第1章习题解答
１、在图1-1-3（b ）中，表头的满偏电流为0.1mA ，内阻等于4900Ω，为构成５mA 、50 mA、500 mA三挡量程的直流电流表，所需量程扩展电阻R 1 、R 2、R 3分别为多少？ （1Ω、9Ω、90Ω）
解：据公式(1-1-8)计算得R 1+R 2+R 3=
R g I 3
-1I g
=
4900Ω
=100Ω，
5mA
-10. 1mA
R 1+R 2=
I g I 1
I g I 2
(R g +R 1+R 2+R 3) =
0. 1mA
⨯(4900Ω+100Ω) =10Ω， 50mA
R 1=(R g +R 1+R 2+R 3) =
0. 1mA
⨯(4900Ω+100Ω) =1Ω
500mA
故R 2=9Ω, R 3=90Ω
２、在图1-2-2中，电压表V 的“Ω/V”数为20k Ω/V, 分别用5V 量程和25量程测量端电压U 0的读数值分别为多少? 怎样从两次测量读数计算求出E 0的精确值? （2.50V ，4.17V ，5.01 V）
解：5V 档量程内阻 R V 1=20k 25V 档量程内阻 R V 2=20k (
)⨯5=100k Ω，
(
)⨯25=500k Ω。
图1-2-2中 E 0=5伏，R 0=100k Ω， 5V 档读数V 01=
R V 1100
⋅E 0=⋅5=2. 5V ，
R V 1+R 0100+100R V 2500
⋅E 0=⋅5=4. 17V 。
R V 2+R 0500+100
25V 档读数V 02=
K =
V 225
==5，代入公式（1-2-8）式得： V 15
'
E 0=
(K -1)U 02
K -
U 02
U 01
=
(5-1)⨯4. 17≈5. 01V 。
5-
4. 172. 5
3、模拟直流电流表与模拟直流电压表有何异同？为什么电流表的内阻很小，而电压表的内阻却很大？
解：模拟直流电流表与模拟直流电压表的表头都是动圈式磁电系测量机构。模拟直流电流表是由“表头”并联很小的分流电阻构成，指针的偏转角与被测直流电流成正比；模拟直流电压表是由“表头”串联很大的分压电阻构成，指针的偏转角与被测直流电压成正比。
由公式（１－１－８）和图１－１－２可见，电流表的内阻为
r =
R s R g R s +R g
=
R g n
=R g
I m
, 因I M >>I m ，故r
由公式（１－２－３）和图１－２－１可见，电压表的内阻为
R v =R g +R n =
U M U m
， =R g , 因U M >>U m ，故R v >>R g 即电压表的内阻很大。I m I m
4、用全波整流均值电压表分别测量正弦波、三角波和方波，若电压表示值均为10V ，
问三种波形被测电压的有效值各为多少? （10V ，10.35 V，9V ）
解：正弦波：U =U 0=10V ，U =0. 9U a =9V ；
三角波：U =U ⋅K F =0. 9U a K F =0. 9⨯1. 15⨯10=10. 36V ，； 方波：U =U ⋅K F =0. 9U a K F =0. 9⨯1⨯10=9V 。
5、用峰值电压表分别测量正弦波、三角波和方波，电压表均指在10V 位置，问三种波形被测信号的峰值和有效值各为多少? （14.1 V，10V ，8.16 V，14.1 V）
解：三种波形的峰值：U P =三种波形有效值：U P =正弦波：K P =
2U a =2⨯10=14. 1V ，
2U a =2⨯10=14. 1V ，
2, U =U a =10V ，
三角波：K P =1. 73，U =14. . 73=8. 16V ， 方波：K P =1，U =U P =14. 1V 。
6、验证表1-2-1中半波整流、全波整流、锯齿波和脉冲信号的K F 、Kp 、U 和U 值。 解：
1) 全波整流：
u (t )=A sin ωt ，
U =
1T
⎰
T
A sin ωt dt =
12π
⎰
2π
A sin φd φ，
∴U =
2π1⎡π⎤=A -cos φπ+cos φ2π=A ⨯4=2A ， ()A sin φd φ+-A sin φd φ⎰π0π⎥⎣⎰0⎦2π2π⎢2ππ
()
1T 21
()U =u t dt =T ⎰02π
2π
⎰
T
1A 2
A sin φd φ=⋅
2π2
2
2
⎰(1-cos 2φ)d φ
2π
=
A 2⎛sin 2φ⎫A
。 φ+⎪=
4π⎝2⎭02
2) 锯齿波：
1
2⋅A ⋅T
1T ⎛A ⎫A 2t 3A ⨯U ==，U = t ⎪dt =3⎰0T ⎝T ⎭3T 2T
3) 脉冲波：
T
=
A 。
U =
A ⋅t K t K t K 1t K 2
=⋅A ，U =。 A dt =A ⎰0T T T T
4) 三角波：
1T 1T A ⋅+A ⋅=A 。 U =T 2
7、证明近似计算公式（1-2-8）式。
证明：量程U 1档的内阻为R U1，U 1=I m ⋅R U 1， 量程U 2档的内阻为R U2，U 2=I m ⋅R U 2， ∴
R U 2U 2
==K 。 R U 1U 1
U 01=E 0
R U 1R ⋅E 0
， ∴R 0=U 1-R U 1。
R U 1+R 0U 01R U 2R ⋅E 0
， ∴R 0=U 2-R U 2，
R U 2+R 0U 02
U 02=E 0
∴
R U 1⋅E 0R ⋅E
-R U 1=U 20-R U 2
U 01U 02
⎛R U 2R U 1⎫R U 2⋅E 0R U 1⋅E 0
-=E 0 U -U ⎪⎪， U 02U 0101⎭⎝02
解得：R U 2-R U 1=
∴E 0=
R U 2-R U 1(R U 2-R U 1)U 02(K -1)R U 1⋅U 02(K -1)U 02
===
R U 2R U 1U 02U ⎛U 02⎫-R U 2-R U 1K -02⎪R U 1 K - U 02U 01U 01U 01U 01⎪⎝⎭
8、使用电流互感器要注意些什么?
解：由于电流互感器付边匝数远大于原边，在使用时付边绝对不允许开路。否则会使原边电流完全变成激磁电流，铁心达到高度饱和状态，使铁心严重发热并在付边产生很高的电压，引起互感器的热破坏和电击穿，对人身及设备造成伤害。此外，为了人身安全，互感器付边一端必须可靠地接地(安全接地) 。
9、用电动系功率表测量功率应怎样接线? 怎样读数?
