2014年湖南师大附中理科实验班数学测试数学测试复试卷

2014年湖南师大附中理科实验班数学测试数学测试复试卷

学校:_______ 姓名:____________ 电话:__________

一、填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)

1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为______, 其中

m, n满

|2m4|(3n4m)242m.

2.已知实数对(x,y)满足方程(x2)2y23, 记y

x

的最小值, 最大值分别为

a,b,

则a2b2

______.

3.若任取n个整数, 必能从中取出3个数, 它们的和能被3整除, 则n的最小值是______.

4.设[x]表示不超过实数x的最大整数, 比如[2.1]2,[1]1.

若实数a满足

a

5a3, 则[a]______. 5.如图, 在梯形ABCD中,

DC//AB,DC1

AB3

,MN为中位线,

EF//AB且通过AC与BD的交点, 点E,F分别在AD,BC上.

则梯形CDEF, 梯形FEMN, 梯形NMAB面积的连比等于______.

三、解答题(4小题, 共35分)

1.(8分)如图, 在ABC中, BACACB. M,N分别是边BC上两点,

BAMCAN, 并且AMNMAN. 求MAC.

2.(9分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知:

(1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人; (2) 有一个人至少有56个熟人.

证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有56个熟人.

3.(9分)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与一次函数yx的图象两个交点的横坐标为x11,x2, 且0x1x2a

. (1) 试用a,x1,x2表示b,c;

(2) 若0tx1, 当xt时, 二次函数的值记为f(t), 证明: tf(t)x1.

4.(9分)已知有正整数k, 使得

815n7nk13

成立. 求正整数n的最小值.

2014年湖南师大附中理科实验班数学复试卷答案 学校:_____ ______ 姓名:________ _ 电话:______ ______

一、填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)

1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为______, 其中

m, n满

|2m4|(3n4m)242m.

分析: 53

.

2.已知实数对(x,y)满足方程(x2)2y23, 记

y

x

的最小值, 最大值分别为a,b, 则a2b2______.

分析: 令ytx. 则(1t2)x2

4x10.

由(4)24(1t2)0ta2b26.

3.若任取n个整数, 必能从中取出3个数, 它们的和能被3整除, 则n的最小值是______.

分析: 5. 一方面, 0, 1, 2, 3这4个数中任取3个的和不被3整除.

另一方面, 整数除以3, 余数有3类, 即0, 1, 2. 任何5个整数, 如果有3个除以3余数在同一类, 它们的和可以被3整除. 否则5个数中至少有3个数除以3, 余数互不相同, 它们的和被3整除.

4.设[x]表示不超过实数x的最大整数, 比如[2.1]2,[1]1.

若实数a满足

a5a3, 则[a

]______.

分析: 原方程等价于a253a, a

0或a3.

设x0, 则x2

4x50, 解得x11,x2

5(舍去).

1a2

3a10a31

2a322

故[a]1或3.

5.如图, 在梯形ABCD中,

DC//AB,

DCAB1

3

,MN为中位线, EF//AB且通过AC与BD的交点, 点E,F分别在AD,BC上. 则梯形CDEF, 梯形FEMN, 梯形NMAB面积的连比等于______.

分析: 5:7:20. 易证梯形CDEF梯形NMAB, 梯形CDMN梯形FEAB.

设DC1, 则AB3,MN113

2(13)2,EF2(12)2

.

设梯形CDEF的面积为1, 则梯形NMAB的面积为4. 再设梯形FEMN的面积为x,

注意到

MNAB21x247

3, 由梯形CDMN梯形FEAB得: x4(3)29x5

. 所以梯形CDEF, 梯形FEMN, 梯形NMAB的面积的连比为1:75

:45:7:20. 三、解答题(4小题, 共35分)

1.(8分)如图, 在ABC中, BACACB. M,N是

边BC上两点, BAMCAN, 并且AMNMAN. 求MAC.

分析: 设BAMx, 则MANBAC2x. 又

MANAMNBx(180BACACB)x1802BACx

,

于是BAC2x1802BACxBAC60x.

所以MACBACBAM60.

2.(9分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知:

(1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人; (2) 有一个人至少有56个熟人.

