求二次函数最值的几种形式
永州市第五中学 何 杰
二次函数模型是重要的函数模型，在人教版高中《数学》必修②中占了大量的篇幡，详尽介绍了二次函数的性质及应用，特别是二次函数的最值问题是近年来高考命题的一个热点问题，而求二次函数的最值归纳起来主要有三种形式：（1）轴定区间定; （2）轴定区间动，（3）轴动区间定，一般来说，讨论二次函数在区间上的最值，主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而用相应的单调性来求最值。下面就新教材，通过例子具体谈一谈二次函数最值的几种形式的探求方法。
1 轴定区间定
由于这种类型的二次函数的对称轴是固定的，区间也是固定的，因而求它的最值，只要直接应用单调性求出最值即可。
例1 （2002年高考数学上海卷）f (x ) =x 2+2ax +2, x ∈[-5, 5]。
（1）当a =-1时，求函数f (x ) 的最大值和最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使y =f (x ) 在区间[－5，5]上是单调函数。 解：（1）当a =-1时，f (x ) =x 2-2x +2=(x -1) 2+1, x ∈[-5, 5]，由于对称轴为x =1，区间为[－5，5]，而当1≤x ≤5时，f (x ) 是单调递增的；当-5≤x ≤1时，f (x ) 是单调递增的，所以[f (x )]nin ]＝f (1) =1, [f (x )]max =f (-5) =37。
（2）f (x ) =x 2+2ax +2=(x +a ) 2+2-a 2，所以对称轴为x =-a ，由数形结合易知，当-a ≥5，即a ≤-5时，f (x ) 在区间[-5,5]上单调递减；当-a ≤-5，即a ≥5时，f (x ) 在区间[-5,5]上单调递增。
综上可知，当a ≤-5时，f (x ) 在区间[-5,5]上单调递减；当a ≥5时，f (x ) 在区间[-5,5]上单调递增。
注：这种类型的最值的求解一般比较简单，只要注意在区间上的单调性即可。 2 轴定区间动
1
由于这种形式的对称轴是固定的，而区间是变动的，因而求它的最值必须要进行分类讨论才能得出结果。
例2 已知函数f (x ) =x 2+3x -5, x ∈[t , t +1],若f (x ) 的最小值为h (t ) , 写出h (t ) 的表达式。
分析：所求二次函数解析式固定，区间变动，可考虑区间在变动过程中二次函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求出此函数在区间上的最值。 3293解：f (x ) =(x +) 2-，所以对称轴为x =-固定，而区间[t,t+1]是变224
动的，因此有
35，即t ≤－时，h(t)=f(t+1)= (t +1) 2+3(t +1) -5=t 2+5t -1; 22
3（2）当t ＞－时，h (t ) =f (t ) =t 2+3t -5; 2
353329（3）当t ≤－＜ t+1，即－＜t ≤－时，h (t ) =f (-) =-。 22224
5 t 2+5t -1(t ≤-) ， 2
4953综上可知h (t ) = －(-〈t ≤-) ， 222（1）当t+1≤－
3⎫⎛ t 2+3t -5 t 〉-⎪。 2⎭⎝
注：注意分类讨论思想（不重不漏）在解题中的应用。
3 轴动区间定
这种形式的二次函数对称轴是变动的，面区间是固定的，要求其最值，需要讨论对称轴在区间端点之间、端点之外时的各种情况才能确定。
2x 的最小值为g(a ) 。 例3 若f (x ) =1-2a -2a cos x -2s i n
（1）求g(a ) 的表达式；
（2）求能使g(a )=1的a 值，并求出当a 取此值时，f (x ) 的最大值。 2
分析：这是一个定区间，动对称轴的最值问题，要求它的最值要由定区间看动轴的不同变化，再由函数单调性求出最值。
a ⎫a 2⎛解：（1）f (x ) =2 cos x -⎪--2a -1，令t =cos x ∈[-1, 1]，所以对称轴22⎝⎭
2 2
t =cos x =
当a 是变动的，而t ∈[-1, 1]是定区间，于是有 2a ＜－1，即a ＜－2时，f (x ) 在cos x =-1时取得最小值，即g(a ) ＝1； 2
a a 当－1≤≤1，即－2≤a ≤2时，f (x ) 在cos x =时取得最小值，即22
a 2
g (a ) =--2a -1； 2
当a ＞1，即a ＞2时，f (x ) 在cos x =1时取得最小值，即g(a ) =1-4a 。 2
