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数学通讯 2011年第3期(上半月) 辅教导学
圆系方程及运用技巧
李 伟
(广东省广州市番禺区象贤中学, 511483)
具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系. 利用圆系知识来求解与圆有关的问题, 往往简捷明快, 事半功倍. 下面就常见的几种圆系方程及其技巧归纳如下.
一、过直线与圆的交点的圆系方程
知识点睛:过直线Ax +By +C =0与圆x +y +Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程为:x +y +Dx +Ey +F+ (Ax +By +C) =0( R ) .
例1 求经过直线l:2x +y +4=0与圆C:x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点且半径最小的圆的方程.
解 设圆的方程为:
x 2+y 2+2x -4y +1+ (2x +y +4) =0, 即x 2+y 2+2(1+ ) x +( -4) y +(1+4 ) =0, 则
r 2=[4(1+ ) 2+( -4) 2-4(1+4 ) ]
4
2
=( -) +,
45522
22
两圆相离时, 此直线表示与两圆连心线垂直的直线.
例2 求经过两圆C 1:x 2+y 2+4x +y +1=0及C 2:x 2+y 2+2x +2y +1=0的两个交点且半径最小的圆的方程.
解 因所求圆经过两圆C 1:x +y +4x +y +1=0及C 2:x 2+y 2+2x +2y +1=0的两个交点, 故可设其方程为:x 2+y 2+4x +y +1+ (x 2+y +2x +2y +1) =0, 即:
x +y +
2
2
2
2
2
+y +1=0, 1+ 1+
设其半径为r, 则
r 2=[() 2+() 2-4]41+ 1+ =
2[5() +4() +4], 41+ 1+
2
故当=-, 即 =-时r 取最小
1+ 2 52
值, 即r 最小, 故所求圆的方程为
x +y +
2
2
当 =时, r 2最小, 即r 最小,
5
故所求圆的方程为:5x +5y +26x -12y +37=0.
二、过两圆交点的圆系方程
知识点睛:过两已知圆C 1:f 1(x , y ) =x 2+y 2
+D 1x +E 1y +F 1=0和圆C 2:f 2(x , y ) =x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程为:x +y 2+D 1x +E 1y +F 1+ (x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2) =0.
特别地, 当 =-1时, 圆系方程变为(D 1-D 2) x +(E 1-E 2) y +(F 1-F 2) =0, 这又包括三种情况:
两圆相交时, 此直线表示公共弦所在直线; , 2
2
2
x +y +1=0. 55
三、一些特殊的运用技巧(1) 点圆 半径为0的圆
知识点睛:点P (a, b) 可看成圆(x -a) +(y -b) 2=0. 在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的问题时, 把切点视为 点圆 , 是一个重要的技巧.
例3 求与圆x 2+y 2-4x -8y +15=0相切于点P (3, 6) , 且经过点Q(5, 6) 的圆的方程.
解 把点P (3, 6) 视为 点圆 :(x -3) +(y -6) 2=0, 故可建立圆系方程
x +y -4x -8y +15+ [(x -3) +(y -6) 2]=0.
所求圆经过点Q(5, 6) , 代入上述方程, 解=2, x 2+2-x 2
2
2
22
辅教导学 数学通讯 2011年第3期(上半月)
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+75=0.
(2) 想像圆 直角三角形的外接圆知识点睛:在有关直线和圆相交的问题中, 若交点与其它点能构成直角三角形的话, 则此三角形就有一个想像圆.
例4 已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0与直线x +2y -3=0相交于P 、Q 两点, O 是坐标原点, 若OP OQ , 求实数m 的值.
分析 由O 是坐标原点, 且OP OQ , 则O, P, Q 三点共圆(想像圆) , 且此圆以PQ 为直径. 从而已知直线x +2y -3=0就可以看成已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和以PQ 为直径的想像圆(此时, 想像圆的圆心坐标应满足直线PQ 的方程) 的公共弦所在的直线.
解 设F(x , y ) =0是以PQ 为直径的想像圆(上接第11页)
数学应用意识的考查要求.
例9 如果函数y =3cos (2x + ) 的图象关于点(, 0) 中心对称, 那么| |的最小值为
3
( )
(A) . (B) .
64(C) . (D) .
32
解 函数y =3cos (2x + ) 的图象关于点(, 0) 中心对称, 2 + =k +, 332
=k -(k Z ) , 由此易得| |min =6
. 故选(A) . 6
例10 (2008年安徽17题) 已知函数f (x ) =cos (2x -) +2sin (x -) sin (x +).