解：第一，电流支路与负载串联，电压支路与负载并联。
第二，电流线圈的“*”端和电压线圈的“*”端应同是接高电位端或同是接低电位端。
否则，电压线圈与电流线圈之间会有较大的电位差，这样不仅会由于电场力的影响带来测量误差，而且会使两组线圈之间的绝缘受到破坏。
第三，电流线圈和电压线圈的“*”端应同为电流的引入端或引出端，否则，功率表指针将反向偏转。如果负载是吸收有功功率(即负载中电压与电流相位差φ
为了减小测量误差，应根据负载阻抗大小和功率表的参数来选择正确的功率表接线方式，图1-3-2中(a)和(c)为“电压支路前接”方式，适合于负载阻抗Z 远大于功率表电流线圈阻抗Z A 的情况，例如在变压器和电动机空载试验时，应采用这种接法。图1-3-2中(b)和(d)为“电压支路后接”方式。适合于负载阻抗Z 远小于功率表电压支路阻抗Z V 的情况。例如在变压器和电动机短路实验时，应采用这种接法。
只要读得功率表的偏转格数Nx ，乘上功率表分格常数C ，就可求得被测功率的数值Px ：
P x =C ⋅N x
10、试用时分割乘法器和V/F转换器、通用计数器组成一个数字式电能表，画出其框图，说明其工作原理。
解：数字式电能表框图如下图所示。
电能W =
⎰
t 2
t 1
Pdt ，
采用时分割乘法将功率转换为电压U 0，
根据（1-3-11）式，U 0=K 3u x u y =K 3(K 1u )(K 2i )=K 1K 2K 3u ⋅i ， 根据（1-3-14）式，U 0=K 1K 2K 3UI cos ϕ=K 1K 2K 3P ， 经U-f 转换，f =K 4U 0=K 1K 2K 3K 4⋅P =K ⋅P ， 计数值N =f ⋅t =K ⋅P ⋅t =K ⋅W 。
第2章习题解答
1、采用图2-1-3测量被测信号频率f x ，已知标准频率f c =1MHz，准确度为2⨯10，采用m=1000分频，若f x =10KHz,试分别计算测频与测周时的最大相对误差Δf x /fx 。（±0.1，
-7
±10-5）
解：由题意可知：
∆f c
=2⨯10-7，f c =1MHz ，m =103，f x =10kHz 。 f c
测频时，根据（2-1-14）式：
⎛f c ∆f x ∆f c =± + m f f x f c
⎝x ⎫⎛1⨯106-7⎫-7⎪=± 3⎪+2⨯10=±0. 1+2⨯10≈±0. 1。 3 10⨯10⨯10⎪⎪
⎝⎭⎭
()
测周时，根据（2-1-22）式：
⎛f x ∆T x ∆f x ∆f c
==± + m f T x f x f c
⎝c ⎫⎛10⨯103-7⎫-5⎪=± 3⎪+2⨯10≈±10。 10⨯106⎪⎪
⎝⎭⎭
2、已知图2-1-3中计数器为四位十进制计数器，采用m=100分频，计数器计数脉冲频率最大允许值为100MHz ，标准频率f c =5MHz，Δf c /fc =1⨯10，要求最大相对误差Δf x /fx =±1%，求该频率计的测频范围，若已知计数结果N=500,求被测信号频率和相对测量误差。（5MHz ～100MHz,25MHz,0.2%）
解：由题意可知：m =10，f max =50MHz ，f c =5MHz ，∆f c f c =1⨯10-7，
2
-7
γ=±1%，N =500，N max =104-1≈104。
因N >m ，故采用测频方式，根据（2-1-18）式可得：
f x min
f c 5⨯106==2=5⨯106Hz 。 mr 10⨯0. 01
N max 104=⋅f c =2⨯5⨯106=500MHz 。
m 10
据（2-1-16）式，f x max
据（2-1-17）式，f max =50MHz
Nf c 500⨯5⨯106==25MHz 。 若N =500，则f x =2m 10
据（2-1-10）式和（2-1-14）式，
⎛1∆f c ∆f x
=± + f x f c
⎝N ⎫11-7⎫⎪=±⎛+1⨯10≈±=±0. 2%。 ⎪⎪500⎝500⎭⎭
3、以图2-2-2为例说明怎样用图2-2-1 （a ）电路测量时间间隔?
如果需要测量如图２-2-2(a)所示两个输入信号u 1和u 2的时间间隔t g 。可将u 1和u 2
两个信号分别加到图２-2-1的A 、B 通道，把图中开关S 断开，触发器A 触发电平置于U 1和，触发器B 触发电平置于U 2，触发沿也选“+”。这样得到的计数结果U 2，触发沿选“+”
N=tg/Tc，即代表时间间隔t g =NTc 。
4、采用图2-3-2测量两个频率为1KHz 相位差72°的正弦信号，若时标脉冲频率为500KHz ，试计算相位量化误差和计数器计数结果。（0.72°,100）
3600⨯T c 3600⨯f 3600⨯1⨯1030
解：相位量化误差：∆ϕ=， ===0. 723
T f c 500⨯10
ϕx 720
计数结果：N ===100。
∆ϕ0. 720
5、为什么图2-3-1测量相位差无须先测量信号周期? 而图2-3-2测量相位差须先测量信号周期?
解：由公式（２－３－３）可得，图2-3-1测量相位差的输出数字为
U 0U g ϕx
q 为A/D的量化单位，即N =1所对应的模拟输入电压）N ==⋅
q q 360
与信号周期T 无关。因此无须先测量信号周期T 。
由公式（２－３－４）可知，图2-3-2测量相位差的输出数字为
N =
T ϕx
与信号周期T 有关。因此须先测量信号周期T 。 ⋅
T c 360
第３章习题解答
1、有一交流电桥如图１所示，试问：
（1）该电桥能否平衡，为什么? 如果能平衡，写出其平衡方程式。（能） （2）若只调节R 2 和R 4，电桥能否平衡? 为什么? （不能）
图１
解：电桥平衡的条件是相对两臂阻抗的乘积相等，即
⎛1⎫ ⎪(R 1+j ωL 1) R 3+=R 2R 4，为此，要求等式两边的实部相等，而且虚部也相⎪j ωC 3⎭⎝
等，即R 1R 3+
L 1R 1=R 2R 4且j ωL 1R 3+=0。 C 3j ωC 3
只调节R 2 和R 4，电桥不能平衡，因为只调节R 2 和R 4，不能使虚部相等的条件也得到
满足。
２、差动电阻传感器如果不是接入电桥横跨电源的相邻两臂，而是接入电桥的相对两臂，会产生什么不好的结果？
解：差动电阻传感器如果接入横跨电源的相邻两臂即令
Z 1=R +∆R ，Z 2=R -∆R ，Z 3=Z 4=R ，代入公式（３－１－２）得
∆R ⎛R +∆R R ⎫
U 0=U -⎪=U
2R ⎭2R ⎝2R
差动电阻传感器如果接入电桥的相对两臂即令
Z 1=R +∆R , Z 3=R -∆R , Z 2=Z 4=R , 代入公式（３－１－２）得
U 0
'
R -(∆R ) 2∆R 1⎛R +∆R ⎫
=U -=U =U ⋅⎪
∆R 2R (2R +∆R )(2R -∆R ) 2R ⎝R +∆R +R R -∆R +R ⎭(1+)(-1) 2R ∆R
'
'
对比两种结果可见，U 0
∆R
，因此存R
３、差动电阻传感器电桥与单工作臂电阻传感器电桥相比有哪些优越性? 为什么会有这些优越性?
解：设被测非电量引起的电阻变化为∆R ，温度变化引起的电阻变化为∆R T 。
将Z 1=R +∆R +∆R T ，Z 2=Z 3=Z 4=R 代入(3-1-2)得单工作臂电阻传感器电桥的输出电压为
U ∆R +∆R T
R U 0=4
∆R +∆R T
1+
2R
将Z 1=R +∆R +∆R T ，Z 2=R -∆R +∆R T Z 3=Z 4=R 代入(3-1-2)得差动电阻传感器电桥的输出电压为
U ∆R U 0=2R
∆R 1+T
R
两式对比可见，采用差动电桥有三个优越性：１）可成倍提高输出电压，２）可消除非线性误差，３）可减小温度误差。
４、图3-2-4电路输出端若接入一个量程为５伏的电压表，相应的R x 的量程会变为多少？当量程开关SW 置于１档时，若测得U 0=2.5伏，试问R x 为多少欧姆？
解：由公式（３－２－５）可得，SW 置于１档时R x 的量程为
R xM =
U 0M 5
R N =⨯200=500Ω，同理SW 置于２、３、３、４、５档时R x 的量U ref 2
程分别为5k Ω, 50k Ω, 500k Ω, 5M Ω。当量程开关SW 置于１档时，若测得U 0=2.5伏，则 R x 为R x =
U 02. 5R N =⨯200=250Ω。 U ref 2
５、怎样选取图3-2-6中滤波器的类型及频率? 为什么要这样选择?