1－4a （a ＞2），
a 2
-2a -1(-2≤a ≤2) 综上所述，g(a )= 2
1(a ＜－2）
1111a 2
（2）当g(a )=，即1－4a =或－－2a －1=时，由于1－4a =得22222
11a 2
a =，显然不合题意，故只有－2a －1=，即a =－3（舍去）或a =－1，因822
为—2≤a ≤2才符合题意，所以当g(a )=
21时，a =－1，所以21⎫1⎛f (x ) =22∙ cos x +⎪+，因此，当cos x =1时[f (x )]max =5。 2⎭2⎝
注：求此类问题的最值时要注意分类讨论思想的应用，同时要注意区间的隐含范围。
1例4 已知≤a ≤1，若函数f (x ) =ax 2-2x +1在区间[1,3]上的最大值为M 3
（a ），最小值为N （a ），令g(a )=M（a ）－N （a ）。
（1）求g(a ) 的表达方式；
（2）判断函数g(a ) 的单调性，并求出g(a ) 的最小值。
1⎫11⎛解：（1）f (x ) =ax -2x +1=a x -⎪+1-, 由已知条件可知1≤≤3。 a ⎭a a ⎝22
当1≤11≤2，即≤a ≤1时，M （a ）=f(1)=9a －5,N （a ）a 2
3
1⎛1⎫=[f (x )]min =f ⎪=1-， a ⎝a ⎭
1-6 a
111 a +-2(≤a ＜ a 32∴g(a )=M（a ）－N （a ）=a +
综上可知g(a )=
116≤a ≤1） a +-（a 2
111 （2）当≤za 1＜a 2≤时，g(a 2) -g (a 1) =(a 2-a 1)(1-∴g(a ) 在区) ＜0，32a 1a 2
11111间[, ]上单调递减，最小值是g() =; 当≤a 1＜a 2≤1时，g(a 2) －22232
⎛19-g(a 1)=(a 2-a 1) a 1a 2⎝⎫1⎪＞0，∴g() 在区间[，1]上单调递增，最小值是a ⎪2⎭
g(11)=。 22
注：利用对称轴的可变性求最值时，一定要时刻关注对称轴在区间上的变化。
4 最值在其他方面的应用
利用二次函数在指定区间上取得最值，可以求函数的表达式以及参数的取值及取值范围。
例5 已知函数g(x )=-x 2-3, f (x ) 是二次函数，当x ∈[-1, 2]时，
且f (x ) +g(x ) 为奇函数，求函数f (x ) 的表达式。 f (x ) 的最小值为1，
解：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0), 令f (x ) =f (x ) +g (x ) =(a -1) x 2+bx +c -3为奇函数。
b 2b 2
∴a -1=0且c -3=0⇔a =1, c =3, ∴f (x ) =x +bx +3=(x +) +3-，∴242
对称轴为x ∈[-1, 2]且[f (x )]min =1，所以分三种情况进行讨论。
（1）当f (-1) 时⇒b =3, x 0=-3∉[-1, 2], 2
∴f (-1) =1适合，∴f (x ) =x 2+3x +3。
4
（2）当f (2) =1时⇒b =3, x 0=-
不合题意。
（3）当77, x 0=∉[-1, 2],∴f (x 0) 应最小，∴f (2) =124f (x 0) =1时⇒3－b 2
=1⇒b =±22, 但b =224，
∴b =22时不合题意，∴b =-22, ∴f (x ) =x 2-2x +3。 综上可知f (x ) =x 2+3x +3, 或f (x ) =x 2-22x +3。
例6 已知函数f (x ) =ax 2+(2a -1) x -3在区间[－
的值。 3，2]上的最大值为1，求实数a 2
33分析：由题知f (x ) 在[-, 2]上的最大值为1，可能在—、2和顶点处取得，因而22
要求a 的值就必须进行讨论。
310233f (-) =1⇒a =-, 此时x 0=-∈[-, 2],∴a ＜0，23202
3∴f (-)=1不合题意。 f (x 0) 取最大值，2
31313（2）令f (2) =1⇒a =-, 此时x 0=-∈[-, 2],∴a ＞0，x 0=-∈[-, 2]且43232（1）令
距右端点2较远，∴f (2) 最大符合题意。
11(-3±22) ，验证后只有a =∙(-3-22) 才适合。 22
31综上可知a =, 或a =-(3+22) 。 42（3）令f (x 0) =1⇒a =
注：利用二次函数的最值确定参数的取值，一定要注意取得最值时的位置，并要加以验证才可以，当然还可以利用它进行一些探究性研究等。
