2005年第11期 中学数学月刊 ・11・
如何上好高三数学试卷讲评课
吴 锷 (江苏省苏州第十中学 215006)
试卷评讲是高三数学教学的重要环节, 做习题、做卷子, 评作业、讲卷子几乎成了课堂的主要内容. 通过讲评, 分析测试中出现的问题, 帮助学生纠正错误, ; 评, 、探索.
创新.
, 教师, . , 有较强的自学, 用这个方法自然不错. 而事实上, 这是在教师认为题目比较简单, 或者由于习题多而时间少的情况下采用的, 可以说它是题海战术的产物, 其最大的弊端是忽略了对学生学习方法、学习技能的培养. 因此, 应该说只讲答案的讲评是最差的讲评. 而如果学生又有答案在手的话, 他可能认为自己都会了, 而不再认真听课.
1, 讲什么、怎样讲, 这能够反映出一个教师教学理念的优劣, 教学技能的高低. 一般来说, 有下列几种情形:讲答案、讲题意、讲思路、讲方法、讲错因、讲联系、讲
类的题目. 只要我会了, 就说明解方程的知识和能力已达到了”. 从孩子的回答中可以判断出, 这个学生似乎很认同这种做法, 并已分明流露出其对学习的热情.
313 延迟评价更能激发学生的自信心
学生学习成绩和学习速度的差异, 必然存在着数学学习上的差异. 给学生创造成功的机会, 允许一部分学生经过一段时间努力, 使他们达到预定的目标. 这种延迟评价, 让他们看到自己的进步, 感受到获得成功的喜悦, 从而激发新的学习动力. 心理学表明:自信心是学习成绩提高的重要原因之一, 很难想象一个学生会对20分、30分的数学分数说:“我喜欢数学, 我会把数学学好的”. 只有不断地给他创造成功的机会, 使他从原来的20分变为后来的70分, 才能产生:“只要我努力, 我就能学好数学”的自信心. “当时教室里沸腾了, 特别是分数不理想的同学. ”就是这种自信心的表现. “延迟评价”, 这种过程性评价更能激发学生的学习热情, 更能体现学生的发展变化.
314 延迟评价符合新课程的评价理念
单元测试的目的不是为了甄别, 而是为了学生的进步, 为了学生更好地掌握知识和
技能, 让学生通过考试对自己的学习做出正确的评价,
使每一个学生都能反复尝试成功的喜悦. 案例中, 对学生自己不满意的成绩, 教师采取了师生协商、重新检测的方法, 给学生创造体验成功的机会.
“延迟评价”实行后, 学生对考试的恐惧逐渐消退了, 学习数学的兴趣普遍提高了. 学困生为了基础知识而相互请教, 为了一点疑问而抓住老师不放; 优秀生为了探究某一结果而互相探讨、研究, 形成一种良好的学习气氛.
记得有位名家说过:“没有教不好的学生, 只是没有找到适合他的教育方法. ”本案例中的做法找到了让该班学生进步的教育方法.
参考文献
1 教育部. 数学课程标准. 北京:北京师范大学出版社, 2001
2 马 复. 设计合理的数学教学. 北京:高等教育出版社, 2003
3 熊川武. 反思性教学. 上海:华东师范大学出版
社, 1999
4 罗增儒. 中学数学课例分析. 西安:陕西师范大学出版社, 2003
中学数学月刊 2005年第11期・12・
讲题意、讲思路、讲方法——比讲答案自然高出一筹, 这种方法的最大好处就是让学生了解解题的过程, 学会审题、解题、辨题. 要学会解题首先要学审题, 而学会审题就必须明白题意, 甚至是明白出题者的深层次的用意. 善于审题的人也善于辨题, 所谓辨题指的是题目的优劣, 好的习题表现在科学性、启发性、灵活性都不差. 因此, 讲题意、.
讲联系—界, 、讲, 但要从一道题中跳出去讲联系、讲创新并非易事. 因为它要求教师心中装的不是一道题, 而是许多题, 而且是同类的题, 教师通过讲一道题而使学生掌握一类题, 从一个知识点, 联系到整个知识网. 创新地讲要求在个基础上, 通过教师的有启发地讲评, 激发出学生的创新思维, 促使学生讲出教师没想到的思路与方法, 做到有创新的解题.
时投掷两颗骰子, 则下列命题中正确的是
( ) .
