体内药物浓度的变化
摘要
本文研究体内药物浓度变化的相关问题。
在这个问题的研究中，我们采用了典型的房室模型。将人体看作是一个单房室系统，并且针对几种不同的给药方式分别进行了讨论：
针对第一种一次性给药的方式，将人体看作是只输出不输入的房室模型，第一次给药之后就不再有输入，从而构建常微分方程来求解；
针对第二种等间隔服药的情况，药物以近似脉冲的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解；
针对第三种恒速静脉点滴的情况，药物以近似恒速的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解。
在各步骤的求解中，都是将人体看做房室模型，通过构造常微分方程来模拟求解
关键词：药物浓度变化 房室模型 常微分方程
一、问题重述
医生给病人开处方时必须注明两点:服药的剂量和服药的时间间隔. 超剂量的药品会对身体产生严重不良后果, 甚至死亡, 而剂量不足, 则不能达到治病的目的. 已知患者服药后, 随时间推移, 药品在体内逐渐被吸收, 发生生化反应, 也就是体内药品的浓度逐渐降低. 药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比. 当服药量为A 、服药间隔为T, 试分析体内药的浓度随时间的变化规律.
体内药物浓度的变化问题是分析病人进药之后，药物在体内被吸收，药物浓度在血液之中含量上升，而作用在人身之后时间段内药物浓度在体内变化的情况。 讨论问题：
1、一次性注射的情况下，药物浓度在人体内如何变化? 2、等间隔服药的情况下，药物浓度在人体内如何变化？ 3、恒速静脉点滴的情况下，药物浓度在人体内如何变化？
二、问题分析
实际上，体内药物浓度的变化是一个很复杂的问题，涉及到很多因素。在本文讨论的方法中，主要采用的是房室模型，就是忽略诸多的次要因素，只考虑一些最重要的影响作用最大的因素，以此来简化问题。
药物进入机体之后形成血药浓度(单位体积血液的药物量) ，在给药方案的设计中，应该使药物浓度始终保持在一个合适的有效范围内，既使药物浓度达到一个最有效的水平，又可以防止浓度过高而对人产生副作用。我们借鉴药物动力学中的有关知识，建立房室模型，模拟药物在体内吸收、分布和排除过程，我们建立的房室模型属于机体的一部分，药物在一个
房室内均匀分布(血药浓度为常数) ，在房室间按一定规律转移，利用这些规律来对问题进行模拟求解。
确定了以上这些基本问题之后，就通过高等数学中的常微分方程来模拟药物浓度在体内的变化。
三、模型假设
1、假设药物的分解排出速率与药物当前的浓度成正比；
2、假设药物从服用到到达体液的过程中没有损失，即被完全吸收； 3、假设药物在人体的体液中是均匀分布的；
四、符号说明
x(t) t时刻人体内的药物浓度值 v(t) t时刻人体内药物消耗速率
k 药物消耗速率与人体内药物浓度的比例系数 A 每次的注射量
v 0 恒速静脉点滴时体内药物浓度的增量 T 每次等间隔服药的时间
五、模型建立
假设注射药物后完全吸收，那么每次增量就是a ，随着时间的推移，药物浓度会下降，若一次性注射则药物递降至无，若等间隔服药则药物浓度会在服药期上升，若恒速注射则药物浓度可能最终恒速变化。
一次注射药物后，体内浓度为a ，此时为零时刻
则： x(0)=a
根据药物在人体内的消耗与人体内药物浓度成正比，列出方程 得：
d x dt
d x dt
=v v=kx(t)
=kx (t )
求解上述方程： x （t ）=C*将x(0)=a代入得C=a
e
kt
kt
因此一次服药后浓度变化方程为x (t ) =a *e
六、模型分析
分三种情况来对模型进行分析：
1、一次性注射的情况：
一次性注射情况即最简单的服药模型，如同上述解答，那么我们将代入实际数值来用Matlab 模拟作图
令a=0.1，k=-0.1，代入作图 执行程序结果如下：
0.10.09
0.080.070.060.050.040.030.020.0100
10
20
30
40
50
60
70
80
上图即一次性服药情况下，人体内药物浓度的变化曲线。从图中可以看出，随着时间的推移，人体内的药物浓度最终会为0。
2、等间隔服药的情况：
考虑到等间隔服药的脉冲性得到： 其中T 为每次服药之间的间隔时间
dx dt
=-kx , t ≠nT
-
x (0) =a , x (nT ) =a +x (nT )
在区间[nT,(n+1)T]上求解方程得到
x (t ) =x (nT ) e
-k (t -nT )
, t ∈[nT , (n +1) T ]
在0≤t ＜T 内，方程的解为
x (t ) =ae
-kt
, 0≤t ＜T
在T ≤t ＜2T 内，方程的解为
x (t ) =(a +ae
-kT
) e
-k (t -T )
, T ≤t ＜2T
在2T ≤t ＜3T 内，方程的解为
x (t ) =(a +ae
-kt
+ae
-2kt
) e
-k (t -2T )
, 2≤t ＜3T
……在nT ≤t ＜(n +1) T 内，方程的解为
x (t ) =(a +ae
-kt
+ae
-2kt
+⋯⋯+ae
-nkT
) e
-k (t -nT )
, nT ≤t ＜(n +1) T
由于 a +ae
-kt
+ae
-2kt
+⋯⋯+ae
-nkT
=a
1-e
-k (n +1) T -kT
1-e
→
a 1-e
-kT