344
( ) 求函数f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程;
( ) 求函数f (x ) 在区间[-, ]上的122
值域.
解 (1) 化简整理得:f (x ) =sin (2x -) ,
6
周期T == ,
2
由2x -=k +(k Z ) , 得x =+
622
(k Z ) , 函数图象的对称轴方程为x =k +3
的方程, 由想像圆过原点知F(0, 0) =0.
令F(x , y ) -(x 2+y 2+x -6y +m ) =x +2y -3, 即F (x , y ) =x 2+y 2+2x -4y +m -3=0, 又F(0, 0) =m -3=0, 故m =3.
故想像圆的方程为F (x , y ) =x 2+y 2+2x -4y =0, 且直线PQ 过圆心(-1, 2) , 满足条件 以PQ 为直径 .
令(x 2+y 2+x -6y +m) -F(x , y ) =x +2y -3, 同理得到m =-3.
且想像圆方程为F(x , y ) =x +y -8y =0, 但圆心(0, 4) 不在直线PQ 上, 不满足条件 以PQ 为直径 , 故m =-3不合题意, 应舍去.
综上可得, m =3.
(收稿日期:2010-10-16)
(k Z ). 3
, ], 2x - [-,
12263
], 因为f (x ) =sin (2x -) 在区间[-, ]
66123上单调递增, 在区间[, ]上单调递减, 所以当
32
x =时, f (x ) 取最大值1.
3
又 f (-) =-
12222
(2) x [-当x =-时, f (x ) 取最小值-. 122
所以函数f (x ) 在区间[-, ]上的值域为
122, 1].2
函数的周期性问题和对称性问题是近几年来各种考试中命题的一个热点问题, 它多以客观题的形式出现. 主要考查对函数性质的更深层次的理解和应用, 是检测学生数学潜能的重要题型. [-参考文献:
[1]向清耀. 张世林. 高考中抽象函数的五类问题,
中学数学研究, 2009(1).
[2]赵思林. 关于高考数学创新型试题的几个特
点, 数学通报, 2009(4) .
[3]刘瑞美. 2008年一道高考试题的多种解法与评
价, 中小学数学(J) , 2008(12).
:2
2
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数学通讯 2011年第3期(上半月) 辅教导学
圆系方程及运用技巧
李 伟
(广东省广州市番禺区象贤中学, 511483)
具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系. 利用圆系知识来求解与圆有关的问题, 往往简捷明快, 事半功倍. 下面就常见的几种圆系方程及其技巧归纳如下.
一、过直线与圆的交点的圆系方程
知识点睛:过直线Ax +By +C =0与圆x +y +Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程为:x +y +Dx +Ey +F+ (Ax +By +C) =0( R ) .
例1 求经过直线l:2x +y +4=0与圆C:x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点且半径最小的圆的方程.
解 设圆的方程为:
x 2+y 2+2x -4y +1+ (2x +y +4) =0, 即x 2+y 2+2(1+ ) x +( -4) y +(1+4 ) =0, 则
r 2=[4(1+ ) 2+( -4) 2-4(1+4 ) ]
4
2
=( -) +,
45522
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两圆相离时, 此直线表示与两圆连心线垂直的直线.
例2 求经过两圆C 1:x 2+y 2+4x +y +1=0及C 2:x 2+y 2+2x +2y +1=0的两个交点且半径最小的圆的方程.
解 因所求圆经过两圆C 1:x +y +4x +y +1=0及C 2:x 2+y 2+2x +2y +1=0的两个交点, 故可设其方程为:x 2+y 2+4x +y +1+ (x 2+y +2x +2y +1) =0, 即:
x +y +
2
2
2
2
2
+y +1=0, 1+ 1+
设其半径为r, 则
r 2=[() 2+() 2-4]41+ 1+ =
2[5() +4() +4], 41+ 1+
2
故当=-, 即 =-时r 取最小
1+ 2 52
值, 即r 最小, 故所求圆的方程为
x +y +
2
2
当 =时, r 2最小, 即r 最小,
5
故所求圆的方程为:5x +5y +26x -12y +37=0.
二、过两圆交点的圆系方程
知识点睛:过两已知圆C 1:f 1(x , y ) =x 2+y 2
+D 1x +E 1y +F 1=0和圆C 2:f 2(x , y ) =x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0的交点的圆系方程为:x +y 2+D 1x +E 1y +F 1+ (x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2) =0.