(A ) “两颗点数都是5”的概率比“两颗
点数都是6”的概率小
(B ) 的概率小于
的概率D ) “两颗点数之和为6”的概率不大于“两颗点数之和为5”的概率
数据统计:选A 的9人, 占18%, 选
B 的18人, 占36%, 选C 的16人, 占32%, 选D 的7人, 占14%.此题正确答案为B , 其中错选
率为64%.说明很多同学在这个问题上概念不清或计算错误.
错因分析:对等可能事件的概率问题理解不透彻以及计算错误.
回归课本:本题原型是课本(人教版高中数学第二册下(A ) 第116～117页例3, 利用例3中的图10～13很快就能解决本题.
事实上, 很多试题(包括高考试题) 都能在课本中找到它的影子, 因此在复习过程中常回课本看看特别重要.
同时应该指出的是, 在讲评试卷时, 不应该也不必要平均使用力量, 有些可以“点到即止”, 有些则要“仔细分析”. 对涉及重难点知识及能力要求较高的试题要适当“照顾”; 对学生出错率较高的要“对症下药”. 为了在讲评中实现上述目标, 教师在讲评之前除了要做好统计分析, 还要精心设计讲评思路. 213 试卷讲评要重视方法, 培养思维能力
2 试卷讲评课的几点做法
211 试卷讲评要做好测试情况的统计与分
析, 提高针对性和实效性
试卷讲评课首先得对试卷进行认真的分析, 明确学生在哪方面学习基础好, 哪些方面知识有缺陷, 从客观上分析试卷, 研究学生基础知识与学习能力情况, 明确当前的教学基本情况及改进的意见. 要么不考, 要考就得评, 要评就得评好. 在学生的试卷做好后, 要做大量的统计工作, 比如选择题, 每一小题的错误率是多少, 哪些学生的错误较多; 对于主观性题目, 分别统计出每一小题的得分量, 然后再分析学生错误的原因. 以便了解学生知识和能力的缺陷及教师在教学中存在的问题. 只有在教学双方彼此了解的前提下, 试卷讲评课才会更具针对性和实效性.
212 试卷讲评要照顾一般, 突出重点
一般说来, 统计中错误最多的应是试卷讲评的重点, 当然有的题虽是少数同学出错, 但对其他同学有启发性的, 也要重点评讲.
例题1 (2005年苏州市高三模拟题) 同
数学解题渗透了不同的思维方法, 培养学生思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务, 因此方法是关键, 发展学生思维是核心. 讲评试卷的最终目的是让学生的思维能力得到发展, 使他们分析与解决问题的能力也得到提高. 讲评的过程, 不能只是教师在黑板上繁琐地演算, 而应充分体现学科自身的特点, 应淡化非重要的一般性演算, 突出数学方法, 寓方法于具体讲评中, 依据题目类型的
2005年第11期 中学数学月刊 ・13・
不同, 恰如其分地渗入数学思想方法.
一些试题有多种解法, 对于这类题, 应通过讲评予以展示不同的解法. 现代教学理论认为, 学生是教学过程的主体, 要想方设法调动其主观能动性, 把蕴藏于学生身上的巨大学习潜力挖掘出来. 教学实践表明让学生上讲台说出自己正确的解法, 让其体验“小老师”的成功感, 既能激发趣和思维的欲望, 解. , , 这并不是简, 法的对比, 总结其不同的特点, 从中揭示最简或最佳的解法.
例题2 (2005年苏州市高三调研题) 如图1, 正四棱柱A B CD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为3, 侧棱长为3, 点E , F
B B 1D 1D 的法向量, 由(1) 可知A 1C 是平面A E F 的法向量, 则∠A 1CA 等于二面角A -E F -B 的平面角, 易得tan ∠A CA =
6
=
2
, . 正是, , 课
, 成绩在后几次考试中稳步提高. 优质的讲评收到了意想不到的效果. 214 试卷讲评要多导精讲, 激发学生的创新意识联系地讲、创新地讲是我们教师的追求与目标. 评析试卷是在学生已有知识基础上进行的教学活动, 教师要用启发性的语言和问题, 引导学生展开联想, 探求创新的解法, 以培养学生举一反三的能力.
例题3 (2005年南京市高三模拟题) 一个正整数数表如下(表中下一行的数的个数是上一行中数的个数的2倍) :
第一行第二行第三行……
12 34 5 6 7
分别在B B 1, D D 1上, 且
A E ⊥A 1B , A F ⊥A 1D .
(1) 求证:A 1C ⊥平
图1
面A E F ;
(2) 求二面角A -E F -B 的大小
; (3) 求点B 到平面A E F 的距离.