证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有56个熟人.

分析: 考虑聚会者中熟人最多的人(如果不止一个, 则任取其中之一), 记为A.

设A认识了n个人B1,B2,

于是, B1,B2,

,Bn.

由于任意两人Bi,Bj都以A为共同熟人, 由条件(1)知Bi,Bj熟人的数目不相等,

,Bn各人的熟人数互不相等, 且均不超过n (根据n的最大性),

因此, 必然是1,2,,n.

再根据条件(2)知n56. 因此1,2,,n中包含着56, 即B1,B2,,Bn中必有人

恰好认识56人.

3.(9分)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与一次函数yx的图象两个交点的横坐标为x1,x2, 且0x1x2(1) 试用a,x1,x2表示b,c;

(2) 若0tx1, 当xt时, 二次函数的值记为f(t), 证明: tf(t)x1.

分析: (1) 由已知得axbxcx, 即ax2(b1)xc0, 其两根分别为

2

n,k都是正整数, 所以

由①得7n8kr,r为正整数 ③; 由②得6n7ks,s为正整数 ④. 7③8④消去k, 得n7r8s15. 当rs1,k13时, n15.

所以正整数n的最小值为15.

1. a

x1,x2.

则x1x2

b1c

,x1x2, 于是ba(x1x2)1,cax1x2. aa

(2) 当0tx1时, 有

f(t)tat2btctat2(b1)tca(tx1)(tx2).

由0tx1x2,a0得, a(tx1)(tx2)0, 从而f(t)t0f(t)t.

又

f(t)x1at2btcx1a(tx1)(tx2)(tx1)(tx1)[1a(x2t)].

1

由0tx1x2得, (tx1)[1a(x2t)]0, 从而

a

f(t)x10f(t)x1.

所以tf(t)x1.

8n7成立. 求正整数n的最小值. 4.(9分)已知有正整数k, 使得

15nk13

8nn7得6n7k ②. 分析: 由得7n8k ①; 由15nknk13

2014年湖南师大附中理科实验班数学测试数学测试复试卷

学校:_______ 姓名:____________ 电话:__________

一、填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)

1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为______, 其中

m, n满

|2m4|(3n4m)242m.

2.已知实数对(x,y)满足方程(x2)2y23, 记y

x

的最小值, 最大值分别为

a,b,

则a2b2

______.

3.若任取n个整数, 必能从中取出3个数, 它们的和能被3整除, 则n的最小值是______.

4.设[x]表示不超过实数x的最大整数, 比如[2.1]2,[1]1.

若实数a满足

a

5a3, 则[a]______. 5.如图, 在梯形ABCD中,

DC//AB,DC1

AB3

,MN为中位线,

EF//AB且通过AC与BD的交点, 点E,F分别在AD,BC上.

则梯形CDEF, 梯形FEMN, 梯形NMAB面积的连比等于______.

三、解答题(4小题, 共35分)

1.(8分)如图, 在ABC中, BACACB. M,N分别是边BC上两点,

BAMCAN, 并且AMNMAN. 求MAC.

2.(9分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知:

(1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人; (2) 有一个人至少有56个熟人.

证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有56个熟人.

3.(9分)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与一次函数yx的图象两个交点的横坐标为x11,x2, 且0x1x2a

. (1) 试用a,x1,x2表示b,c;

(2) 若0tx1, 当xt时, 二次函数的值记为f(t), 证明: tf(t)x1.

4.(9分)已知有正整数k, 使得

815n7nk13

成立. 求正整数n的最小值.

2014年湖南师大附中理科实验班数学复试卷答案 学校:_____ ______ 姓名:________ _ 电话:______ ______

一、填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)

1.若|m|, |n|是直角三角形的两条直角边, 则这个直角三角形的斜边长为______, 其中

m, n满

|2m4|(3n4m)242m.

分析: 53

.

2.已知实数对(x,y)满足方程(x2)2y23, 记

y

x

的最小值, 最大值分别为a,b, 则a2b2______.

分析: 令ytx. 则(1t2)x2

4x10.

由(4)24(1t2)0ta2b26.

3.若任取n个整数, 必能从中取出3个数, 它们的和能被3整除, 则n的最小值是______.

