第三讲 指数函数
高考要求
知识精讲
版块一：指数，指数幂的运算
（一）知识内容
1．整数指数
⑴
正整数指数幂：a n =a ⋅a ⋅ ⋅a ，是n 个a 连乘的缩写（n ∈N *）
，
a n 叫做
a
的
n
次幂，
a
叫做幂的底数，
n
叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．
⑵整数指数幂：规定：
a 0=1(a
≠0) ，a -n
=2．分数指数
⑴ n 次方根：如果存在实数x
，使得x n =a
(a
∈
R ,
n >
1, n ∈
N *) ，那么
x
叫做a 的n
次方根．
⑵
求
a
的n 次方根，叫做a 开n
次方，称做开方运算．
①
当
n
是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n
次方根是一个负数．这时，
a 的n
次方根用
②
当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个，
它们互为相反数．
正数
a
的正、
负
n
a >0)
．
1
(
a ≠
0, n ∈N *) ．
n a
⑶正数a
的正
n
次方根叫做
a
的
n
次算术根．
负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0
0．
n 叫做根指数，a
3．根式恒等式：
⎧a a ≥0
． n =a ；当n
=a ；当n
=|a |=⎨
-a a
4．分数指数幂的运算法则
⑴正分数指数幂可定义为：a =a =m =a >0, n , m ∈N *, 且
m
n
1n
(a >
0)
m
为即约分数）． n
⑵负分数指数幂可定义为：a
-
m n
=
1
m n
(a >0, n , m ∈N *, 且
a
5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质：
m
为即约分数． n
⑴a r a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q) ⑵(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈Q) ⑶(ab ) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈Q)
6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时
a ，n 为偶数时
a ． 7．
=
a ，
m n
=a
-
m n
（a >0，m , n ∈N *，且n >1）
零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
8．指数的运算性质：a r a s =a r +s ，(ab )=a r b r （其中a , b >0，r , s ∈R ）
9．无理数指数幂
⑴ 无理指数幂a α(a >0, α是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
10．一般地，当a >0，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立
r
版块二：指数函数及其性质
（一）知识内容
1．指数函数：一般地，函数y =a x (a >0，a ≠1，x ∈R) 叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比
3．y =a x （a >0且a ≠1
）的图象特征：
a >1时，图象像一撇，过点(0,1)，且在
y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴（如图1）； 0
． y =a x 与y =a -x 的图象关于y 轴对称（如图3）
图1 图2 图3
（二）主要方法：
1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解； 2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论； 3．要注意运用数形结合思想解决问题．
版块三：指数函数和其他函数的运算与复合
（一）知识内容：
复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点． 1．和差函数的单调性
两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数f [g (x )]的奇偶性、单调性有如下规律：
值得注意的是，当且仅当外层函数f (u ) 的定义域与内层函数g (x ) 的值域的交集非空时才能构成复合函数f [g (x )]，
例题精讲
板块一 指数的运算
(a 3+a -3)(a 3-a -3)
【例1】 化简：⑴4
(a +a -4+1)(a -a -1)
2008-2008
(n ∈
N +) ，那么a ) n 的值是（ ）
2