本题是一道比较优秀的试题, 对使用9(A ) 和9(B ) 教材的学生具有较好的公平性, 既有很好的考查功能, 又富有思考性. 它能基本反映学生掌握立体几何知识以及处理立体几何基本问题能力的程度. 不同层次的学生会产生不同的思考方式, 因此对于这样的问题我们在讲评时应重点关注.
讲评前教师可预先将学生试卷上的解法进行分类, 让各类学生的代表自己讲解题思路, 教师进行点评. 这样做既能提高学生的学习积极性, 又能开拓其它学生的视野. 本人在此题的讲评时, 感受最深的是, 在求本题第2问时, 我班一位成绩中等的同学给出了一个融9(A ) 和9(B ) 的方法于一体的新解法:“连结A C , 则A C ⊥平面B B 1D 1D , 即A C 是平面
……
则该数表第8行第5个数是( ) .
(A ) 68 (B ) 132 (C ) 133 (D ) 260本题讲评及拓展过程:
(1) 学生找规律:“每行第1个数组成一个以1为首项, 2为公比的等比数列, 其通项公式为a n =2n -1”. 则第8行第5个数是27+4=132, 选B.
(2) 学生自编同类问题:一个正整数数表如下(表中下一行的数的个数是上一行中
数的个数多1个) :
第一行第二行第三行第四行……
12 34 5 67 8 9 10
……
则该数表第8行第5教师提示:关注每一行第1个数1, 2, 4,
中学数学月刊 2005年第11期・14・7, …
发现规律:后一项与前一项的差是等差数列.
解题方法:记第n 行第1个数为a n , 则a n
-a n -1=n -1, 利用累加易求得
a n =+1.
2
(3) 教师改编新题:排成一个三角形, 10的自然数中, 余下数和为观察:1, 3, 6, 10, 15, 图221, …
规律:后一项与前一项的差是等差数列, 记第n 行最后一个数为a n , 仿(2) 可求得a n =2
学生甲另解:a 1=1, a 2=1+2, a 3=1+2+3, …, a n =1+2+3+…+n =2
22
学生乙另解:a 1=C 22, a 2=C 3, a 3=C 4,
2
…, a n =C n +1=
2
教师点评:学生甲、乙都具有丰富的联想, 乙更为优秀, 更具新意和创造性. 由乙给出的通项公式可直接利用组合数的性质求1+3+6+…+55的值.
22
即1+3+6+…+55=C 22+C 3+C 4
3
+…+C 211=C 12=220,
点评:在教师的启发诱导下, 学生的创新意识
得到了发展. 这就是试卷讲评课所要达到的效果.
215 , 扩大
. , 而每个. 因此, 在试卷讲评后, 定要引导学生及时进行试卷自我分析, 借此让学生再次反思自己之所以做错某些题目的原因, 并采取相应的改进措施, 以免类似错误一犯再犯.
试卷讲评课不能以试卷上的题目讲评完为结束, 教师应利用学生的思维惯性, 引导学生做进一步的反思和探索, 以便获得更好的效果. 可以从以下方面入手:
①要求学生回顾某些试题的分析过程, 从解题方法中再思考.
通过回顾, 使学生体会某些思想方法的普遍应用性, 促使学生对这些思想方法进行再认识, 并将对其的认识提高到一个新的高度, 或许还会发生质的变化.
②要求学生回顾某些试题的最后结果, 从最后结果的适用范围进行再思考.
③对某些试题进行数学情景和数量的改造, 要求学生再思考.
在原题的基础上进行多角度的改造, 使旧题适当换上“新衣”, 是培养学生思维发散能力的常用途径, 将试卷上的某些试题改造后留给学生再思考, 可进一步扩大讲评的效果.
总之, 教师在讲评过程中要力求精讲精析, 抓住典型的错例, 择其要点加以点拨, 充分启发学生思考, 对重要的解题思维和方法进行有效的归纳与训练. 而且还要做到学生练后再讲、至少要思考后再讲. 对学生解题时所犯的错误, 应先肯定其合理部分, 然后再进行指正. 如此, 往往能取得意想不到的效果.
2+4+7+…+46=1+3+6+…+45+9=C +C +C +…+C +9=C 3. 11+9=165+9=174
2
2
23
24
210
故余下的所有自然数之和=1540-220-174=1146.
推广:上述问题还可以将正整数三角形改成任意一个等差数列三角形(学生自行研究解决方案) .