由此看出，在等间隔服药的情况下，药物的浓度在人体中呈上升趋势，且最后会稳定在一定的水平，当T=8，k=0.1，a=0.1时，利用Matlab 编程得出数值计算结果如下：
运算得到体内药物的浓度应该维持在0.0817-0.1816的浓度范围。 运算得到的示意图如下：
[**************]
3、静脉恒速注射的情况：
静脉恒速注射时，药物会以一定速率v 0持续注射到人体内，则人体内药物浓度的变化率会有变化，列出方程：
d x dt
=kx (t ) +v 0
解上述方程得：
X=(a+
v 0k
)*
e
kt
—
v 0k
利用Matlab 编程模拟得出如下图形：
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
[***********]160180200
从模拟出的图形中可以看出，随着时间的推移，药物浓度会逐渐上升，但是最终会达到一个恒定的浓度，针对这个模型，得出的最终药物浓度维持在0.1而不再变化，这个浓度显然是和滴定的速率是有关的。
七、模型检验
1、一次性注射的情况，查阅文献资料的到如下的数据： 此为单次静脉给药PS916血液浓度的观测数据：
据此绘出如下图形：
比较得，与建立的模型模拟出的一次性服药的情况类似，模型的模拟性较好。 2、等间隔服药模型的检验：
查阅文献资料得到等间隔给药后体内药物弄度的变化如下图：
与所建立的数学模型进行比较可以看出模型的符合度较高。 3、恒速静脉滴注的模型检验： 查阅文献资料得到：
肝肿瘤患者静脉恒速滴注高剂量（130mg/m 2）L-HOP 和GEM 后血浆中浓度的测定：
将数据进行绘图得到：
可以看出在一定时间以后，药物的浓度就稳定，与上面所建立的数学模型符合较好。
八、模型优缺点
上文的讨论都是将人体看作是一个较为简单的房室模型，从而将问题简化而忽略诸多的次要因素，只考虑主要因素对人体内药物浓度变化的影响。这种方法有利于对主要因素的研究从而较易的观察总结规律。
但是实际上人体的实际情况远远要比这种房室模型复杂的多，药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官，而并不是单一的简单的输出和输入。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间
的关联关系，这就需要多房室系统模型。
九、参考文献
[1]周义仓等，数学建模实验，西安交通大学出版社，第2版，2007年8月。 [2]朱旭等，MA TLAB 软件与基础数学实验，西安交通大学出版社，2008年1月。 [3]宋晓坤，奥沙利铂腹腔热灌注安全性考察及药代动力学研究，天津医科大学，2008年5月。
[4]吕志华，海洋多糖药物PS916的荧光标记及其药代动力学研究，中国海洋大学，2008年6月。
[5]陆佳契，髂内动脉灌注甲氨蝶呤在大鼠体内各组织药物浓度监测，复旦大学，2007年4月。
十、附录
1、一次性注射情况的程序： t=0:0.1:80
x=0.1*exp((-0.1)*t) plot(t,x,'linewidth',2) 运行后的图形如下：
0.10.09
0.080.070.060.050.040.030.020.0100
10
20
30
40
50
60
70
80
2、等间隔服药的情况程序： a=0.1 T=8
k=0.1 n=0 q=a
p=exp(-k*n*T) t=0; x=a hold on while t
x=x*exp(-0.01*k) elseif t>=(n+1)*T n=n+1
q=q+a*exp(-n*k*T) p=p*exp(k*T) x=p*q*exp(-k*t) end plot(t,x) end
运行后得出的图形如下：
[**************]
3、静脉恒速注射情况的程序： v0=0.01 k=0.1
t=0:0.1:200
x=v0/k-0.1*exp(-k*t) plot(t,x)
axis([0 200 0 0.12]) 运行后的图形如下：
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
[***********]160180200
体内药物浓度的变化
摘要
本文研究体内药物浓度变化的相关问题。
在这个问题的研究中，我们采用了典型的房室模型。将人体看作是一个单房室系统，并且针对几种不同的给药方式分别进行了讨论：
针对第一种一次性给药的方式，将人体看作是只输出不输入的房室模型，第一次给药之后就不再有输入，从而构建常微分方程来求解；
针对第二种等间隔服药的情况，药物以近似脉冲的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解；
针对第三种恒速静脉点滴的情况，药物以近似恒速的方式进入人体，从而构建常微分方程来求解。
在各步骤的求解中，都是将人体看做房室模型，通过构造常微分方程来模拟求解
关键词：药物浓度变化 房室模型 常微分方程
一、问题重述
医生给病人开处方时必须注明两点:服药的剂量和服药的时间间隔. 超剂量的药品会对身体产生严重不良后果, 甚至死亡, 而剂量不足, 则不能达到治病的目的. 已知患者服药后, 随时间推移, 药品在体内逐渐被吸收, 发生生化反应, 也就是体内药品的浓度逐渐降低. 药品浓度降低的速率与体内当时药品的浓度成正比. 当服药量为A 、服药间隔为T, 试分析体内药的浓度随时间的变化规律.