特别地, 当 =-1时, 圆系方程变为(D 1-D 2) x +(E 1-E 2) y +(F 1-F 2) =0, 这又包括三种情况:
两圆相交时, 此直线表示公共弦所在直线; , 2
2
2
x +y +1=0. 55
三、一些特殊的运用技巧(1) 点圆 半径为0的圆
知识点睛:点P (a, b) 可看成圆(x -a) +(y -b) 2=0. 在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的问题时, 把切点视为 点圆 , 是一个重要的技巧.
例3 求与圆x 2+y 2-4x -8y +15=0相切于点P (3, 6) , 且经过点Q(5, 6) 的圆的方程.
解 把点P (3, 6) 视为 点圆 :(x -3) +(y -6) 2=0, 故可建立圆系方程
x +y -4x -8y +15+ [(x -3) +(y -6) 2]=0.
所求圆经过点Q(5, 6) , 代入上述方程, 解=2, x 2+2-x 2
2
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辅教导学 数学通讯 2011年第3期(上半月)
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+75=0.
(2) 想像圆 直角三角形的外接圆知识点睛:在有关直线和圆相交的问题中, 若交点与其它点能构成直角三角形的话, 则此三角形就有一个想像圆.
例4 已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0与直线x +2y -3=0相交于P 、Q 两点, O 是坐标原点, 若OP OQ , 求实数m 的值.
分析 由O 是坐标原点, 且OP OQ , 则O, P, Q 三点共圆(想像圆) , 且此圆以PQ 为直径. 从而已知直线x +2y -3=0就可以看成已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和以PQ 为直径的想像圆(此时, 想像圆的圆心坐标应满足直线PQ 的方程) 的公共弦所在的直线.
解 设F(x , y ) =0是以PQ 为直径的想像圆(上接第11页)
数学应用意识的考查要求.
例9 如果函数y =3cos (2x + ) 的图象关于点(, 0) 中心对称, 那么| |的最小值为
3
( )
(A) . (B) .
64(C) . (D) .
32
解 函数y =3cos (2x + ) 的图象关于点(, 0) 中心对称, 2 + =k +, 332
=k -(k Z ) , 由此易得| |min =6
. 故选(A) . 6
例10 (2008年安徽17题) 已知函数f (x ) =cos (2x -) +2sin (x -) sin (x +).
344
( ) 求函数f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程;
( ) 求函数f (x ) 在区间[-, ]上的122
值域.
解 (1) 化简整理得:f (x ) =sin (2x -) ,
6
周期T == ,
2
由2x -=k +(k Z ) , 得x =+
622
(k Z ) , 函数图象的对称轴方程为x =k +3
的方程, 由想像圆过原点知F(0, 0) =0.
令F(x , y ) -(x 2+y 2+x -6y +m ) =x +2y -3, 即F (x , y ) =x 2+y 2+2x -4y +m -3=0, 又F(0, 0) =m -3=0, 故m =3.
故想像圆的方程为F (x , y ) =x 2+y 2+2x -4y =0, 且直线PQ 过圆心(-1, 2) , 满足条件 以PQ 为直径 .
令(x 2+y 2+x -6y +m) -F(x , y ) =x +2y -3, 同理得到m =-3.
且想像圆方程为F(x , y ) =x +y -8y =0, 但圆心(0, 4) 不在直线PQ 上, 不满足条件 以PQ 为直径 , 故m =-3不合题意, 应舍去.
综上可得, m =3.
(收稿日期:2010-10-16)
(k Z ). 3
, ], 2x - [-,
12263
], 因为f (x ) =sin (2x -) 在区间[-, ]
66123上单调递增, 在区间[, ]上单调递减, 所以当
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x =时, f (x ) 取最大值1.
3
又 f (-) =-
12222
(2) x [-当x =-时, f (x ) 取最小值-. 122
所以函数f (x ) 在区间[-, ]上的值域为
122, 1].2
函数的周期性问题和对称性问题是近几年来各种考试中命题的一个热点问题, 它多以客观题的形式出现. 主要考查对函数性质的更深层次的理解和应用, 是检测学生数学潜能的重要题型. [-参考文献:
[1]向清耀. 张世林. 高考中抽象函数的五类问题,
中学数学研究, 2009(1).
[2]赵思林. 关于高考数学创新型试题的几个特
点, 数学通报, 2009(4) .
[3]刘瑞美. 2008年一道高考试题的多种解法与评
价, 中小学数学(J) , 2008(12).
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