第四章 图形的相似 同步练习
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分, 共28分) 1. 下面四组线段中, 能成比例的是 ( ) A.3,6,7,9 B.3,6,9,18 C.2,5,6,8 D.1,2,3,4 【解析】选B.3∶6=9∶18.
2. 如图, 有两个形状相同的星形图案, 则x 的值为( )
A.15cm B.12cm C.10cm
D.8cm
【解析】选D. 根据对应边成比例得:=, 解得x=8cm. 3. 如图,AB ∥CD,
=, 则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是
A. B. C. D. 【解析】选D. 由AB ∥CD 可得△AOB ∽△DOC,
)
(
又=,
△AOB
的周长与△DOC 的周长比是.
4. 如图
,AB ∥CD ∥EF, 则图中相似三角形的对数为 ( )
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
【解析】选B. ∵AB ∥CD ∥EF, ∴△ACD ∽△AEF, △ECD ∽△EAB, △ADB ∽△FDE.
∴图中共有3对相似三角形.
5. 如图, △ABC 中,A,B 两个顶点在x 轴的上方, 点C 的坐标是(-1,0).以点C 为位似中心, 在x 轴的下方作△ABC 的位似图形, 并把△ABC 的边长放大到原来的2倍, 记所得的图形是 △A ′B ′C. 设点B 的对应点B ′的横坐标是a, 则点B 的横坐标是 ( )
A.-a B.-(a+1) C.-(a-1) D.-(a+3)
【解析】选D. 过点B 和点B ′分别作x 轴的垂线, 垂足分别是点D 和点E,
∵点B ′的横坐标是a, 点C 的坐标是
(-1,0). ∴EC=a+1,
又∵△A ′B ′C 的边长是 △ABC 的边长的2倍, ∴DC=(a+1), ∴DO=(a+3),
∴B 点的横坐标是-(a+3).
6. 如图, 在△ABC 中,BC>AC,点D 在BC 上, 且DC=AC,∠ACB 的平分线交AD 于E, 点F 是AB 的中点, 连接EF, 则S △AEF ∶S 四边形BDEF 为 ( )
A.3∶4 B.1∶2 C.2∶3 D.1∶3 【解析】选D. ∵DC=AC,CE平分∠ACB, ∴AE=DE(等腰三角形“三线合一”). ∵点F 是AB 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线, ∴EF ∥BD,EF=BD, ∴△AFE ∽△ABD,
则S △AEF ∶
S △ADB ===,
∴S △AEF ∶S 四边形BDEF =1∶3.
7. 如图, 点A,B,C,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则点E 的坐标不可能是 ( )
A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2) 【解析】选B. 由题意得Rt △ABC 的边AB=6,BC=3,AC=3
, △CDE 中
CD=2,若CD 的对应边为AB 时C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则点E 的坐标是(6,0)或(6,2)或(4,0)或(4,2),不可能为(6,3);若CD 的对应边为BC 时,C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则点E 的坐标是(6,5)或(6,-3)或(4,5)或(4,-3);若CD 的对应边为AC 时C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似; 也可直接从网格上按上面的对应边来判断四个选项, 易得点E 的坐标不可能是(6,3),故选B. 二、填空题(每小题5分, 共25分)
8. 如图, 直线A 1A ∥BB 1∥CC 1, 若AB=8,BC=4,A1B 1=6,则线段B 1C 1的长
【解析】∵A 1
A ∥BB 1∥CC 1, ∴∵AB=8,BC=4,A1B 1=6,∴B 1C 1=3. 答案:3
9. 如图,A,B 两点被池塘隔开, 在AB 外任选一点C, 连接AC,BC 分别取=
.
【解析】∵M,N 分别为AC,BC 的三等分点, ∴
=
=, 又∠C 为公共角,
∴△CMN ∽△CAB, ∴
=,
∴AB=3MN=114m. 答案:114
10. 如图,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E,F 分别是PB,PC 的中点, △PEF, △PDC, △PAB 的面积分别为S,S 1,S 2, 若S=2,则
【解析】由于E,F 分别是PB,PC 的中点, 根据中位线性质EF ∥BC,EF=BC, 易得△PEF ∽△PBC,
面积的比是1∶4, 由S=2,得△PBC 的面积为8. 又根据平行四边形的性质, 把S 1+S2看作整体, 求得S 1+S2=△PBC 的面积=8. 答案:8
11. 已知点D 是线段AB 的黄金分割点, 且线段AD 的长为2厘米, 则最【解析】当线段BD 最短时, 由题意得答案:
-1
x, 过点M(2,0)作x 轴的垂线交直线l 于点
=
, 解得BD=
-1.
12. 如图, 已知直线l :y=
N, 过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1; 过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1, 过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于M 2, ……按此作法继续下去, 则
【解析】根据题意可知N 的坐标为(2,2所以OM=2,MN=2
,
),
因为△OMN 和△NMM 1相似,
所以=, 所以MM 1
=6.