2005年第11期 中学数学月刊 ・11・
如何上好高三数学试卷讲评课
吴 锷 (江苏省苏州第十中学 215006)
试卷评讲是高三数学教学的重要环节, 做习题、做卷子, 评作业、讲卷子几乎成了课堂的主要内容. 通过讲评, 分析测试中出现的问题, 帮助学生纠正错误, ; 评, 、探索.
创新.
, 教师, . , 有较强的自学, 用这个方法自然不错. 而事实上, 这是在教师认为题目比较简单, 或者由于习题多而时间少的情况下采用的, 可以说它是题海战术的产物, 其最大的弊端是忽略了对学生学习方法、学习技能的培养. 因此, 应该说只讲答案的讲评是最差的讲评. 而如果学生又有答案在手的话, 他可能认为自己都会了, 而不再认真听课.
1, 讲什么、怎样讲, 这能够反映出一个教师教学理念的优劣, 教学技能的高低. 一般来说, 有下列几种情形:讲答案、讲题意、讲思路、讲方法、讲错因、讲联系、讲
类的题目. 只要我会了, 就说明解方程的知识和能力已达到了”. 从孩子的回答中可以判断出, 这个学生似乎很认同这种做法, 并已分明流露出其对学习的热情.
313 延迟评价更能激发学生的自信心
学生学习成绩和学习速度的差异, 必然存在着数学学习上的差异. 给学生创造成功的机会, 允许一部分学生经过一段时间努力, 使他们达到预定的目标. 这种延迟评价, 让他们看到自己的进步, 感受到获得成功的喜悦, 从而激发新的学习动力. 心理学表明:自信心是学习成绩提高的重要原因之一, 很难想象一个学生会对20分、30分的数学分数说:“我喜欢数学, 我会把数学学好的”. 只有不断地给他创造成功的机会, 使他从原来的20分变为后来的70分, 才能产生:“只要我努力, 我就能学好数学”的自信心. “当时教室里沸腾了, 特别是分数不理想的同学. ”就是这种自信心的表现. “延迟评价”, 这种过程性评价更能激发学生的学习热情, 更能体现学生的发展变化.
314 延迟评价符合新课程的评价理念
单元测试的目的不是为了甄别, 而是为了学生的进步, 为了学生更好地掌握知识和
技能, 让学生通过考试对自己的学习做出正确的评价,
使每一个学生都能反复尝试成功的喜悦. 案例中, 对学生自己不满意的成绩, 教师采取了师生协商、重新检测的方法, 给学生创造体验成功的机会.
“延迟评价”实行后, 学生对考试的恐惧逐渐消退了, 学习数学的兴趣普遍提高了. 学困生为了基础知识而相互请教, 为了一点疑问而抓住老师不放; 优秀生为了探究某一结果而互相探讨、研究, 形成一种良好的学习气氛.
记得有位名家说过:“没有教不好的学生, 只是没有找到适合他的教育方法. ”本案例中的做法找到了让该班学生进步的教育方法.
参考文献
1 教育部. 数学课程标准. 北京:北京师范大学出版社, 2001
2 马 复. 设计合理的数学教学. 北京:高等教育出版社, 2003
3 熊川武. 反思性教学. 上海:华东师范大学出版
社, 1999
4 罗增儒. 中学数学课例分析. 西安:陕西师范大学出版社, 2003
中学数学月刊 2005年第11期・12・
讲题意、讲思路、讲方法——比讲答案自然高出一筹, 这种方法的最大好处就是让学生了解解题的过程, 学会审题、解题、辨题. 要学会解题首先要学审题, 而学会审题就必须明白题意, 甚至是明白出题者的深层次的用意. 善于审题的人也善于辨题, 所谓辨题指的是题目的优劣, 好的习题表现在科学性、启发性、灵活性都不差. 因此, 讲题意、.
讲联系—界, 、讲, 但要从一道题中跳出去讲联系、讲创新并非易事. 因为它要求教师心中装的不是一道题, 而是许多题, 而且是同类的题, 教师通过讲一道题而使学生掌握一类题, 从一个知识点, 联系到整个知识网. 创新地讲要求在个基础上, 通过教师的有启发地讲评, 激发出学生的创新思维, 促使学生讲出教师没想到的思路与方法, 做到有创新的解题.
时投掷两颗骰子, 则下列命题中正确的是
( ) .