解：图3-2-6中滤波器应选取低通滤波器。为了滤去方波基波及其谐波而且允许频率
为
f x 的被测非电信号通过，一般选取
f h =
f 0
=
(3~5) f x
(3~5)
６、试推导图3-2-8的计算公式（3-2-18）。
解：图３－２－６中当触发器Q 端为高电平U OH 时，U OH 通过R 对C 充电，当触发器
Q 端为低电平时，C 通过二极管放电。图３－２－８中当触发器Q 端为高电平U OH 时，U OH 通过R 对L 充电，当触发器Q 端为低电平时，L 通过二极管放电。
RL 电路的方程为u i =L
du di L du 0
+u 0=+u 0=τ0+u 0 dt R dt dt
du 0du
+u 0=τ0+u 0 dt dt
RC 电路的方程为u i =Ri +u 0=RC
两个方程都是一阶微分方程，此一阶微分方程的解为 u 0(t ) =u 0(∞) +[u 0(0) -u 0(∞) ]e -t /τ
当u i 从０跳变到高电平U OH 时，u 0(0) =0, u 0(∞) =U O H ，代入上式得
u 0(t ) =U O H (1-e -t /τ) ，u 0从0上升到U R 的时间为
T =τln
U OH
U OH -U R
将τ=RC , 代入上式即得到公式(3-2-11)和(3-2-12),将公式(3-2-11)和(3-2-12)代入公式(3-2-13)即得到公式(3-2-14)。同理将时间常数τ=L /R 代入上式即得到
T 1=
U OH U OH L 1L
，T 2=2ln ，将这两式代入公式(3-2-13)即得到ln
R 1U OH -U R R 2U OH -U R
公式(3-2-18)。 ７、试用恒流源、555定时器和通用计数器设计一个电容—数字转换电路，画出其框图，并说明其工作原理。
解：图1-1-8中，输入电流改用恒流源I N ，电容C 改为被测电容C X ，根据（1-1-20）式有：
f X I N ≈
V DD
C X 3
3
V DD C X
即 I N ⋅T X =
所以，上图中T X =
V DD
⋅C X 。 3I N
采用图2-1-6通用计数器，图1-1-8输出接图2-1-6的B 输入端，晶振f c 接图2-1-6的A 输入端，将（2-1-13）式代入上式得：N =mf c ⨯
V DD
⋅C X 。 3I N
８、试设计一个采用热敏电阻的温度—频率变换电路，说明其原理。
解：电路1：
若将上图中R 5与R x 不接，则是一个RC 正弦振荡器，起振条件为：
R 3R 1C 2
，≥+
R 4R 2C 1
振荡频率为：ω=
1R 1R 2C 1C 2
。
图中R x 为热敏电阻，引入R 5与R 2是为了改善传感器的线性度。
' 令R 2=R 2//(R 5+R x )，代入上式得振荡频率与热敏电阻R x 得关系为：
1
2
⎤R 2+R 5+R x 1⎡
f =⨯⎢⎥。
2π⎣R 1R 2R 5+R x ⋅C 1C 2⎦
电路2：
采用图3-3-3电路，热敏电阻接入图中R x 。根据（3-3-7）式得到：
∆R R =R 0(1+αt )(R 6+R 7)A
f =⨯⨯αt 1
=αt 16R 5R 6⋅C R 016R 5R 6C R 0
(R 6+R 7)⋅A
第4章习题解答
1、为什么线绕式电位器容易实现各种非线性特性而且分辨力比非线绕式电位器低? 答：线绕式电位器的电阻器是由电阻系数很高的极细的绝缘导线，整齐地绕在一个绝缘骨架上制成的。在电阻器与电刷相接触的部分，导线表面的绝缘层被去掉并抛光，使两者在相对滑动过程中保持可靠地接触和导电。电刷滑过一匝线圈，电阻就增加或减小一匝线圈的电阻值。因此电位器的电阻随电刷位移呈阶梯状变化。只要按精确设计绝缘骨架尺寸按一定规律变化，就可使位移－电阻特性呈现所需要的非线性曲线形状。
只有当电刷的位移大于相邻两匝线圈的间距时，线绕式电位器的电阻才会变化一个台阶。而非线绕式电位器电刷是在电阻膜上滑动，电阻呈连续变化，因此线绕式电位器分辨力比非线绕式电位器低。
２、电阻应变片的灵敏系数比应变电阻材料本身的灵敏系数小吗? 为什么?
答：应变片的灵敏系数k 是指应变片的阻值相对变化与试件表面上安装应变片区域的轴向应变之比称为，而应变电阻材料的应变灵敏系数k 0是指应变电阻材料的阻值的相对变化与应变电阻材料的应变之比。实验表明：k ＜k 0，究其原因除了黏结层传递应变有损失外，另一重要原因是存在横向效应的缘故。
应变片的敏感栅通常由多条轴向纵栅和圆弧横栅组成。当试件承受单向应力时，其表面处于平面应变状态，即轴向拉伸εx 和横向收缩εy 。粘贴在试件表面的应变片，其纵栅承受εx 电阻增加，而横栅承受εy 电阻却减小。由于存在这种横向效应，从而引起总的电阻变化为
∆R =k x εx +k y εy =k x (1+αH ) εx ， R
按照定义，应变片的灵敏系数为k =∆R /R
εx =k x (1+αH ) ， εy k y 因α=0，故k
３、用应变片测量时，为什么必须采取温度补偿措施? 把两个承受相同应变的应变片接入电桥的相对两臂，能补偿温度误差吗？为什么？
答：温度变化时，电阻应变片的电阻也会变化，而且，由温度所引起的电阻变化与试件 应变所造成的电阻变化几乎具有相同数量级，如果不采取温度补偿措施，就会错误地把温度引起的电阻变化当作应变引起的电阻变化，即产生“虚假视应变”。
把两个承受相同应变的应变片接入电桥的相对两臂，并不能补偿温度误差。将
∆R 3∆R +∆R T ∆R 2∆R 4∆R ==0，1===k (ε+εT ) 代入公式（４－１－２４）R 2R 4R 1R 3R
得电桥输出电压为，
U 0=U ∆R +∆R T U ⋅=k (ε+εT ) 2R 2
由此可见，温度引起的电阻变化∆R T 也影响电桥输出电压，此时，从电桥输出电压测出的应变并不是真实应变ε，而是(ε+εT ) ，也就是说测量结果中包含有温度误差εT 。
４、热电阻与热敏电阻的电阻—温度特性有什么不同?
答：采用金属材料制作的电阻式温度传感器称为金属热电阻，简称热电阻。一般说来， 金属的电阻率随温度的升高而升高，从而使金属的电阻也随温度的升高而升高。因此金属热电阻的电阻温度系数为正值。
采用半导体材料制作的电阻式温度传感器称为半导体热敏电阻，简称热敏电阻。按其电阻—温度特性，可分为三类：(1)负温度系数热敏电阻(NTC)；(2)正温度系数热敏电阻(PTC)；
(3)临界温度系数热敏电阻(CTC)。因为在温度测量中使用最多的是NTC 型热敏电阻，所以， 通常所说的热敏电阻一般指负温度系数热敏电阻。
５、为什么气敏电阻都附有加热器?
答：气敏电阻是利用半导体陶瓷与气体接触而电阻发生变化的效应制成的气敏元件。气敏电阻都附有加热器，以便烧掉附着在探测部位处的油雾、尘埃，同时加速气体的吸附，从而提高元件的灵敏度和响应速度。半导瓷气敏电阻元件一般要加热到200℃～400℃，元件在加热开始时阻值急剧地下降，然后上升，一般经2～10分钟才达到稳定，称之为初始稳定状态，元件只有在达到初始稳定状态后才可用于气体检测。
６、试设计一个简易的家用有害气体报警电路。
答：下图为一个简易的家用有害气体报警电路。图中变压器次级绕组为气敏电阻QM-N6提供加热器电源。变压器初级中心抽头产生的110V 交流电压，加到由1k Ω电位器、气敏电阻和蜂鸣器串联组成的测量电路。当CO 等还原性有害气体的浓度上升时，气敏电阻减小，流过蜂鸣器的电流增大，当有害气体的浓度使蜂鸣器的电流增大到一定值时，蜂鸣器就鸣叫报警。调整电位器可调整蜂鸣器灵敏度，即产生报警的有害气体最低浓度。图中氖灯LD 用作电源指示。为防止意外短路，变压器初级安装了0.5A 的保险丝。
７、图4-1-１９中电表指示减小表示湿度增大还是减小? 为什么? 怎样能调整该电路的测湿范围?
