作者：李太敏
中等数学 2006年04期
反证法是一种重要的证明方法。反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路，以便尽快凸现矛盾。笔者认为，“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口。
一、特殊值
巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，但往往蕴含着正确解法的必然。
例1 设f(x)、g(x)是[0,1]上的函数。证明：存在，使得
附图
分析 要找出具体的，难以下手，不妨考虑用反证法。
证明 设这样的不存在。取特殊值=0，=0，得
附图
这是不可能的。
因此，所证命题成立。
注：本题反复利用0与1这两个特殊值，并进行凑配，从而推得矛盾“1＜1”。
二、特殊运算
相对独立的某些对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而通过特殊运算使之形成一个整体，矛盾便暴露无遗了。
例2 今有有限个砝码，它们的总重量是1kg，将它们分别编号为1,2,…。证明：从这有限个砝码中必可找出一个编号为n的砝码，它的重量大于。
证明 假设不存在这样一个编号n，使得相应的砝码重量，假设共有m个砝码，m＞0。从而，有
附图
因此，所证命题成立。
例3 证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：｜x｜＜｜y-z｜,｜y｜＜｜z-x｜,｜z｜＜｜x-y｜.
分析 本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法。
证明 假设存在某三个实数x,y,z同时满足题设的三个不等式。将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得(x-y+z)(x+y-z)＜0，
①(y-z+x)(y+z-x)＜0，
②(z+x-y)(z-x+y)＜0。
③｜
①×②×③得
，这显然是不可能的。
因此，原命题成立。
注：本题所得到的三个不等式，单独看哪一个都看不出有什么毛病，而一旦把它们求积，矛盾便凸现在眼前了。
三、特殊图形
图形是文字语言与符号语言的一种直观反映，而特殊图形所蕴含的直观特征，往往有助于对解题方向作出正确而迅捷的判断。
1.特殊点
例4 空间中给出了8个已知点，其中任意四点都不共面。现知以它们为端点连有17条线段。求证：这些线段至少形成了一个三角形。
分析 无从具体找出一个三角形，因此从反面来考虑为宜。
证明 假设这17条线段都没有形成三角形。并设点A是这8个点中连出线段条数最多的点。令从点A共连出n条线段：中的任意两点之间都没有线段相连（否则，易发现，它们就会形成三角形）。这样一来，即使其余的7-n个点中的每个点也都连出了n条线段，但线段的总条数为n+(7-n)n=n(8-n)
附图
其最大值仅是16，与已知条件的17条相矛盾。
因此，这些线段至少形成了一个三角形。
注：本题紧紧抓住了点A这个连线最多的点并同时考察了线段条数总和的最值，保证了思路的正确发展。
2.特殊三角形
例5 欲从无限长的纸带上剪出形状任意的面积为1的三角形。试问纸带的宽度至少应是多少？
分析 由于需对纸带的宽度进行估计，不妨先从特殊三角形入手。
附图
四、特殊位置
特殊位置所具有的特征与题设中的一般特性相映照，往往能使矛盾显现出来。
1.极端位置
例6 试问能否在平面上放置2008条线段，使得每一条线段的端点都严格地位于其他线段的内部？
证明 假设可以放置2008条线段，使得它们的4016个端点全部严格地位于其他线段的内部。现取一定点O，并找出4016个端点中离点口最远的点A，于是，平面上再没有比点A到点O的距离更远的点（上述线段的端点）了。由于点A严格位于另一线段BC内部，从而，点A是△OBC的边 BC上的点。故OA＜max｛OB,OC｝。这与点A是离点 O最远的点矛盾。可见平面上不能放置满足题目要求的2008条线段。
注：本题抓住极端位置——最远点A，层层展开，导出矛盾。
2.边界位置（典型位置）
例7 将正整数1至100随意填入10×10的方格表中，且每个方格填一个数。证明：必有某两个相邻方格（即具有公共边的方格）中所填数字之差不小于6。
证明 假设可以找到一种填法使得每两个相邻方格中所填数字之差都不超过5（即小于6）。观察与1在同一行、与100在同一列的方格内的数字a，由于a与1之间至多间隔8个方格，故a≤1+9×5=46.
①
又由于a与100之间也至多间隔8个方格，故A≥100-9×5=55.
