股指期现套利模型

股指期货无套利区间模型

引言

套利对投资者而言，是一种充满魅力的交易策略。数以千计的个人投资者花费无数的心血和时间去找寻套利机会。如果某只股票在一家证券交易所以较低的价格水平买进，同时在交割的价格水平卖出。从而，价格将借此抬高，高价格也会相应被压低，该过程将持续到两种价格相等为止。

这是一个若干年前发生在一所大学校区里的套利情况的实例。在这所大学的社区内，有两家经营教科书的书店互相竞争。一家书店提供一种价格为10美元的特殊的平装书。在距此两栋楼远的另一家书店，该书的回购价格为10.50美元。套利不会持续很久，因为10美元的书很快就被卖空而被运到另一家书店。

上面就是一个典型的套利交易方式，每交易一本书净赚0.50美元。然而，现实生活中这样的机会少之又少，即使出现了也会很快消失。怎样才能抓住这稍纵即逝的机会是每位套利者非常关心的难题。恰逢值此融资融券、股指期货推出之际，本文从套利的基本原理出发，以套利实证分析为出发点，有意在这一方面做一些研究和探索，希望能给那些奋斗在金融市场的人们带来一些启发。

一、套利定义

套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下赚取较高收益率的交易活动。换句话说，套利是利用资产定价的错误、

价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其他机制，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率提高。

二、基本的假设与基本符号

（一）基本假设

1．没有交易费用和税收。

2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。

3．远期合约没有违约风险。

4．允许现货卖空。

5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。

6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。

（二）基本符号

T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。

t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期的剩余时间。

S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。

ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知

变量）。

K：远期合约中的交割价格。

f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。

F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本文中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。

r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。

三、完美市场下股指期货远期定价模型

传播期货知识 培养和成就投资人 与客户共同成长

-１-

股价指数可以近似看作是支付连续收益率的资产，为了给支付已知收益率的远期定价，我们可以构建两个组合。

组合A：一份远期合约多头加上一比数额为Ker(Tt)的现金；

组合B：eq(Tt)个证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。

在组合A中，Ker(Tt)的现金以无风险利率投资，投资期为(T

刻，其金额将达到K。这是因为： Ker(Tt)er(Tt)Kt)。到T时。这样，远期合约到期时，这笔现金刚好等于一单位标的证券。组合B拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻T，正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也相等，即：

fKefSer(T)tSeq(T)t （1） （2）

f0时，q(T)tKer(T)t由于远期价格(F)就是使合约价值(f)为零的交割价格(K)，即当

KF。因此公式（2）表明，支付已知收益率资产的远期价格：

FSe(rq)(T t)

这就是完美市场下股指期货远期合约的定价公式。

因此股价指数期货价格与股价指数现货价格之间必须保持如下关系，否则就存在套利机会：

如果FSe(rq)(Tt)FSe(rq)(T t)，投资者就可以通过购买股价指数中的成份股票，同时卖

Se(rq)(Tt)出指数期货合约来获得无风险套利利润。相反，如果F，投资者就可

以通过卖空股价指数中的成份股票，同时买入指数期货合约来获得无风险套利利润。

四、完美市场下股指期货套利实例

例：假设S&P500指数现在的点数为1000，该指数所含股票的红利收益率

传播期货知识 培养和成就投资人 与客户共同成长

-２-

Se(rq)(Tt)预计为每年5%（连续复利），3个月期S&P500指数期货的市价为950点，3个月期无风险连续复利年利率为10%，请问如何进行套利？ 在本例中，F，因此投资者可以通过卖空成分股买入指数期货来

套利：

① 确定套利的金额（假定为1000万美元）；

② 按各成分股在指数中所占权重卖空成份股，总计金额为1000万美元； ③ 将卖空成分股所的款项1000万美元按无风险利率贷出3个月；

④ 买入20份3个月期S&P500指数期货；

⑤ 3个月后收回贷款本金，其利息收入为：

1000万（e0.10.251）=25.32万美元

⑥ 3个月后按市价买回成份股，平掉股票的空仓，假设此时指数现货点数ST 则股票现货盈亏为：

1000ST

10001000万

⑦ 3个月后按指数现货点数（ST）对期货头寸进行结算，其盈亏为：

（ST-950）50020

⑧此次套利的总盈亏为：

25.32+10001ST+1ST950=75.32万美元。

五、正常市场下股指期货无套利区间模型

上述是在完美市场下股指期货的远期定价，但是在实际情况下不存在完美市场，任何套利都需要成本，因此在正常市场下就存在一个无风险套利区间，在这个区间内套利没有利润，一旦超出这个区间套利就存在利润。

