四、解析式问题
例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)
解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2), 则f(u)=-u+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x+3x+1 (0≤u ≤2)
小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.
x -1⎫例2、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足, f (x )+f ⎛ ⎪=1+x ,求f(x)⎝x ⎭
2
2
的解析式。
解: f (x ) +f (x -1) =1+x (x≠0且x ≠1), (1)----
x
用x -1代换x 得:f (x -1) +f (1) =2x -1, （2）
x
x
1-x
x
再以
1
代换(1) 中的x 得:1-x
f(
12-x
) +f (x ) =. 1-x 1-x
---（3）
(1) +(3) -(2) x 3-x 2-1
由得:f (x ) =(x≠0且x ≠1)
22x 2-2x
小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
例3. 已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x, 求f(x).
解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0) ，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.
小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4. 是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n∈N; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n 1,n 2∈N*;
③f(2)=4同时成立? 若存在, 求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件, 得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2. 又f(2)=4=22,f(3)=23, „, 由此猜想:f(x)=2x (x∈N*) (数学归纳证明 略）
小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数, 用数列中的递推法来探究，如果给出的关系
式具有递推性，也常用递推法来求解.
例5、已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且f (x -) =f (x +) 恒成立，当x ∈[2, 3]时，
3
212
f (x ) =x ，则当x ∈(-2, 0) 时，函数f (x ) 的解析式为（ D ）
A ．x -2 B ．x +4 C ．2+x + D ． 3-x +1
解：易知T=2，当x ∈(-2, -1) 时, x +4∈(2, 3), ∴f (x +4) =x +4=f (x ) ; 当x ∈(-1, 0) 时2-x ∈(2, 3), ∴f (2-x ) =2-x =f (-x ) =f (x ) . 故选D 。 小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。
练习：1、设y =f (x ) 是实数函数(即x , f (x ) 为实数), 且f (x ) -2f () =x , 求证:|f (x ) |≥解
:
用
111
代换x , 得f () -2f (x ) =, 与已知得 x2+3xf (x ) +2=0x x x
1
x 2
2. 3
，
由∆≥0得 9f 2(x ) -4⨯2≥0, ∴|f (x ) |≥
2
3
.
2. （2006重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x. （Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a ) ；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x ) 的解析表达式。
解：(I ) 因为对任意x ∈R , 有f (f (x ) -x 2+x ) =f (x ) -x 2+x 所以f (f (2)-22+2) =f (2)-22+2
又由f (2)=3, 得f (3-22+2）=3-22+2, 即f (1) =1 若f (0)=a , 则f (a -02+0) =a -02+0, 即f (a ) =a
(II)因为对任意x ∈R ，有f (f (x ) -x 2+x ) =f (x ) -x 2+x . 又因为有且只有一个实数x 0，使得f (x 0) =x 0 所以对任意x ∈R , 有f (x ) -x 2+x =x 0
2
在上式中令x =x 0，有f (x 0) -x 0+x 0=x 0
2 再代f (x 0) =x 0，得x 0-x 0=0，故x 0=0或x 0=1
若x 0=0，则f (x ) -x 2+x =0，即f (x ) =x 2-x
但方程x 2-x =x 有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x 0≠0
若x 0=1，则有f (x ) -x 2+x =1, 即f (x ) =x 2-x +1. 易验证该函数满足题设条件。 综上，所求函数为f (x ) =x 2-x +1 (x ∈R )
3、函数f (x ) 对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求f (0) 的值；
（2）对任意的x 1∈(0,) ，x 2∈(0,) ，都有f (x 1)+2
（2）由f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x ，令y =0得f (x ) -f (0)=(x +1) x ，
1
212
112
f (x 1) +2=x 1+x 1=(x 1+) 2-
24
1311
在x 1∈(0,) 上单调递增，∴f (x 1) +2∈(0,) ．要使任意x 1∈(0,) ，x 2∈(0,) 都有
2422
31
f (x 1) +21时，log a x 2
24
由（1）知f (∴0) =2-，
f (x ) +2=x 2+x ．∵x
1∴0, ，1∈(
2
13≤a
的取值范围是,1) ．立．当0) log a ≥
，解得 4424
方法提炼 怎样赋值? 需要明确目标, 细心研究, 反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问
题.