与式①矛盾，从而原命题成立。
注：本题在从特殊位置特殊对象入手的同时，又注意从全面加以考虑，从而使问题顺利获证。
作者介绍：李太敏 江苏灌南县教育局教研室，222500
作者：李太敏
中等数学 2006年04期
反证法是一种重要的证明方法。反证法的难点在于提出与结论相反的假设后，如何合理地展开思路，以便尽快凸现矛盾。笔者认为，“特殊化”有时是反证法得以成功的一个重要突破口。
一、特殊值
巧合的数目，特殊的数字，个性化的特征，看似纯属偶然，但往往蕴含着正确解法的必然。
例1 设f(x)、g(x)是[0,1]上的函数。证明：存在，使得
附图
分析 要找出具体的，难以下手，不妨考虑用反证法。
证明 设这样的不存在。取特殊值=0，=0，得
附图
这是不可能的。
因此，所证命题成立。
注：本题反复利用0与1这两个特殊值，并进行凑配，从而推得矛盾“1＜1”。
二、特殊运算
相对独立的某些对象各有各的特点，不足以发现问题的本质，而通过特殊运算使之形成一个整体，矛盾便暴露无遗了。
例2 今有有限个砝码，它们的总重量是1kg，将它们分别编号为1,2,…。证明：从这有限个砝码中必可找出一个编号为n的砝码，它的重量大于。
证明 假设不存在这样一个编号n，使得相应的砝码重量，假设共有m个砝码，m＞0。从而，有
附图
因此，所证命题成立。
例3 证明：任何三个实数都不可能同时满足下列三个不等式：｜x｜＜｜y-z｜,｜y｜＜｜z-x｜,｜z｜＜｜x-y｜.
分析 本题要证明所有的对象都具有同一性质，无法从正面考虑，宜用反证法。
证明 假设存在某三个实数x,y,z同时满足题设的三个不等式。将它们的两端都同时平方，然后分别移项、分解因式得(x-y+z)(x+y-z)＜0，
①(y-z+x)(y+z-x)＜0，
②(z+x-y)(z-x+y)＜0。
③｜
①×②×③得
，这显然是不可能的。
因此，原命题成立。
注：本题所得到的三个不等式，单独看哪一个都看不出有什么毛病，而一旦把它们求积，矛盾便凸现在眼前了。
三、特殊图形
图形是文字语言与符号语言的一种直观反映，而特殊图形所蕴含的直观特征，往往有助于对解题方向作出正确而迅捷的判断。
1.特殊点
例4 空间中给出了8个已知点，其中任意四点都不共面。现知以它们为端点连有17条线段。求证：这些线段至少形成了一个三角形。
分析 无从具体找出一个三角形，因此从反面来考虑为宜。
证明 假设这17条线段都没有形成三角形。并设点A是这8个点中连出线段条数最多的点。令从点A共连出n条线段：中的任意两点之间都没有线段相连（否则，易发现，它们就会形成三角形）。这样一来，即使其余的7-n个点中的每个点也都连出了n条线段，但线段的总条数为n+(7-n)n=n(8-n)
附图
其最大值仅是16，与已知条件的17条相矛盾。
因此，这些线段至少形成了一个三角形。
注：本题紧紧抓住了点A这个连线最多的点并同时考察了线段条数总和的最值，保证了思路的正确发展。
2.特殊三角形
例5 欲从无限长的纸带上剪出形状任意的面积为1的三角形。试问纸带的宽度至少应是多少？
分析 由于需对纸带的宽度进行估计，不妨先从特殊三角形入手。
附图
四、特殊位置
特殊位置所具有的特征与题设中的一般特性相映照，往往能使矛盾显现出来。
1.极端位置
例6 试问能否在平面上放置2008条线段，使得每一条线段的端点都严格地位于其他线段的内部？
证明 假设可以放置2008条线段，使得它们的4016个端点全部严格地位于其他线段的内部。现取一定点O，并找出4016个端点中离点口最远的点A，于是，平面上再没有比点A到点O的距离更远的点（上述线段的端点）了。由于点A严格位于另一线段BC内部，从而，点A是△OBC的边 BC上的点。故OA＜max｛OB,OC｝。这与点A是离点 O最远的点矛盾。可见平面上不能放置满足题目要求的2008条线段。
注：本题抓住极端位置——最远点A，层层展开，导出矛盾。
2.边界位置（典型位置）
例7 将正整数1至100随意填入10×10的方格表中，且每个方格填一个数。证明：必有某两个相邻方格（即具有公共边的方格）中所填数字之差不小于6。
证明 假设可以找到一种填法使得每两个相邻方格中所填数字之差都不超过5（即小于6）。观察与1在同一行、与100在同一列的方格内的数字a，由于a与1之间至多间隔8个方格，故a≤1+9×5=46.
①
又由于a与100之间也至多间隔8个方格，故A≥100-9×5=55.
与式①矛盾，从而原命题成立。
注：本题在从特殊位置特殊对象入手的同时，又注意从全面加以考虑，从而使问题顺利获证。
作者介绍：李太敏 江苏灌南县教育局教研室，222500