２００９年９月
农业机械学报
第４０卷第９期
机床传动丝杠的动力分析＊
张会端１
谭庆昌１
李庆华２
（１．吉林大学机械科学与工程学院，长春１３００２５；２．长春大学机械工程学院，长春１３００２５）
【摘要】把机床传动丝杠简化为承受预拉伸力和移动力作用的旋转Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁，综合考虑了陀螺效应、预
拉伸力和移动力对丝杠振动的影响，以及丝杠两端轴承的支承作用。建立了弹性支承条件下丝杠的频率方程，利用拉格朗日方程建立了丝杠的动力学模型。利用振型叠加原理和隆格一库塔法求解，分析了系统参数对丝杠涡动转速和横向振动的影响。
关键词：动力学传动丝杠
涡动转速
横向振动
文献标识码：Ａ
中图分类号：ＴＨｌｌ３．１；ＴＧ５０２．３１
ＤｙｎａｍｉｃＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＭａｃｈｉｎｅＤｒｉｖｅＳｃｒｅｗ
ＺｈａｎｇＨｕｉｄｕａｎｌ
ＴａｎＱｉｎｇｃｈａｎ９１
ＬｉＱｉｎｇｈｕａ２
（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００２５，Ｃｈｉｎａ
２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｃｈｉｎｅｒｙ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００２５。Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｔｈｅｄｒｉｖｅｓｃｒｅｗｗａｓｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ
ａｓａ
ｒｏｔａｔｉｎｇ
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏｂｅａｍｂｅａｒｉｎｇｔｈｅｐｒｅ—ｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅａｎｄ
ｍｏｖｉｎｇｆｏｒｃｅｓ，ａｎｄｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｃｒｅｗｗｉｔｈｔｈｅｅｌａｓｔｉｃｅｎｄｓｕｐｐｏｒｔｓｗａｓｄｅｒｉｖｅｄｕｎｄｅｒｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｇｙｒｏｓｃｏｐｅ，ｔｈｅｐｒｅ—ｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅ，ｔｈｅｍｏｖｉｎｇｆｏｒｃｅｓａｎｄｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ
ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ．Ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｄｒｉｖｅｓｃｒｅｗ
ｏｎ
ｔｈｅｓｃｒｅｗｖｉｂｒａｔｉｏｎ，
ｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｕｓｉｎｇＬａｇｒａｎｇｅ
ｔＯ
ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｗａｓａｎａｌｙｚｅｄａｄｏｐｔｉｎｇｔｈｅｍｏｄｅｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄＲｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａｍｅｔｈｏｄｔｒａｎｓｉｅｎｔｒｅｓｐｏｎｓｅ．Ｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ，ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｐａｒａｍｅｔｅｒｓｖｉｂｒａｔｉｏｎｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
ｔＯ
ｏｎ
ｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅ
ｌａｔｅｒａｌ
ｔｈｅｗｈｉｒｌ
ｓｐｅｅｄａｎｄ
ｓｕｐｐｌｙ
ａ
ｂａｓｅｆｏｒｄｅｓｉｇｎｉｎｇｔｈｅｄｒｉｖｅｓｙｓｔｅｍ．
Ｄｙｎａｍｉｃ，Ｄｒｉｖｅｓｃｒｅｗ，Ｗｈｉｒｌｓｐｅｅｄ，Ｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
引言
滚珠丝杠传动系统在现代机床中得到了广泛应用，随着机床加工速度和加工精度的提高，滚珠丝杠传动系统的动态性能变得越来越重要。
机床工作时，刀具的切削力可分解为３个分力：垂直于导轨底面的主切削力Ｆ，，与吃刀方向一致的背向力Ｆ，，沿进给方向的进给力凡。主切削力与背向力由机床导轨的底面及侧面支承。工作台移动时产生的摩擦力Ｆ，和进给力Ｒ构成了通过工作台作用在丝杠上的轴向力Ｆ。。主切削力与背向力虽然由机床导轨的底面及侧面支承，但由于螺母在滚珠丝杠上足预紧的，工作台移动时轨道的不平度会
收稿日期：２００８—０８—２６修回日期：２００８—１０—０８＊吉林省自然科学基金资助项目（２００５０５２５）
导致丝杠承受径向力。为提高丝杠的横向刚度，常对丝杠进行预拉伸，所以传动丝杠可简化为承受预拉伸力和移动力作用的旋转梁来进行研究。
文献［１］研究了瑞利梁的涡动频率与临界转速，没有考虑梁的剪切效应；文献［２］研究了Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁的固有频率随轴向力与切向力的变化，文献［３］研究了受轴向力作用的Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁的振动模态，但文献［２～３］研究的是不旋转Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁，所以没有考虑陀螺效应对频率和振动模态的影响；文献［４］研究了承受单方向移动力旋转梁的固有频率，没有考虑轴向力的影响；文献［５～７］研究了受单方向移动力的旋转梁的动态响应，文献［８］研究了承受３个方向移动力的旋转梁的动态
作者简介：张会端，博士生，主要从事机械振动和控制方面的研究，Ｅ．ｍａｉｌ：ｚｈｒ＠ｊｌｕ．ｅｄｕ．ＣＦＩ
第９期张会端等：机床传动丝杠的动力分析
和２方向上的径向刚度；ｋ∞表示轴承绕ｙ和ｚ轴的印表示轴承绕了和ｚ轴的转动阻尼。
睫‘ｔ））乏ＷＩ硼（ｚ，）＝６（ｚ，）＋硼；（，）
Ｚｔ０麓Ｘ’ｔ，㈩
…
憾童摹㈤
Ｔ＝虿１“Ｐ出掣）２＋（萼等）２］埘
ｊ。Ｌ
ＰＡ［（鼍户）２＋（鼍产）２］埘
掣（ｚ，ｔ）］ｄｚ＋吉ｎ２』：Ⅳｄｚ（３）
虿１
Ｊ。Ｌ∥ｏ［（一旦殳工孑｝』上）妒（ｚ，ｚ）＋
Ｕ２Ｕ，＋Ｕ６
（４）
其中，丝杠的变形势能Ｕｓ包括弯曲变形势能、剪切变形势能、预拉伸力和移动轴向力产生的势能，记为
ｕ刊１。Ｌ
Ｅ１［（掣）２＋（毪≯）２］¨
扣川鼍≯）２＋（２鼍掣）２ｄｚ＋
“铋［（萼掣）２＋（掣掣）２］埘号Ｆ删鼍≯）２＋（鼍≯）２ｄ祁，