A ． 2008-1 B ． -2008-1 C ． (-1) n 2008 D ． (-1) n 2008-1 【变式】 设 a =
1
n
-
1n
2008-2008
(n ∈
N +) ，那么a ) n 的值是（ ）
2
A ． 2008-1 B ． -2008-1 C ． (-1) n 2008 D ． (-1) n 2008-1 【例2】 设 a =
1n
-
1n
板块二 指数函数与复合函数的性质
【例3】 （2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试）
因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复
g x 合后得到的，比如下列函数：f (x )=2x ，g (
x )=h (x )=x 2，则f (x )，()复合后可得到
x 函数g ⎡⎣g (
x )⎤⎦=f =，像这样，一个函数的函数值作为另一⎣f (x )⎤⎦=g (
2)=f ⎡
个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由f (x )，g (x )进行乘法运算得到
函数f (x )g (
x )2x ．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．
⑴复合函数f h ⎡⎣g (x )⎤⎦的解析式为 ；其定义域为 ．
⑵可判断f (x )g (
x )=2x 是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函
数？若是请证明，若不是，请举一个反例；
【变式】 ⑶已知函数f (
x )2-x ，若f (x +1)>f (2x -1)，则x 的取值范围为．
⑷请用函数f (x )=2x ，g (
x )h (x )=x 2，k (x )=ln x 中的两个进行复合，得到三个函数，
使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．
22
【例4】 已知f (x ) =8+2x -x ，g (x ) =f (2-x ) ，则g (x ) 在（ ）
A ．(-2, 0) 上为增函数 B ．(0, 2) 上为增函数 C ．(-1, 0) 上为减函数 D ．(0, 1) 上为减函数 【例5】 （2008年安徽省潜山中学高一第一学期期中考试数学卷）
2
已知函数f (x ) =1+，g (x ) =f (2x )
x -1
⑴判断函数g (x ) 的奇偶性；
0) 上为减函数； ⑵用定义证明函数g (x ) 在(-∞，
⑶求g (x ) 在(-∞, -1]上的最小值．
a
【变式】 已知函数f (x ) =2(a x -a -x ) ，其中a >0，a ≠1．
a -1
⑴判断函数f (x ) 的奇偶性；
⑵判断函数f (x ) 的单调性，并证明．
{}
2
【例6】 ⑴求函数y =2x -4x +3的单调减区间；
⑵y =a -x
【例7】 已知函数f (x ) =
a x -x
(a -a ) ，其中a >0，a ≠1． a 2-1
⑴判断函数f (x ) 的奇偶性；
⑵判断函数f (x ) 的单调性，并证明．
2
+3x +2
（a >0，且a ≠1）；
【变式】 已知f (x ) =
a
(a x -a -x )(a >0, a ≠1) 是R 上的增函数，求a 的取值范围． a -2
2
【例8】 求下列函数的单调区间．
⑴y =a -x
2
+3x +2
（a >0，且a ≠1）；
11
⑵已知9x -10⨯3x +9≤0，求函数y =() x -1-4⋅() x -1+5最值．
42
【变式】 已知2x
2
+x
1
≤() x -2，求函数y =2x -2-x 的值域
4
【例9】 如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0, a ≠1) 在区间[-1,1]上的最大值是14，求a 的值．
【变式】 已知y =4x -3⋅2x +3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是_________
【变式】 （2007-2008北京四中期中测试）
求函数f (x ) =4x -a ⋅2x +1+3 (x ∈R ) 的值域．
【例10】 若对x ∈[1,2]，不等式2x +m >2恒成立，求实数m 的取值范围．
【变式】 设f (x ) =1+2x +a ⋅4x (a ∈R ) ，当x ∈(-∞,1]时，f (x ) 的图象在x 轴上方，求a 的取值范围．
【变式】 如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0, a ≠1) 在区间[-1,1]上的最大值是14，求a 的值．
【例11】 设f (x ) =1+2x +a ⋅4x (a ∈R ) ，当x ∈(-∞,1]时，f (x ) 的图象在x 轴上方，求a 的取值范围．
第四讲 对数函数
高考要求
知识精讲
版块一：对数的定义和相关概念
（一）知识内容