解：图4-1-1９中电表为电流表，其中电流I X 为：
I X =3V ≤I F （I F 为电流表满量程） R 1+R 2+R X
R X 为负特性湿敏电阻。
湿度↑→R X ↓→I X ↑。
湿度测量范围 X min ％RH ～X max ％RH ，
R d 为湿度X max ％RH 时R X 的值R X min ，
因要求I X ≤I F 即R 1+R 2+R 3≥3V F ，
所以增大R 1可减小R X min ，即扩大测湿量程X max ％RH 。
８、测湿电路对供电电源有什么要求? 为什么?
答：测湿电路通常为湿敏电阻构成的电桥电路。如果采用直流电源供电，湿敏电阻体在工作过程中会出现离子的定向迁移和积累，致使元件失效或性能降低，因此所有湿敏电阻的供电电源都必须是交流或换向直流(注意：不是脉动直流) 。
９、为了减小变极距型电容传感器的极距，提高其灵敏度，经常在两极板间加一层云母或塑料膜来改善电容器的耐压性能，如图4-2-1（c ）所示。试推导这种双层介质差动式变极距型电容传感器的电容与动极板位移的关系式。
答：据公式（１－２－２）图４－２－１（c ）所示电容传感器的初始电容为
C 0=S
d 1
ε0+d 2=ε0S d 1+d 2 ε0εr εr
如果空气隙减小了∆d ，则电容值变为
C =ε0S
d 1-∆d +d 2=d 1+ε0S d 2=ε0S ⎛ ⎛d 2⎫ ∆d ⎪d +1- 1ε⎪ d 2r ⎭⎝ d 1+εr ⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎭=εr εr -∆d C 0 ∆d 1-d d 1+2εr
双层介质差动式变极距型电容传感器的电容与动极板位移的关系式为。
C 1-C 2=C 1+C 2∆d d 2d 1+εr
１０、试证明图1所示传感器电容与介质块位移x 成线性关系。
图1
答：图1所示为变介质式电容传感器，设极板宽为b ，长为l 。极板间无介质块时的电容为C 0=ε1bl
d 1+d 2，极板间有介质块时的电容为，
ε1
ε2bx b (l -x ) x 。 C =C A +C B =+=C 0+C 0⋅d 1d 2d 1+d 2l d 11++ε1ε2ε1d 2ε21-
１１、自感式传感器有哪些类型? 各有何优缺点?
答：自感传感器有三种类型：变气隙式、变面积式和螺管式。变气隙式灵敏度最高，螺管式灵敏度最低。变气隙式的主要缺点是：非线性严重，为了限制非线性误差，示值范围只能较小；它的自由行程受铁心限制，制造装配困难。变面积式和螺管式的优点是具有较好的线性，因而示值范围可取大些，自由行程可按需要安排，制造装配也较方便。此外，螺管式与变面积式相比，批量生产中的互换性好。由于具备上述优点，而灵敏度低的问题可在放大电路方面加以解决，因此目前螺管型自感传感器的应用越来越多。
１２、为什么更换自感传感器连接电缆需重新进行校正?
答：由自感传感器的等效电路图４－3-3可见，自感传感器工作时，并不是一个理想的纯电感L ，还存在线圈的匝间电容和电缆线分布电容组成的并联寄生电容C 。更换连接电缆后，连接电缆线分布电容的改变会引起并联寄生电容C 的改变，从而导致自感传感器的等效电感改变，因此在更换连接电缆后应重新校正或采用并联电容加以调整。
１３、试比较差动自感式传感器与差动变压器式传感器的异同?
答：差动自感式传感器与差动变压器式传感器的相同点是都有一对对称的线圈铁心和一个共用的活动衔铁，而且也都有变气隙式、变面积式、螺管式三种类型。不同点是，差动自感式传感器的一对对称线圈是作为一对差动自感接入交流电桥或差动脉冲调宽电路，将衔铁位移转换成电压。而差动变压器式传感器的一对对称线圈是作为变压器的次级线圈，此外，差动变压器式传感器还有初级线圈（差动自感式传感器没有），初级线圈接激励电压，两次级线圈差动连接，将衔铁位移转换成差动输出电压。
１４、试说明图4-3-9电路为什么能辨别衔铁移动方向和大小? 为什么能调整零点输出电压?
答：图(a)和图(b)的输出电流为I ab =I1-I 2，图(c)和图(d)的输出电压为U ab =Uac -U bc 。当衔铁位于零位时，I 1＝I 2,U ac =Ubc ，故I ab =0,Uab =0;当衔铁位于零位以上时，I 1>I2，U ac >Ubc ，故I ab >0，U ab >0;当衔铁位于零位以下时，I 1
调整图中电位器滑动触点的位置，可以使差动变压器两个次级线圈的电路对称，在衔铁居中即位移为零时，图４－３－９电路输出电流或电压为零。
１５、何谓压磁效应? 试说明图4-3-1３互感型压磁传感器工作原理。
答：铁磁物质在外界机械力(拉、压、扭) 作用下，磁导率发生变化，外力取消后，磁导率复原，这种现象称为“压磁效应”。
图４－3-13为一种常用的互感型压磁传感器。由硅钢片粘叠而成的压磁元件上冲有四个对称的孔，孔1、2的连线与孔3、4的连线相互垂直，孔1、2间绕有初级(激磁) 绕组，孔3、4间绕有次级(输出) 绕组，在不受力时，铁芯的磁阻在各个方向上是一致的，初级线圈的磁力线对称地分布，不与次级线圈发生交链，因而不能在次级线圈中产生感应电动势。当传感器受压力F 时，在平行于作用力方向上磁导率减小，磁阻增大，在垂直于作用力方向上磁导率增大，磁阻减小，初级线圈产生的磁力线将重新分布如图４－3-13(c)所示。此时一部分磁力线与次级绕组交链，而产生感应电动势。F 的值越大，交链的磁通量越多，感应电压也越大。感应电压经变换处理后，就可以用来表示被测力F 的数值。
１６、当采用涡流传感器测量金属板厚度时，需不需要恒温? 为什么?
答：温度变化时，金属的电阻率 会发生变化，据公式（４－３－４４），将使涡流的渗透深度h 随之变化，据公式（４－３－４９）可知，这将使透射式涡流传感器接收线圈中的感应电压U 2随温度变化。为了防止温度变化产生的电压变化同金属板厚度变化产生的电压变化相混淆，采用涡流传感器测量金属板厚度时，需要采取恒温措施或考虑温度变化的影
响。
１７、涡流式传感器的主要优点是什么? 它可以应用在哪些方面?
答：其主要优点是可实现非接触式测量。
１８、反射式涡流传感器与透射式涡流传感器有何异同?