两端轴承的弹簧势能Ｕ６表示为
．
Ｕ６＝ｌｋ』ｔ，（ｏ，ｆ）］２＋丁１惫。［口（Ｌ，￡）］２＋ｌｋ。［训（ｏ，￡）］２＋ｉ１走。［硼（Ｌ，￡）］２＋
寺愚妒［口（ｏ，￡）］２＋寺惫妒［口（Ｌ，￡）］２＋吉惫≯［妒（ｏ，￡）］２＋吉志ｐ［驴（Ｌ，￡）］２
（６）
系统的耗能为轴承的阻尼耗能，表示为
Ｄ＝ｊ｝ｃ。［亟三Ｌ泸］２＋号ｃ。［掣］２＋号ｃ。［掣］２＋ｊ｝ｃ。［掣］２＋吉ｆ，［堕掣］２＋丢ｃ妒［掣］２＋号ｃ，［亟ｓ巨ｊ；；。兰上］２＋丢ｃ，［掣］２
ｃ７，
外力所做虚功为
ＢＷ＝Ｆ。６口（ｓ，ｔ）＋Ｆ。８硼（ｓ，ｔ）
（８）
式中
Ｌ——丝杠苌度
ｄ——丝杠直径
』Ｄ——丝杠材料的密度
Ａ——丝杠的截面积，Ａ＝竿
卜——丝杠截面的中性轴惯性矩，．ｒ＝普
ｎ４
，——丝杠截面的极惯性矩，，＝！磬
Ｅ——丝杠材料的弹性模量
Ｇ——丝杠材料的剪切模量
是——剪切系数＾——丝杠导程
ｓ——移动力到原点的距离，ｓ＝；ｔＯｔ
Ａ——工作台沿丝杠移动速度系数，Ａ＝磊ｈ
根据文献［９］，连续系统具有同步运动的特征。设口（ｚ，ｔ）＝Ｖ（ｘ）ｇ。（ｔ），∞（ｚ，ｔ）＝ｖ（ｘ）ｑ。（ｔ），Ｏ（ｘ，ｔ）＝１吵（ｚ）ｑ口（ｔ），驴（ｚ，ｔ）＝，吵（Ｘ）ｑ止（ｔ），将以上各式代入式（３）、（５）、（６），（７）、（８）后，再代入拉格朗日方程．得系统的运动方程．表示为
２２２农业机械学报
２００９正
蜥＋西＋Ｋｑ＝Ｆ
（９）式中，ｑ＝（口。ｑ。ｑ０
ｑ口）Ｔ，ｊ、面分别代表速度和
加速度，Ｍ、ｃ、Ｋ分别代表系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，Ｆ为系统的力向量。
２
丝杠横向振动的频率方程与振型函数
Ｍ（ｚ，ｆ）：Ｅ１当掣。剪力表示为Ｑ（ｚ，￡）：
根据Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁理论，梁所受的弯矩表示为
ＧＡｋ（妒（ｚ，￡）一丑铲）。考虑陀螺力矩与预拉
伸力的作用，由文献［２，７］，梁在Ｙ方向自由运动的方程式为
弘等＋铋［鼍≯一掣］－一［掣吃力掣］一日掣＋
Ｆ掣＝ｏ
蚴［ｍ㈠一鼍掣］－０
（１０）
假设振型为可（ｚ，ｔ）＝Ｖｏｅ”ｅｍ、妒（ｚ，ｔ）＝尘ｏｅ”・ｅｍ，代入式（１０），整理得
ｆ－（一Ｆ—ＧＡｋ）ｍ２一ｐＡｃｃ’２
ＧＡｋｍ
］
Ｌ
ＧＡｋｍ
优２Ｅｌ—ＧＡｋ＋硝（￡１２—２ｐｌＤⅫＪ
ｒ训ＧＡｋｍｍ２讪２优２．日一ＧＡ置ｋ：讪卜
优Ｅ，一
十４ｂ２—２加ｌ（１２）
解得其中
口：—止≤堕盘
ｍ＝±口或ｍ＝±ｉｐ
卢＝业挚
口ｏ＝（ＧＡｋ＋Ｆ）ＥＩ
ｂｏ＝ＥＩｐＡ００２＋（Ｆ＋ＧＡｋ）・（一ＧＡｋ＋ｐｌ００２—２ｐｌｆ２∞）＋（ＧＡｋ）２
ｃｏ＝ＰＡ∞２（ｐＪｃ￡＇２一ＧＡｋ一２ｐ１１２（｜ｏ）则振型函数可表示为
ｆＶ（ｚ）＝Ｃ１ｓｉｎ（触）＋Ｃ２ＣＯＳ（触）＋
Ｃ１ｓｉｎｈ（口ｚ）＋Ｃｄｃｏｓｈ（口ｚ）
１９（工）：Ｆｌｃ。ｓ（触）一够２ｓｉｎ（肛）＋‘”’
【艿ｃ３ｃｏｓｈ（ａｘ）＋艿ｃ４ｓ・Ｉｎｈ（盯）如果口为虚数。则用正弦和余弦函数分别代替双曲正弦和双曲余弦。将振型函数代入式（１０），可得
ＧＡｋｆｌ２＋Ｆｐ２一ＰＡ叫２
７
＝
占
＝
１日掣吲（０’ｃ）
弹性支承条件下丝杠横向振动的边界条件为
辜
ＩＭＧ…∽一掣）－一拟叭）一Ｆ掣
ｌ口等｝一舭∽
【ＭＧ（舡∽一唑字）＝州“）一Ｆ吗字
（１４）
把ｖ（ｘ，ｔ）＝ｖ（ｘ）ｑ。（ｔ）、驴（ｚ，ｔ）＝，吵（ｚ）ｑ∞（ｔ）代入式（１４），整理为
ＡＣ＝０
（１５）
其中Ｃ＝［ＣｌＣ２Ｃ３
Ｃ４］ｒｏ式（１５）有非零解的充要
条件为
Ａ
１＝０（１６）
式（１６）即为丝杠的振动频率方程。
将所求频率代入式（１５），令Ｃｌ＝１，求得向量Ｃ，可得梁弯曲振动的振型函数。
为使振型唯一，把振型正则化，令
；（；Ｊｏ
ｐＡＶ２（ｚ）ｄｘ
２
１
ｚ；Ｊ：ｐｌｇｔ２（ｚ）ｄｚ
２
１
得
Ｘ２。＝万—ｊ—
ｊ。ＰＡＶ２（ｚ）ｄｘ
ｚ；：石—』—一
Ｊ。∥缈２（ｚ）ｄｚ
则振型函数表示为
ｆＶ（工）＝】（。［Ｃ１ｓｉｎ（ｆｉｘ）＋Ｃ２ｃｏｓ（触）＋
｛尘答篓ｉ≥ｃａｏｓ。（岩篡２ｓｉｎ（／Ｌｒ）＋（忉Ｉ，吵（ｚ）＝ｚ≯［１７ＣＩ
…’
触）一杉
）＋
【占ｃ３ｃ。ｓｈ（口ｚ）＋犯４ｓｉｎｈ（口ｚ）］
３计算与分析
３．１
丝杠的涡动转速与临界转速
由文献［１０］，主轴系统主要作同步正向涡动，所
以分析丝杠的正向涡动转速与临界转速。取Ｌ＝
１０００ｍｍ，ｄ＝２０
ｍｍ，Ｆ＝０，ｋ。＝０，ｎ＝０，根据
第９期
张会端等：机床传动丝杠的动力分析
式（１６）计算丝杠的振动频率随轴承径向刚度ｋ。的变化。图２为丝杠前两阶振动频率，可以看出，当轴承径向刚度正。一ｏｏ时，前两阶振动频率趋近于梁在简支条件下的固有频率，说明本文的频率方程是正确的。
取Ｌ＝１
０００ｍｍ，ｋ。＝２００Ｎ／／Ⅱｍ，是。＝２００×
１０６
Ｎ／ｒａｄ，根据式（１６），计算丝杠的涡动转速随预
拉伸力Ｆ、丝杠的转动速度ｎ和丝杠直径ｄ的变化情况，如图３～５所示。可以看出，由于预拉伸使得丝杠的横向刚度增大，涡动转速随预拉伸力的增大而增大；转速ｎ增大，陀螺效应增大。涡动转速随之增大；丝杠的直径增大，转动惯量增大，涡动转速增大。
ｔ。／Ｎ・ｐ．ｍ一
（ｂ）
图２丝杠振动频率随轴承径向支承刚度ｋ。的变化
Ｆｉｇ．２
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｖｉｂｒａｔｉｏｎｆｒｅｑｕｅｎｃｙ鸽ａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ’Ｓｒａｄｉａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓｋｖ
（ａ）第１阶振动频率（ｂ）第２阶振动频率
Ｆ／ＮＦ／Ｎ
（ａ）（ｂ）
图３丝杠涡动转速随预拉伸力Ｆ的变化（ｎ＝４
Ｆｉｇ．３
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｗｈｉｒｌｓｐｅｅｄ
ａｓａ
０００
ｒ／ｍｉｎ，ｄ＝２０ｍｍ）
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｅ－ｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅＦ
（ａ）第１阶涡动转速（ｂ）第２阶涡动转速
ｎ／ｒ．ｍｉｎ～
（ａ）
．ｑ／ｒ．ｍｉｎ一’
（ｂ）
Ｎ，ｄ＝２０ｍｍ）
图４丝杠涡动转速随转速力的变化（Ｆ＝２０００
Ｆｉｇ．４
Ｓｃｒｅｗ’ｓｗｈｉｒｌ
ｓｐｅｅｄ鸹ａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｐｉｎｎｉｎｇｓｐｅｅｄｎ
（ａ）第１阶涡动转速（ｂ）第２阶涡动转速
在图５中，丝杠的工作转速０＝４
０００
ｒ／ｒａｉｎ，可承刚度对临界直径ｄ，值影响不大；工作转速越高，轴承径向支承刚度对ｄ。值的影响越大。由图８可以看出，丝杠转速较低时，轴承转动刚度对ｄ，值几乎没有影响。
图９表示的是丝杠前几阶涡动转速随直径和转速的变化曲线。由图可以看出，当丝杠的工作转速达到６×１０４ｒ／ｍｉｎ时，不同直径的丝杠。其共振转速不同，经历的共振阶数也不尽相同。直径较小时，共振阶数多（图９ａ），但当丝杠直径增大，达到同样的转速时，经历的共振阶数减少（图９ｄ）。
