趣味计数原理
六位数密码的编排
邓树青
排列组合问题是生活实际中应用比较广泛的知识点，而在学生的学习中又是比较抽象、难以理解的问题。特别是分步与分类的区别与结合，排列与组合的区别与结合，尤其是四者混合使用时，一定要概念明确，思路清析，才能无重复，无遗漏地解决有关排列组合的问题。 为提高学生学习兴趣, 让学生感觉到数学方法就是生活中的问题, 就是
身边的问题
现以六位数密码的编排为例说明一下计数原理与排列、组合数的混合
使用。
课本上给我们的题目主要是以下两大类。
一是有重复排列的数字：
例1、 一个密码箱子由6位数字（允许重复）构成，问共能组
成多少个密码？
解析：1、有重复的数字就不能用排列、组合，只能用加法原理与乘法原理来解决。
此问题常用“主元素法”——把不能空的元素看作“主元素”，然后从“主元素”着手考虑，每位密码都有10种不同的选法，根据乘法原理
可重复的六位密码共有106个
类同的题目还有
例2、 有3名学生报考4所不同的高等院校，不同的报法有多
少种？
这里“主元素”是学生，而不是院校，每个学生的报法4种，根据分步计数原理，共有43种，不是34种
二是无重复排列的数字
例3、 用0、1、2 ······9可组成多少个无重复数字的六位
密码？
解析：无重复数字的可直接用排列数公式计算有A 610个。
而在实际当中六位密码可能无重复，也可能部分重复，也可能全重复，下面就应用以上两种例题做基础，分别分析一下六位密码有哪几种情况，各类密码都有多少个
一、 用一个数组成的六位密码的个数
显然，有10个。比如企业发放给工人的工资卡初始密码通常是六个“0”或者是六个“1”等等
二、 用二个数组成的六位密码的个数
这类密码是用两个数字重复使用的，所以不能用排列数公式计算，只能用：加法原理、乘法原理、组合数公式这三类办法来计算。
第一步：要从0、1、2······9这10个数字中选出2个数字，有C 210种选法
第二步：每2 个数字可组成多少个六位密码
根据两个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成三大类： 第一类1：5的有2C 16种
第二类2：4的有2C 26种
第三类3：3 的有C 36种
根据乘法原理六位密码的个数为：
C 210(2C16+2C26+C36)=62C210=2790
注意第二步是步中有类。在解决较复杂的排列组合问题时，往往利用转化思想把问题转化为若干个简单的基本问题后再用两个原理去解决；分类时要明确标准做到不重不漏，分步要注意各步之间的连续性。
三、 用三个数组成的六位密码的个数
第一步：从0、1、2······9这10个数字中选出3个数有C 310种选法
第二步：每3 个数字可组成多少个密码
根据3个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成三大类： 第一类1：1：4的有C 13A 26种。
第1步：从3 个数中选出1 个使用频率是4 次的，
第2步：将两个使用频率为1次的数字从6 个位置中选2个排上 第二类1：2：3的有A 33C 16C 25C 33种
第1步：确定三个数字的使用频率数有A 33种
第2步：从六个位子中选一个给使用频率为1 次的数字C 16有种 第3步：从剩下的5个位子中选2个给使用频率为2次的数字有C 25种
第4步：剩下的位子给使用频率为3次的数字有C 33种
第三类2：2：2的有C 26C 24C 22种
第1步：第一个数从六个位子中任选二个，有C 26种排法 第2步：第二个数从剩下的四个位子中任选二个有C 24种排法 第3步：第三个数排在剩下的两个位子上有C 22种排法（或者不写本步）
根据乘法原理，六位密码的个数为：
C 310（C 13A 26+A33C 16C 25+C26C 24C 22）=540C310=64800
注意该问题是步中有类，类中有步。
四、 四个数字组成的六位密码的个数
第一步：从0、1、2······9这10个数字中选出4个数的选法有C 410种
第二步：每4个数字可组成多少个六位密码
根据4个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成二大类： 第一类1：1：1：3的有C 14A 36种
第二类1：1：2：2的有C 24A 26C 24C 22种
