不正确,则参考具体的评分标准。
(3)如结果不正确且方法与参考答案不一样,各地自行统一酌情给分。
(4)证明题需要看过程。
一、看似简单的小试验(30 分)
【解】:(1)小球出手后开始作抛物线运动,可以证明,在题目所给条件下,小球击中A 点之
前,一定会和圆盘边缘上其它点碰撞,即小球不可能直接击中A 点。
证明:如果想求出抛物线与圆的交点表达式,会很复杂。下面采用很简单的方法。
圆盘的边界轨迹为x2 + y2 = r2,在A 点__________右边的x = −r + Δx处(设Δx为一阶小量),圆
盘的高度为2 2 2
1 (−r + Δx) + y = r ,2 2
1
1 y = 2rΔx −Δx ,略去高阶小量,即0.5 y ∼Δx ;
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为y = −a(x −b)2 + c的形式(a、b、c 与初始条件有 关且均为正值)。在x = −r + Δx处,抛物线的高为2
2 y = −a(−r + Δx −b) + c。假设抛物线过
A点,则有0 = −a(−r −b)2 + c。因此有2
2 y = 2a(r + b)Δx −aΔx ,略去高阶小量,即2 y ∼Δx。
即在A点之前(x = −r + Δx处),抛物线的高度是1 阶小量,而圆盘的高是0.5 阶小量, 所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞,不可能直接
击中A 点。
(2)建立惯性坐标系与初始时刻的Oxy 重合。
可以用不同的方法求解。系统水平方向动量守恒
mx+ m(x−rϕsinϕ) = 0 (1-1)
结论3 分
证明方法不
限。
结论错误,0
分;
结论正确且能
够证明,3 分;
结论正确但证
明不完善,1
分。
1 分
3
系统机械能守恒
1 2 1 2 2 2
2 2 mx+ m(x−2xrϕsinϕ+ r ϕ) + mgrsinϕ= mgr(1-2)
拆开系统,对小球由水平方向质心运动定理
mx= −N cosϕ(1-3)
由(1-1)和(1-2)得到
1
2
2 x= −rϕsinϕ,2
4(1 sin )
(2 sin )
g
r
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
−
(1-4)
对(1-4)中的速度和角速度求导有
1 1 2
2 2
2
2 2 x= −rϕ
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全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案 ( 2011年5月22日!!!第八届)
一、看似简单的小试验(30 分)
(1)小球1 P 不可能直接击中A 点,证明见详细解答。
(2)小球P2与圆盘开始分离时的角度ϕ= arcsin( 3 −1) ≈47°。
(3)碰撞结束后瞬时小球3 P 与半圆盘的动能之比为5:4。
二、组合变形的圆柱体(20 分)
(1)1 3
32 πT s M = Dτ。
(2)在柱B端同时施加σ= 3τs 的轴向拉伸应力不产生屈服。
(3)圆柱体的体积改变量1 2 ( )
4 ΔV = σπD L 1−2ν/ E。
三、顶部增强的悬臂梁(30 分)
(1)组合截面形心的位置:0 C z = ,1 0.592 C y = h 。
(2)使梁B 端下表面刚好接触C 台面所需的竖向力为3 3
1 1 0.4 / PF = E bhΔL 。
(3)不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为top 2 2
Q 1 1 F = 0.28E bhΔ/ L 。
(4)梁的剪应力为3
2 1 C ( ) 2 2 3 / τ= E Δy −y L ,沿梁截面高度的分布图见详细解答。
四、令人惊讶的魔术师(20 分)
(1)力学原理:沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动的方式也不同:沿
AB 推,推力1 F 最大,木条平动;垂直AB 在不同位置推动木条,木条绕不同的点转动, 且推力2 F 的大小、转动位置均与推力位置有关。
(2)根据滚动小球的号码信息,推力位置位于[num, num+1] 号小球之间,且 2 2
max
max
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num n Q
n Q
−
=
−
取整。(注意Q = N, or N −1, or N +1均算正确)。
(3)设2 1 F / F =η,η∈[0, 0.414)不可能出现。当η∈[0.414, 0.828)时,观众如果故意把
2 F 错报为1
F ,一定会被魔术师发现。若η∈[0.828, 1]时,观众故意报错不会被发现。 2 2
五、对称破缺的太极图(20 分)
(1)x z x' z ' I = I = I = I 成立,见详细解答。
(2)在x = −r, z = 0处粘上质量为1
4 m 的配重,图形就可以在空中绕Z 轴稳定地转动。
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详细解答及评分标准
总体原则:
(1)计算题的某一小问,只要最后结果正确且有适当的步骤,就给全分。
(2)如结果不正确,则参考具体的评分标准。
(3)如结果不正确且方法与参考答案不一样,各地自行统一酌情给分。
(4)证明题需要看过程。
一、看似简单的小试验(30 分)
【解】:(1)小球出手后开始作抛物线运动,可以证明,在题目所给条件下,小球击中A 点之
前,一定会和圆盘边缘上其它点碰撞,即小球不可能直接击中A 点。
证明:如果想求出抛物线与圆的交点表达式,会很复杂。下面采用很简单的方法。
圆盘的边界轨迹为x2 + y2 = r2,在A 点__________右边的x = −r + Δx处(设Δx为一阶小量),圆
盘的高度为2 2 2
1 (−r + Δx) + y = r ,2 2
1
1 y = 2rΔx −Δx ,略去高阶小量,即0.5 y ∼Δx ;
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为y = −a(x −b)2 + c的形式(a、b、c 与初始条件有 关且均为正值)。在x = −r + Δx处,抛物线的高为2
2 y = −a(−r + Δx −b) + c。假设抛物线过
A点,则有0 = −a(−r −b)2 + c。因此有2
2 y = 2a(r + b)Δx −aΔx ,略去高阶小量,即2 y ∼Δx。
即在A点之前(x = −r + Δx处),抛物线的高度是1 阶小量,而圆盘的高是0.5 阶小量, 所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞,不可能直接
击中A 点。
(2)建立惯性坐标系与初始时刻的Oxy 重合。
可以用不同的方法求解。系统水平方向动量守恒
mx+ m(x−rϕsinϕ) = 0 (1-1)
结论3 分
证明方法不
限。
结论错误,0
分;
结论正确且能
够证明,3 分;
结论正确但证
明不完善,1
分。
1 分
3
系统机械能守恒
1 2 1 2 2 2
2 2 mx+ m(x−2xrϕsinϕ+ r ϕ) + mgrsinϕ= mgr(1-2)
拆开系统,对小球由水平方向质心运动定理
mx= −N cosϕ(1-3)
由(1-1)和(1-2)得到
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2
2 x= −rϕsinϕ,2
4(1 sin )
(2 sin )
g
r
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
−
(1-4)
对(1-4)中的速度和角速度求导有
1 1 2
2 2
2
2 2 x= −rϕ