5
求二次函数最值的几种形式
永州市第五中学 何 杰
二次函数模型是重要的函数模型，在人教版高中《数学》必修②中占了大量的篇幡，详尽介绍了二次函数的性质及应用，特别是二次函数的最值问题是近年来高考命题的一个热点问题，而求二次函数的最值归纳起来主要有三种形式：（1）轴定区间定; （2）轴定区间动，（3）轴动区间定，一般来说，讨论二次函数在区间上的最值，主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上，从而用相应的单调性来求最值。下面就新教材，通过例子具体谈一谈二次函数最值的几种形式的探求方法。
1 轴定区间定
由于这种类型的二次函数的对称轴是固定的，区间也是固定的，因而求它的最值，只要直接应用单调性求出最值即可。
例1 （2002年高考数学上海卷）f (x ) =x 2+2ax +2, x ∈[-5, 5]。
（1）当a =-1时，求函数f (x ) 的最大值和最小值；
（2）求实数a 的取值范围，使y =f (x ) 在区间[－5，5]上是单调函数。 解：（1）当a =-1时，f (x ) =x 2-2x +2=(x -1) 2+1, x ∈[-5, 5]，由于对称轴为x =1，区间为[－5，5]，而当1≤x ≤5时，f (x ) 是单调递增的；当-5≤x ≤1时，f (x ) 是单调递增的，所以[f (x )]nin ]＝f (1) =1, [f (x )]max =f (-5) =37。
（2）f (x ) =x 2+2ax +2=(x +a ) 2+2-a 2，所以对称轴为x =-a ，由数形结合易知，当-a ≥5，即a ≤-5时，f (x ) 在区间[-5,5]上单调递减；当-a ≤-5，即a ≥5时，f (x ) 在区间[-5,5]上单调递增。
综上可知，当a ≤-5时，f (x ) 在区间[-5,5]上单调递减；当a ≥5时，f (x ) 在区间[-5,5]上单调递增。
注：这种类型的最值的求解一般比较简单，只要注意在区间上的单调性即可。 2 轴定区间动
1
由于这种形式的对称轴是固定的，而区间是变动的，因而求它的最值必须要进行分类讨论才能得出结果。
例2 已知函数f (x ) =x 2+3x -5, x ∈[t , t +1],若f (x ) 的最小值为h (t ) , 写出h (t ) 的表达式。
分析：所求二次函数解析式固定，区间变动，可考虑区间在变动过程中二次函数的单调性，从而利用二次函数的单调性求出此函数在区间上的最值。 3293解：f (x ) =(x +) 2-，所以对称轴为x =-固定，而区间[t,t+1]是变224
动的，因此有
35，即t ≤－时，h(t)=f(t+1)= (t +1) 2+3(t +1) -5=t 2+5t -1; 22
3（2）当t ＞－时，h (t ) =f (t ) =t 2+3t -5; 2
353329（3）当t ≤－＜ t+1，即－＜t ≤－时，h (t ) =f (-) =-。 22224
5 t 2+5t -1(t ≤-) ， 2
4953综上可知h (t ) = －(-〈t ≤-) ， 222（1）当t+1≤－
3⎫⎛ t 2+3t -5 t 〉-⎪。 2⎭⎝
注：注意分类讨论思想（不重不漏）在解题中的应用。
3 轴动区间定
这种形式的二次函数对称轴是变动的，面区间是固定的，要求其最值，需要讨论对称轴在区间端点之间、端点之外时的各种情况才能确定。
2x 的最小值为g(a ) 。 例3 若f (x ) =1-2a -2a cos x -2s i n
（1）求g(a ) 的表达式；
（2）求能使g(a )=1的a 值，并求出当a 取此值时，f (x ) 的最大值。 2
分析：这是一个定区间，动对称轴的最值问题，要求它的最值要由定区间看动轴的不同变化，再由函数单调性求出最值。
a ⎫a 2⎛解：（1）f (x ) =2 cos x -⎪--2a -1，令t =cos x ∈[-1, 1]，所以对称轴22⎝⎭
2 2
t =cos x =
当a 是变动的，而t ∈[-1, 1]是定区间，于是有 2a ＜－1，即a ＜－2时，f (x ) 在cos x =-1时取得最小值，即g(a ) ＝1； 2
a a 当－1≤≤1，即－2≤a ≤2时，f (x ) 在cos x =时取得最小值，即22
a 2
g (a ) =--2a -1； 2
当a ＞1，即a ＞2时，f (x ) 在cos x =1时取得最小值，即g(a ) =1-4a 。 2
1－4a （a ＞2），
a 2
-2a -1(-2≤a ≤2) 综上所述，g(a )= 2