首先我们列出进行一次期现套利所需的成本：

1、期货市场交易双边手续费

2、期货买卖冲击成本

3、买卖股票双边交易手续费

4、股票交易印花税

5、股票买卖的冲击成本

6、股票资产组合模拟指数跟踪误差

7、借贷利差成本

我们用Tc来表示进行一次期现套利所需要的成本，这样在理论价格基础上就

出现了一个无套利区间， 传播期货知识 培养和成就投资人 与客户共同成长

-３-

间下界才会出现套利机会。

无套利区间的上界就等于股指期货理论价格加上套利成本Tc，即

Se(rq)(Tt)Tc

无套利区间的下界就等于股指期货理论价格减去套利成本Tc，即

Se(rq)(Tt)Tc

这样，无套利区间为：

Se(rq)(Tt)Tc,Se(rq)(Tt)Tc

六、实例分析

2010年1月12日沪深300指数的点位为3535.4点，3月合约收盘价4140点，假设年利率r=5%，年红利q=3%，那么套利区间是多少？是否存在套利机会？

首先我们计算1003合约的理论价格：

FSe(rq)(Tt)3535.4*e(0.050.03)(31)/12=3547.2

然后我们计算下套利成本Tc：

1、期货买卖的双边手续费0.2点

2、期货买入和卖出的冲击成本0.2个指数点

3、股票买卖双边手续费0.4%*3535.4=14.14

4、股票交易印花税0.01%*3535.4=0.35

5、股票买卖冲击成本0.5%*3535.4=17.68

6、股票资产组合模拟指数跟踪误差0.2%*3535.4=7.07

7、借贷利差成本0.3%*3535.4=10.6

这样套利总成本Tc=50.2，无套利区间为：3497,3597.4

1月12日3月份远期合约4140点完全大于无套利区间上界3597.4点，存在巨大的套利空间，操作上可以买入成分股同时卖出3月份远期合约实现套利。但目前沪深300指数处于模拟阶段，现实不能进行套利操作，所以会出现这么大的套利空间。笔者认为，待股指期货正式推出，如果遭受爆炒的话出现套利机会的概率很大，希望本文能给有意在这方面奋斗的人们带来一些帮助。

传播期货知识 培养和成就投资人 与客户共同成长

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股指期货无套利区间模型

引言

套利对投资者而言，是一种充满魅力的交易策略。数以千计的个人投资者花费无数的心血和时间去找寻套利机会。如果某只股票在一家证券交易所以较低的价格水平买进，同时在交割的价格水平卖出。从而，价格将借此抬高，高价格也会相应被压低，该过程将持续到两种价格相等为止。

这是一个若干年前发生在一所大学校区里的套利情况的实例。在这所大学的社区内，有两家经营教科书的书店互相竞争。一家书店提供一种价格为10美元的特殊的平装书。在距此两栋楼远的另一家书店，该书的回购价格为10.50美元。套利不会持续很久，因为10美元的书很快就被卖空而被运到另一家书店。

上面就是一个典型的套利交易方式，每交易一本书净赚0.50美元。然而，现实生活中这样的机会少之又少，即使出现了也会很快消失。怎样才能抓住这稍纵即逝的机会是每位套利者非常关心的难题。恰逢值此融资融券、股指期货推出之际，本文从套利的基本原理出发，以套利实证分析为出发点，有意在这一方面做一些研究和探索，希望能给那些奋斗在金融市场的人们带来一些启发。

一、套利定义

套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下赚取较高收益率的交易活动。换句话说，套利是利用资产定价的错误、

价格联系的失常，以及市场缺乏有效性的其他机制，通过买进价格被低估的资产，同时卖出价格被高估的资产来获取无风险利润的行为。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率提高。

二、基本的假设与基本符号

（一）基本假设

1．没有交易费用和税收。

2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。

3．远期合约没有违约风险。

4．允许现货卖空。

5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利机会下的均衡价格。

6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头地位。

（二）基本符号

T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。

t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之前的某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以年为单位的距离到期的剩余时间。

S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。

ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个值是个未知

变量）。

K：远期合约中的交割价格。

f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。

F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格，在本文中如无特别注明，我们分别简称为远期价格和期货价格。

r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的年利率。

三、完美市场下股指期货远期定价模型

传播期货知识 培养和成就投资人 与客户共同成长

-１-

股价指数可以近似看作是支付连续收益率的资产，为了给支付已知收益率的远期定价，我们可以构建两个组合。

组合A：一份远期合约多头加上一比数额为Ker(Tt)的现金；

组合B：eq(Tt)个证券并且所有收入都再投资于该证券，其中q为该资产按连续复利计算的已知收益率。

在组合A中，Ker(Tt)的现金以无风险利率投资，投资期为(T

刻，其金额将达到K。这是因为： Ker(Tt)er(Tt)Kt)。到T时。这样，远期合约到期时，这笔现金刚好等于一单位标的证券。组合B拥有的证券数量则随着获得红利的增加而增加，在时刻T，正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也相等，即：

fKefSer(T)tSeq(T)t （1） （2）

f0时，q(T)tKer(T)t由于远期价格(F)就是使合约价值(f)为零的交割价格(K)，即当

KF。因此公式（2）表明，支付已知收益率资产的远期价格：

FSe(rq)(T t)