1．对数：一般地，如果a x =y (a >0，且a ≠1) ，那么数x 叫做以a
为底y 的对数，记作x =log a y ，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数．
对数恒等式及对数的性质，对数log a
N (a
>0, a
≠
1) 满足：
⑴零和负数没有对数； ⑵
1
的对数是零，即log a 1
=
0；
⑶底的对数等于
1
，即log a a
=1
．
2．常用对数：通常将以
10
为底的对数叫做常用对数，并把
log
10
N
记为
lg
N
．
3
．
自然对数：
在科学技术中常使用以无理数e =2.71828
为底的对数，
以
e
为底的对数称为自然对数，
并且把
log
e
N
记为
ln
N
．
4．对数与指数间的关系：当a >0, a ≠1时，a x =N ⇔x =log a N ． 5．指数和对数的互化：
a b =N ⇔log a N =b ．a log a N =N ，log a a N =N
版块二：对数的运算性质和法则
（一）知识内容
1．对数的运算性质：
如果a >0，且a ≠1, M >0, N >0，那么：
⑴log a (M ⋅N ) =log a M +log a N ；（积的对数等于对数的和） 推广log a (N 1⋅N 2... N k ) =log a N 1+log a N 2+... +log a N k ⑵log a
M
（商的对数等于对数的差） =log a M -log a N ；
N
⑶log a M α=αlog a M (α∈R)
1
⑷log a =log a N
n
（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）
log a N
2．换底公式：log b N =（a , b >0, a , b ≠1, N >0）
log a b
换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 3．关于对数的恒等式
log a M log b M 1
=①a log a N =N ②log a a n =n ③log a b =④log a M =log a n M n ⑤
log b a log a N log b N
版块三：对数函数
1．对数函数：我们把函数y =log a x (a >0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
(0,+∞) ，值域为实数集R ．
2．对数函数的图象和性质：
一般地，对数函数y =log a x (a >0且a ≠1）的图象和性质如下表所示：
例题精讲
【例1】 计算：[(1-log 63) 2+log 62⋅log 618]÷log 64
【例2】 计
算：(log23+log 49+log 827+... +log 23n ) ⋅log 9n ∈N *)
n
【例3】 计算：5
lg30
⎛1⎫⋅ ⎪⎝3⎭
lg 0.5
【例4】 （04-北京-模拟）已知log 189=a ，18b =5． 用a , b 表示log 3645
【例5】 已知A =6lg p +lg q ，其中p , q 为素数，且满足q -p =29，求证：3
板块二：对数函数及其性质
1．理解对数函数的概念，底数大于０且不等于１，真数为正．
根据对数的性质可知：当底数和真数同在(0, 1 ) 上或(1, +∞) 上时，对数为正；当真数为１时，对数为０；当底数和真数一个在(0, 1 ) 上另一个在(1, +∞) 上时，对数为负．这在对数的大小和比较中有重要应用．
2．理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于y =x 对称，单调性一致．
3．对数函数恒过点(1, 0) ，要注意这个条件的灵活应用．即这个点是与底数a 无关的，不随a 的变化而变化．
例如，函数y =log a (x -2) +x 2-1(a >0且a ≠1) 恒过一定点，则该点的坐标为．我们知
2
道log a 1=0，这是与a 无关的一个等式，于是x -2=1则x =3，从而y =3-1=8，故定点
为(3, 8)
4．掌握对数函数性质，在a >1时，函数为增函数；在0
6．在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法（利用实数的性质），注意结合第1、第4、第五点进行大小比较时的灵活应用．
7．形如y =log a (x 2+ax +b ) 的函数定义域为R 或值域为R 时的等价转换．
【例6】 已知log m 5>log n 5，试确定m 和n 的关系．
【例7】 设0
x 的值．
，求此时a 和
【例8】 当a
为何值时，不等式log 11) ⋅log 5(x 2+ax +6) +log a 3≥0有且只有一解
a
板块三：指数函数与对数函数
【例9】 已知f (x ) =a x ，g (x ) =-log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1．则y =f (x ) 与
