第24课 正多边形与圆、弧长及圆锥侧面积
【课标要求】
1、计算弧长及扇形的面积。
2、会计算圆锥的侧面积和表面积。
3、了解正多边形概念及正多边形与圆的关系。
【知识要点】
1. 圆的周长为 ；
1°的圆心角所对的弧长为 ，n °的圆心角所对的弧长为 ，
弧长公式为 。
2. 圆的面积为 ；
1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n °的圆心角所在的扇形面积为： ， S= ⨯πR = = 。
3. 圆锥的侧面积公式：S=πrl 。（其中r 为 的半径，l 为 的长）
4. 正多边形与圆：（1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形叫做圆的内接正多边形。
（2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边形叫做圆的外切正多边形。 2
【典型例题】
【例1】．圆锥的母线与底面直径都等于8cm ，则圆锥的侧面积是______.
【例2】．已知圆锥底面半径为r ，若它的侧面积是底面积的1，5倍，则母线长______，展开后扇形的圆心角=_______.
【例3】如图，圆锥底面半径为r ，母线长为3r ，底面圆周上有一蚂蚁位于
A 点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一
条爬行最短的路径，并求出最短路径.
【例4】如图，等腰Rt △ABC 中斜边AB =4，O 是AB 的中点，以O 为圆心
的半圆分别与两腰相切于点D 、E ，图中阴影部分的面积是多少？请你把
它求出来.(结果用π表示)
【课堂检测】
1. （2012福建莆田）若扇形的圆心角为60°，弧长为２π，则扇形的半径为 。
2．(2012重庆) 一扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_____（保留π）。
3．（2009福建泉州）已知圆锥底面半径长为5，侧面展开后所得的扇形的圆心角为为120°，则该圆锥的母线长等于 。
4. （2012浙江嘉兴）已知一圆锥的底面半径3cm, 母线长10cm, 则这个圆锥的侧面积为( )。
A. 15π cm
B. 30πcm C. 60πcm 2222
5.(2012四川南充) 一圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（ ）。
A ．120° B．180° C．240° D．300°
6. 已知Rt △ABC ，斜边AB =13 cm，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65π cm2的圆锥，则这个圆锥的高等于_____。
7. 已知正三角形边长为a ，其内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则r ∶a ∶R 等于( )。
A.1∶2∶2 B.1∶2∶2 C.1∶2∶
D.1∶∶2
8. ( 2012年四川巴中) 已知一个圆的半径为5cm, 则它的内接正六边形的边长为_____㎝。
9. （2010福建泉州）如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为2和1，则弦长AB = ；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 。(结果保留根号)
10. （2011福建泉州）如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）。
A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π
11.(2012山东临沂）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（ ）。 A.1 B. C. 3 D. 23 2
12．（2012四川内江）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝
影部分图形的面积为（ ）。
A ．4π B．2π C．π D．2π 3
13. 如图，AB 为半⊙O 的直径，C 是半圆上一点，且∠COA =60°，设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）。
A. S 1
第9题
第10题 第
11题 第12题 第13题
14. （2011福建泉州）如图, 在∆ABC 中, ∠A =90o , O 是BC 边上一点, 以O 为圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点, 连接OD . 已知BD =2, AD =3. 求:
(1)tan C ；
(2)图中两部分阴影面积的和.
B
15. ( 2012年浙江宁波) 如图在△ABC 中,BE 是它的角平分线, ∠C=900,D 在AB 边上, 以DB 为直径的半⊙O 经过点E 交BC 于点F.