答：相同点：都包含有产生交变磁场的传感器线圈（激励线圈）和置于该线圈附近的金属导体，金属导体内，都产生环状涡流。不同点：反射式涡流传感器只有产生一个交变磁场的传感器线圈，金属板表面感应的涡流产生的磁场对原激励磁场起抵消削弱作用，从而导致传感器线圈的电感量、阻抗和品质因数都发生变化。而透射式涡流传感器有两个线圈：发射线圈（激励线圈）L 1、接收线圈L 2，分别位于被测金属板的两对侧。金属板表面感应的涡流产生的磁场在接收线圈L 2中产生感应电压，此感应电压与金属板厚度有关。
１９、收集一个电冰箱温控电路实例，剖析其工作原理。
答：下面是日本生产的某电冰箱温控电路。该电冰箱的温控范围T L ～T
H 由窗口比较
器的窗口电压V L 和V H 决定。调节电位器R P 可调整T L 。图中R t 为热敏电阻，当温度上升时，R t 减小，V T 升高。当冰箱内温度T >T H 时，V T >V H >V L ，窗口比较器使RS 触发器的S 端为低电平，R 端为高电平，Q 输出端为高电平，晶体管导通，继电器线圈通电而动作，继电器常开触点闭合，电冰箱压缩机启动制冷。冰箱内温度降低。
当冰箱内温度T
当冰箱内温度T L
第1章习题解答
１、在图1-1-3（b ）中，表头的满偏电流为0.1mA ，内阻等于4900Ω，为构成５mA 、50 mA、500 mA三挡量程的直流电流表，所需量程扩展电阻R 1 、R 2、R 3分别为多少？ （1Ω、9Ω、90Ω）
解：据公式(1-1-8)计算得R 1+R 2+R 3=
R g I 3
-1I g
=
4900Ω
=100Ω，
5mA
-10. 1mA
R 1+R 2=
I g I 1
I g I 2
(R g +R 1+R 2+R 3) =
0. 1mA
⨯(4900Ω+100Ω) =10Ω， 50mA
R 1=(R g +R 1+R 2+R 3) =
0. 1mA
⨯(4900Ω+100Ω) =1Ω
500mA
故R 2=9Ω, R 3=90Ω
２、在图1-2-2中，电压表V 的“Ω/V”数为20k Ω/V, 分别用5V 量程和25量程测量端电压U 0的读数值分别为多少? 怎样从两次测量读数计算求出E 0的精确值? （2.50V ，4.17V ，5.01 V）
解：5V 档量程内阻 R V 1=20k 25V 档量程内阻 R V 2=20k (
)⨯5=100k Ω，
(
)⨯25=500k Ω。
图1-2-2中 E 0=5伏，R 0=100k Ω， 5V 档读数V 01=
R V 1100
⋅E 0=⋅5=2. 5V ，
R V 1+R 0100+100R V 2500
⋅E 0=⋅5=4. 17V 。
R V 2+R 0500+100
25V 档读数V 02=
K =
V 225
==5，代入公式（1-2-8）式得： V 15
'
E 0=
(K -1)U 02
K -
U 02
U 01
=
(5-1)⨯4. 17≈5. 01V 。
5-
4. 172. 5
3、模拟直流电流表与模拟直流电压表有何异同？为什么电流表的内阻很小，而电压表的内阻却很大？
解：模拟直流电流表与模拟直流电压表的表头都是动圈式磁电系测量机构。模拟直流电流表是由“表头”并联很小的分流电阻构成，指针的偏转角与被测直流电流成正比；模拟直流电压表是由“表头”串联很大的分压电阻构成，指针的偏转角与被测直流电压成正比。
由公式（１－１－８）和图１－１－２可见，电流表的内阻为
r =
R s R g R s +R g
=
R g n
=R g
I m
, 因I M >>I m ，故r
由公式（１－２－３）和图１－２－１可见，电压表的内阻为
R v =R g +R n =
U M U m
， =R g , 因U M >>U m ，故R v >>R g 即电压表的内阻很大。I m I m
4、用全波整流均值电压表分别测量正弦波、三角波和方波，若电压表示值均为10V ，
问三种波形被测电压的有效值各为多少? （10V ，10.35 V，9V ）
解：正弦波：U =U 0=10V ，U =0. 9U a =9V ；
三角波：U =U ⋅K F =0. 9U a K F =0. 9⨯1. 15⨯10=10. 36V ，； 方波：U =U ⋅K F =0. 9U a K F =0. 9⨯1⨯10=9V 。
5、用峰值电压表分别测量正弦波、三角波和方波，电压表均指在10V 位置，问三种波形被测信号的峰值和有效值各为多少? （14.1 V，10V ，8.16 V，14.1 V）
解：三种波形的峰值：U P =三种波形有效值：U P =正弦波：K P =
2U a =2⨯10=14. 1V ，
2U a =2⨯10=14. 1V ，
2, U =U a =10V ，
三角波：K P =1. 73，U =14. . 73=8. 16V ， 方波：K P =1，U =U P =14. 1V 。
6、验证表1-2-1中半波整流、全波整流、锯齿波和脉冲信号的K F 、Kp 、U 和U 值。 解：
1) 全波整流：
u (t )=A sin ωt ，
U =
1T
⎰
T
A sin ωt dt =
12π
⎰
2π
A sin φd φ，
∴U =
2π1⎡π⎤=A -cos φπ+cos φ2π=A ⨯4=2A ， ()A sin φd φ+-A sin φd φ⎰π0π⎥⎣⎰0⎦2π2π⎢2ππ
()
1T 21
()U =u t dt =T ⎰02π
2π
⎰
T
1A 2
A sin φd φ=⋅
2π2
2
2
⎰(1-cos 2φ)d φ
2π
=
A 2⎛sin 2φ⎫A
。 φ+⎪=
4π⎝2⎭02
2) 锯齿波：
1
2⋅A ⋅T
1T ⎛A ⎫A 2t 3A ⨯U ==，U = t ⎪dt =3⎰0T ⎝T ⎭3T 2T
3) 脉冲波：
T
=
A 。
U =
A ⋅t K t K t K 1t K 2
=⋅A ，U =。 A dt =A ⎰0T T T T
4) 三角波：
1T 1T A ⋅+A ⋅=A 。 U =T 2
7、证明近似计算公式（1-2-8）式。
证明：量程U 1档的内阻为R U1，U 1=I m ⋅R U 1， 量程U 2档的内阻为R U2，U 2=I m ⋅R U 2， ∴
R U 2U 2
==K 。 R U 1U 1
U 01=E 0
R U 1R ⋅E 0
， ∴R 0=U 1-R U 1。
R U 1+R 0U 01R U 2R ⋅E 0
， ∴R 0=U 2-R U 2，
R U 2+R 0U 02
U 02=E 0
∴
R U 1⋅E 0R ⋅E
-R U 1=U 20-R U 2
U 01U 02
⎛R U 2R U 1⎫R U 2⋅E 0R U 1⋅E 0
-=E 0 U -U ⎪⎪， U 02U 0101⎭⎝02
解得：R U 2-R U 1=
∴E 0=
R U 2-R U 1(R U 2-R U 1)U 02(K -1)R U 1⋅U 02(K -1)U 02
===
R U 2R U 1U 02U ⎛U 02⎫-R U 2-R U 1K -02⎪R U 1 K - U 02U 01U 01U 01U 01⎪⎝⎭
8、使用电流互感器要注意些什么?
解：由于电流互感器付边匝数远大于原边，在使用时付边绝对不允许开路。否则会使原边电流完全变成激磁电流，铁心达到高度饱和状态，使铁心严重发热并在付边产生很高的电压，引起互感器的热破坏和电击穿，对人身及设备造成伤害。此外，为了人身安全，互感器付边一端必须可靠地接地(安全接地) 。
9、用电动系功率表测量功率应怎样接线? 怎样读数?