y =g (x ) 的图象 （ ）
A ．关于直线x +y =0对称； B ．关于直线x -y =0对称； C ．关于y 轴对称； D ．关于原点对称．
【例10】 设a , b 分别是方程log 2x +x -3=0和2x +x -3=0的根，求a +b 及log 2a +2b
第三讲 指数函数
高考要求
知识精讲
版块一：指数，指数幂的运算
（一）知识内容
1．整数指数
⑴
正整数指数幂：a n =a ⋅a ⋅ ⋅a ，是n 个a 连乘的缩写（n ∈N *）
，
a n 叫做
a
的
n
次幂，
a
叫做幂的底数，
n
叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．
⑵整数指数幂：规定：
a 0=1(a
≠0) ，a -n
=2．分数指数
⑴ n 次方根：如果存在实数x
，使得x n =a
(a
∈
R ,
n >
1, n ∈
N *) ，那么
x
叫做a 的n
次方根．
⑵
求
a
的n 次方根，叫做a 开n
次方，称做开方运算．
①
当
n
是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n
次方根是一个负数．这时，
a 的n
次方根用
②
当
n
是偶数时，正数的
n
次方根有两个，
它们互为相反数．
正数
a
的正、
负
n
a >0)
．
1
(
a ≠
0, n ∈N *) ．
n a
⑶正数a
的正
n
次方根叫做
a
的
n
次算术根．
负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0
0．
n 叫做根指数，a
3．根式恒等式：
⎧a a ≥0
． n =a ；当n
=a ；当n
=|a |=⎨
-a a
4．分数指数幂的运算法则
⑴正分数指数幂可定义为：a =a =m =a >0, n , m ∈N *, 且
m
n
1n
(a >
0)
m
为即约分数）． n
⑵负分数指数幂可定义为：a
-
m n
=
1
m n
(a >0, n , m ∈N *, 且
a
5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质：
m
为即约分数． n
⑴a r a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q) ⑵(a r ) s =a rs (a >0, r , s ∈Q) ⑶(ab ) r =a r b r (a >0, b >0, r ∈Q)
6．n 次方根的定义及性质：n 为奇数时
a ，n 为偶数时
a ． 7．
=
a ，
m n
=a
-
m n
（a >0，m , n ∈N *，且n >1）
零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．
8．指数的运算性质：a r a s =a r +s ，(ab )=a r b r （其中a , b >0，r , s ∈R ）
9．无理数指数幂
⑴ 无理指数幂a α(a >0, α是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
10．一般地，当a >0，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义． 对任意实数α，β，上述有理指数幂的运算法则仍然成立
r
版块二：指数函数及其性质
（一）知识内容
1．指数函数：一般地，函数y =a x (a >0，a ≠1，x ∈R) 叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比
3．y =a x （a >0且a ≠1
）的图象特征：
a >1时，图象像一撇，过点(0,1)，且在
y 轴左侧a 越大，图象越靠近y 轴（如图1）； 0
． y =a x 与y =a -x 的图象关于y 轴对称（如图3）
图1 图2 图3
（二）主要方法：
1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解； 2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论； 3．要注意运用数形结合思想解决问题．
版块三：指数函数和其他函数的运算与复合
（一）知识内容：
复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点． 1．和差函数的单调性
两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数f [g (x )]的奇偶性、单调性有如下规律：
值得注意的是，当且仅当外层函数f (u ) 的定义域与内层函数g (x ) 的值域的交集非空时才能构成复合函数f [g (x )]，
例题精讲
板块一 指数的运算
(a 3+a -3)(a 3-a -3)
【例1】 化简：⑴4
(a +a -4+1)(a -a -1)
2008-2008
(n ∈
