拉格朗日方程

航天学院

田浩

[email protected]

2015年5月25日星期一

内容提要

 (F  m r )  δr  0

i i i i i 1

N

1. 第二类拉氏方程

① 方程建立推导

② 有势力下的第二类拉氏方程 ③ 拉格朗日方程的应用分析

利用广义坐标

2. 动能的组成分析 3. 广义力计算 4. 相关例题

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2015/5/25

1

0 广义坐标与直角坐标间变换关系

笛卡尔坐标 : (x,y,z)、 r；

1 质点系中某个质点 p：rk

广义坐标 {qi | i=1.2…. } =xki+ykj+zkk

2 广义坐标 : 极坐标、球坐标、柱坐标、相对位置坐标、相对角度、…. 3 选定一组合适的广义坐标后，笛卡尔直角坐标与广义坐标之间存在一对一的

单值映射关系

x  x(q1 , q2 , q3 , t )

单个质点

r  r (q1 , q2 , q3 , t )

y  y (q1 , q2 , q3 , t ) z  z (q1 , q2 , q3 , t )

质点系中某个质点

xk  xk (q1 , q2 ,

, qn , t ) , qn , t ) , qn , t )

2

rk  rk (q1 , q2 ,

, qn , t )

yk  yk (q1 , q2 , zk  zk (q1 , q2 ,

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2015/5/25

0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-1 在直角坐标系中，空间中的点P可以用与之对应的直 角坐标 P(x,y,z) 表示，也可以用位置矢量 r 来表示

r  OP  xi  yj  zk

 r ( x, y, z )  r (u1 , u2 , u3 )

z P r O

dr

r+dr

质点 P 的运动用位置矢量 r 表示为：

y

r  x(t )i  y (t ) j  z (t ) k  r (t )

质点位移增量

x

3 r r r r  dx  dy  dz  dui dr  dxi  dyj  dzk  x y z i 1 ui

3 dr r r r r v  r ( x, y, z )  xi  yj  zk  x  y z ui dt x y z  u i 1 i

质点速度矢量

质点加速度矢量

a  r ( x, y, z )  xi  yj  zk

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2015/5/25 3

0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-1 在直角坐标系中，空间中的点P可以用与之对应的直 角坐标 P(x,y,z) 表示，也可以用位置矢量 r 来表示

z P r

dr

从而得到位置矢量 r 与基矢量 i j k 的偏导数关系

r  i, x r  j, y r k z

r+dr

O x

y

这一组等式的几何意义：在空间点P处，基矢量分别沿坐标曲线

的切线的正方向(坐标增加的方向)

r r 还可以得到关系式  , x x

r r  , y y

r r  z z

r r  , i  1, 2, 3 ui ui

2015/5/25 4

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0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-2 平面直角坐标系和平面极坐标系间的坐标变换关系

 x  r cos   y  r sin 

它们之间的偏导数关系

y r

O

 r  x 2  y 2    tan   y / x

P r

 x  cos   r   y  sin    r

x  r y  r

 x  

r sin    y      y  r cos   x   



x

1  r r     x x cos  r r    1   y y sin 

y sin         r2 r  x   x cos     2  y r r  

2015/5/25 5

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0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-3 球坐标系与直角坐标系间的转换关系

 x   r sin  cos   取广义坐标 q  r     y    r sin  sin       则 x  x(r , , ) 是广义坐标 q 的函数   z     r cos   r   x x x    dx x x  q     dt  q  r       

T

z R r



O x y

x  sin  cos 

 r sin  sin    r      sin  cos  r  r cos  cos   r sin  sin  r cos  cos 

T



类似地，y、z也可以表示为广义坐标的函数，用矩阵形式可表示如下：

 x   x x x   r  sin  cos   y    r       sin  cos             z       sin 

r cos  cos  r cos  sin   r sin 

 r sin  sin    r    r sin  cos       0   

2015/5/25 6

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1 完整系统的第二类拉格朗日方程

对于由N个质点组成的 完整、理想约束系统，若取 l 个广义坐标 q1, q2, …, ql，

则第 i 个质点的矢径可表示为广义坐标的函数

ri  ri (q1 , q2 , , ql , t )

ri ri dri  dq  dq  q1 1 q2 2

ri ri  dq  dt ql l t

ri ri  dqk  dt  q  t k k 1

l

质点 i 的矢径 ri 与广义坐标(qk)的存在虚位移关系

l l r ri  N   i F   r  F   q  F     i i k   i  q   i q k k i 1 i 1  k 1 k 1  i 1 

N N

 ri  

ri  qk  q k k 1

l

l    qk   Qk  qk k 1 

记

ri Fi   Qk   q k i 1

N

广义主动力(广义力)