(A ) “两颗点数都是5”的概率比“两颗
点数都是6”的概率小
(B ) 的概率小于
的概率D ) “两颗点数之和为6”的概率不大于“两颗点数之和为5”的概率
数据统计:选A 的9人, 占18%, 选
B 的18人, 占36%, 选C 的16人, 占32%, 选D 的7人, 占14%.此题正确答案为B , 其中错选
率为64%.说明很多同学在这个问题上概念不清或计算错误.
错因分析:对等可能事件的概率问题理解不透彻以及计算错误.
回归课本:本题原型是课本(人教版高中数学第二册下(A ) 第116～117页例3, 利用例3中的图10～13很快就能解决本题.
事实上, 很多试题(包括高考试题) 都能在课本中找到它的影子, 因此在复习过程中常回课本看看特别重要.
同时应该指出的是, 在讲评试卷时, 不应该也不必要平均使用力量, 有些可以“点到即止”, 有些则要“仔细分析”. 对涉及重难点知识及能力要求较高的试题要适当“照顾”; 对学生出错率较高的要“对症下药”. 为了在讲评中实现上述目标, 教师在讲评之前除了要做好统计分析, 还要精心设计讲评思路. 213 试卷讲评要重视方法, 培养思维能力
2 试卷讲评课的几点做法
211 试卷讲评要做好测试情况的统计与分
析, 提高针对性和实效性
试卷讲评课首先得对试卷进行认真的分析, 明确学生在哪方面学习基础好, 哪些方面知识有缺陷, 从客观上分析试卷, 研究学生基础知识与学习能力情况, 明确当前的教学基本情况及改进的意见. 要么不考, 要考就得评, 要评就得评好. 在学生的试卷做好后, 要做大量的统计工作, 比如选择题, 每一小题的错误率是多少, 哪些学生的错误较多; 对于主观性题目, 分别统计出每一小题的得分量, 然后再分析学生错误的原因. 以便了解学生知识和能力的缺陷及教师在教学中存在的问题. 只有在教学双方彼此了解的前提下, 试卷讲评课才会更具针对性和实效性.
212 试卷讲评要照顾一般, 突出重点
一般说来, 统计中错误最多的应是试卷讲评的重点, 当然有的题虽是少数同学出错, 但对其他同学有启发性的, 也要重点评讲.
例题1 (2005年苏州市高三模拟题) 同
数学解题渗透了不同的思维方法, 培养学生思维能力是贯穿数学教学全过程的首要任务, 因此方法是关键, 发展学生思维是核心. 讲评试卷的最终目的是让学生的思维能力得到发展, 使他们分析与解决问题的能力也得到提高. 讲评的过程, 不能只是教师在黑板上繁琐地演算, 而应充分体现学科自身的特点, 应淡化非重要的一般性演算, 突出数学方法, 寓方法于具体讲评中, 依据题目类型的
2005年第11期 中学数学月刊 ・13・
不同, 恰如其分地渗入数学思想方法.
一些试题有多种解法, 对于这类题, 应通过讲评予以展示不同的解法. 现代教学理论认为, 学生是教学过程的主体, 要想方设法调动其主观能动性, 把蕴藏于学生身上的巨大学习潜力挖掘出来. 教学实践表明让学生上讲台说出自己正确的解法, 让其体验“小老师”的成功感, 既能激发趣和思维的欲望, 解. , , 这并不是简, 法的对比, 总结其不同的特点, 从中揭示最简或最佳的解法.
例题2 (2005年苏州市高三调研题) 如图1, 正四棱柱A B CD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为3, 侧棱长为3, 点E , F
B B 1D 1D 的法向量, 由(1) 可知A 1C 是平面A E F 的法向量, 则∠A 1CA 等于二面角A -E F -B 的平面角, 易得tan ∠A CA =
6
=
2
, . 正是, , 课
, 成绩在后几次考试中稳步提高. 优质的讲评收到了意想不到的效果. 214 试卷讲评要多导精讲, 激发学生的创新意识联系地讲、创新地讲是我们教师的追求与目标. 评析试卷是在学生已有知识基础上进行的教学活动, 教师要用启发性的语言和问题, 引导学生展开联想, 探求创新的解法, 以培养学生举一反三的能力.
例题3 (2005年南京市高三模拟题) 一个正整数数表如下(表中下一行的数的个数是上一行中数的个数的2倍) :
第一行第二行第三行……
12 34 5 6 7
分别在B B 1, D D 1上, 且
A E ⊥A 1B , A F ⊥A 1D .
(1) 求证:A 1C ⊥平
图1
面A E F ;
(2) 求二面角A -E F -B 的大小
; (3) 求点B 到平面A E F 的距离.