所以OM 1=2+6=8, 因此M 1的坐标为(8,0).
同理, 可求得M 2(32,0),M3(128,0),……, 由此可得M n 的横坐标满足(22n+1,0), 所以当n=10时, 代入(22n+1,0) 中, 得M 10的坐标为(221,0). 答案:(221,0)
三、解答题(共47分)
13.(10分) 如图, 四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(2,6),B(4,2),C(6,2),
D(6,4),在第一象限内, 画出以原点为位似中心, 与原四边形ABCD 相似比为的位似图形A 1B 1C 1D 1, 并写出各点坐标.
【解析】如图所示:
各点的坐标分别为:A1(1,3),B1
(2,1),C1(3,1),D1(3,2). 14.(12分)(2013·徐州中考) 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, 翻折∠C, 使点C 落在斜边AB 上的某一点D 处, 折痕为EF(点E,F 分别在边AC,BC 上). (1)若△CEF 与△ABC 相似,
(2)当点D 是AB 的中点时, △CEF 与△ABC 相似吗? 请说明理由. 【解析】(1)①(2)相似.
连接CD, 与EF 交于点O,
∵CD 是Rt △ABC 的中线, ∴CD=DB=AB, ∴∠DCB=∠B.
由折叠知, ∠COF=∠DOF=90°, ∴∠DCB+∠CFE=90°, ∵∠B+∠A=90°, ∴∠CFE=∠A. 又∵∠C=∠C, ∴△CEF ∽△CBA.
; ②1.8或2.5.
15.(12分)(2014·宁波慈溪实验期中) 如图, 点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点, △BCE 沿BE 折叠为△BFE, 点F 落在AD 上. (1)求证:△ABF ∽△DFE.
(2)若△BEF 也与△ABF 相似, 请求出∠BEC 的度数.
【解析】(1)
如图,
∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠A=∠D=∠C=90°. ∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE, ∴∠BFE=∠C=90°,
∴∠3+∠1=180°-∠BFE=90°. 又∵∠3+∠2=90°, ∴∠1=∠2, ∴△ABF ∽△DFE.
(2)∵由(1)知, ∠1+∠3=90°, ∴△BEF 与△ABF 相似, 分两种情况: △ABF ∽△FBE; △ABF ∽△FEB. ①当△ABF ∽△FBE 时, ∠2=∠4. ∵∠4=∠5, ∠2+∠4+∠5=90°,
∴∠2=∠4=∠5=30°, ∴∠BEC=90°-30°=60°. ②当△ABF ∽△FEB 时, ∠2=∠6, ∵∠4+∠6=90°, ∴∠4+∠2=90°, 这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾, ∴△ABF ∽△FEB 不成立. 综上所述, ∠BEC 的度数是60°.
16.(13分)(2013·永州中考) 如图, 已知AB ⊥BD,CD ⊥BD.
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD 上是否存在P 点, 使以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似? 若存在, 求BP 的长; 若不存在, 请说明理由.
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD 上存在多少个P 点, 使以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似? 并求BP 的长.
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD 上存在多少个P 点, 使以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似? 并求BP 的长.
(4)若AB=m,CD=n,BD=l , 请问在m,n, l 满足什么关系时, 存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点? 两个P 点? 三个P 点?
【解析】(1)存在P 点满足题意. 设BP=x,则DP=10-x, 如果是△ABP ∽△CDP, 则即=, 解得x=. =, =, 如果是△ABP ∽△PDC, 则即=, 得方程:x2-10x+36=0,方程无解;
所以BP=.
(2)存在两个P 点满足题意. 设BP=x,则DP=12-x,
如果是△ABP ∽△CDP, 则
即=, 解得x=.
=, =, 如果是△ABP ∽△PDC, 则
即=,
得方程:x2-12x+36=0,解得x=6;
所以BP=6或.
(3)存在三个P 点满足题意. 设BP=x,则DP=15-x,
如果是△ABP ∽△CDP, 则
即=, 解得x=.
=, =, 如果是△ABP ∽△PDC, 则
即=, 得方程:x2-15x+36=0,解得x=3
或12. 所以BP=,3
或12.
(4)设BP=x,则DP=x -x,
如果是△ABP ∽△CDP, 则
=,
如果是△ABP ∽△PDC, 则
=,
得方程:x2-l x+mn=0,Δ=l 2-4mn.
当Δ=l 2-4mn
当Δ=l 2-4mn=0时, 存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的两个P 点;
当Δ=l 2-4mn>0时, 存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的三个P 点.