以看出，当ｄ＜ｄ，时，丝杠在启动的过程中将会发生第一阶共振；当ｄ＞ｄ，，丝杠在启动过程中不会发生共振；当ｄ＝ｄ，时，丝杠的工作转速正好为共振转速，丝杠将不能正常工作。由此说明，对于低速运转的丝杠。合理设计丝杠参数，可以避免共振。
图６～８为丝杠第一阶涡动转速在不同的条件下随直径的变化。由图６可以看出，预拉伸力会改变丝杠的临界直径ｄ，值，预拉伸力越大，ｄ，值越小。由图７可以看出，在转速比较低时，轴承径向支
农业机械学报
２００９龟
２．０×１０４
３．０ｘ１０４２．５Ｘ１０４Ｏ×
Ｏ４Ｏ４Ｏ
４
ＴＩ．ＳＸｌ０４
Ｅ
二１．０ｘ１０４
暑昌，‘
Ｉ５×
０．５×１０
４
ｌａ×
Ｏ
Ｏ．５Ｘ１０４
图５丝杠涡动转速随直径ｄ的变化（力＝４
Ｆｉｇ．５
０００ｒ／ｍｉｎ，Ｆ＝２０００Ｎ）
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｗｈｉｒｌｓｐｅｅｄ鹊ａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉａｍｅｔｅｒｄ
（ａ）第１阶涡动转速（ｂ）第２阶涡动转速
Ｉ＿暑Ｅ：、ｆ
．暑Ｓ．、ｄ／ｍｍ
图６预拉伸力Ｆ对临界直径ｄ，的影响
Ｆｉｇ．６
Ｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｐｒｅｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅ
ｔｏ
图８轴承转动刚度对临界直径ｄ，的影响
Ｆｉｇ．８
Ｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ’Ｓｒｏｔａｔｉｏｎａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
ｔｏ
ｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｄｉａｍｅｔｅｒｄｃ
ｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｄｉａｍｅｔｅｒｄｅ
３．２丝杠的振动分析
在系统运动方程式（９）中，若不考虑轴承的支承作用，则式（９）简化为文献［８］中的系统运动方程。若
Ｉ．ＩＩ！昌二、ｆ
代入式（９）的频率不考虑陀螺效应和预拉伸力的影响，采用两端简支的边界条件，则丝杠的动态响应简化为文献［８］中梁的响应，由此说明本文运动方程式（９）的正确性。
ｔｏ
图７轴承径向刚度对临界直径ｄ，的影响
Ｆｉｇ．７
Ｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｂｅａｔｉｎｇ’Ｓｒａｄｉａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
ｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｄｉａｍｅｔｅｒｄｆ
８Ｘ１０●
将式（１７）及相应的频率代入式（９），利用振型叠加原理和隆格一库塔法求解方程，计算丝杠的横向振
８×
０
４
第５阶
●
一６Ｘ１０４
一一“２ｎ
／
／
／
６×０
４
一一ｎ＝ｎ／／
４
ｉ
４Ｘ１０４
／
ｌ－二、ｔ
４×Ｏ
／
≈２×１０４
／
／
２×１０４
４×１０４
６×１０●
２×０
／
／
／
／
／
／
１０４
０
Ｏ
ｎ，ｒ・ｍｉｎ
（ａ）
８Ｘ１０●
ｎ／ｒ．ｍｉｎ—ｏ
（ｂ）
第４阶
１０Ｘ１０４８×１０４
下６×１０４
一一＾＝ｎ
／
，
１
／
／一一月＝ｎ
／
／
／
４ｘ１０４
／
‘ｌ
６×１０４
毒４×１０４
２×１０４
２×１０４
／
／
，
．
／
４×１０４（ｃｌ
６×１０４
０
／
／
／
／
０
２ｘ１０４２ｘ１０４４Ｘ１０４６Ｘ１０●
ｎ／ｒ．ｍｉｎ
ｎ／ｒ－ｍｉｎ—ｏ
（ｄ）
图９丝杠涡动转速随直径ｄ和转速ｎ的变化
Ｆｉｇ．９
Ｓｃｒｅｗ’ｓｗｈｉｒｌｓｐｅｅｄ
ａｓａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉａｍｅｔｅｒｄａｎｄｓｐｉｎｎｉｎｇｓｐｅｅｄｎ
（ａ）ｄ＝１０ｍｍ（ｂ）ｄ＝２０ｍｍ（ｃ）ｄ＝４０ｍｍ（ｄ）ｄ＝８０ｍｍ
第９期张会端等：机床传动丝杠的动力分析
动位移。取Ｌ＝１
１０００
ｎｑ，Ｅ＝２．０７×１０５
ＭＰａ，Ｇ＝８．３×
系统的轨道不平度，可有效降低丝杠的横向振幅。
图１１为改变轴向力Ｆ。时丝杠的横向振动变化曲线。当轴向力与其移动方向相反时可降低丝杠的振幅。图１２为改变丝杠导程时丝杠的振动曲线，随导程的增大，丝杠的振幅增大。图１３和图１４为改变轴承的支承刚度时丝杠的振动曲线，较大的轴承支承刚度可降低丝杠的振幅。
比较图１０～１４，可见系统参数对直径偏小的丝杠影响较大。对于直径较小的丝杠，适当增大预拉
１０４ＭＰａ，惫＝Ｏ．９。』Ｄ＝７．８５×１０３ｋｇ・ｍ一３，力＝
ｒ／ｒａｉｎ，ｈ＝２０ｍｉｔｔ，ｋ。＝２００Ｎ／ｐｍ，ｋ∞＝２００×
１００Ｎ／ｔａｄ．Ｆ。＝０，Ｆ＝２０００Ｎ，Ｒ＝５０ｓｉｎ（，ｒｘ）Ｎ，
民＝２００ｓｉｎ（７ｃｚ）Ｎ。
图１０为预拉伸力Ｆ不同时丝杠的横向振动曲线。由图可见，预拉伸力Ｆ增大，丝杠横向振幅减小；丝杠２方向受力Ｆ。为Ｙ方向受力Ｒ的４倍，ｚ方向的振幅也大约为Ｙ方向的４倍，说明降低传动
ｌ
夸
曼
≯
ｌ
夸
３
圭
（ａ）
４ＸＩＯ一，３×１０—５Ｅ
１５×１０一ｓ
里２ＸＩＯ。
３
叠
ｇ甚
１０×１０—５
夸５×１０—５
Ｈ主
ＩＸｌＯ。５
Ｏ
０
—ＩＸｌＯ。５
～５Ｘ１０－５
（”
图１０丝杠的横向振动随预拉伸力Ｆ的变化
Ｆｉｇ．ｉ０
Ｓｃｒｅｗ’ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ａｆｔ．ａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｅ－ｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅＦ
（ａ）ｄ＝１５ｍｒｓ（ｂ）ｄ＝３０咖
～．ｏＺ／Ｌ
（ａ）
图１１
Ｆｉｇ．１１
丝杠的横向振动随轴向力Ｆ。的变化
ａｓ
ａ
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｏｖｉｎｇａｘｉａｌｆｏｒｃｅＦｕ
（ａ）ｄ＝１５ｍｍ（ｂ）ｄ＝３０ｉｒｔｌｎ
量
蚕
≯
图１２丝杠的横向振动随导程ｈ的变化
Ｆｉｇ．１２
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ａｓ
ａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｉｔｃｈｈ
（ａ）ｄ＝１５Ｉｎｍ（ｂ）ｄ＝３０ｍｍ
２２６
农业机械学报
２００９定
６×ｌ
。２００Ｎ／／．Ｌｒｎ
４×ｌ
２２００Ｎ／ｐ．ｍ
＝５００Ｎ／／．ｔｍ＝１０００Ｎ／／【ｔｍ
＝５００Ｎ／／．ｔｍ
墨：×，
苦
一２×ｌ
０
ｏ．５Ｘ／Ｌ
ｌ
专
苎
ｉａ
＝１０００Ｎｉｌ．ｔｉｎ
（ａ）
图１３丝杠的横向振动随轴承径向支承刚度女。的变化
Ｆｉｇ．１３