N +) ，那么a ) n 的值是（ ）
2
A ． 2008-1 B ． -2008-1 C ． (-1) n 2008 D ． (-1) n 2008-1 【变式】 设 a =
1
n
-
1n
2008-2008
(n ∈
N +) ，那么a ) n 的值是（ ）
2
A ． 2008-1 B ． -2008-1 C ． (-1) n 2008 D ． (-1) n 2008-1 【例2】 设 a =
1n
-
1n
板块二 指数函数与复合函数的性质
【例3】 （2008-2009首师大附中高中课改数学模块1水平监测期中考试）
因为复杂的函数，往往是由多个简单函数的加、减、乘、除运算得到，或者是多个函数的复
g x 合后得到的，比如下列函数：f (x )=2x ，g (
x )=h (x )=x 2，则f (x )，()复合后可得到
x 函数g ⎡⎣g (
x )⎤⎦=f =，像这样，一个函数的函数值作为另一⎣f (x )⎤⎦=g (
2)=f ⎡
个函数的自变量的取值，得到的函数称为复合函数；也可以由f (x )，g (x )进行乘法运算得到
函数f (x )g (
x )2x ．所以我们在研究较复杂的函数时，常常设法把复杂的函数进行逆向操作，把其拆分转化为简单的函数，借助简单函数的性质进行研究．
⑴复合函数f h ⎡⎣g (x )⎤⎦的解析式为 ；其定义域为 ．
⑵可判断f (x )g (
x )=2x 是增函数，那么两个增函数相乘后得到的新函数是否一定是增函
数？若是请证明，若不是，请举一个反例；
【变式】 ⑶已知函数f (
x )2-x ，若f (x +1)>f (2x -1)，则x 的取值范围为．
⑷请用函数f (x )=2x ，g (
x )h (x )=x 2，k (x )=ln x 中的两个进行复合，得到三个函数，
使它们分别为偶函数且非奇函数、奇函数且非偶函数、非奇非偶函数．
22
【例4】 已知f (x ) =8+2x -x ，g (x ) =f (2-x ) ，则g (x ) 在（ ）
A ．(-2, 0) 上为增函数 B ．(0, 2) 上为增函数 C ．(-1, 0) 上为减函数 D ．(0, 1) 上为减函数 【例5】 （2008年安徽省潜山中学高一第一学期期中考试数学卷）
2
已知函数f (x ) =1+，g (x ) =f (2x )
x -1
⑴判断函数g (x ) 的奇偶性；
0) 上为减函数； ⑵用定义证明函数g (x ) 在(-∞，
⑶求g (x ) 在(-∞, -1]上的最小值．
a
【变式】 已知函数f (x ) =2(a x -a -x ) ，其中a >0，a ≠1．
a -1
⑴判断函数f (x ) 的奇偶性；
⑵判断函数f (x ) 的单调性，并证明．
{}
2
【例6】 ⑴求函数y =2x -4x +3的单调减区间；
⑵y =a -x
【例7】 已知函数f (x ) =
a x -x
(a -a ) ，其中a >0，a ≠1． a 2-1
⑴判断函数f (x ) 的奇偶性；
⑵判断函数f (x ) 的单调性，并证明．
2
+3x +2
（a >0，且a ≠1）；
【变式】 已知f (x ) =
a
(a x -a -x )(a >0, a ≠1) 是R 上的增函数，求a 的取值范围． a -2
2
【例8】 求下列函数的单调区间．
⑴y =a -x
2
+3x +2
（a >0，且a ≠1）；
11
⑵已知9x -10⨯3x +9≤0，求函数y =() x -1-4⋅() x -1+5最值．
42
【变式】 已知2x
2
+x
1
≤() x -2，求函数y =2x -2-x 的值域
4
【例9】 如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0, a ≠1) 在区间[-1,1]上的最大值是14，求a 的值．
【变式】 已知y =4x -3⋅2x +3，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是_________
【变式】 （2007-2008北京四中期中测试）
求函数f (x ) =4x -a ⋅2x +1+3 (x ∈R ) 的值域．
【例10】 若对x ∈[1,2]，不等式2x +m >2恒成立，求实数m 的取值范围．
【变式】 设f (x ) =1+2x +a ⋅4x (a ∈R ) ，当x ∈(-∞,1]时，f (x ) 的图象在x 轴上方，求a 的取值范围．
【变式】 如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0, a ≠1) 在区间[-1,1]上的最大值是14，求a 的值．
【例11】 设f (x ) =1+2x +a ⋅4x (a ∈R ) ，当x ∈(-∞,1]时，f (x ) 的图象在x 轴上方，求a 的取值范围．
第四讲 对数函数
高考要求
知识精讲
版块一：对数的定义和相关概念
（一）知识内容
1．对数：一般地，如果a x =y (a >0，且a ≠1) ，那么数x 叫做以a
为底y 的对数，记作x =log a y ，其中a 叫做对数的底数，y 叫做真数．