例6、若对于任意x , y ∈R ，恒有f (x +y )=f (x )+xy (x +y +1)且f (0)=-1，求f (x )的解析式.
解：令x =-y ，则有f (0)=f (x )-x 又f (0)=-1，所以f (x )=-x -1.
2
2
(x -x -1).
评注：求解析式关键是构造出f (x )，这可以通过赋值解决，要注意一般跟特殊间的转换.
变式训练
1. 已知 f (
x
) =2x +1, 求f (x ) . x +1x u u 2-u 2-x
解：设∴f (u ) =2∴f (x ) = =u , 则x =+1=
x +11-u 1-u 1-u 1-x
2. 已知f (x +) =x +
1x
3
1
，求f (x ) x 3
解：∵f (x +) =(x +)(x 2-1+又∵|x +
1x 1x 1112) =(x +)((x +) -3) x 2x x
11
|=|x |+≥1 x |x |
2
3
∴f (x ) =x (x -3) =x -3x ，(|x |≥2)
3． 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x +2x +4,求f (x ) .
解:设f (x ) =ax +bx +c ，则
2
2
f (x +1) +f (x -1) =a (x +1) 2+b (x +1) +c +a (x -1) 2+b (x -1) +c
=2ax +2bx +2(a +c ) =x +2x +4
2
2
⎧2(a +c ) =4
1313⎪
⇒a =, b =1, c =∴f (x ) =x 2+x + 比较系数得⎨2a =1
2222⎪2b =2
⎩
4. 已知y =f (x ) 为R 上的奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )
解:∵f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称， 故先求x
∵-x >0,∴f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) , ∵f (x ) 为奇函数，∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x )
∴当x
⎧lg(1+x ), x ≥0
-lg(1-x ), x
5．一已知f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =
1
， 求f (x ) , g (x ) . x -1
解：∵f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,
1
„„„①中的x , x -111
∴f (-x ) +g (-x ) =即f (x ) －g (x ) =-„„②
-x -1x +1
1x
显见①+②即可消去g (x ) , 求出函数f (x ) =2再代入①求出g (x ) =2
x -1x -1
不妨用-x 代换f (x ) +g (x ) =
6. 设f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f (1)=1,求
f (x )
解：∵f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1 ∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3„„f (n ) =f (n -1) +n 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+„„+n =
7. 已知f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) , 对一切实数x 、y 都成立，且f (0)≠0, 求证
n (n +1) 1
∴f (x ) =x (x +1), x ∈N 22
f (x ) 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为f (y ) +f (-y ) =2f (0)f (y ) „„① 在①中令y =0则2f (0)=2f (0)∵ f (0)≠0∴f (0)=1 ∴f (y ) +f (-y ) =2f (y ) ∴f (-y ) =f (y ) ∴f (x ) 为偶函数。
8. 奇函数f (x ) 在定义域（-1，1）内递减，求满足f (1-m ) +f (1-m )
解：由f (1-m ) +f (1-m )
2
2
2
2
⎧-1
⎪
又∵f (x ) 在（-1，1）内递减，∴⎨-1
⎪1-m >m 2-1⎩
9. 如果f (x ) =ax +bx +c (a>0) 对任意的t 有f (2+t ) =f 2-t ) , 比较
2
f (1)、f (2)、f (4)的大小
解：对任意t 有f (2+t ) =f 2-t ) ∴x =2为抛物线y =ax +bx +c 的对称轴 又∵a>0,其开口向上 ∴f (2)最小，f (1)=f (3) ∵在［2，＋∞) 上，f (x ) 为增函数 ∴f (3)
2
10．设f (x ) 是定义在(-∞, +∞) 上以2为周期的周期函数，且f (x ) 是偶函数，在区间[2, 3]上，f (x ) =-2(x -3) +4. 求x ∈[1, 2]时，f (x ) 的解析式.