第1步：要从四个元素中任选2个作频率为1的元素有C 24种选法 第2步：从六个位置中选出二个把频率为1的两个元素排上有A 26种选法
第3步：从剩下的四个空中选两个给频率为2的一个元素有C 24种选法
第4步：剩下的2个空位给另一个频率为2 的元素有C 22种选法（或者不写本步骤）
根据乘法原理，六位密码的个数为：
C 410(C14A 36+C24A 26C 24C 22)=1560C410=327600
五、 五个数组成的六位密码的个数
这种密码只有一个数字使用频率为2次，其余4个数字都是不重复的
第一步：从0、1、2······9这10个数字中选出5个数的选法有C 510种
第二步：从选出的五个数中任选一个做频率为2 的元素有C 15种选法 第三步：将其余四个数从六个位子中任选择四个把它们排序有A 46种排法，剩下的两个位子用第五个数填空
根据乘法原理，六位密码的个数为：
C 510C 15A 46=1800C510=453600
六、 六个数组成的六位密码的个数
即例2的结果：
C 610A 66=720C610=151200
总之，六个数的密码共有106个，且这一百万个密码共分两大类六种：
一是无重复数字的有151200种
二是有重复数字的一个数的有10种
二个数的有2790种
三个数的有64800种
四个数的有327600种
五个数的有453600种
六个数的有151200种
即106=10+2790+64800+327600+453600+151200
题外记：1、此式也可作为检验答案是否正确的尺度。
2、随意一个六位密码，
用五个数字的概率为45.36％；用四个数字的概率为32.76％；用六个数字的概率为15.12％；用三个数字的概率为6.48％；用二个数字的概率为0.279％；用一个数字的概率为0.001％ 生活应用：
1、我们的各种卡，都是六位密码，而密码所使用的数字键为4-6个的概率为93.24％，当今网上盗窃犯又屡见不鲜，你用过的数字健，他们用一种尘粉一吹，立刻显示出你的指纹，只有这四五个数字编制密码，试验一千多次就能试出密码，不妨把每个数字健都健按上你的手印，那样可编制的密码就到几十万个了。
2、我们在编制六位密码的时候，最好用五个或四个数字来编制
趣味计数原理
六位数密码的编排
邓树青
排列组合问题是生活实际中应用比较广泛的知识点，而在学生的学习中又是比较抽象、难以理解的问题。特别是分步与分类的区别与结合，排列与组合的区别与结合，尤其是四者混合使用时，一定要概念明确，思路清析，才能无重复，无遗漏地解决有关排列组合的问题。 为提高学生学习兴趣, 让学生感觉到数学方法就是生活中的问题, 就是
身边的问题
现以六位数密码的编排为例说明一下计数原理与排列、组合数的混合
使用。
课本上给我们的题目主要是以下两大类。
一是有重复排列的数字：
例1、 一个密码箱子由6位数字（允许重复）构成，问共能组
成多少个密码？
解析：1、有重复的数字就不能用排列、组合，只能用加法原理与乘法原理来解决。
此问题常用“主元素法”——把不能空的元素看作“主元素”，然后从“主元素”着手考虑，每位密码都有10种不同的选法，根据乘法原理
可重复的六位密码共有106个
类同的题目还有
例2、 有3名学生报考4所不同的高等院校，不同的报法有多
少种？
这里“主元素”是学生，而不是院校，每个学生的报法4种，根据分步计数原理，共有43种，不是34种
二是无重复排列的数字
例3、 用0、1、2 ······9可组成多少个无重复数字的六位
密码？
解析：无重复数字的可直接用排列数公式计算有A 610个。
而在实际当中六位密码可能无重复，也可能部分重复，也可能全重复，下面就应用以上两种例题做基础，分别分析一下六位密码有哪几种情况，各类密码都有多少个
一、 用一个数组成的六位密码的个数
显然，有10个。比如企业发放给工人的工资卡初始密码通常是六个“0”或者是六个“1”等等
二、 用二个数组成的六位密码的个数
这类密码是用两个数字重复使用的，所以不能用排列数公式计算，只能用：加法原理、乘法原理、组合数公式这三类办法来计算。
第一步：要从0、1、2······9这10个数字中选出2个数字，有C 210种选法
第二步：每2 个数字可组成多少个六位密码
根据两个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成三大类： 第一类1：5的有2C 16种