对数恒等式及对数的性质，对数log a
N (a
>0, a
≠
1) 满足：
⑴零和负数没有对数； ⑵
1
的对数是零，即log a 1
=
0；
⑶底的对数等于
1
，即log a a
=1
．
2．常用对数：通常将以
10
为底的对数叫做常用对数，并把
log
10
N
记为
lg
N
．
3
．
自然对数：
在科学技术中常使用以无理数e =2.71828
为底的对数，
以
e
为底的对数称为自然对数，
并且把
log
e
N
记为
ln
N
．
4．对数与指数间的关系：当a >0, a ≠1时，a x =N ⇔x =log a N ． 5．指数和对数的互化：
a b =N ⇔log a N =b ．a log a N =N ，log a a N =N
版块二：对数的运算性质和法则
（一）知识内容
1．对数的运算性质：
如果a >0，且a ≠1, M >0, N >0，那么：
⑴log a (M ⋅N ) =log a M +log a N ；（积的对数等于对数的和） 推广log a (N 1⋅N 2... N k ) =log a N 1+log a N 2+... +log a N k ⑵log a
M
（商的对数等于对数的差） =log a M -log a N ；
N
⑶log a M α=αlog a M (α∈R)
1
⑷log a =log a N
n
（正数幂的对数，等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数）
log a N
2．换底公式：log b N =（a , b >0, a , b ≠1, N >0）
log a b
换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 3．关于对数的恒等式
log a M log b M 1
=①a log a N =N ②log a a n =n ③log a b =④log a M =log a n M n ⑤
log b a log a N log b N
版块三：对数函数
1．对数函数：我们把函数y =log a x (a >0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是
(0,+∞) ，值域为实数集R ．
2．对数函数的图象和性质：
一般地，对数函数y =log a x (a >0且a ≠1）的图象和性质如下表所示：
例题精讲
【例1】 计算：[(1-log 63) 2+log 62⋅log 618]÷log 64
【例2】 计
算：(log23+log 49+log 827+... +log 23n ) ⋅log 9n ∈N *)
n
【例3】 计算：5
lg30
⎛1⎫⋅ ⎪⎝3⎭
lg 0.5
【例4】 （04-北京-模拟）已知log 189=a ，18b =5． 用a , b 表示log 3645
【例5】 已知A =6lg p +lg q ，其中p , q 为素数，且满足q -p =29，求证：3
板块二：对数函数及其性质
1．理解对数函数的概念，底数大于０且不等于１，真数为正．
根据对数的性质可知：当底数和真数同在(0, 1 ) 上或(1, +∞) 上时，对数为正；当真数为１时，对数为０；当底数和真数一个在(0, 1 ) 上另一个在(1, +∞) 上时，对数为负．这在对数的大小和比较中有重要应用．
2．理解对数函数与指数函数互为反函数，其图象关于y =x 对称，单调性一致．
3．对数函数恒过点(1, 0) ，要注意这个条件的灵活应用．即这个点是与底数a 无关的，不随a 的变化而变化．
例如，函数y =log a (x -2) +x 2-1(a >0且a ≠1) 恒过一定点，则该点的坐标为．我们知
2
道log a 1=0，这是与a 无关的一个等式，于是x -2=1则x =3，从而y =3-1=8，故定点
为(3, 8)
4．掌握对数函数性质，在a >1时，函数为增函数；在0
6．在对数函数的大小比较中，常见的方法是作差法、中间量法，在含绝对值的对数函数的大小比较时，还经常用到作商法和求和法（利用实数的性质），注意结合第1、第4、第五点进行大小比较时的灵活应用．
7．形如y =log a (x 2+ax +b ) 的函数定义域为R 或值域为R 时的等价转换．
【例6】 已知log m 5>log n 5，试确定m 和n 的关系．
【例7】 设0
x 的值．
，求此时a 和
【例8】 当a
为何值时，不等式log 11) ⋅log 5(x 2+ax +6) +log a 3≥0有且只有一解
a
板块三：指数函数与对数函数
【例9】 已知f (x ) =a x ，g (x ) =-log b x ，且lg a +lg b =0，a ≠1，b ≠1．则y =f (x ) 与
y =g (x ) 的图象 （ ）
A ．关于直线x +y =0对称； B ．关于直线x -y =0对称； C ．关于y 轴对称； D ．关于原点对称．
【例10】 设a , b 分别是方程log 2x +x -3=0和2x +x -3=0的根，求a +b 及log 2a +2b