2
解：当x ∈[-3, -2]，即-x ∈[2, 3]，
f (x ) =f (-x ) =-2(-x -3) 2+4=-2(x +3) 2+4
又f (x ) 是以2为周期的周期函数，于是当x ∈[1, 2]，即-3≤x -4≤-2时，
有f (x ) =f (x -4)
⇒f (x ) =-2[(x -4) +3]+4=-2(x -1) +4(1≤x ≤2).
2
2
∴f (x ) =-2(x -1) 2+4(1≤x ≤2).
x -1
) =1+x „„①(x ≠0且x ≠1) ，求f (x ) 。 x
x -1x -1-12x -1
解析：以代x ，得f (，„„② ) +f () =
x x x -1x -1-1x -2以代x ，得f (，„„③ ) +f (x ) =x -1x -1x -1
11. 设函数f (x ) 满足f (x ) +f (
x 3-x 2-1x -22x -1①+③-②得：2f (x ) =1+x +所以f (x ) = (x ≠0且x ≠1) -
2x (x -1) x -1x
总结：在所给的抽象式中紧紧围绕f (x ) ，将其余的式子替换成f (x ) ，构造一个或几个方程，然后设法求解。
12. 如图所示，f i (x ) (i =1, 2, 3, 4) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意λ∈[0, 1]，f [λx 1+(1-λ) x 2]
A 、f 1(x ) B 、f 2(x ) C 、f 3(x ) D 、f 4(x ) 解析：令λ=
x +x 2f (x 1) +f (x 2) 1
，则不等式变为f (1，可知函数f i (x ) 是一个凹函)
数，故只有f 1(x ) 正确，选A 。
总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。
总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。
13. 已知f (x )满足2f (3x )+3f ⎛1⎫
⎝3x ⎪⎭
=6x ，求f (x )的解析式。 解：先令u =3x ，解出x =u 3
， 于是有：2f (u )+3f
⎛1⎫
⎝u ⎪⎭
=2u -----------① 再以
1u 代替u 得： 2f ⎛ 1⎫
⎝u ⎪⎭
+3f (u )=2u ------------②
联立①、②式解方程组，并消去f
⎛1⎫
⎝u ⎪
⎭
，解得f (u )=64u 5u -5
即所求解析式为：f (x )=64x
5x -5
14. 若对一切自然数a 、b 都有f (a +b )=f (a )+f (b )+ab 且f (1)=1，求f (x )的解析式。
解：利用特殊值法 令a =1，等式变为：
f (1+b )=f (1)+f (b )+b =1+f (b )+b ，
即：f (b +1)-f (b )=b +1，
注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令f (2)-f (1)=1+1b =2，有f (3)-f (2)=2+1 b =n -1，有f (n )-f (n -1)=(n -1)+1
将以上n -1条等式左右两边分别相加，得：
f (n )-f (1)=1+2+3+ +(n -1)+1⨯(n -1)
b =1，
有
即：f (n )=1+1+2+3+ +(n -1)+1⨯(n -1)=1+
2+3+ +n =
n (
n -
1)2
即所求解析式为：f (x )=
x (x -1)2
15. 设对满足的解析式。 解：在
的所有实数x ，函数满足，求f(x)
中以
代换其中x ，得：
再在(1)中以代换x ，得
化简得：
评析：如果把x 和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题
关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
16、设f (x ) 的定义域为自然数集，且满足f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f (1)=1,求f (x )
解：∵f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1 ∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3„„f (n ) =f (n -1) +n 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+„„+n =
n (n +1) 1
∴f (x ) =x (x +1), x ∈N 22
四、解析式问题
例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求f(x)
解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2), 则f(u)=-u+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x+3x+1 (0≤u ≤2)
小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.
x -1⎫例2、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足, f (x )+f ⎛ ⎪=1+x ,求f(x)⎝x ⎭
2
2
的解析式。
解: f (x ) +f (x -1) =1+x (x≠0且x ≠1), (1)----
x
用x -1代换x 得:f (x -1) +f (1) =2x -1, （2）
x
x
1-x
x
再以
1
代换(1) 中的x 得:1-x
f(
12-x
) +f (x ) =. 1-x 1-x
---（3）
(1) +(3) -(2) x 3-x 2-1
由得:f (x ) =(x≠0且x ≠1)
22x 2-2x
小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
例3. 已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x, 求f(x).