体内药物浓度的变化问题是分析病人进药之后，药物在体内被吸收，药物浓度在血液之中含量上升，而作用在人身之后时间段内药物浓度在体内变化的情况。 讨论问题：
1、一次性注射的情况下，药物浓度在人体内如何变化? 2、等间隔服药的情况下，药物浓度在人体内如何变化？ 3、恒速静脉点滴的情况下，药物浓度在人体内如何变化？
二、问题分析
实际上，体内药物浓度的变化是一个很复杂的问题，涉及到很多因素。在本文讨论的方法中，主要采用的是房室模型，就是忽略诸多的次要因素，只考虑一些最重要的影响作用最大的因素，以此来简化问题。
药物进入机体之后形成血药浓度(单位体积血液的药物量) ，在给药方案的设计中，应该使药物浓度始终保持在一个合适的有效范围内，既使药物浓度达到一个最有效的水平，又可以防止浓度过高而对人产生副作用。我们借鉴药物动力学中的有关知识，建立房室模型，模拟药物在体内吸收、分布和排除过程，我们建立的房室模型属于机体的一部分，药物在一个
房室内均匀分布(血药浓度为常数) ，在房室间按一定规律转移，利用这些规律来对问题进行模拟求解。
确定了以上这些基本问题之后，就通过高等数学中的常微分方程来模拟药物浓度在体内的变化。
三、模型假设
1、假设药物的分解排出速率与药物当前的浓度成正比；
2、假设药物从服用到到达体液的过程中没有损失，即被完全吸收； 3、假设药物在人体的体液中是均匀分布的；
四、符号说明
x(t) t时刻人体内的药物浓度值 v(t) t时刻人体内药物消耗速率
k 药物消耗速率与人体内药物浓度的比例系数 A 每次的注射量
v 0 恒速静脉点滴时体内药物浓度的增量 T 每次等间隔服药的时间
五、模型建立
假设注射药物后完全吸收，那么每次增量就是a ，随着时间的推移，药物浓度会下降，若一次性注射则药物递降至无，若等间隔服药则药物浓度会在服药期上升，若恒速注射则药物浓度可能最终恒速变化。
一次注射药物后，体内浓度为a ，此时为零时刻
则： x(0)=a
根据药物在人体内的消耗与人体内药物浓度成正比，列出方程 得：
d x dt
d x dt
=v v=kx(t)
=kx (t )
求解上述方程： x （t ）=C*将x(0)=a代入得C=a
e
kt
kt
因此一次服药后浓度变化方程为x (t ) =a *e
六、模型分析
分三种情况来对模型进行分析：
1、一次性注射的情况：
一次性注射情况即最简单的服药模型，如同上述解答，那么我们将代入实际数值来用Matlab 模拟作图
令a=0.1，k=-0.1，代入作图 执行程序结果如下：
0.10.09
0.080.070.060.050.040.030.020.0100
10
20
30
40
50
60
70
80
上图即一次性服药情况下，人体内药物浓度的变化曲线。从图中可以看出，随着时间的推移，人体内的药物浓度最终会为0。
2、等间隔服药的情况：
考虑到等间隔服药的脉冲性得到： 其中T 为每次服药之间的间隔时间
dx dt
=-kx , t ≠nT
-
x (0) =a , x (nT ) =a +x (nT )
在区间[nT,(n+1)T]上求解方程得到
x (t ) =x (nT ) e
-k (t -nT )
, t ∈[nT , (n +1) T ]
在0≤t ＜T 内，方程的解为
x (t ) =ae
-kt
, 0≤t ＜T
在T ≤t ＜2T 内，方程的解为
x (t ) =(a +ae
-kT
) e
-k (t -T )
, T ≤t ＜2T
在2T ≤t ＜3T 内，方程的解为
x (t ) =(a +ae
-kt
+ae
-2kt
) e
-k (t -2T )
, 2≤t ＜3T
……在nT ≤t ＜(n +1) T 内，方程的解为
x (t ) =(a +ae
-kt
+ae
-2kt
+⋯⋯+ae
-nkT
) e
-k (t -nT )
, nT ≤t ＜(n +1) T
由于 a +ae
-kt
+ae
-2kt
+⋯⋯+ae
-nkT
=a
1-e
-k (n +1) T -kT
1-e
→
a 1-e
-kT
由此看出，在等间隔服药的情况下，药物的浓度在人体中呈上升趋势，且最后会稳定在一定的水平，当T=8，k=0.1，a=0.1时，利用Matlab 编程得出数值计算结果如下：