第四章 图形的相似 同步练习
(45分钟 100分)
一、选择题(每小题4分, 共28分) 1. 下面四组线段中, 能成比例的是 ( ) A.3,6,7,9 B.3,6,9,18 C.2,5,6,8 D.1,2,3,4 【解析】选B.3∶6=9∶18.
2. 如图, 有两个形状相同的星形图案, 则x 的值为( )
A.15cm B.12cm C.10cm
D.8cm
【解析】选D. 根据对应边成比例得:=, 解得x=8cm. 3. 如图,AB ∥CD,
=, 则△AOB 的周长与△DOC 的周长比是
A. B. C. D. 【解析】选D. 由AB ∥CD 可得△AOB ∽△DOC,
)
(
又=,
△AOB
的周长与△DOC 的周长比是.
4. 如图
,AB ∥CD ∥EF, 则图中相似三角形的对数为 ( )
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
【解析】选B. ∵AB ∥CD ∥EF, ∴△ACD ∽△AEF, △ECD ∽△EAB, △ADB ∽△FDE.
∴图中共有3对相似三角形.
5. 如图, △ABC 中,A,B 两个顶点在x 轴的上方, 点C 的坐标是(-1,0).以点C 为位似中心, 在x 轴的下方作△ABC 的位似图形, 并把△ABC 的边长放大到原来的2倍, 记所得的图形是 △A ′B ′C. 设点B 的对应点B ′的横坐标是a, 则点B 的横坐标是 ( )
A.-a B.-(a+1) C.-(a-1) D.-(a+3)
【解析】选D. 过点B 和点B ′分别作x 轴的垂线, 垂足分别是点D 和点E,
∵点B ′的横坐标是a, 点C 的坐标是
(-1,0). ∴EC=a+1,
又∵△A ′B ′C 的边长是 △ABC 的边长的2倍, ∴DC=(a+1), ∴DO=(a+3),
∴B 点的横坐标是-(a+3).
6. 如图, 在△ABC 中,BC>AC,点D 在BC 上, 且DC=AC,∠ACB 的平分线交AD 于E, 点F 是AB 的中点, 连接EF, 则S △AEF ∶S 四边形BDEF 为 ( )
A.3∶4 B.1∶2 C.2∶3 D.1∶3 【解析】选D. ∵DC=AC,CE平分∠ACB, ∴AE=DE(等腰三角形“三线合一”). ∵点F 是AB 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线, ∴EF ∥BD,EF=BD, ∴△AFE ∽△ABD,
则S △AEF ∶
S △ADB ===,
∴S △AEF ∶S 四边形BDEF =1∶3.
7. 如图, 点A,B,C,D 的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则点E 的坐标不可能是 ( )
A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2) 【解析】选B. 由题意得Rt △ABC 的边AB=6,BC=3,AC=3
, △CDE 中
CD=2,若CD 的对应边为AB 时C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则点E 的坐标是(6,0)或(6,2)或(4,0)或(4,2),不可能为(6,3);若CD 的对应边为BC 时,C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似, 则点E 的坐标是(6,5)或(6,-3)或(4,5)或(4,-3);若CD 的对应边为AC 时C,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似; 也可直接从网格上按上面的对应边来判断四个选项, 易得点E 的坐标不可能是(6,3),故选B. 二、填空题(每小题5分, 共25分)
8. 如图, 直线A 1A ∥BB 1∥CC 1, 若AB=8,BC=4,A1B 1=6,则线段B 1C 1的长
【解析】∵A 1
A ∥BB 1∥CC 1, ∴∵AB=8,BC=4,A1B 1=6,∴B 1C 1=3. 答案:3
9. 如图,A,B 两点被池塘隔开, 在AB 外任选一点C, 连接AC,BC 分别取=
.
【解析】∵M,N 分别为AC,BC 的三等分点, ∴
=
=, 又∠C 为公共角,
∴△CMN ∽△CAB, ∴
=,
∴AB=3MN=114m. 答案:114
10. 如图,P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点,E,F 分别是PB,PC 的中点, △PEF, △PDC, △PAB 的面积分别为S,S 1,S 2, 若S=2,则
【解析】由于E,F 分别是PB,PC 的中点, 根据中位线性质EF ∥BC,EF=BC, 易得△PEF ∽△PBC,
面积的比是1∶4, 由S=2,得△PBC 的面积为8. 又根据平行四边形的性质, 把S 1+S2看作整体, 求得S 1+S2=△PBC 的面积=8. 答案:8
11. 已知点D 是线段AB 的黄金分割点, 且线段AD 的长为2厘米, 则最【解析】当线段BD 最短时, 由题意得答案:
-1
x, 过点M(2,0)作x 轴的垂线交直线l 于点
=
, 解得BD=
-1.
12. 如图, 已知直线l :y=
N, 过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1; 过点M 1作x 轴的垂线交直线l 于N 1, 过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于M 2, ……按此作法继续下去, 则
【解析】根据题意可知N 的坐标为(2,2所以OM=2,MN=2
,
),
因为△OMN 和△NMM 1相似,
所以=, 所以MM 1
=6.
