考研模拟试题

一 选择题（每题4分，共32分）

（1）当x→0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则（ ）

11 （B）a1,b 66

11（C）a1,b （D）a1,b 66

1xaxa3x30(x3)f(x)xsinax解析：∵ limlim2lim1 x0g(x)x0xln(x011bx)x2(bxb2x20(x2))2

13a6 ∴ 1a0,1 b

1b ∴ a1,6（A）a1,b

正确答案：A

(2) 如果f(x)xsin(x2)

x(x1)(x2)2，那么f(x)在以下的有界区间是（ ）

（A） (-1,0) (B) (0,1) (C) (1,2) (D) (2,3)

正确答案：A

（3）如果 ①f(x,y)在点(x0,y0)连续；②f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导连续；

③f(x,y)在点(x0,y0)可微；④f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导都存在。

那么正确的结论是（ ）

（A） ②③① （B）③②① (C) ③④① (D) ③①④ 正确答案：A

3x（4）设y=y(x)是二阶常系数线性方程ypyqye满足y(0)y(0)0的特解，则

ln(1x2)当x0时，是（ ） y(x)

（A）不存在； (B) 等于1； (C) 等于2； (D)等于3

正确答案：C

（5）已知1,2,3,,均为4维列向量，若4阶行列式1,2,3,a， ,1,2,3b，那么4阶行列式2,3,2,1=（ ）

（A）2a-b （B）2b-a (C) -2a-2b (D)-2a+2b

正确答案：C

(6)n阶矩阵A的伴随矩阵A0，1,2,3,4是Ax=b不同的解，则Ax=0的基础解系（ ）

（A） 不存在； (B) 一个非零解; (C) 两个非零解 ； (D)三个无关解 正确答案：B

（7）抛硬币六次，则出现正面向上次数多于反面向上次数的概率为（ ）

（A）51113 (B) (C) (D) 162832

正确答案：B

（8）设随机变量X ～ t(n)(n>1),Y1,则（ ） X2

（A）Y ～2(n) (B) Y ～2(n1) (C) Y ～F（n,1）(D) Y ～F（1,n） 正确答案：C

二 填空题 （每题4分，共24分）

（9）若limx0xf(x)sin6xf(x)60lim____________ ，则 x0x3x2

正确答案：36

（10）f(x)xn过（1,1）点的切线与x轴的交点为（n,0），则limf(n)=__________ n

正确答案：1 e

x（11）设zef(x2y)，当y=0时zx2，则z___________ x

正确答案：zexe(x2y)2(x2y) x

（12）设常数0，且级数an收敛，则级数(1)n2

n1ann2___________ n1

正确答案：条件收敛

（13）设A是3阶矩阵，且矩阵A的各行元素之和均为5，则矩阵A必有特征向量 ____________

正确答案：111 T

1（14）设X ～ 

21 8235max(X,))=__________ ,则E(2 正确答案：

三 解答题

（15）（本题满分9分）

求zx2y25 在约束条件 y1x下的极值。

（16）（本题满分9分） 证明数列an111lnn 收敛。 2n

（17）（本题满分11分）

x2y2axaa,）利用二重积分证明：平面均匀薄板2的形心为（。 244xyay

（18）（本题满分10分）

f(x)在[1,2]上连续，在（1,2）上可导，f(1)

存在（1,2）使得f()1,f(2)2，求证： 22f()



（19）设y1x,y2xe2x,y3xxe2x是二阶线性常系数非齐次方程的特解， 求该方程及其通解。

（20）（本题满分11分）

已知1[1,2,3,1]T,2[5,5,a,11]T,3[1,3,6,3]T,[2,1,3,b]T,试问 当a,b取何值时可以由1,2,3线性表示，并写出其表达式。

(21)(本题满分11分)

设二次型f(x1,x2,x3)xTAxax12x22x32bx1x3（b>0）

其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为12

① 求a,b的值；

② 利用正交变换将二次型f化为标准型，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

(22)(本题满分11分) 222

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)01x020x2，令YX，求Y的概率其他

密度fY(y)。

（23）(本题满分11分)

设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知，X1,X2,,Xn是一个样本，试求a,b的矩估计值量和最大似然估计量。