分析: 5. 一方面, 0, 1, 2, 3这4个数中任取3个的和不被3整除.

另一方面, 整数除以3, 余数有3类, 即0, 1, 2. 任何5个整数, 如果有3个除以3余数在同一类, 它们的和可以被3整除. 否则5个数中至少有3个数除以3, 余数互不相同, 它们的和被3整除.

4.设[x]表示不超过实数x的最大整数, 比如[2.1]2,[1]1.

若实数a满足

a5a3, 则[a

]______.

分析: 原方程等价于a253a, a

0或a3.

设x0, 则x2

4x50, 解得x11,x2

5(舍去).

1a2

3a10a31

2a322

故[a]1或3.

5.如图, 在梯形ABCD中,

DC//AB,

DCAB1

3

,MN为中位线, EF//AB且通过AC与BD的交点, 点E,F分别在AD,BC上. 则梯形CDEF, 梯形FEMN, 梯形NMAB面积的连比等于______.

分析: 5:7:20. 易证梯形CDEF梯形NMAB, 梯形CDMN梯形FEAB.

设DC1, 则AB3,MN113

2(13)2,EF2(12)2

.

设梯形CDEF的面积为1, 则梯形NMAB的面积为4. 再设梯形FEMN的面积为x,

注意到

MNAB21x247

3, 由梯形CDMN梯形FEAB得: x4(3)29x5

. 所以梯形CDEF, 梯形FEMN, 梯形NMAB的面积的连比为1:75

:45:7:20. 三、解答题(4小题, 共35分)

1.(8分)如图, 在ABC中, BACACB. M,N是

边BC上两点, BAMCAN, 并且AMNMAN. 求MAC.

分析: 设BAMx, 则MANBAC2x. 又

MANAMNBx(180BACACB)x1802BACx

,

于是BAC2x1802BACxBAC60x.

所以MACBACBAM60.

2.(9分)若干个人相聚, 其中有些人彼此认识, 已知:

(1) 如果某两个人有相等数目的熟人, 则他俩没有公共的熟人; (2) 有一个人至少有56个熟人.

证明: 可找出一个聚会者, 他恰好有56个熟人.

分析: 考虑聚会者中熟人最多的人(如果不止一个, 则任取其中之一), 记为A.

设A认识了n个人B1,B2,

于是, B1,B2,

,Bn.

由于任意两人Bi,Bj都以A为共同熟人, 由条件(1)知Bi,Bj熟人的数目不相等,

,Bn各人的熟人数互不相等, 且均不超过n (根据n的最大性),

因此, 必然是1,2,,n.

再根据条件(2)知n56. 因此1,2,,n中包含着56, 即B1,B2,,Bn中必有人

恰好认识56人.

3.(9分)已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与一次函数yx的图象两个交点的横坐标为x1,x2, 且0x1x2(1) 试用a,x1,x2表示b,c;

(2) 若0tx1, 当xt时, 二次函数的值记为f(t), 证明: tf(t)x1.

分析: (1) 由已知得axbxcx, 即ax2(b1)xc0, 其两根分别为

2

n,k都是正整数, 所以

由①得7n8kr,r为正整数 ③; 由②得6n7ks,s为正整数 ④. 7③8④消去k, 得n7r8s15. 当rs1,k13时, n15.

所以正整数n的最小值为15.

1. a

x1,x2.

则x1x2

b1c

,x1x2, 于是ba(x1x2)1,cax1x2. aa

(2) 当0tx1时, 有

f(t)tat2btctat2(b1)tca(tx1)(tx2).

由0tx1x2,a0得, a(tx1)(tx2)0, 从而f(t)t0f(t)t.

又

f(t)x1at2btcx1a(tx1)(tx2)(tx1)(tx1)[1a(x2t)].

1

由0tx1x2得, (tx1)[1a(x2t)]0, 从而

a

f(t)x10f(t)x1.

所以tf(t)x1.

8n7成立. 求正整数n的最小值. 4.(9分)已知有正整数k, 使得

15nk13

8nn7得6n7k ②. 分析: 由得7n8k ①; 由15nknk13


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