Ｓｃｒｅｗ’ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ鹊ａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ’Ｓｒａｄｉａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓ女。
（ａ）ｄ＝１５ｍｌｎ（ｂ）ｄ：３０ｍｍ
６ｘＩ
４×ｌ
夸２ｘｌ
３
》
ｌ
一２×１
三一溉税
工ｌＬ
０６Ｎ／ｒＭ
０６Ｎ／ｒａｄ
量
置
备
１０６Ｎ／ｒａｄ
ａ：／Ｌ
（ａ）（ｂ）
图１４丝杠的横向振动随轴承转动刚度＾。的变化
Ｆｉｇ．１４
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ａｓａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ’ｓｒｏｔａｔｉｏｎａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓ志ｄ
（ａ）ｄ＝１５ｍｍ（ｂ）ｄ＝３０ｎ“
伸力或轴承的支承刚度，减小丝杠导程，更能有效地降低丝杠的横向振幅。
ｑ
。
叠加原理和隆格库塔法求解，分析了系统参数对丝杠涡动转速和横向振动的影响。
（２）丝杠的涡动转速随预拉伸力、旋转角速度和直径的增大而增大，可通过调整丝杠参数避免丝杠在启动过程中发生共振或者调整共振转速。
（３）对于直径较小的丝杠，适当增大预拉伸力和轴承的支承刚度，减小丝杠导程，可有效减小丝杠的横向振幅。
硅论缅比
（１）综合考虑了陀螺效应、预拉伸力和移动力对
丝杠振动的影响，以及丝杠两端轴承的支承作用，建立了弹性支承条件下丝杠的频率方程。并利用拉格朗日方程建立了传动丝杠的动力学方程，利用振型
参考文献
１
ＳｈｅｕＧ
Ｊ．ＹａｎｇＳＭ．Ｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆ
ａ
ｓｐｉｎｎｉｎｇＲａｙｌｅｉｇｈ
ｂｅａｍ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌ
ｄ
ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ。
２００５．４７（２）：１５７～１６９．
２
ＥｓｍａｉｌｚａｄｅｎＥ。ＯｈａｄｔＡＲ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｎｏｎ．ｕｎｉｆｏＦｉｎＴｉｍｏｓｈｅｎｋｏｔａｎｇｅｎｔｉａｌ３
ｂｅａｍｓｕｎｄｅｒａｘｉａｌａｎｄｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ
ｌｏａｄｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆＳｏｕｎｄａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．２０００。２３６（３）：４４３～４５６．
ｗｅａｋｅｎｅｄ
Ａｒｂｏｌｅｄａ—ＭｏｎｓａｌｖｅＬＧ。Ｚａｐａｔａ—ＭｅｄｉｎａＤＧ。Ａｒｉｓｔｉｚａｂａｌ—ＯｃｈｏａＪＤ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆ
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ
ｂｅａｎ．ｃｏｌｕｍｎｗｉｔｈｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｅｎｄｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒ
ｃｏｎｓｔａｎｔａｘｉａｌ
ｌｏａｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
Ｏｆ
ＳｏｕｎｄＳｏｕｎｄ
ａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，
２００７．３０７（１～２）：８９～１１２．
４
ＣｈａｎｇＣＣ，ＬｉｎＪＫ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ２００３．２６１（５）：９５５—９６５．
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇｓｈａｆｔｓｕｂｊｅｃｔｅｄ
ｔＯａ
ｈｉｇｈ－ｓｐｅｅｄｍｏｖｉｎｇ
ｆｏｒｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ．
５ＺｉｂｄｅｈＨ
Ｓ．ＪｕｒｅａＨＳ．Ｄｙｎａｍｉｃ
ｒｅｓｐｏｎｓｅ
ｏｆ
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇｂｅａｍｓｕｂｊｅｃｔｅｄ
ｔｏａ
ｒａｎｄｏｍｍｏｖｉｎｇ
ｌｏａｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
・
ｏｆＳｏｕｎｄａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９９。２２３（５）：７４１～７５８．
６
ＫａｔｚＲ．Ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆ
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇｓｈａｆｔｓｕｂｊｅｃｔ
ｔｏａｎ
ａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇａｎｄｒｏｔａｔｉｎｇ
Ｉｏａｄ［Ｊ】．ＪｏｕｒｎａｌＩｏａｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
Ｓｏｕｎｄ
ａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００１。２４６（５）：７５７～７７５．
７
ＬｅｅＨＰ．Ｄｙｎａｍｉｃｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆ
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇＴｉｍｏｓｈｅｎｋｏｓｈａｆｔｓｕｂｊｅｃｔ
ｔｏ
ａｘｉａｌｆｏｒｃｅａｎｄｍｏｖｉｎｇ
ｏｆＳｏｕｎｄａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．１９９５．１８１（１）：１６９～１７７．
８
Ｏｕｙａｎｇ
Ｈｕａｊｉａｎｇ．ＷａｎｇＭｉｎｊｉｅ．Ａｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｆｏｒ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００７。３０８（３～５）：６７４～６８２．
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇ
ｂｅａｍ
ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ
ｔＯ
ａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇ
ｆｏｒｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
Ｓｏｕｎｄａｎｄ
９张义民．机械振动力学［Ｍ］．长春：吉林科学技术出版社．２０００：１５７－－２０８．１０钟一锷，何衍宗．王正．等．转子动力学［Ｍ】．北京：清华大学出版社，１９９０．
２００９年９月
农业机械学报
第４０卷第９期
机床传动丝杠的动力分析＊
张会端１
谭庆昌１
李庆华２
（１．吉林大学机械科学与工程学院，长春１３００２５；２．长春大学机械工程学院，长春１３００２５）
【摘要】把机床传动丝杠简化为承受预拉伸力和移动力作用的旋转Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁，综合考虑了陀螺效应、预
拉伸力和移动力对丝杠振动的影响，以及丝杠两端轴承的支承作用。建立了弹性支承条件下丝杠的频率方程，利用拉格朗日方程建立了丝杠的动力学模型。利用振型叠加原理和隆格一库塔法求解，分析了系统参数对丝杠涡动转速和横向振动的影响。
关键词：动力学传动丝杠
涡动转速
横向振动
文献标识码：Ａ
中图分类号：ＴＨｌｌ３．１；ＴＧ５０２．３１
ＤｙｎａｍｉｃＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＭａｃｈｉｎｅＤｒｉｖｅＳｃｒｅｗ
ＺｈａｎｇＨｕｉｄｕａｎｌ
ＴａｎＱｉｎｇｃｈａｎ９１
ＬｉＱｉｎｇｈｕａ２
（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００２５，Ｃｈｉｎａ
２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｃｈｉｎｅｒｙ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ。Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ
Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００２５。Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｔｈｅｄｒｉｖｅｓｃｒｅｗｗａｓｓｉｍｐｌｉｆｉｅｄ
ａｓａ
ｒｏｔａｔｉｎｇ
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏｂｅａｍｂｅａｒｉｎｇｔｈｅｐｒｅ—ｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅａｎｄ
ｍｏｖｉｎｇｆｏｒｃｅｓ，ａｎｄｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｃｒｅｗｗｉｔｈｔｈｅｅｌａｓｔｉｃｅｎｄｓｕｐｐｏｒｔｓｗａｓｄｅｒｉｖｅｄｕｎｄｅｒｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｇｙｒｏｓｃｏｐｅ，ｔｈｅｐｒｅ—ｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅ，ｔｈｅｍｏｖｉｎｇｆｏｒｃｅｓａｎｄｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ
ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ．Ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｄｒｉｖｅｓｃｒｅｗ
ｏｎ
ｔｈｅｓｃｒｅｗｖｉｂｒａｔｉｏｎ，
ｗａｓｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｕｓｉｎｇＬａｇｒａｎｇｅ
ｔＯ
ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｗａｓａｎａｌｙｚｅｄａｄｏｐｔｉｎｇｔｈｅｍｏｄｅｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎａｎｄＲｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａｍｅｔｈｏｄｔｒａｎｓｉｅｎｔｒｅｓｐｏｎｓｅ．Ｅｖｅｎｔｕａｌｌｙ，ｔｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｐａｒａｍｅｔｅｒｓｖｉｂｒａｔｉｏｎｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
ｔＯ
ｏｎ
ｃａｌｃｕｌａｔｅｔｈｅ
ｌａｔｅｒａｌ
ｔｈｅｗｈｉｒｌ
ｓｐｅｅｄａｎｄ
ｓｕｐｐｌｙ
ａ
ｂａｓｅｆｏｒｄｅｓｉｇｎｉｎｇｔｈｅｄｒｉｖｅｓｙｓｔｅｍ．
Ｄｙｎａｍｉｃ，Ｄｒｉｖｅｓｃｒｅｗ，Ｗｈｉｒｌｓｐｅｅｄ，Ｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
引言
滚珠丝杠传动系统在现代机床中得到了广泛应用，随着机床加工速度和加工精度的提高，滚珠丝杠传动系统的动态性能变得越来越重要。
机床工作时，刀具的切削力可分解为３个分力：垂直于导轨底面的主切削力Ｆ，，与吃刀方向一致的背向力Ｆ，，沿进给方向的进给力凡。主切削力与背向力由机床导轨的底面及侧面支承。工作台移动时产生的摩擦力Ｆ，和进给力Ｒ构成了通过工作台作用在丝杠上的轴向力Ｆ。。主切削力与背向力虽然由机床导轨的底面及侧面支承，但由于螺母在滚珠丝杠上足预紧的，工作台移动时轨道的不平度会
收稿日期：２００８—０８—２６修回日期：２００８—１０—０８＊吉林省自然科学基金资助项目（２００５０５２５）
导致丝杠承受径向力。为提高丝杠的横向刚度，常对丝杠进行预拉伸，所以传动丝杠可简化为承受预拉伸力和移动力作用的旋转梁来进行研究。
文献［１］研究了瑞利梁的涡动频率与临界转速，没有考虑梁的剪切效应；文献［２］研究了Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁的固有频率随轴向力与切向力的变化，文献［３］研究了受轴向力作用的Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁的振动模态，但文献［２～３］研究的是不旋转Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁，所以没有考虑陀螺效应对频率和振动模态的影响；文献［４］研究了承受单方向移动力旋转梁的固有频率，没有考虑轴向力的影响；文献［５～７］研究了受单方向移动力的旋转梁的动态响应，文献［８］研究了承受３个方向移动力的旋转梁的动态
作者简介：张会端，博士生，主要从事机械振动和控制方面的研究，Ｅ．ｍａｉｌ：ｚｈｒ＠ｊｌｕ．ｅｄｕ．ＣＦＩ
第９期张会端等：机床传动丝杠的动力分析
和２方向上的径向刚度；ｋ∞表示轴承绕ｙ和ｚ轴的印表示轴承绕了和ｚ轴的转动阻尼。
睫‘ｔ））乏ＷＩ硼（ｚ，）＝６（ｚ，）＋硼；（，）
Ｚｔ０麓Ｘ’ｔ，㈩
…
憾童摹㈤
Ｔ＝虿１“Ｐ出掣）２＋（萼等）２］埘
ｊ。Ｌ
ＰＡ［（鼍户）２＋（鼍产）２］埘
掣（ｚ，ｔ）］ｄｚ＋吉ｎ２』：Ⅳｄｚ（３）
虿１