解：第一，电流支路与负载串联，电压支路与负载并联。
第二，电流线圈的“*”端和电压线圈的“*”端应同是接高电位端或同是接低电位端。
否则，电压线圈与电流线圈之间会有较大的电位差，这样不仅会由于电场力的影响带来测量误差，而且会使两组线圈之间的绝缘受到破坏。
第三，电流线圈和电压线圈的“*”端应同为电流的引入端或引出端，否则，功率表指针将反向偏转。如果负载是吸收有功功率(即负载中电压与电流相位差φ
为了减小测量误差，应根据负载阻抗大小和功率表的参数来选择正确的功率表接线方式，图1-3-2中(a)和(c)为“电压支路前接”方式，适合于负载阻抗Z 远大于功率表电流线圈阻抗Z A 的情况，例如在变压器和电动机空载试验时，应采用这种接法。图1-3-2中(b)和(d)为“电压支路后接”方式。适合于负载阻抗Z 远小于功率表电压支路阻抗Z V 的情况。例如在变压器和电动机短路实验时，应采用这种接法。
只要读得功率表的偏转格数Nx ，乘上功率表分格常数C ，就可求得被测功率的数值Px ：
P x =C ⋅N x
10、试用时分割乘法器和V/F转换器、通用计数器组成一个数字式电能表，画出其框图，说明其工作原理。
解：数字式电能表框图如下图所示。
电能W =
⎰
t 2
t 1
Pdt ，
采用时分割乘法将功率转换为电压U 0，
根据（1-3-11）式，U 0=K 3u x u y =K 3(K 1u )(K 2i )=K 1K 2K 3u ⋅i ， 根据（1-3-14）式，U 0=K 1K 2K 3UI cos ϕ=K 1K 2K 3P ， 经U-f 转换，f =K 4U 0=K 1K 2K 3K 4⋅P =K ⋅P ， 计数值N =f ⋅t =K ⋅P ⋅t =K ⋅W 。
第2章习题解答
1、采用图2-1-3测量被测信号频率f x ，已知标准频率f c =1MHz，准确度为2⨯10，采用m=1000分频，若f x =10KHz,试分别计算测频与测周时的最大相对误差Δf x /fx 。（±0.1，
-7
±10-5）
解：由题意可知：
∆f c
=2⨯10-7，f c =1MHz ，m =103，f x =10kHz 。 f c
测频时，根据（2-1-14）式：
⎛f c ∆f x ∆f c =± + m f f x f c
⎝x ⎫⎛1⨯106-7⎫-7⎪=± 3⎪+2⨯10=±0. 1+2⨯10≈±0. 1。 3 10⨯10⨯10⎪⎪
⎝⎭⎭
()
测周时，根据（2-1-22）式：
⎛f x ∆T x ∆f x ∆f c
==± + m f T x f x f c
⎝c ⎫⎛10⨯103-7⎫-5⎪=± 3⎪+2⨯10≈±10。 10⨯106⎪⎪
⎝⎭⎭
2、已知图2-1-3中计数器为四位十进制计数器，采用m=100分频，计数器计数脉冲频率最大允许值为100MHz ，标准频率f c =5MHz，Δf c /fc =1⨯10，要求最大相对误差Δf x /fx =±1%，求该频率计的测频范围，若已知计数结果N=500,求被测信号频率和相对测量误差。（5MHz ～100MHz,25MHz,0.2%）
解：由题意可知：m =10，f max =50MHz ，f c =5MHz ，∆f c f c =1⨯10-7，
2
-7
γ=±1%，N =500，N max =104-1≈104。
因N >m ，故采用测频方式，根据（2-1-18）式可得：
f x min
f c 5⨯106==2=5⨯106Hz 。 mr 10⨯0. 01
N max 104=⋅f c =2⨯5⨯106=500MHz 。
m 10
据（2-1-16）式，f x max
据（2-1-17）式，f max =50MHz
Nf c 500⨯5⨯106==25MHz 。 若N =500，则f x =2m 10
据（2-1-10）式和（2-1-14）式，
⎛1∆f c ∆f x
=± + f x f c
⎝N ⎫11-7⎫⎪=±⎛+1⨯10≈±=±0. 2%。 ⎪⎪500⎝500⎭⎭
3、以图2-2-2为例说明怎样用图2-2-1 （a ）电路测量时间间隔?
如果需要测量如图２-2-2(a)所示两个输入信号u 1和u 2的时间间隔t g 。可将u 1和u 2
两个信号分别加到图２-2-1的A 、B 通道，把图中开关S 断开，触发器A 触发电平置于U 1和，触发器B 触发电平置于U 2，触发沿也选“+”。这样得到的计数结果U 2，触发沿选“+”
N=tg/Tc，即代表时间间隔t g =NTc 。
4、采用图2-3-2测量两个频率为1KHz 相位差72°的正弦信号，若时标脉冲频率为500KHz ，试计算相位量化误差和计数器计数结果。（0.72°,100）
3600⨯T c 3600⨯f 3600⨯1⨯1030
解：相位量化误差：∆ϕ=， ===0. 723
T f c 500⨯10
ϕx 720
计数结果：N ===100。
∆ϕ0. 720
5、为什么图2-3-1测量相位差无须先测量信号周期? 而图2-3-2测量相位差须先测量信号周期?
解：由公式（２－３－３）可得，图2-3-1测量相位差的输出数字为
U 0U g ϕx
q 为A/D的量化单位，即N =1所对应的模拟输入电压）N ==⋅
q q 360
与信号周期T 无关。因此无须先测量信号周期T 。
由公式（２－３－４）可知，图2-3-2测量相位差的输出数字为
N =
T ϕx
与信号周期T 有关。因此须先测量信号周期T 。 ⋅
T c 360
第３章习题解答
1、有一交流电桥如图１所示，试问：
（1）该电桥能否平衡，为什么? 如果能平衡，写出其平衡方程式。（能） （2）若只调节R 2 和R 4，电桥能否平衡? 为什么? （不能）
图１
解：电桥平衡的条件是相对两臂阻抗的乘积相等，即
⎛1⎫ ⎪(R 1+j ωL 1) R 3+=R 2R 4，为此，要求等式两边的实部相等，而且虚部也相⎪j ωC 3⎭⎝
等，即R 1R 3+
L 1R 1=R 2R 4且j ωL 1R 3+=0。 C 3j ωC 3
只调节R 2 和R 4，电桥不能平衡，因为只调节R 2 和R 4，不能使虚部相等的条件也得到
满足。
２、差动电阻传感器如果不是接入电桥横跨电源的相邻两臂，而是接入电桥的相对两臂，会产生什么不好的结果？
解：差动电阻传感器如果接入横跨电源的相邻两臂即令
Z 1=R +∆R ，Z 2=R -∆R ，Z 3=Z 4=R ，代入公式（３－１－２）得
∆R ⎛R +∆R R ⎫
U 0=U -⎪=U
2R ⎭2R ⎝2R
差动电阻传感器如果接入电桥的相对两臂即令
Z 1=R +∆R , Z 3=R -∆R , Z 2=Z 4=R , 代入公式（３－１－２）得
U 0
'
R -(∆R ) 2∆R 1⎛R +∆R ⎫
=U -=U =U ⋅⎪
∆R 2R (2R +∆R )(2R -∆R ) 2R ⎝R +∆R +R R -∆R +R ⎭(1+)(-1) 2R ∆R
'
'
对比两种结果可见，U 0
∆R
，因此存R
３、差动电阻传感器电桥与单工作臂电阻传感器电桥相比有哪些优越性? 为什么会有这些优越性?
解：设被测非电量引起的电阻变化为∆R ，温度变化引起的电阻变化为∆R T 。
将Z 1=R +∆R +∆R T ，Z 2=Z 3=Z 4=R 代入(3-1-2)得单工作臂电阻传感器电桥的输出电压为
U ∆R +∆R T
R U 0=4
∆R +∆R T
1+
2R
将Z 1=R +∆R +∆R T ，Z 2=R -∆R +∆R T Z 3=Z 4=R 代入(3-1-2)得差动电阻传感器电桥的输出电压为
U ∆R U 0=2R
∆R 1+T
R
两式对比可见，采用差动电桥有三个优越性：１）可成倍提高输出电压，２）可消除非线性误差，３）可减小温度误差。
４、图3-2-4电路输出端若接入一个量程为５伏的电压表，相应的R x 的量程会变为多少？当量程开关SW 置于１档时，若测得U 0=2.5伏，试问R x 为多少欧姆？
解：由公式（３－２－５）可得，SW 置于１档时R x 的量程为
R xM =
U 0M 5
R N =⨯200=500Ω，同理SW 置于２、３、３、４、５档时R x 的量U ref 2
程分别为5k Ω, 50k Ω, 500k Ω, 5M Ω。当量程开关SW 置于１档时，若测得U 0=2.5伏，则 R x 为R x =
U 02. 5R N =⨯200=250Ω。 U ref 2
５、怎样选取图3-2-6中滤波器的类型及频率? 为什么要这样选择?