所以OM 1=2+6=8, 因此M 1的坐标为(8,0).
同理, 可求得M 2(32,0),M3(128,0),……, 由此可得M n 的横坐标满足(22n+1,0), 所以当n=10时, 代入(22n+1,0) 中, 得M 10的坐标为(221,0). 答案:(221,0)
三、解答题(共47分)
13.(10分) 如图, 四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A(2,6),B(4,2),C(6,2),
D(6,4),在第一象限内, 画出以原点为位似中心, 与原四边形ABCD 相似比为的位似图形A 1B 1C 1D 1, 并写出各点坐标.
【解析】如图所示:
各点的坐标分别为:A1(1,3),B1
(2,1),C1(3,1),D1(3,2). 14.(12分)(2013·徐州中考) 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, 翻折∠C, 使点C 落在斜边AB 上的某一点D 处, 折痕为EF(点E,F 分别在边AC,BC 上). (1)若△CEF 与△ABC 相似,
(2)当点D 是AB 的中点时, △CEF 与△ABC 相似吗? 请说明理由. 【解析】(1)①(2)相似.
连接CD, 与EF 交于点O,
∵CD 是Rt △ABC 的中线, ∴CD=DB=AB, ∴∠DCB=∠B.
由折叠知, ∠COF=∠DOF=90°, ∴∠DCB+∠CFE=90°, ∵∠B+∠A=90°, ∴∠CFE=∠A. 又∵∠C=∠C, ∴△CEF ∽△CBA.
; ②1.8或2.5.
15.(12分)(2014·宁波慈溪实验期中) 如图, 点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点, △BCE 沿BE 折叠为△BFE, 点F 落在AD 上. (1)求证:△ABF ∽△DFE.
(2)若△BEF 也与△ABF 相似, 请求出∠BEC 的度数.
【解析】(1)
如图,
∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠A=∠D=∠C=90°. ∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE, ∴∠BFE=∠C=90°,
∴∠3+∠1=180°-∠BFE=90°. 又∵∠3+∠2=90°, ∴∠1=∠2, ∴△ABF ∽△DFE.
(2)∵由(1)知, ∠1+∠3=90°, ∴△BEF 与△ABF 相似, 分两种情况: △ABF ∽△FBE; △ABF ∽△FEB. ①当△ABF ∽△FBE 时, ∠2=∠4. ∵∠4=∠5, ∠2+∠4+∠5=90°,
∴∠2=∠4=∠5=30°, ∴∠BEC=90°-30°=60°. ②当△ABF ∽△FEB 时, ∠2=∠6, ∵∠4+∠6=90°, ∴∠4+∠2=90°, 这与∠2+∠4+∠5=90°相矛盾, ∴△ABF ∽△FEB 不成立. 综上所述, ∠BEC 的度数是60°.
16.(13分)(2013·永州中考) 如图, 已知AB ⊥BD,CD ⊥BD.
(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD 上是否存在P 点, 使以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似? 若存在, 求BP 的长; 若不存在, 请说明理由.
(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD 上存在多少个P 点, 使以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似? 并求BP 的长.
(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD 上存在多少个P 点, 使以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似? 并求BP 的长.
(4)若AB=m,CD=n,BD=l , 请问在m,n, l 满足什么关系时, 存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点? 两个P 点? 三个P 点?
【解析】(1)存在P 点满足题意. 设BP=x,则DP=10-x, 如果是△ABP ∽△CDP, 则即=, 解得x=. =, =, 如果是△ABP ∽△PDC, 则即=, 得方程:x2-10x+36=0,方程无解;
所以BP=.
(2)存在两个P 点满足题意. 设BP=x,则DP=12-x,
如果是△ABP ∽△CDP, 则
即=, 解得x=.
=, =, 如果是△ABP ∽△PDC, 则
即=,
得方程:x2-12x+36=0,解得x=6;
所以BP=6或.
(3)存在三个P 点满足题意. 设BP=x,则DP=15-x,
如果是△ABP ∽△CDP, 则
即=, 解得x=.
=, =, 如果是△ABP ∽△PDC, 则
即=, 得方程:x2-15x+36=0,解得x=3
或12. 所以BP=,3
或12.
(4)设BP=x,则DP=x -x,
如果是△ABP ∽△CDP, 则
=,
如果是△ABP ∽△PDC, 则
=,
得方程:x2-l x+mn=0,Δ=l 2-4mn.
当Δ=l 2-4mn
当Δ=l 2-4mn=0时, 存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的两个P 点;
当Δ=l 2-4mn>0时, 存在以P,A,B 三点为顶点的三角形与以P,C,D 三点为顶点的三角形相似的三个P 点.