Ｊ。Ｌ∥ｏ［（一旦殳工孑｝』上）妒（ｚ，ｚ）＋
Ｕ２Ｕ，＋Ｕ６
（４）
其中，丝杠的变形势能Ｕｓ包括弯曲变形势能、剪切变形势能、预拉伸力和移动轴向力产生的势能，记为
ｕ刊１。Ｌ
Ｅ１［（掣）２＋（毪≯）２］¨
扣川鼍≯）２＋（２鼍掣）２ｄｚ＋
“铋［（萼掣）２＋（掣掣）２］埘号Ｆ删鼍≯）２＋（鼍≯）２ｄ祁，
两端轴承的弹簧势能Ｕ６表示为
．
Ｕ６＝ｌｋ』ｔ，（ｏ，ｆ）］２＋丁１惫。［口（Ｌ，￡）］２＋ｌｋ。［训（ｏ，￡）］２＋ｉ１走。［硼（Ｌ，￡）］２＋
寺愚妒［口（ｏ，￡）］２＋寺惫妒［口（Ｌ，￡）］２＋吉惫≯［妒（ｏ，￡）］２＋吉志ｐ［驴（Ｌ，￡）］２
（６）
系统的耗能为轴承的阻尼耗能，表示为
Ｄ＝ｊ｝ｃ。［亟三Ｌ泸］２＋号ｃ。［掣］２＋号ｃ。［掣］２＋ｊ｝ｃ。［掣］２＋吉ｆ，［堕掣］２＋丢ｃ妒［掣］２＋号ｃ，［亟ｓ巨ｊ；；。兰上］２＋丢ｃ，［掣］２
ｃ７，
外力所做虚功为
ＢＷ＝Ｆ。６口（ｓ，ｔ）＋Ｆ。８硼（ｓ，ｔ）
（８）
式中
Ｌ——丝杠苌度
ｄ——丝杠直径
』Ｄ——丝杠材料的密度
Ａ——丝杠的截面积，Ａ＝竿
卜——丝杠截面的中性轴惯性矩，．ｒ＝普
ｎ４
，——丝杠截面的极惯性矩，，＝！磬
Ｅ——丝杠材料的弹性模量
Ｇ——丝杠材料的剪切模量
是——剪切系数＾——丝杠导程
ｓ——移动力到原点的距离，ｓ＝；ｔＯｔ
Ａ——工作台沿丝杠移动速度系数，Ａ＝磊ｈ
根据文献［９］，连续系统具有同步运动的特征。设口（ｚ，ｔ）＝Ｖ（ｘ）ｇ。（ｔ），∞（ｚ，ｔ）＝ｖ（ｘ）ｑ。（ｔ），Ｏ（ｘ，ｔ）＝１吵（ｚ）ｑ口（ｔ），驴（ｚ，ｔ）＝，吵（Ｘ）ｑ止（ｔ），将以上各式代入式（３）、（５）、（６），（７）、（８）后，再代入拉格朗日方程．得系统的运动方程．表示为
２２２农业机械学报
２００９正
蜥＋西＋Ｋｑ＝Ｆ
（９）式中，ｑ＝（口。ｑ。ｑ０
ｑ口）Ｔ，ｊ、面分别代表速度和
加速度，Ｍ、ｃ、Ｋ分别代表系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，Ｆ为系统的力向量。
２
丝杠横向振动的频率方程与振型函数
Ｍ（ｚ，ｆ）：Ｅ１当掣。剪力表示为Ｑ（ｚ，￡）：
根据Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ梁理论，梁所受的弯矩表示为
ＧＡｋ（妒（ｚ，￡）一丑铲）。考虑陀螺力矩与预拉
伸力的作用，由文献［２，７］，梁在Ｙ方向自由运动的方程式为
弘等＋铋［鼍≯一掣］－一［掣吃力掣］一日掣＋
Ｆ掣＝ｏ
蚴［ｍ㈠一鼍掣］－０
（１０）
假设振型为可（ｚ，ｔ）＝Ｖｏｅ”ｅｍ、妒（ｚ，ｔ）＝尘ｏｅ”・ｅｍ，代入式（１０），整理得
ｆ－（一Ｆ—ＧＡｋ）ｍ２一ｐＡｃｃ’２
ＧＡｋｍ
］
Ｌ
ＧＡｋｍ
优２Ｅｌ—ＧＡｋ＋硝（￡１２—２ｐｌＤⅫＪ
ｒ训ＧＡｋｍｍ２讪２优２．日一ＧＡ置ｋ：讪卜
优Ｅ，一
十４ｂ２—２加ｌ（１２）
解得其中
口：—止≤堕盘
ｍ＝±口或ｍ＝±ｉｐ
卢＝业挚
口ｏ＝（ＧＡｋ＋Ｆ）ＥＩ
ｂｏ＝ＥＩｐＡ００２＋（Ｆ＋ＧＡｋ）・（一ＧＡｋ＋ｐｌ００２—２ｐｌｆ２∞）＋（ＧＡｋ）２
ｃｏ＝ＰＡ∞２（ｐＪｃ￡＇２一ＧＡｋ一２ｐ１１２（｜ｏ）则振型函数可表示为
ｆＶ（ｚ）＝Ｃ１ｓｉｎ（触）＋Ｃ２ＣＯＳ（触）＋
Ｃ１ｓｉｎｈ（口ｚ）＋Ｃｄｃｏｓｈ（口ｚ）
１９（工）：Ｆｌｃ。ｓ（触）一够２ｓｉｎ（肛）＋‘”’
【艿ｃ３ｃｏｓｈ（ａｘ）＋艿ｃ４ｓ・Ｉｎｈ（盯）如果口为虚数。则用正弦和余弦函数分别代替双曲正弦和双曲余弦。将振型函数代入式（１０），可得
ＧＡｋｆｌ２＋Ｆｐ２一ＰＡ叫２
７
＝
占
＝
１日掣吲（０’ｃ）
弹性支承条件下丝杠横向振动的边界条件为
辜
ＩＭＧ…∽一掣）－一拟叭）一Ｆ掣
ｌ口等｝一舭∽
【ＭＧ（舡∽一唑字）＝州“）一Ｆ吗字
（１４）
把ｖ（ｘ，ｔ）＝ｖ（ｘ）ｑ。（ｔ）、驴（ｚ，ｔ）＝，吵（ｚ）ｑ∞（ｔ）代入式（１４），整理为
ＡＣ＝０
（１５）
其中Ｃ＝［ＣｌＣ２Ｃ３
Ｃ４］ｒｏ式（１５）有非零解的充要
条件为
Ａ
１＝０（１６）
式（１６）即为丝杠的振动频率方程。
将所求频率代入式（１５），令Ｃｌ＝１，求得向量Ｃ，可得梁弯曲振动的振型函数。
为使振型唯一，把振型正则化，令
；（；Ｊｏ
ｐＡＶ２（ｚ）ｄｘ
２
１
ｚ；Ｊ：ｐｌｇｔ２（ｚ）ｄｚ
２
１
得
Ｘ２。＝万—ｊ—
ｊ。ＰＡＶ２（ｚ）ｄｘ
ｚ；：石—』—一
Ｊ。∥缈２（ｚ）ｄｚ
则振型函数表示为
ｆＶ（工）＝】（。［Ｃ１ｓｉｎ（ｆｉｘ）＋Ｃ２ｃｏｓ（触）＋
｛尘答篓ｉ≥ｃａｏｓ。（岩篡２ｓｉｎ（／Ｌｒ）＋（忉Ｉ，吵（ｚ）＝ｚ≯［１７ＣＩ
…’
触）一杉
）＋
【占ｃ３ｃ。ｓｈ（口ｚ）＋犯４ｓｉｎｈ（口ｚ）］
３计算与分析
３．１
丝杠的涡动转速与临界转速
由文献［１０］，主轴系统主要作同步正向涡动，所
以分析丝杠的正向涡动转速与临界转速。取Ｌ＝
１０００ｍｍ，ｄ＝２０
ｍｍ，Ｆ＝０，ｋ。＝０，ｎ＝０，根据
第９期
张会端等：机床传动丝杠的动力分析
式（１６）计算丝杠的振动频率随轴承径向刚度ｋ。的变化。图２为丝杠前两阶振动频率，可以看出，当轴承径向刚度正。一ｏｏ时，前两阶振动频率趋近于梁在简支条件下的固有频率，说明本文的频率方程是正确的。
取Ｌ＝１
０００ｍｍ，ｋ。＝２００Ｎ／／Ⅱｍ，是。＝２００×
１０６
Ｎ／ｒａｄ，根据式（１６），计算丝杠的涡动转速随预
拉伸力Ｆ、丝杠的转动速度ｎ和丝杠直径ｄ的变化情况，如图３～５所示。可以看出，由于预拉伸使得丝杠的横向刚度增大，涡动转速随预拉伸力的增大而增大；转速ｎ增大，陀螺效应增大。涡动转速随之增大；丝杠的直径增大，转动惯量增大，涡动转速增大。
ｔ。／Ｎ・ｐ．ｍ一
（ｂ）
图２丝杠振动频率随轴承径向支承刚度ｋ。的变化
Ｆｉｇ．２
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｖｉｂｒａｔｉｏｎｆｒｅｑｕｅｎｃｙ鸽ａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ’Ｓｒａｄｉａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓｋｖ
（ａ）第１阶振动频率（ｂ）第２阶振动频率
Ｆ／ＮＦ／Ｎ
（ａ）（ｂ）
图３丝杠涡动转速随预拉伸力Ｆ的变化（ｎ＝４
Ｆｉｇ．３
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｗｈｉｒｌｓｐｅｅｄ
ａｓａ
０００
ｒ／ｍｉｎ，ｄ＝２０ｍｍ）
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｅ－ｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅＦ
（ａ）第１阶涡动转速（ｂ）第２阶涡动转速
ｎ／ｒ．ｍｉｎ～
（ａ）
．ｑ／ｒ．ｍｉｎ一’
（ｂ）
Ｎ，ｄ＝２０ｍｍ）
图４丝杠涡动转速随转速力的变化（Ｆ＝２０００
Ｆｉｇ．４
Ｓｃｒｅｗ’ｓｗｈｉｒｌ
ｓｐｅｅｄ鸹ａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｓｐｉｎｎｉｎｇｓｐｅｅｄｎ
（ａ）第１阶涡动转速（ｂ）第２阶涡动转速
在图５中，丝杠的工作转速０＝４
０００
ｒ／ｒａｉｎ，可承刚度对临界直径ｄ，值影响不大；工作转速越高，轴承径向支承刚度对ｄ。值的影响越大。由图８可以看出，丝杠转速较低时，轴承转动刚度对ｄ，值几乎没有影响。