解：图3-2-6中滤波器应选取低通滤波器。为了滤去方波基波及其谐波而且允许频率
为
f x 的被测非电信号通过，一般选取
f h =
f 0
=
(3~5) f x
(3~5)
６、试推导图3-2-8的计算公式（3-2-18）。
解：图３－２－６中当触发器Q 端为高电平U OH 时，U OH 通过R 对C 充电，当触发器
Q 端为低电平时，C 通过二极管放电。图３－２－８中当触发器Q 端为高电平U OH 时，U OH 通过R 对L 充电，当触发器Q 端为低电平时，L 通过二极管放电。
RL 电路的方程为u i =L
du di L du 0
+u 0=+u 0=τ0+u 0 dt R dt dt
du 0du
+u 0=τ0+u 0 dt dt
RC 电路的方程为u i =Ri +u 0=RC
两个方程都是一阶微分方程，此一阶微分方程的解为 u 0(t ) =u 0(∞) +[u 0(0) -u 0(∞) ]e -t /τ
当u i 从０跳变到高电平U OH 时，u 0(0) =0, u 0(∞) =U O H ，代入上式得
u 0(t ) =U O H (1-e -t /τ) ，u 0从0上升到U R 的时间为
T =τln
U OH
U OH -U R
将τ=RC , 代入上式即得到公式(3-2-11)和(3-2-12),将公式(3-2-11)和(3-2-12)代入公式(3-2-13)即得到公式(3-2-14)。同理将时间常数τ=L /R 代入上式即得到
T 1=
U OH U OH L 1L
，T 2=2ln ，将这两式代入公式(3-2-13)即得到ln
R 1U OH -U R R 2U OH -U R
公式(3-2-18)。 ７、试用恒流源、555定时器和通用计数器设计一个电容—数字转换电路，画出其框图，并说明其工作原理。
解：图1-1-8中，输入电流改用恒流源I N ，电容C 改为被测电容C X ，根据（1-1-20）式有：
f X I N ≈
V DD
C X 3
3
V DD C X
即 I N ⋅T X =
所以，上图中T X =
V DD
⋅C X 。 3I N
采用图2-1-6通用计数器，图1-1-8输出接图2-1-6的B 输入端，晶振f c 接图2-1-6的A 输入端，将（2-1-13）式代入上式得：N =mf c ⨯
V DD
⋅C X 。 3I N
８、试设计一个采用热敏电阻的温度—频率变换电路，说明其原理。
解：电路1：
若将上图中R 5与R x 不接，则是一个RC 正弦振荡器，起振条件为：
R 3R 1C 2
，≥+
R 4R 2C 1
振荡频率为：ω=
1R 1R 2C 1C 2
。
图中R x 为热敏电阻，引入R 5与R 2是为了改善传感器的线性度。
' 令R 2=R 2//(R 5+R x )，代入上式得振荡频率与热敏电阻R x 得关系为：
1
2
⎤R 2+R 5+R x 1⎡
f =⨯⎢⎥。
2π⎣R 1R 2R 5+R x ⋅C 1C 2⎦
电路2：
采用图3-3-3电路，热敏电阻接入图中R x 。根据（3-3-7）式得到：
∆R R =R 0(1+αt )(R 6+R 7)A
f =⨯⨯αt 1
=αt 16R 5R 6⋅C R 016R 5R 6C R 0
(R 6+R 7)⋅A
第4章习题解答
1、为什么线绕式电位器容易实现各种非线性特性而且分辨力比非线绕式电位器低? 答：线绕式电位器的电阻器是由电阻系数很高的极细的绝缘导线，整齐地绕在一个绝缘骨架上制成的。在电阻器与电刷相接触的部分，导线表面的绝缘层被去掉并抛光，使两者在相对滑动过程中保持可靠地接触和导电。电刷滑过一匝线圈，电阻就增加或减小一匝线圈的电阻值。因此电位器的电阻随电刷位移呈阶梯状变化。只要按精确设计绝缘骨架尺寸按一定规律变化，就可使位移－电阻特性呈现所需要的非线性曲线形状。
只有当电刷的位移大于相邻两匝线圈的间距时，线绕式电位器的电阻才会变化一个台阶。而非线绕式电位器电刷是在电阻膜上滑动，电阻呈连续变化，因此线绕式电位器分辨力比非线绕式电位器低。
２、电阻应变片的灵敏系数比应变电阻材料本身的灵敏系数小吗? 为什么?
答：应变片的灵敏系数k 是指应变片的阻值相对变化与试件表面上安装应变片区域的轴向应变之比称为，而应变电阻材料的应变灵敏系数k 0是指应变电阻材料的阻值的相对变化与应变电阻材料的应变之比。实验表明：k ＜k 0，究其原因除了黏结层传递应变有损失外，另一重要原因是存在横向效应的缘故。
应变片的敏感栅通常由多条轴向纵栅和圆弧横栅组成。当试件承受单向应力时，其表面处于平面应变状态，即轴向拉伸εx 和横向收缩εy 。粘贴在试件表面的应变片，其纵栅承受εx 电阻增加，而横栅承受εy 电阻却减小。由于存在这种横向效应，从而引起总的电阻变化为
∆R =k x εx +k y εy =k x (1+αH ) εx ， R
按照定义，应变片的灵敏系数为k =∆R /R
εx =k x (1+αH ) ， εy k y 因α=0，故k
３、用应变片测量时，为什么必须采取温度补偿措施? 把两个承受相同应变的应变片接入电桥的相对两臂，能补偿温度误差吗？为什么？
答：温度变化时，电阻应变片的电阻也会变化，而且，由温度所引起的电阻变化与试件 应变所造成的电阻变化几乎具有相同数量级，如果不采取温度补偿措施，就会错误地把温度引起的电阻变化当作应变引起的电阻变化，即产生“虚假视应变”。
把两个承受相同应变的应变片接入电桥的相对两臂，并不能补偿温度误差。将
∆R 3∆R +∆R T ∆R 2∆R 4∆R ==0，1===k (ε+εT ) 代入公式（４－１－２４）R 2R 4R 1R 3R
得电桥输出电压为，
U 0=U ∆R +∆R T U ⋅=k (ε+εT ) 2R 2
由此可见，温度引起的电阻变化∆R T 也影响电桥输出电压，此时，从电桥输出电压测出的应变并不是真实应变ε，而是(ε+εT ) ，也就是说测量结果中包含有温度误差εT 。
４、热电阻与热敏电阻的电阻—温度特性有什么不同?
答：采用金属材料制作的电阻式温度传感器称为金属热电阻，简称热电阻。一般说来， 金属的电阻率随温度的升高而升高，从而使金属的电阻也随温度的升高而升高。因此金属热电阻的电阻温度系数为正值。
采用半导体材料制作的电阻式温度传感器称为半导体热敏电阻，简称热敏电阻。按其电阻—温度特性，可分为三类：(1)负温度系数热敏电阻(NTC)；(2)正温度系数热敏电阻(PTC)；
(3)临界温度系数热敏电阻(CTC)。因为在温度测量中使用最多的是NTC 型热敏电阻，所以， 通常所说的热敏电阻一般指负温度系数热敏电阻。
５、为什么气敏电阻都附有加热器?
答：气敏电阻是利用半导体陶瓷与气体接触而电阻发生变化的效应制成的气敏元件。气敏电阻都附有加热器，以便烧掉附着在探测部位处的油雾、尘埃，同时加速气体的吸附，从而提高元件的灵敏度和响应速度。半导瓷气敏电阻元件一般要加热到200℃～400℃，元件在加热开始时阻值急剧地下降，然后上升，一般经2～10分钟才达到稳定，称之为初始稳定状态，元件只有在达到初始稳定状态后才可用于气体检测。
６、试设计一个简易的家用有害气体报警电路。
答：下图为一个简易的家用有害气体报警电路。图中变压器次级绕组为气敏电阻QM-N6提供加热器电源。变压器初级中心抽头产生的110V 交流电压，加到由1k Ω电位器、气敏电阻和蜂鸣器串联组成的测量电路。当CO 等还原性有害气体的浓度上升时，气敏电阻减小，流过蜂鸣器的电流增大，当有害气体的浓度使蜂鸣器的电流增大到一定值时，蜂鸣器就鸣叫报警。调整电位器可调整蜂鸣器灵敏度，即产生报警的有害气体最低浓度。图中氖灯LD 用作电源指示。为防止意外短路，变压器初级安装了0.5A 的保险丝。
７、图4-1-１９中电表指示减小表示湿度增大还是减小? 为什么? 怎样能调整该电路的测湿范围?