解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0) ，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1.
小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4. 是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件: ①f(n)>0,n∈N; ②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n 1,n 2∈N*;
③f(2)=4同时成立? 若存在, 求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由. 解:假设存在这样的函数f(x),满足条件, 得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2. 又f(2)=4=22,f(3)=23, „, 由此猜想:f(x)=2x (x∈N*) (数学归纳证明 略）
小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数, 用数列中的递推法来探究，如果给出的关系
式具有递推性，也常用递推法来求解.
例5、已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且f (x -) =f (x +) 恒成立，当x ∈[2, 3]时，
3
212
f (x ) =x ，则当x ∈(-2, 0) 时，函数f (x ) 的解析式为（ D ）
A ．x -2 B ．x +4 C ．2+x + D ． 3-x +1
解：易知T=2，当x ∈(-2, -1) 时, x +4∈(2, 3), ∴f (x +4) =x +4=f (x ) ; 当x ∈(-1, 0) 时2-x ∈(2, 3), ∴f (2-x ) =2-x =f (-x ) =f (x ) . 故选D 。 小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。
练习：1、设y =f (x ) 是实数函数(即x , f (x ) 为实数), 且f (x ) -2f () =x , 求证:|f (x ) |≥解
:
用
111
代换x , 得f () -2f (x ) =, 与已知得 x2+3xf (x ) +2=0x x x
1
x 2
2. 3
，
由∆≥0得 9f 2(x ) -4⨯2≥0, ∴|f (x ) |≥
2
3
.
2. （2006重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x. （Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a ) ；
（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x ) 的解析表达式。
解：(I ) 因为对任意x ∈R , 有f (f (x ) -x 2+x ) =f (x ) -x 2+x 所以f (f (2)-22+2) =f (2)-22+2
又由f (2)=3, 得f (3-22+2）=3-22+2, 即f (1) =1 若f (0)=a , 则f (a -02+0) =a -02+0, 即f (a ) =a
(II)因为对任意x ∈R ，有f (f (x ) -x 2+x ) =f (x ) -x 2+x . 又因为有且只有一个实数x 0，使得f (x 0) =x 0 所以对任意x ∈R , 有f (x ) -x 2+x =x 0
2
在上式中令x =x 0，有f (x 0) -x 0+x 0=x 0
2 再代f (x 0) =x 0，得x 0-x 0=0，故x 0=0或x 0=1
若x 0=0，则f (x ) -x 2+x =0，即f (x ) =x 2-x
但方程x 2-x =x 有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故x 0≠0
若x 0=1，则有f (x ) -x 2+x =1, 即f (x ) =x 2-x +1. 易验证该函数满足题设条件。 综上，所求函数为f (x ) =x 2-x +1 (x ∈R )
3、函数f (x ) 对一切实数x ,y 均有f (x +y)-f (y)=(x +2y+1)x 成立，且f (1)=0， （1）求f (0) 的值；
（2）对任意的x 1∈(0,) ，x 2∈(0,) ，都有f (x 1)+2
（2）由f (x +y ) -f (y ) =(x +2y +1) x ，令y =0得f (x ) -f (0)=(x +1) x ，
1
212
112
f (x 1) +2=x 1+x 1=(x 1+) 2-
24
1311
在x 1∈(0,) 上单调递增，∴f (x 1) +2∈(0,) ．要使任意x 1∈(0,) ，x 2∈(0,) 都有
2422
31
f (x 1) +21时，log a x 2
24
由（1）知f (∴0) =2-，
f (x ) +2=x 2+x ．∵x
1∴0, ，1∈(
2
13≤a
的取值范围是,1) ．立．当0) log a ≥
，解得 4424
方法提炼 怎样赋值? 需要明确目标, 细心研究, 反复试验;(2)小题中实质是不等式恒成立问
题.
例6、若对于任意x , y ∈R ，恒有f (x +y )=f (x )+xy (x +y +1)且f (0)=-1，求f (x )的解析式.
解：令x =-y ，则有f (0)=f (x )-x 又f (0)=-1，所以f (x )=-x -1.
2
2
(x -x -1).
评注：求解析式关键是构造出f (x )，这可以通过赋值解决，要注意一般跟特殊间的转换.