本题是一道比较优秀的试题, 对使用9(A ) 和9(B ) 教材的学生具有较好的公平性, 既有很好的考查功能, 又富有思考性. 它能基本反映学生掌握立体几何知识以及处理立体几何基本问题能力的程度. 不同层次的学生会产生不同的思考方式, 因此对于这样的问题我们在讲评时应重点关注.
讲评前教师可预先将学生试卷上的解法进行分类, 让各类学生的代表自己讲解题思路, 教师进行点评. 这样做既能提高学生的学习积极性, 又能开拓其它学生的视野. 本人在此题的讲评时, 感受最深的是, 在求本题第2问时, 我班一位成绩中等的同学给出了一个融9(A ) 和9(B ) 的方法于一体的新解法:“连结A C , 则A C ⊥平面B B 1D 1D , 即A C 是平面
……
则该数表第8行第5个数是( ) .
(A ) 68 (B ) 132 (C ) 133 (D ) 260本题讲评及拓展过程:
(1) 学生找规律:“每行第1个数组成一个以1为首项, 2为公比的等比数列, 其通项公式为a n =2n -1”. 则第8行第5个数是27+4=132, 选B.
(2) 学生自编同类问题:一个正整数数表如下(表中下一行的数的个数是上一行中
数的个数多1个) :
第一行第二行第三行第四行……
12 34 5 67 8 9 10
……
则该数表第8行第5教师提示:关注每一行第1个数1, 2, 4,
中学数学月刊 2005年第11期・14・7, …
发现规律:后一项与前一项的差是等差数列.
解题方法:记第n 行第1个数为a n , 则a n
-a n -1=n -1, 利用累加易求得
a n =+1.
2
(3) 教师改编新题:排成一个三角形, 10的自然数中, 余下数和为观察:1, 3, 6, 10, 15, 图221, …
规律:后一项与前一项的差是等差数列, 记第n 行最后一个数为a n , 仿(2) 可求得a n =2
学生甲另解:a 1=1, a 2=1+2, a 3=1+2+3, …, a n =1+2+3+…+n =2
22
学生乙另解:a 1=C 22, a 2=C 3, a 3=C 4,
2
…, a n =C n +1=
2
教师点评:学生甲、乙都具有丰富的联想, 乙更为优秀, 更具新意和创造性. 由乙给出的通项公式可直接利用组合数的性质求1+3+6+…+55的值.
22
即1+3+6+…+55=C 22+C 3+C 4
3
+…+C 211=C 12=220,
点评:在教师的启发诱导下, 学生的创新意识
得到了发展. 这就是试卷讲评课所要达到的效果.
215 , 扩大
. , 而每个. 因此, 在试卷讲评后, 定要引导学生及时进行试卷自我分析, 借此让学生再次反思自己之所以做错某些题目的原因, 并采取相应的改进措施, 以免类似错误一犯再犯.
试卷讲评课不能以试卷上的题目讲评完为结束, 教师应利用学生的思维惯性, 引导学生做进一步的反思和探索, 以便获得更好的效果. 可以从以下方面入手:
①要求学生回顾某些试题的分析过程, 从解题方法中再思考.
通过回顾, 使学生体会某些思想方法的普遍应用性, 促使学生对这些思想方法进行再认识, 并将对其的认识提高到一个新的高度, 或许还会发生质的变化.
②要求学生回顾某些试题的最后结果, 从最后结果的适用范围进行再思考.
③对某些试题进行数学情景和数量的改造, 要求学生再思考.
在原题的基础上进行多角度的改造, 使旧题适当换上“新衣”, 是培养学生思维发散能力的常用途径, 将试卷上的某些试题改造后留给学生再思考, 可进一步扩大讲评的效果.
总之, 教师在讲评过程中要力求精讲精析, 抓住典型的错例, 择其要点加以点拨, 充分启发学生思考, 对重要的解题思维和方法进行有效的归纳与训练. 而且还要做到学生练后再讲、至少要思考后再讲. 对学生解题时所犯的错误, 应先肯定其合理部分, 然后再进行指正. 如此, 往往能取得意想不到的效果.
2+4+7+…+46=1+3+6+…+45+9=C +C +C +…+C +9=C 3. 11+9=165+9=174
2
2
23
24
210
故余下的所有自然数之和=1540-220-174=1146.
推广:上述问题还可以将正整数三角形改成任意一个等差数列三角形(学生自行研究解决方案) .