第九课时 分段函数
【学习导航】
知识网络
⎧分段函数定义⎪分段函数⎨分段函数定义域值域
⎪分段函数图象⎩
学习要求
1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域； 3、学会运用函数图象来研究分段函数；
自学评价：
1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域； 分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
【精典范例】
一、含有绝对值的解析式
例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
【解】：
(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)
所以已知函数可写为分段函数形式：
⎧-2x -1(x ≤-2) ⎪y=|x－1|+|x+2|=⎨3(-2
⎪2x +1(x >1) ⎩
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图
象略）
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米) 和时间t(小时) 的函数关系式，并作出函数图象。
【解】：
先考虑由甲地到乙地的过程：
0≤t ≤2时， y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况：
2
最后考虑由乙地返回甲地的过程：
3
⎧6t (0≤t ≤2) ⎪所以S(t)=⎨12(2
⎪-4t +24(3
函数图象（略）
点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
三、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)求g(a)的最大值。
【解】：
a a a a 对称轴x=分1讨论 2222
⎧2a +5(a
得g(a)⎨3-(-2≤a ≤2) 2⎪⎪⎩-2a +5(a >2)
利用分段函数图象易得：g(a)max =3
点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。
追踪训练
⎧x 2+2, (x ≤2) 1、设函数f(x)=⎨则f(－4)=___________,若f(x0)=8，则x 0=________ ⎩2x , (x >2)
答案：18；-6或4。
⎧x 2(x >0) ⎪2、已知函数f(x)=⎨1(x =0)
⎪0(x
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.
答案：1；1；1。
3、出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x －5┃
⎧-7, x ∈(-∞，-2]⎪解：原函数变为 y=⎨2x -3, x ∈(-2, 5)
⎪7, x ∈[5, +∞) ⎩
下面根据分段函数来画出图象
图象（略）。
⎧f (0) =1⎪4、已知函数y=⎨f (1) =3，则f(4)=_______.
⎪f (n +1) =f (n ) +nf (n -1) ⎩
答案：22。
5、已知函数f(x)=x 2-2x +1+|x +1|
x +1
(1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示；
(3)作出函数图象
答案：（1）函数定义域为{x┃x ≠-1, x ∈R }
( 2 )
f(x)=┃x-1┃+|x +1|
x +1
⎧-x , x
=⎪⎨2-x , -1
⎪⎩x , x ≥1
(3) 图象（略）。
分层练习
⎧|x -1|-2, |x |≤1
1、设f(x)=⎪⎨1
⎪1，则f[f()]=(
⎩1+x 2，|x |>12) A. 1
2 B. 4
13 C. －9
5 D. 25
41
2、若f(x)=⎧⎨x 2(x ≥0)
x (x 0) ϕ(x ) =⎧⎨x (x ≥0)
⎩-x 2(x
A. －x B. －x 2 C.x D.x 2
⎧x +2(x ≤-1)
3、已知，若f(x)=⎪⎨x 2(-1
⎪⎩2x (x ≥2)
4、下列各组函数表示同一函数的是( )
①f(x)=|x|，g(x)=⎨⎧x (x ≥0)
⎩-x (x
②f(x)=x 2-4
x -2，g(x)=x+2
③f(x)=x 2，g(x)=x+2
)
④f(x)=-x 2+x 2-1g(x)=0 x∈{－1，1}
A. ①③ B. ① C. ②④ D. ①④
25、某产品的总成本y(万元) 与产量x(台) 之间的函数关系式为y=3000+20x－0.1x ，x ∈(0，
240) ，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为( )
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
1]⎧1，x∈[0，6、f(x)=⎨，使等式f[f(x)]=1成立的x 值的范围是_________. x -3, x ∉[0，1]⎩
7、若方程2|x－1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k 的取值范围是__________.