运算得到体内药物的浓度应该维持在0.0817-0.1816的浓度范围。 运算得到的示意图如下：
[**************]
3、静脉恒速注射的情况：
静脉恒速注射时，药物会以一定速率v 0持续注射到人体内，则人体内药物浓度的变化率会有变化，列出方程：
d x dt
=kx (t ) +v 0
解上述方程得：
X=(a+
v 0k
)*
e
kt
—
v 0k
利用Matlab 编程模拟得出如下图形：
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
[***********]160180200
从模拟出的图形中可以看出，随着时间的推移，药物浓度会逐渐上升，但是最终会达到一个恒定的浓度，针对这个模型，得出的最终药物浓度维持在0.1而不再变化，这个浓度显然是和滴定的速率是有关的。
七、模型检验
1、一次性注射的情况，查阅文献资料的到如下的数据： 此为单次静脉给药PS916血液浓度的观测数据：
据此绘出如下图形：
比较得，与建立的模型模拟出的一次性服药的情况类似，模型的模拟性较好。 2、等间隔服药模型的检验：
查阅文献资料得到等间隔给药后体内药物弄度的变化如下图：
与所建立的数学模型进行比较可以看出模型的符合度较高。 3、恒速静脉滴注的模型检验： 查阅文献资料得到：
肝肿瘤患者静脉恒速滴注高剂量（130mg/m 2）L-HOP 和GEM 后血浆中浓度的测定：
将数据进行绘图得到：
可以看出在一定时间以后，药物的浓度就稳定，与上面所建立的数学模型符合较好。
八、模型优缺点
上文的讨论都是将人体看作是一个较为简单的房室模型，从而将问题简化而忽略诸多的次要因素，只考虑主要因素对人体内药物浓度变化的影响。这种方法有利于对主要因素的研究从而较易的观察总结规律。
但是实际上人体的实际情况远远要比这种房室模型复杂的多，药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体的各个部位，又通过交换进入各个器官，而并不是单一的简单的输出和输入。因此，要建立更接近实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间
的关联关系，这就需要多房室系统模型。
九、参考文献
[1]周义仓等，数学建模实验，西安交通大学出版社，第2版，2007年8月。 [2]朱旭等，MA TLAB 软件与基础数学实验，西安交通大学出版社，2008年1月。 [3]宋晓坤，奥沙利铂腹腔热灌注安全性考察及药代动力学研究，天津医科大学，2008年5月。
[4]吕志华，海洋多糖药物PS916的荧光标记及其药代动力学研究，中国海洋大学，2008年6月。
[5]陆佳契，髂内动脉灌注甲氨蝶呤在大鼠体内各组织药物浓度监测，复旦大学，2007年4月。
十、附录
1、一次性注射情况的程序： t=0:0.1:80
x=0.1*exp((-0.1)*t) plot(t,x,'linewidth',2) 运行后的图形如下：
0.10.09
0.080.070.060.050.040.030.020.0100
10
20
30
40
50
60
70
80
2、等间隔服药的情况程序： a=0.1 T=8
k=0.1 n=0 q=a
p=exp(-k*n*T) t=0; x=a hold on while t
x=x*exp(-0.01*k) elseif t>=(n+1)*T n=n+1
q=q+a*exp(-n*k*T) p=p*exp(k*T) x=p*q*exp(-k*t) end plot(t,x) end
运行后得出的图形如下：
[**************]
3、静脉恒速注射情况的程序： v0=0.01 k=0.1
t=0:0.1:200
x=v0/k-0.1*exp(-k*t) plot(t,x)
axis([0 200 0 0.12]) 运行后的图形如下：
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
[***********]160180200