1(a ＜－2）
1111a 2
（2）当g(a )=，即1－4a =或－－2a －1=时，由于1－4a =得22222
11a 2
a =，显然不合题意，故只有－2a －1=，即a =－3（舍去）或a =－1，因822
为—2≤a ≤2才符合题意，所以当g(a )=
21时，a =－1，所以21⎫1⎛f (x ) =22∙ cos x +⎪+，因此，当cos x =1时[f (x )]max =5。 2⎭2⎝
注：求此类问题的最值时要注意分类讨论思想的应用，同时要注意区间的隐含范围。
1例4 已知≤a ≤1，若函数f (x ) =ax 2-2x +1在区间[1,3]上的最大值为M 3
（a ），最小值为N （a ），令g(a )=M（a ）－N （a ）。
（1）求g(a ) 的表达方式；
（2）判断函数g(a ) 的单调性，并求出g(a ) 的最小值。
1⎫11⎛解：（1）f (x ) =ax -2x +1=a x -⎪+1-, 由已知条件可知1≤≤3。 a ⎭a a ⎝22
当1≤11≤2，即≤a ≤1时，M （a ）=f(1)=9a －5,N （a ）a 2
3
1⎛1⎫=[f (x )]min =f ⎪=1-， a ⎝a ⎭
1-6 a
111 a +-2(≤a ＜ a 32∴g(a )=M（a ）－N （a ）=a +
综上可知g(a )=
116≤a ≤1） a +-（a 2
111 （2）当≤za 1＜a 2≤时，g(a 2) -g (a 1) =(a 2-a 1)(1-∴g(a ) 在区) ＜0，32a 1a 2
11111间[, ]上单调递减，最小值是g() =; 当≤a 1＜a 2≤1时，g(a 2) －22232
⎛19-g(a 1)=(a 2-a 1) a 1a 2⎝⎫1⎪＞0，∴g() 在区间[，1]上单调递增，最小值是a ⎪2⎭
g(11)=。 22
注：利用对称轴的可变性求最值时，一定要时刻关注对称轴在区间上的变化。
4 最值在其他方面的应用
利用二次函数在指定区间上取得最值，可以求函数的表达式以及参数的取值及取值范围。
例5 已知函数g(x )=-x 2-3, f (x ) 是二次函数，当x ∈[-1, 2]时，
且f (x ) +g(x ) 为奇函数，求函数f (x ) 的表达式。 f (x ) 的最小值为1，
解：设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0), 令f (x ) =f (x ) +g (x ) =(a -1) x 2+bx +c -3为奇函数。
b 2b 2
∴a -1=0且c -3=0⇔a =1, c =3, ∴f (x ) =x +bx +3=(x +) +3-，∴242
对称轴为x ∈[-1, 2]且[f (x )]min =1，所以分三种情况进行讨论。
（1）当f (-1) 时⇒b =3, x 0=-3∉[-1, 2], 2
∴f (-1) =1适合，∴f (x ) =x 2+3x +3。
4
（2）当f (2) =1时⇒b =3, x 0=-
不合题意。
（3）当77, x 0=∉[-1, 2],∴f (x 0) 应最小，∴f (2) =124f (x 0) =1时⇒3－b 2
=1⇒b =±22, 但b =224，
∴b =22时不合题意，∴b =-22, ∴f (x ) =x 2-2x +3。 综上可知f (x ) =x 2+3x +3, 或f (x ) =x 2-22x +3。
例6 已知函数f (x ) =ax 2+(2a -1) x -3在区间[－
的值。 3，2]上的最大值为1，求实数a 2
33分析：由题知f (x ) 在[-, 2]上的最大值为1，可能在—、2和顶点处取得，因而22
要求a 的值就必须进行讨论。
310233f (-) =1⇒a =-, 此时x 0=-∈[-, 2],∴a ＜0，23202
3∴f (-)=1不合题意。 f (x 0) 取最大值，2
31313（2）令f (2) =1⇒a =-, 此时x 0=-∈[-, 2],∴a ＞0，x 0=-∈[-, 2]且43232（1）令
距右端点2较远，∴f (2) 最大符合题意。
11(-3±22) ，验证后只有a =∙(-3-22) 才适合。 22
31综上可知a =, 或a =-(3+22) 。 42（3）令f (x 0) =1⇒a =
注：利用二次函数的最值确定参数的取值，一定要注意取得最值时的位置，并要加以验证才可以，当然还可以利用它进行一些探究性研究等。
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