一 选择题（每题4分，共32分）

（1）当x→0时，f(x)xsinax与g(x)x2ln(1bx)是等价无穷小，则（ ）

11 （B）a1,b 66

11（C）a1,b （D）a1,b 66

1xaxa3x30(x3)f(x)xsinax解析：∵ limlim2lim1 x0g(x)x0xln(x011bx)x2(bxb2x20(x2))2

13a6 ∴ 1a0,1 b

1b ∴ a1,6（A）a1,b

正确答案：A

(2) 如果f(x)xsin(x2)

x(x1)(x2)2，那么f(x)在以下的有界区间是（ ）

（A） (-1,0) (B) (0,1) (C) (1,2) (D) (2,3)

正确答案：A

（3）如果 ①f(x,y)在点(x0,y0)连续；②f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导连续；

③f(x,y)在点(x0,y0)可微；④f(x,y)在点(x0,y0)的两个偏导都存在。

那么正确的结论是（ ）

（A） ②③① （B）③②① (C) ③④① (D) ③①④ 正确答案：A

3x（4）设y=y(x)是二阶常系数线性方程ypyqye满足y(0)y(0)0的特解，则

ln(1x2)当x0时，是（ ） y(x)

（A）不存在； (B) 等于1； (C) 等于2； (D)等于3

正确答案：C

（5）已知1,2,3,,均为4维列向量，若4阶行列式1,2,3,a， ,1,2,3b，那么4阶行列式2,3,2,1=（ ）

（A）2a-b （B）2b-a (C) -2a-2b (D)-2a+2b

正确答案：C

(6)n阶矩阵A的伴随矩阵A0，1,2,3,4是Ax=b不同的解，则Ax=0的基础解系（ ）

（A） 不存在； (B) 一个非零解; (C) 两个非零解 ； (D)三个无关解 正确答案：B

（7）抛硬币六次，则出现正面向上次数多于反面向上次数的概率为（ ）

（A）51113 (B) (C) (D) 162832

正确答案：B

（8）设随机变量X ～ t(n)(n>1),Y1,则（ ） X2

（A）Y ～2(n) (B) Y ～2(n1) (C) Y ～F（n,1）(D) Y ～F（1,n） 正确答案：C

二 填空题 （每题4分，共24分）

（9）若limx0xf(x)sin6xf(x)60lim____________ ，则 x0x3x2

正确答案：36

（10）f(x)xn过（1,1）点的切线与x轴的交点为（n,0），则limf(n)=__________ n

正确答案：1 e

x（11）设zef(x2y)，当y=0时zx2，则z___________ x

正确答案：zexe(x2y)2(x2y) x

（12）设常数0，且级数an收敛，则级数(1)n2

n1ann2___________ n1

正确答案：条件收敛

（13）设A是3阶矩阵，且矩阵A的各行元素之和均为5，则矩阵A必有特征向量 ____________

正确答案：111 T

1（14）设X ～ 

21 8235max(X,))=__________ ,则E(2 正确答案：

三 解答题

（15）（本题满分9分）

求zx2y25 在约束条件 y1x下的极值。

（16）（本题满分9分） 证明数列an111lnn 收敛。 2n

（17）（本题满分11分）

x2y2axaa,）利用二重积分证明：平面均匀薄板2的形心为（。 244xyay

（18）（本题满分10分）

f(x)在[1,2]上连续，在（1,2）上可导，f(1)

存在（1,2）使得f()1,f(2)2，求证： 22f()



（19）设y1x,y2xe2x,y3xxe2x是二阶线性常系数非齐次方程的特解， 求该方程及其通解。

（20）（本题满分11分）

已知1[1,2,3,1]T,2[5,5,a,11]T,3[1,3,6,3]T,[2,1,3,b]T,试问 当a,b取何值时可以由1,2,3线性表示，并写出其表达式。

(21)(本题满分11分)

设二次型f(x1,x2,x3)xTAxax12x22x32bx1x3（b>0）

其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为12

① 求a,b的值；

② 利用正交变换将二次型f化为标准型，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

(22)(本题满分11分) 222

设随机变量X的概率密度函数为fX(x)01x020x2，令YX，求Y的概率其他

密度fY(y)。

（23）(本题满分11分)

设总体X在[a,b]上服从均匀分布，a,b未知，X1,X2,,Xn是一个样本，试求a,b的矩估计值量和最大似然估计量。