解：图4-1-1９中电表为电流表，其中电流I X 为：
I X =3V ≤I F （I F 为电流表满量程） R 1+R 2+R X
R X 为负特性湿敏电阻。
湿度↑→R X ↓→I X ↑。
湿度测量范围 X min ％RH ～X max ％RH ，
R d 为湿度X max ％RH 时R X 的值R X min ，
因要求I X ≤I F 即R 1+R 2+R 3≥3V F ，
所以增大R 1可减小R X min ，即扩大测湿量程X max ％RH 。
８、测湿电路对供电电源有什么要求? 为什么?
答：测湿电路通常为湿敏电阻构成的电桥电路。如果采用直流电源供电，湿敏电阻体在工作过程中会出现离子的定向迁移和积累，致使元件失效或性能降低，因此所有湿敏电阻的供电电源都必须是交流或换向直流(注意：不是脉动直流) 。
９、为了减小变极距型电容传感器的极距，提高其灵敏度，经常在两极板间加一层云母或塑料膜来改善电容器的耐压性能，如图4-2-1（c ）所示。试推导这种双层介质差动式变极距型电容传感器的电容与动极板位移的关系式。
答：据公式（１－２－２）图４－２－１（c ）所示电容传感器的初始电容为
C 0=S
d 1
ε0+d 2=ε0S d 1+d 2 ε0εr εr
如果空气隙减小了∆d ，则电容值变为
C =ε0S
d 1-∆d +d 2=d 1+ε0S d 2=ε0S ⎛ ⎛d 2⎫ ∆d ⎪d +1- 1ε⎪ d 2r ⎭⎝ d 1+εr ⎝⎫⎪⎪⎪⎪⎭=εr εr -∆d C 0 ∆d 1-d d 1+2εr
双层介质差动式变极距型电容传感器的电容与动极板位移的关系式为。
C 1-C 2=C 1+C 2∆d d 2d 1+εr
１０、试证明图1所示传感器电容与介质块位移x 成线性关系。
图1
答：图1所示为变介质式电容传感器，设极板宽为b ，长为l 。极板间无介质块时的电容为C 0=ε1bl
d 1+d 2，极板间有介质块时的电容为，
ε1
ε2bx b (l -x ) x 。 C =C A +C B =+=C 0+C 0⋅d 1d 2d 1+d 2l d 11++ε1ε2ε1d 2ε21-
１１、自感式传感器有哪些类型? 各有何优缺点?
答：自感传感器有三种类型：变气隙式、变面积式和螺管式。变气隙式灵敏度最高，螺管式灵敏度最低。变气隙式的主要缺点是：非线性严重，为了限制非线性误差，示值范围只能较小；它的自由行程受铁心限制，制造装配困难。变面积式和螺管式的优点是具有较好的线性，因而示值范围可取大些，自由行程可按需要安排，制造装配也较方便。此外，螺管式与变面积式相比，批量生产中的互换性好。由于具备上述优点，而灵敏度低的问题可在放大电路方面加以解决，因此目前螺管型自感传感器的应用越来越多。
１２、为什么更换自感传感器连接电缆需重新进行校正?
答：由自感传感器的等效电路图４－3-3可见，自感传感器工作时，并不是一个理想的纯电感L ，还存在线圈的匝间电容和电缆线分布电容组成的并联寄生电容C 。更换连接电缆后，连接电缆线分布电容的改变会引起并联寄生电容C 的改变，从而导致自感传感器的等效电感改变，因此在更换连接电缆后应重新校正或采用并联电容加以调整。
１３、试比较差动自感式传感器与差动变压器式传感器的异同?
答：差动自感式传感器与差动变压器式传感器的相同点是都有一对对称的线圈铁心和一个共用的活动衔铁，而且也都有变气隙式、变面积式、螺管式三种类型。不同点是，差动自感式传感器的一对对称线圈是作为一对差动自感接入交流电桥或差动脉冲调宽电路，将衔铁位移转换成电压。而差动变压器式传感器的一对对称线圈是作为变压器的次级线圈，此外，差动变压器式传感器还有初级线圈（差动自感式传感器没有），初级线圈接激励电压，两次级线圈差动连接，将衔铁位移转换成差动输出电压。
１４、试说明图4-3-9电路为什么能辨别衔铁移动方向和大小? 为什么能调整零点输出电压?
答：图(a)和图(b)的输出电流为I ab =I1-I 2，图(c)和图(d)的输出电压为U ab =Uac -U bc 。当衔铁位于零位时，I 1＝I 2,U ac =Ubc ，故I ab =0,Uab =0;当衔铁位于零位以上时，I 1>I2，U ac >Ubc ，故I ab >0，U ab >0;当衔铁位于零位以下时，I 1
调整图中电位器滑动触点的位置，可以使差动变压器两个次级线圈的电路对称，在衔铁居中即位移为零时，图４－３－９电路输出电流或电压为零。
１５、何谓压磁效应? 试说明图4-3-1３互感型压磁传感器工作原理。
答：铁磁物质在外界机械力(拉、压、扭) 作用下，磁导率发生变化，外力取消后，磁导率复原，这种现象称为“压磁效应”。
图４－3-13为一种常用的互感型压磁传感器。由硅钢片粘叠而成的压磁元件上冲有四个对称的孔，孔1、2的连线与孔3、4的连线相互垂直，孔1、2间绕有初级(激磁) 绕组，孔3、4间绕有次级(输出) 绕组，在不受力时，铁芯的磁阻在各个方向上是一致的，初级线圈的磁力线对称地分布，不与次级线圈发生交链，因而不能在次级线圈中产生感应电动势。当传感器受压力F 时，在平行于作用力方向上磁导率减小，磁阻增大，在垂直于作用力方向上磁导率增大，磁阻减小，初级线圈产生的磁力线将重新分布如图４－3-13(c)所示。此时一部分磁力线与次级绕组交链，而产生感应电动势。F 的值越大，交链的磁通量越多，感应电压也越大。感应电压经变换处理后，就可以用来表示被测力F 的数值。
１６、当采用涡流传感器测量金属板厚度时，需不需要恒温? 为什么?
答：温度变化时，金属的电阻率 会发生变化，据公式（４－３－４４），将使涡流的渗透深度h 随之变化，据公式（４－３－４９）可知，这将使透射式涡流传感器接收线圈中的感应电压U 2随温度变化。为了防止温度变化产生的电压变化同金属板厚度变化产生的电压变化相混淆，采用涡流传感器测量金属板厚度时，需要采取恒温措施或考虑温度变化的影
响。
１７、涡流式传感器的主要优点是什么? 它可以应用在哪些方面?
答：其主要优点是可实现非接触式测量。
１８、反射式涡流传感器与透射式涡流传感器有何异同?
答：相同点：都包含有产生交变磁场的传感器线圈（激励线圈）和置于该线圈附近的金属导体，金属导体内，都产生环状涡流。不同点：反射式涡流传感器只有产生一个交变磁场的传感器线圈，金属板表面感应的涡流产生的磁场对原激励磁场起抵消削弱作用，从而导致传感器线圈的电感量、阻抗和品质因数都发生变化。而透射式涡流传感器有两个线圈：发射线圈（激励线圈）L 1、接收线圈L 2，分别位于被测金属板的两对侧。金属板表面感应的涡流产生的磁场在接收线圈L 2中产生感应电压，此感应电压与金属板厚度有关。
１９、收集一个电冰箱温控电路实例，剖析其工作原理。
答：下面是日本生产的某电冰箱温控电路。该电冰箱的温控范围T L ～T
H 由窗口比较
器的窗口电压V L 和V H 决定。调节电位器R P 可调整T L 。图中R t 为热敏电阻，当温度上升时，R t 减小，V T 升高。当冰箱内温度T >T H 时，V T >V H >V L ，窗口比较器使RS 触发器的S 端为低电平，R 端为高电平，Q 输出端为高电平，晶体管导通，继电器线圈通电而动作，继电器常开触点闭合，电冰箱压缩机启动制冷。冰箱内温度降低。
当冰箱内温度T
当冰箱内温度T L