(1)求证:AC是⊙O 的切线;
1(2)已知sinA= ,⊙O 的半径为4, 求图中阴影部分的面积. 2
【课后作业】
16. （2011山东省聊城）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm。(保留π)
17．(2012江苏苏州) 已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径为 。
18．(2012贵州黔西南州) 已知圆锥的底面半径为10cm ，它的展开图扇形的半径为30cm ，则这个扇形圆心角的度数是_______。
19. （2012连云港）用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）。
A. 1cm B. 2cm C.πcm D. 2πcm
20．两个圆锥的母线长相等．侧面积之比为1：2，底面积之比为（ ）。
A.2：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4
21. 圆内接正方形的一边切下的一部分的面积等于2π－4，则正方形的边长是_____，这个正方形的内切圆半径是_____。
22．（2012湖北咸宁）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）。
π2ππ2πA ．3- B．-．2- D．23- 2323
23. 将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中(如图). 设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h 的取值范围是_____。
24. （2011福建泉州）如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC. 那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为 ；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= 。
25．(2012山东德州) 如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_______。
C
A B 第22题 第23题 第24题 第25题
26．（2012黑龙江绥化）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面
2半径OB =3cm ，高OC =4cm ，则这个圆锥形漏斗的侧面积是 cm 。
27．（2012北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为：（ ）。
A ．10π B
． C
．π D．π 33
28. 如图，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ）。
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)
第26题第27题第28题
29. （2012贵州贵阳）在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，∠C=45°，则
（1）BD 的长是 ；（5分）
（2）求阴影部分的面积. （5分）
A C
30. （2012山东莱芜）已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠A=60°, 以点D 为圆心的⊙D 与边AB 相切于点E.
（1）求证：⊙D 与边BC 也相切；
（2）设⊙D 与BD 相交于点H ，与边CD 相交于点F ，连接HF ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（3）⊙D 上一动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周，当S △HDF=3S △MDF时，求动点M 经过的弧长（结果保留π）.
第24课 正多边形与圆、弧长及圆锥侧面积
【课标要求】
1、计算弧长及扇形的面积。
2、会计算圆锥的侧面积和表面积。
3、了解正多边形概念及正多边形与圆的关系。
【知识要点】
1. 圆的周长为 ；
1°的圆心角所对的弧长为 ，n °的圆心角所对的弧长为 ，
弧长公式为 。
2. 圆的面积为 ；
1°的圆心角所在的扇形面积为 ，n °的圆心角所在的扇形面积为： ， S= ⨯πR = = 。
3. 圆锥的侧面积公式：S=πrl 。（其中r 为 的半径，l 为 的长）
4. 正多边形与圆：（1）正多边形的顶点都在圆上，圆叫做正多边形的外接圆，正多边形叫做圆的内接正多边形。
（2）圆和正多边形的各边都相切，圆叫做正多边形的内切圆，正多边形叫做圆的外切正多边形。 2
【典型例题】
【例1】．圆锥的母线与底面直径都等于8cm ，则圆锥的侧面积是______.
【例2】．已知圆锥底面半径为r ，若它的侧面积是底面积的1，5倍，则母线长______，展开后扇形的圆心角=_______.
【例3】如图，圆锥底面半径为r ，母线长为3r ，底面圆周上有一蚂蚁位于
A 点，它从A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一
条爬行最短的路径，并求出最短路径.