变式训练
1. 已知 f (
x
) =2x +1, 求f (x ) . x +1x u u 2-u 2-x
解：设∴f (u ) =2∴f (x ) = =u , 则x =+1=
x +11-u 1-u 1-u 1-x
2. 已知f (x +) =x +
1x
3
1
，求f (x ) x 3
解：∵f (x +) =(x +)(x 2-1+又∵|x +
1x 1x 1112) =(x +)((x +) -3) x 2x x
11
|=|x |+≥1 x |x |
2
3
∴f (x ) =x (x -3) =x -3x ，(|x |≥2)
3． 已知f (x ) 二次实函数，且f (x +1) +f (x -1) =x +2x +4,求f (x ) .
解:设f (x ) =ax +bx +c ，则
2
2
f (x +1) +f (x -1) =a (x +1) 2+b (x +1) +c +a (x -1) 2+b (x -1) +c
=2ax +2bx +2(a +c ) =x +2x +4
2
2
⎧2(a +c ) =4
1313⎪
⇒a =, b =1, c =∴f (x ) =x 2+x + 比较系数得⎨2a =1
2222⎪2b =2
⎩
4. 已知y =f (x ) 为R 上的奇函数, 当 x >0时, f (x ) =lg(x +1) , 求f (x )
解:∵f (x ) 为奇函数，∴f (x ) 的定义域关于原点对称， 故先求x
∵-x >0,∴f (-x ) =lg(-x +1) =lg(1-x ) , ∵f (x ) 为奇函数，∴lg(1-x ) =f (-x ) =-f (x )
∴当x
⎧lg(1+x ), x ≥0
-lg(1-x ), x
5．一已知f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，且有f (x ) +g (x ) =
1
， 求f (x ) , g (x ) . x -1
解：∵f (x ) 为偶函数，g (x ) 为奇函数，∴f (-x ) =f (x ) , g (-x ) =-g (x ) ,
1
„„„①中的x , x -111
∴f (-x ) +g (-x ) =即f (x ) －g (x ) =-„„②
-x -1x +1
1x
显见①+②即可消去g (x ) , 求出函数f (x ) =2再代入①求出g (x ) =2
x -1x -1
不妨用-x 代换f (x ) +g (x ) =
6. 设f (x ) 的定义域为自然数集，且满足条件f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f (1)=1,求
f (x )
解：∵f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1 ∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3„„f (n ) =f (n -1) +n 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+„„+n =
7. 已知f (x +y ) +f (x -y ) =2f (x ) f (y ) , 对一切实数x 、y 都成立，且f (0)≠0, 求证
n (n +1) 1
∴f (x ) =x (x +1), x ∈N 22
f (x ) 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为f (y ) +f (-y ) =2f (0)f (y ) „„① 在①中令y =0则2f (0)=2f (0)∵ f (0)≠0∴f (0)=1 ∴f (y ) +f (-y ) =2f (y ) ∴f (-y ) =f (y ) ∴f (x ) 为偶函数。
8. 奇函数f (x ) 在定义域（-1，1）内递减，求满足f (1-m ) +f (1-m )
解：由f (1-m ) +f (1-m )
2
2
2
2
⎧-1
⎪
又∵f (x ) 在（-1，1）内递减，∴⎨-1
⎪1-m >m 2-1⎩
9. 如果f (x ) =ax +bx +c (a>0) 对任意的t 有f (2+t ) =f 2-t ) , 比较
2
f (1)、f (2)、f (4)的大小
解：对任意t 有f (2+t ) =f 2-t ) ∴x =2为抛物线y =ax +bx +c 的对称轴 又∵a>0,其开口向上 ∴f (2)最小，f (1)=f (3) ∵在［2，＋∞) 上，f (x ) 为增函数 ∴f (3)
2
10．设f (x ) 是定义在(-∞, +∞) 上以2为周期的周期函数，且f (x ) 是偶函数，在区间[2, 3]上，f (x ) =-2(x -3) +4. 求x ∈[1, 2]时，f (x ) 的解析式.