第二类2：4的有2C 26种
第三类3：3 的有C 36种
根据乘法原理六位密码的个数为：
C 210(2C16+2C26+C36)=62C210=2790
注意第二步是步中有类。在解决较复杂的排列组合问题时，往往利用转化思想把问题转化为若干个简单的基本问题后再用两个原理去解决；分类时要明确标准做到不重不漏，分步要注意各步之间的连续性。
三、 用三个数组成的六位密码的个数
第一步：从0、1、2······9这10个数字中选出3个数有C 310种选法
第二步：每3 个数字可组成多少个密码
根据3个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成三大类： 第一类1：1：4的有C 13A 26种。
第1步：从3 个数中选出1 个使用频率是4 次的，
第2步：将两个使用频率为1次的数字从6 个位置中选2个排上 第二类1：2：3的有A 33C 16C 25C 33种
第1步：确定三个数字的使用频率数有A 33种
第2步：从六个位子中选一个给使用频率为1 次的数字C 16有种 第3步：从剩下的5个位子中选2个给使用频率为2次的数字有C 25种
第4步：剩下的位子给使用频率为3次的数字有C 33种
第三类2：2：2的有C 26C 24C 22种
第1步：第一个数从六个位子中任选二个，有C 26种排法 第2步：第二个数从剩下的四个位子中任选二个有C 24种排法 第3步：第三个数排在剩下的两个位子上有C 22种排法（或者不写本步）
根据乘法原理，六位密码的个数为：
C 310（C 13A 26+A33C 16C 25+C26C 24C 22）=540C310=64800
注意该问题是步中有类，类中有步。
四、 四个数字组成的六位密码的个数
第一步：从0、1、2······9这10个数字中选出4个数的选法有C 410种
第二步：每4个数字可组成多少个六位密码
根据4个数字的使用频率不同，这个六位密码可分成二大类： 第一类1：1：1：3的有C 14A 36种
第二类1：1：2：2的有C 24A 26C 24C 22种
第1步：要从四个元素中任选2个作频率为1的元素有C 24种选法 第2步：从六个位置中选出二个把频率为1的两个元素排上有A 26种选法
第3步：从剩下的四个空中选两个给频率为2的一个元素有C 24种选法
第4步：剩下的2个空位给另一个频率为2 的元素有C 22种选法（或者不写本步骤）
根据乘法原理，六位密码的个数为：
C 410(C14A 36+C24A 26C 24C 22)=1560C410=327600
五、 五个数组成的六位密码的个数
这种密码只有一个数字使用频率为2次，其余4个数字都是不重复的
第一步：从0、1、2······9这10个数字中选出5个数的选法有C 510种
第二步：从选出的五个数中任选一个做频率为2 的元素有C 15种选法 第三步：将其余四个数从六个位子中任选择四个把它们排序有A 46种排法，剩下的两个位子用第五个数填空
根据乘法原理，六位密码的个数为：
C 510C 15A 46=1800C510=453600
六、 六个数组成的六位密码的个数
即例2的结果：
C 610A 66=720C610=151200
总之，六个数的密码共有106个，且这一百万个密码共分两大类六种：
一是无重复数字的有151200种
二是有重复数字的一个数的有10种
二个数的有2790种
三个数的有64800种
四个数的有327600种
五个数的有453600种
六个数的有151200种
即106=10+2790+64800+327600+453600+151200
题外记：1、此式也可作为检验答案是否正确的尺度。
2、随意一个六位密码，
用五个数字的概率为45.36％；用四个数字的概率为32.76％；用六个数字的概率为15.12％；用三个数字的概率为6.48％；用二个数字的概率为0.279％；用一个数字的概率为0.001％ 生活应用：
1、我们的各种卡，都是六位密码，而密码所使用的数字键为4-6个的概率为93.24％，当今网上盗窃犯又屡见不鲜，你用过的数字健，他们用一种尘粉一吹，立刻显示出你的指纹，只有这四五个数字编制密码，试验一千多次就能试出密码，不妨把每个数字健都健按上你的手印，那样可编制的密码就到几十万个了。
2、我们在编制六位密码的时候，最好用五个或四个数字来编制