图９表示的是丝杠前几阶涡动转速随直径和转速的变化曲线。由图可以看出，当丝杠的工作转速达到６×１０４ｒ／ｍｉｎ时，不同直径的丝杠。其共振转速不同，经历的共振阶数也不尽相同。直径较小时，共振阶数多（图９ａ），但当丝杠直径增大，达到同样的转速时，经历的共振阶数减少（图９ｄ）。
以看出，当ｄ＜ｄ，时，丝杠在启动的过程中将会发生第一阶共振；当ｄ＞ｄ，，丝杠在启动过程中不会发生共振；当ｄ＝ｄ，时，丝杠的工作转速正好为共振转速，丝杠将不能正常工作。由此说明，对于低速运转的丝杠。合理设计丝杠参数，可以避免共振。
图６～８为丝杠第一阶涡动转速在不同的条件下随直径的变化。由图６可以看出，预拉伸力会改变丝杠的临界直径ｄ，值，预拉伸力越大，ｄ，值越小。由图７可以看出，在转速比较低时，轴承径向支
农业机械学报
２００９龟
２．０×１０４
３．０ｘ１０４２．５Ｘ１０４Ｏ×
Ｏ４Ｏ４Ｏ
４
ＴＩ．ＳＸｌ０４
Ｅ
二１．０ｘ１０４
暑昌，‘
Ｉ５×
０．５×１０
４
ｌａ×
Ｏ
Ｏ．５Ｘ１０４
图５丝杠涡动转速随直径ｄ的变化（力＝４
Ｆｉｇ．５
０００ｒ／ｍｉｎ，Ｆ＝２０００Ｎ）
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｗｈｉｒｌｓｐｅｅｄ鹊ａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉａｍｅｔｅｒｄ
（ａ）第１阶涡动转速（ｂ）第２阶涡动转速
Ｉ＿暑Ｅ：、ｆ
．暑Ｓ．、ｄ／ｍｍ
图６预拉伸力Ｆ对临界直径ｄ，的影响
Ｆｉｇ．６
Ｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｐｒｅｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅ
ｔｏ
图８轴承转动刚度对临界直径ｄ，的影响
Ｆｉｇ．８
Ｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ’Ｓｒｏｔａｔｉｏｎａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
ｔｏ
ｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｄｉａｍｅｔｅｒｄｃ
ｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｄｉａｍｅｔｅｒｄｅ
３．２丝杠的振动分析
在系统运动方程式（９）中，若不考虑轴承的支承作用，则式（９）简化为文献［８］中的系统运动方程。若
Ｉ．ＩＩ！昌二、ｆ
代入式（９）的频率不考虑陀螺效应和预拉伸力的影响，采用两端简支的边界条件，则丝杠的动态响应简化为文献［８］中梁的响应，由此说明本文运动方程式（９）的正确性。
ｔｏ
图７轴承径向刚度对临界直径ｄ，的影响
Ｆｉｇ．７
Ｅｆｆｅｃｔｏｆｔｈｅｂｅａｔｉｎｇ’Ｓｒａｄｉａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓ
ｔｈｅｃｒｉｔｉｃａｌｄｉａｍｅｔｅｒｄｆ
８Ｘ１０●
将式（１７）及相应的频率代入式（９），利用振型叠加原理和隆格一库塔法求解方程，计算丝杠的横向振
８×
０
４
第５阶
●
一６Ｘ１０４
一一“２ｎ
／
／
／
６×０
４
一一ｎ＝ｎ／／
４
ｉ
４Ｘ１０４
／
ｌ－二、ｔ
４×Ｏ
／
≈２×１０４
／
／
２×１０４
４×１０４
６×１０●
２×０
／
／
／
／
／
／
１０４
０
Ｏ
ｎ，ｒ・ｍｉｎ
（ａ）
８Ｘ１０●
ｎ／ｒ．ｍｉｎ—ｏ
（ｂ）
第４阶
１０Ｘ１０４８×１０４
下６×１０４
一一＾＝ｎ
／
，
１
／
／一一月＝ｎ
／
／
／
４ｘ１０４
／
‘ｌ
６×１０４
毒４×１０４
２×１０４
２×１０４
／
／
，
．
／
４×１０４（ｃｌ
６×１０４
０
／
／
／
／
０
２ｘ１０４２ｘ１０４４Ｘ１０４６Ｘ１０●
ｎ／ｒ．ｍｉｎ
ｎ／ｒ－ｍｉｎ—ｏ
（ｄ）
图９丝杠涡动转速随直径ｄ和转速ｎ的变化
Ｆｉｇ．９
Ｓｃｒｅｗ’ｓｗｈｉｒｌｓｐｅｅｄ
ａｓａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｉａｍｅｔｅｒｄａｎｄｓｐｉｎｎｉｎｇｓｐｅｅｄｎ
（ａ）ｄ＝１０ｍｍ（ｂ）ｄ＝２０ｍｍ（ｃ）ｄ＝４０ｍｍ（ｄ）ｄ＝８０ｍｍ
第９期张会端等：机床传动丝杠的动力分析
动位移。取Ｌ＝１
１０００
ｎｑ，Ｅ＝２．０７×１０５
ＭＰａ，Ｇ＝８．３×
系统的轨道不平度，可有效降低丝杠的横向振幅。
图１１为改变轴向力Ｆ。时丝杠的横向振动变化曲线。当轴向力与其移动方向相反时可降低丝杠的振幅。图１２为改变丝杠导程时丝杠的振动曲线，随导程的增大，丝杠的振幅增大。图１３和图１４为改变轴承的支承刚度时丝杠的振动曲线，较大的轴承支承刚度可降低丝杠的振幅。
比较图１０～１４，可见系统参数对直径偏小的丝杠影响较大。对于直径较小的丝杠，适当增大预拉
１０４ＭＰａ，惫＝Ｏ．９。』Ｄ＝７．８５×１０３ｋｇ・ｍ一３，力＝
ｒ／ｒａｉｎ，ｈ＝２０ｍｉｔｔ，ｋ。＝２００Ｎ／ｐｍ，ｋ∞＝２００×
１００Ｎ／ｔａｄ．Ｆ。＝０，Ｆ＝２０００Ｎ，Ｒ＝５０ｓｉｎ（，ｒｘ）Ｎ，
民＝２００ｓｉｎ（７ｃｚ）Ｎ。
图１０为预拉伸力Ｆ不同时丝杠的横向振动曲线。由图可见，预拉伸力Ｆ增大，丝杠横向振幅减小；丝杠２方向受力Ｆ。为Ｙ方向受力Ｒ的４倍，ｚ方向的振幅也大约为Ｙ方向的４倍，说明降低传动
ｌ
夸
曼
≯
ｌ
夸
３
圭
（ａ）
４ＸＩＯ一，３×１０—５Ｅ
１５×１０一ｓ
里２ＸＩＯ。
３
叠
ｇ甚
１０×１０—５
夸５×１０—５
Ｈ主
ＩＸｌＯ。５
Ｏ
０
—ＩＸｌＯ。５
～５Ｘ１０－５
（”
图１０丝杠的横向振动随预拉伸力Ｆ的变化
Ｆｉｇ．ｉ０
Ｓｃｒｅｗ’ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ａｆｔ．ａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｅ－ｔｅｎｓｉｏｎｆｏｒｃｅＦ
（ａ）ｄ＝１５ｍｒｓ（ｂ）ｄ＝３０咖
～．ｏＺ／Ｌ
（ａ）
图１１
Ｆｉｇ．１１
丝杠的横向振动随轴向力Ｆ。的变化
ａｓ
ａ
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍｏｖｉｎｇａｘｉａｌｆｏｒｃｅＦｕ
（ａ）ｄ＝１５ｍｍ（ｂ）ｄ＝３０ｉｒｔｌｎ
量
蚕
≯
图１２丝杠的横向振动随导程ｈ的变化
Ｆｉｇ．１２
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ａｓ
ａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｉｔｃｈｈ
（ａ）ｄ＝１５Ｉｎｍ（ｂ）ｄ＝３０ｍｍ
２２６
农业机械学报
２００９定
６×ｌ
。２００Ｎ／／．Ｌｒｎ
４×ｌ
２２００Ｎ／ｐ．ｍ
＝５００Ｎ／／．ｔｍ＝１０００Ｎ／／【ｔｍ
＝５００Ｎ／／．ｔｍ
墨：×，
苦
一２×ｌ
０
ｏ．５Ｘ／Ｌ
ｌ
专
苎
ｉａ
＝１０００Ｎｉｌ．ｔｉｎ
（ａ）
图１３丝杠的横向振动随轴承径向支承刚度女。的变化
Ｆｉｇ．１３