2
解：当x ∈[-3, -2]，即-x ∈[2, 3]，
f (x ) =f (-x ) =-2(-x -3) 2+4=-2(x +3) 2+4
又f (x ) 是以2为周期的周期函数，于是当x ∈[1, 2]，即-3≤x -4≤-2时，
有f (x ) =f (x -4)
⇒f (x ) =-2[(x -4) +3]+4=-2(x -1) +4(1≤x ≤2).
2
2
∴f (x ) =-2(x -1) 2+4(1≤x ≤2).
x -1
) =1+x „„①(x ≠0且x ≠1) ，求f (x ) 。 x
x -1x -1-12x -1
解析：以代x ，得f (，„„② ) +f () =
x x x -1x -1-1x -2以代x ，得f (，„„③ ) +f (x ) =x -1x -1x -1
11. 设函数f (x ) 满足f (x ) +f (
x 3-x 2-1x -22x -1①+③-②得：2f (x ) =1+x +所以f (x ) = (x ≠0且x ≠1) -
2x (x -1) x -1x
总结：在所给的抽象式中紧紧围绕f (x ) ，将其余的式子替换成f (x ) ，构造一个或几个方程，然后设法求解。
12. 如图所示，f i (x ) (i =1, 2, 3, 4) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x 1和x 2，任意λ∈[0, 1]，f [λx 1+(1-λ) x 2]
A 、f 1(x ) B 、f 2(x ) C 、f 3(x ) D 、f 4(x ) 解析：令λ=
x +x 2f (x 1) +f (x 2) 1
，则不等式变为f (1，可知函数f i (x ) 是一个凹函)
数，故只有f 1(x ) 正确，选A 。
总结：函数的凹凸性在高中阶段没有专门研究，但也逐渐走入高考殿堂。
总之，因为抽象函数密切联系函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等诸多性质，加上本身的抽象性、多变性，使得抽象函数这一难点更加扑朔迷离。因此应不断挖掘隐含，灵活运用上述解题策略，定会收到良好的效果。
13. 已知f (x )满足2f (3x )+3f ⎛1⎫
⎝3x ⎪⎭
=6x ，求f (x )的解析式。 解：先令u =3x ，解出x =u 3
， 于是有：2f (u )+3f
⎛1⎫
⎝u ⎪⎭
=2u -----------① 再以
1u 代替u 得： 2f ⎛ 1⎫
⎝u ⎪⎭
+3f (u )=2u ------------②
联立①、②式解方程组，并消去f
⎛1⎫
⎝u ⎪
⎭
，解得f (u )=64u 5u -5
即所求解析式为：f (x )=64x
5x -5
14. 若对一切自然数a 、b 都有f (a +b )=f (a )+f (b )+ab 且f (1)=1，求f (x )的解析式。
解：利用特殊值法 令a =1，等式变为：
f (1+b )=f (1)+f (b )+b =1+f (b )+b ，
即：f (b +1)-f (b )=b +1，
注意到上式是一个关于自然数b 的递推关系式，令f (2)-f (1)=1+1b =2，有f (3)-f (2)=2+1 b =n -1，有f (n )-f (n -1)=(n -1)+1
将以上n -1条等式左右两边分别相加，得：
f (n )-f (1)=1+2+3+ +(n -1)+1⨯(n -1)
b =1，
有
即：f (n )=1+1+2+3+ +(n -1)+1⨯(n -1)=1+
2+3+ +n =
n (
n -
1)2
即所求解析式为：f (x )=
x (x -1)2
15. 设对满足的解析式。 解：在
的所有实数x ，函数满足，求f(x)
中以
代换其中x ，得：
再在(1)中以代换x ，得
化简得：
评析：如果把x 和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题
关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
16、设f (x ) 的定义域为自然数集，且满足f (x +1) =f (x ) +f (y ) +xy , 及f (1)=1,求f (x )
解：∵f (x ) 的定义域为N ，取y =1,则有f (x +1) =f (x ) +x +1 ∵f (1)=1,∴f (2)=f (1)+2,f (3)=f (2)+3„„f (n ) =f (n -1) +n 以上各式相加，有f (n ) =1+2+3+„„+n =
n (n +1) 1
∴f (x ) =x (x +1), x ∈N 22