【例4】如图，等腰Rt △ABC 中斜边AB =4，O 是AB 的中点，以O 为圆心
的半圆分别与两腰相切于点D 、E ，图中阴影部分的面积是多少？请你把
它求出来.(结果用π表示)
【课堂检测】
1. （2012福建莆田）若扇形的圆心角为60°，弧长为２π，则扇形的半径为 。
2．(2012重庆) 一扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为_____（保留π）。
3．（2009福建泉州）已知圆锥底面半径长为5，侧面展开后所得的扇形的圆心角为为120°，则该圆锥的母线长等于 。
4. （2012浙江嘉兴）已知一圆锥的底面半径3cm, 母线长10cm, 则这个圆锥的侧面积为( )。
A. 15π cm
B. 30πcm C. 60πcm 2222
5.(2012四川南充) 一圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开扇形的圆心角是（ ）。
A ．120° B．180° C．240° D．300°
6. 已知Rt △ABC ，斜边AB =13 cm，以直线BC 为轴旋转一周，得到一个侧面积为65π cm2的圆锥，则这个圆锥的高等于_____。
7. 已知正三角形边长为a ，其内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，则r ∶a ∶R 等于( )。
A.1∶2∶2 B.1∶2∶2 C.1∶2∶
D.1∶∶2
8. ( 2012年四川巴中) 已知一个圆的半径为5cm, 则它的内接正六边形的边长为_____㎝。
9. （2010福建泉州）如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为2和1，则弦长AB = ；若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为 。(结果保留根号)
10. （2011福建泉州）如图，直径AB 为6的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点B’，则图中阴影部分的面积是（ ）。
A. 3π B. 6π C. 5π D. 4π
11.(2012山东临沂）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（ ）。 A.1 B. C. 3 D. 23 2
12．（2012四川内江）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝
影部分图形的面积为（ ）。
A ．4π B．2π C．π D．2π 3
13. 如图，AB 为半⊙O 的直径，C 是半圆上一点，且∠COA =60°，设扇形AOC 、△COB 、弓形BmC 的面积为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）。
A. S 1
第9题
第10题 第
11题 第12题 第13题
14. （2011福建泉州）如图, 在∆ABC 中, ∠A =90o , O 是BC 边上一点, 以O 为圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点, 连接OD . 已知BD =2, AD =3. 求:
(1)tan C ；
(2)图中两部分阴影面积的和.
B
15. ( 2012年浙江宁波) 如图在△ABC 中,BE 是它的角平分线, ∠C=900,D 在AB 边上, 以DB 为直径的半⊙O 经过点E 交BC 于点F.
(1)求证:AC是⊙O 的切线;
1(2)已知sinA= ,⊙O 的半径为4, 求图中阴影部分的面积. 2
【课后作业】
16. （2011山东省聊城）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm。(保留π)
17．(2012江苏苏州) 已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径为 。
18．(2012贵州黔西南州) 已知圆锥的底面半径为10cm ，它的展开图扇形的半径为30cm ，则这个扇形圆心角的度数是_______。
19. （2012连云港）用半径为2cm 的半圆围成一个圆锥侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）。
A. 1cm B. 2cm C.πcm D. 2πcm
20．两个圆锥的母线长相等．侧面积之比为1：2，底面积之比为（ ）。
A.2：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4
21. 圆内接正方形的一边切下的一部分的面积等于2π－4，则正方形的边长是_____，这个正方形的内切圆半径是_____。
22．（2012湖北咸宁）如图，⊙O 的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为（ ）。
π2ππ2πA ．3- B．-．2- D．23- 2323
23. 将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中(如图). 设筷子露在杯子外面的长为h cm，则h 的取值范围是_____。
24. （2011福建泉州）如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC. 那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为 ；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r= 。
25．(2012山东德州) 如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_______。
C
A B 第22题 第23题 第24题 第25题
26．（2012黑龙江绥化）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面
2半径OB =3cm ，高OC =4cm ，则这个圆锥形漏斗的侧面积是 cm 。
27．（2012北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为：（ ）。
A ．10π B
． C
．π D．π 33
28. 如图，正方形的边长都相等，其中阴影部分面积相等的有（ ）。
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4)
第26题第27题第28题
29. （2012贵州贵阳）在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，∠C=45°，则
（1）BD 的长是 ；（5分）
（2）求阴影部分的面积. （5分）
A C
30. （2012山东莱芜）已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠A=60°, 以点D 为圆心的⊙D 与边AB 相切于点E.
（1）求证：⊙D 与边BC 也相切；
（2）设⊙D 与BD 相交于点H ，与边CD 相交于点F ，连接HF ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；
（3）⊙D 上一动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周，当S △HDF=3S △MDF时，求动点M 经过的弧长（结果保留π）.