这就是完美市场下股指期货远期合约的定价公式。

因此股价指数期货价格与股价指数现货价格之间必须保持如下关系，否则就存在套利机会：

如果FSe(rq)(Tt)FSe(rq)(T t)，投资者就可以通过购买股价指数中的成份股票，同时卖

Se(rq)(Tt)出指数期货合约来获得无风险套利利润。相反，如果F，投资者就可

以通过卖空股价指数中的成份股票，同时买入指数期货合约来获得无风险套利利润。

四、完美市场下股指期货套利实例

例：假设S&P500指数现在的点数为1000，该指数所含股票的红利收益率

传播期货知识 培养和成就投资人 与客户共同成长

-２-

Se(rq)(Tt)预计为每年5%（连续复利），3个月期S&P500指数期货的市价为950点，3个月期无风险连续复利年利率为10%，请问如何进行套利？ 在本例中，F，因此投资者可以通过卖空成分股买入指数期货来

套利：

① 确定套利的金额（假定为1000万美元）；

② 按各成分股在指数中所占权重卖空成份股，总计金额为1000万美元； ③ 将卖空成分股所的款项1000万美元按无风险利率贷出3个月；

④ 买入20份3个月期S&P500指数期货；

⑤ 3个月后收回贷款本金，其利息收入为：

1000万（e0.10.251）=25.32万美元

⑥ 3个月后按市价买回成份股，平掉股票的空仓，假设此时指数现货点数ST 则股票现货盈亏为：

1000ST

10001000万

⑦ 3个月后按指数现货点数（ST）对期货头寸进行结算，其盈亏为：

（ST-950）50020

⑧此次套利的总盈亏为：

25.32+10001ST+1ST950=75.32万美元。

五、正常市场下股指期货无套利区间模型

上述是在完美市场下股指期货的远期定价，但是在实际情况下不存在完美市场，任何套利都需要成本，因此在正常市场下就存在一个无风险套利区间，在这个区间内套利没有利润，一旦超出这个区间套利就存在利润。

首先我们列出进行一次期现套利所需的成本：

1、期货市场交易双边手续费

2、期货买卖冲击成本

3、买卖股票双边交易手续费

4、股票交易印花税

5、股票买卖的冲击成本

6、股票资产组合模拟指数跟踪误差

7、借贷利差成本

我们用Tc来表示进行一次期现套利所需要的成本，这样在理论价格基础上就

出现了一个无套利区间， 传播期货知识 培养和成就投资人 与客户共同成长

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间下界才会出现套利机会。

无套利区间的上界就等于股指期货理论价格加上套利成本Tc，即

Se(rq)(Tt)Tc

无套利区间的下界就等于股指期货理论价格减去套利成本Tc，即

Se(rq)(Tt)Tc

这样，无套利区间为：

Se(rq)(Tt)Tc,Se(rq)(Tt)Tc

六、实例分析

2010年1月12日沪深300指数的点位为3535.4点，3月合约收盘价4140点，假设年利率r=5%，年红利q=3%，那么套利区间是多少？是否存在套利机会？

首先我们计算1003合约的理论价格：

FSe(rq)(Tt)3535.4*e(0.050.03)(31)/12=3547.2

然后我们计算下套利成本Tc：

1、期货买卖的双边手续费0.2点

2、期货买入和卖出的冲击成本0.2个指数点

3、股票买卖双边手续费0.4%*3535.4=14.14

4、股票交易印花税0.01%*3535.4=0.35

5、股票买卖冲击成本0.5%*3535.4=17.68

6、股票资产组合模拟指数跟踪误差0.2%*3535.4=7.07

7、借贷利差成本0.3%*3535.4=10.6

这样套利总成本Tc=50.2，无套利区间为：3497,3597.4

1月12日3月份远期合约4140点完全大于无套利区间上界3597.4点，存在巨大的套利空间，操作上可以买入成分股同时卖出3月份远期合约实现套利。但目前沪深300指数处于模拟阶段，现实不能进行套利操作，所以会出现这么大的套利空间。笔者认为，待股指期货正式推出，如果遭受爆炒的话出现套利机会的概率很大，希望本文能给有意在这方面奋斗的人们带来一些帮助。

传播期货知识 培养和成就投资人 与客户共同成长

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