拓展延伸
8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元) 与时间t(天) 的函数关系式为P=⎨⎧t +20(0
Q=－t+40，(0
第九课时 分段函数
【学习导航】
知识网络
⎧分段函数定义⎪分段函数⎨分段函数定义域值域
⎪分段函数图象⎩
学习要求
1、了解分数函数的定义；
2、学会求分段函数定义域、值域； 3、学会运用函数图象来研究分段函数；
自学评价：
1、分段函数的定义
在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数；
2、分段函数定义域，值域； 分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)
3、分段函数图象
画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；
【精典范例】
一、含有绝对值的解析式
例1、已知函数y=|x－1|+|x+2|
(1)作出函数的图象。
(2)写出函数的定义域和值域。
【解】：
(1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞)
所以已知函数可写为分段函数形式：
⎧-2x -1(x ≤-2) ⎪y=|x－1|+|x+2|=⎨3(-2
⎪2x +1(x >1) ⎩
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图
象略）
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）
二、实际生活中函数解析式问题
例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米) 和时间t(小时) 的函数关系式，并作出函数图象。
【解】：
先考虑由甲地到乙地的过程：
0≤t ≤2时， y=6t
再考虑在乙地耽搁的情况：
2
最后考虑由乙地返回甲地的过程：
3
⎧6t (0≤t ≤2) ⎪所以S(t)=⎨12(2
⎪-4t +24(3
函数图象（略）
点评：某些实际问题的函数解析式常用分段函数表示，须针对自变量的分段变化情况，列出各段不同的解析式，再依据自变量的不同取值范围，分段画出函数的图象.
三、二次函数在区间上的最值问题
例3、已知函数f(x)=2x2－2ax+3在区间[－1，1]上有最小值，记作g(a).
(1)求g(a)的函数表达式
(2)求g(a)的最大值。
【解】：
a a a a 对称轴x=分1讨论 2222
⎧2a +5(a
得g(a)⎨3-(-2≤a ≤2) 2⎪⎪⎩-2a +5(a >2)
利用分段函数图象易得：g(a)max =3
点评：二次函数在闭区间上的最值问题往往结合图象讨论。
追踪训练
⎧x 2+2, (x ≤2) 1、设函数f(x)=⎨则f(－4)=___________,若f(x0)=8，则x 0=________ ⎩2x , (x >2)
答案：18；-6或4。
⎧x 2(x >0) ⎪2、已知函数f(x)=⎨1(x =0)
⎪0(x
求f(1)，f[f(－3)]，f{f[f(－3)]}的值.
答案：1；1；1。
3、出下列函数图象
y=┃x+2┃－┃x －5┃
⎧-7, x ∈(-∞，-2]⎪解：原函数变为 y=⎨2x -3, x ∈(-2, 5)
⎪7, x ∈[5, +∞) ⎩
下面根据分段函数来画出图象
图象（略）。
⎧f (0) =1⎪4、已知函数y=⎨f (1) =3，则f(4)=_______.
⎪f (n +1) =f (n ) +nf (n -1) ⎩
答案：22。
5、已知函数f(x)=x 2-2x +1+|x +1|
x +1
(1)求函数定义域；
(2)化简解析式用分段函数表示；
(3)作出函数图象
答案：（1）函数定义域为{x┃x ≠-1, x ∈R }
( 2 )
f(x)=┃x-1┃+|x +1|
x +1
⎧-x , x
=⎪⎨2-x , -1
⎪⎩x , x ≥1
(3) 图象（略）。
分层练习
⎧|x -1|-2, |x |≤1
1、设f(x)=⎪⎨1
⎪1，则f[f()]=(
⎩1+x 2，|x |>12) A. 1
2 B. 4
13 C. －9
5 D. 25
41
2、若f(x)=⎧⎨x 2(x ≥0)
x (x 0) ϕ(x ) =⎧⎨x (x ≥0)
⎩-x 2(x
A. －x B. －x 2 C.x D.x 2
⎧x +2(x ≤-1)
3、已知，若f(x)=⎪⎨x 2(-1
⎪⎩2x (x ≥2)
4、下列各组函数表示同一函数的是( )
①f(x)=|x|，g(x)=⎨⎧x (x ≥0)
⎩-x (x
②f(x)=x 2-4
x -2，g(x)=x+2
③f(x)=x 2，g(x)=x+2
)
④f(x)=-x 2+x 2-1g(x)=0 x∈{－1，1}
A. ①③ B. ① C. ②④ D. ①④
25、某产品的总成本y(万元) 与产量x(台) 之间的函数关系式为y=3000+20x－0.1x ，x ∈(0，
240) ，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本的最低产量为( )
A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
1]⎧1，x∈[0，6、f(x)=⎨，使等式f[f(x)]=1成立的x 值的范围是_________. x -3, x ∉[0，1]⎩
7、若方程2|x－1|－kx=0有且只有一个正根，则实数k 的取值范围是__________.
拓展延伸
8、某商品在近30天内每件的销售价格P(元) 与时间t(天) 的函数关系式为P=⎨⎧t +20(0
Q=－t+40，(0