Ｓｃｒｅｗ’ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ鹊ａｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ’Ｓｒａｄｉａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓ女。
（ａ）ｄ＝１５ｍｌｎ（ｂ）ｄ：３０ｍｍ
６ｘＩ
４×ｌ
夸２ｘｌ
３
》
ｌ
一２×１
三一溉税
工ｌＬ
０６Ｎ／ｒＭ
０６Ｎ／ｒａｄ
量
置
备
１０６Ｎ／ｒａｄ
ａ：／Ｌ
（ａ）（ｂ）
图１４丝杠的横向振动随轴承转动刚度＾。的变化
Ｆｉｇ．１４
Ｓｃｒｅｗ’Ｓｌａｔｅｒａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎ
ａｓａ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂｅａｒｉｎｇ’ｓｒｏｔａｔｉｏｎａｌｓｔｉｆｆｎｅｓｓ志ｄ
（ａ）ｄ＝１５ｍｍ（ｂ）ｄ＝３０ｎ“
伸力或轴承的支承刚度，减小丝杠导程，更能有效地降低丝杠的横向振幅。
ｑ
。
叠加原理和隆格库塔法求解，分析了系统参数对丝杠涡动转速和横向振动的影响。
（２）丝杠的涡动转速随预拉伸力、旋转角速度和直径的增大而增大，可通过调整丝杠参数避免丝杠在启动过程中发生共振或者调整共振转速。
（３）对于直径较小的丝杠，适当增大预拉伸力和轴承的支承刚度，减小丝杠导程，可有效减小丝杠的横向振幅。
硅论缅比
（１）综合考虑了陀螺效应、预拉伸力和移动力对
丝杠振动的影响，以及丝杠两端轴承的支承作用，建立了弹性支承条件下丝杠的频率方程。并利用拉格朗日方程建立了传动丝杠的动力学方程，利用振型
参考文献
１
ＳｈｅｕＧ
Ｊ．ＹａｎｇＳＭ．Ｄｙｎａｍｉｃａｎａｌｙｓｉｓｏｆ
ａ
ｓｐｉｎｎｉｎｇＲａｙｌｅｉｇｈ
ｂｅａｍ［Ｊ］．ＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌ
ｄ
ＭｅｃｈａｎｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ。
２００５．４７（２）：１５７～１６９．
２
ＥｓｍａｉｌｚａｄｅｎＥ。ＯｈａｄｔＡＲ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｎｏｎ．ｕｎｉｆｏＦｉｎＴｉｍｏｓｈｅｎｋｏｔａｎｇｅｎｔｉａｌ３
ｂｅａｍｓｕｎｄｅｒａｘｉａｌａｎｄｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ
ｌｏａｄｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆＳｏｕｎｄａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．２０００。２３６（３）：４４３～４５６．
ｗｅａｋｅｎｅｄ
Ａｒｂｏｌｅｄａ—ＭｏｎｓａｌｖｅＬＧ。Ｚａｐａｔａ—ＭｅｄｉｎａＤＧ。Ａｒｉｓｔｉｚａｂａｌ—ＯｃｈｏａＪＤ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｎａｔｕｒａｌｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓｏｆ
Ｔｉｍｏｓｈｅｎｋｏ
ｂｅａｎ．ｃｏｌｕｍｎｗｉｔｈｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｅｎｄｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｕｎｄｅｒ
ｃｏｎｓｔａｎｔａｘｉａｌ
ｌｏａｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
Ｏｆ
ＳｏｕｎｄＳｏｕｎｄ
ａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ，
２００７．３０７（１～２）：８９～１１２．
４
ＣｈａｎｇＣＣ，ＬｉｎＪＫ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ２００３．２６１（５）：９５５—９６５．
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇｓｈａｆｔｓｕｂｊｅｃｔｅｄ
ｔＯａ
ｈｉｇｈ－ｓｐｅｅｄｍｏｖｉｎｇ
ｆｏｒｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆａｎｄＶｉｂｒａｔｉｏｎ．
５ＺｉｂｄｅｈＨ
Ｓ．ＪｕｒｅａＨＳ．Ｄｙｎａｍｉｃ
ｒｅｓｐｏｎｓｅ
ｏｆ
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇｂｅａｍｓｕｂｊｅｃｔｅｄ
ｔｏａ
ｒａｎｄｏｍｍｏｖｉｎｇ
ｌｏａｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
・
ｏｆＳｏｕｎｄａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，１９９９。２２３（５）：７４１～７５８．
６
ＫａｔｚＲ．Ｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆ
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇｓｈａｆｔｓｕｂｊｅｃｔ
ｔｏａｎ
ａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇａｎｄｒｏｔａｔｉｎｇ
Ｉｏａｄ［Ｊ】．ＪｏｕｒｎａｌＩｏａｄ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ
ｏｆ
Ｓｏｕｎｄ
ａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００１。２４６（５）：７５７～７７５．
７
ＬｅｅＨＰ．Ｄｙｎａｍｉｃｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆ
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇＴｉｍｏｓｈｅｎｋｏｓｈａｆｔｓｕｂｊｅｃｔ
ｔｏ
ａｘｉａｌｆｏｒｃｅａｎｄｍｏｖｉｎｇ
ｏｆＳｏｕｎｄａｎｄ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．１９９５．１８１（１）：１６９～１７７．
８
Ｏｕｙａｎｇ
Ｈｕａｊｉａｎｇ．ＷａｎｇＭｉｎｊｉｅ．Ａｄｙｎａｍｉｃｍｏｄｅｌｆｏｒ
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，２００７。３０８（３～５）：６７４～６８２．
ａ
ｒｏｔａｔｉｎｇ
ｂｅａｍ
ｓｕｂｊｅｃｔｅｄ
ｔＯ
ａｘｉａｌｌｙｍｏｖｉｎｇ
ｆｏｒｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌｏｆ
Ｓｏｕｎｄａｎｄ
９张义民．机械振动力学［Ｍ］．长春：吉林科学技术出版社．２０００：１５７－－２０８．１０钟一锷，何衍宗．王正．等．转子动力学［Ｍ】．北京：清华大学出版社，１９９０．