2015/5/25 7

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1 完整系统的第二类拉格朗日方程

l r l r    N i  mi ri   ri    mi ri    qk      mi ri  i qk qk i 1 i 1  k 1 k 1  i 1  N N

   qk 

记

ri *  mi ri   Qk qk i 1

N

广义惯性力

* Q  Q   k k   qk  0 k 1 l

由此动力学普遍方程改写 为用广义坐标表示的形式

广义虚位移独立

完整系统

Qk  Q  0

* k

上述结果仅依赖 理想约束 条件

广

对系统 动能的全部运算以及按照问题的条 件计算广义主动力的表达式，那么就可以列写出系统的动力学方程 即动力学方程的建立的关键在于确定系统动能对广义坐标和广义速度 的依赖关系，以及作用在系统上的与广义坐标相对应的广义主动力

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2015/5/25

12

1 完整系统的第二类拉格朗日方程 - 有势力

(1) 若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而与

其速度无关，【F=F(r, t) 】，称该空间区域存在 力场，如重力场、

万有引力场、弹性力场、电场、磁场等 (2) 若存在标量函数V，只依赖于质点 Pi 的位置矢量 ri (坐标 {xi、 yi、 zi}) 且质点 Pi 在力场中所受力等于

Fix   V , Fiy   V , Fiz   V xi yi zi

则称该力场有势，函数V为势能，Fi为有势力 (3) 系统中全部主动力都为有势力则称系统为 保守系统

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2015/5/25 13

1 第二类拉格朗日方程 - 有势力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若系统主动力都是有势力，即

Qk   V qk

由

V  0 qk

d  T dt   qk

 T V     q qk k 

L  T qk qk

定义 L = T – V — 称为 拉格朗日函数，或 动势，则

d  L dt   qk

 L   q  0, k k 

 1, 2,

,l

主动力为有 势力时的拉 格朗日方程

2015/5/25 14

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1 第二类拉格朗日方程 - 有势力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若主动力中只有部分力是有势力，即

Qk   V  QkF qk

定义拉格朗日函数 L = T – V ，则上述方程可化作

d  L dt   qk

 L F   Q k , k  1, 2,  q k 

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,l

部分主动力 有势时的拉 格朗日方程

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15

1 第二类拉格朗日方程 - 粘性摩擦力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若系统内存在粘性摩擦力，记作Qdk，它通常 可表示为广义速度的线性函数，即 引入瑞利耗散函数  q  1  cik qi qk 2 i 1 k 1

l l

Qdk   cik qk

i 1

l

则

Qdk  

 d qk

因此存在粘性摩擦力的系统的拉格朗日方程可写作

d  L dt   qk

 L  d   q  q  Qk , k  1, 2, k k 

,l

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1 第二类拉格朗日方程 - 建模步骤及优缺点

建模步骤

① 以整个系统为研究对象，

优点

① 应用拉氏

方程可使系统动力学方程的数

② 建立拉氏方程无需进行加速度分析； ③ 建模步骤具有规范的形式 ④ 大大简化了复杂 系统动力学问题的分

分析系统的约束性质， 确定系统的自由度数目， 并适当选择广义坐标；

② 写出以广义坐标、广义

目减少到最少，消除了全部理想约束力；

速率表示的系统动能

③ 计算广义力 ④ 计算各相应导数 ⑤ 应用拉氏方程建立系统

析和求解过程

⑤ 可直接建立质点系相对于非惯性系的运

运动微分方程

动方程(此时只需要把相对运动中的坐 标取作独立坐标即可，但要注意在计算 动能时，各个速度必须是绝度速度

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1 第二类拉格朗日方程 - 建模步骤及优缺点

缺点

① 拉氏方程中各项的物理意

优点

① 应用拉氏方程可使系统动力学方程的数

② 建立拉氏方程无需进行加速度分析； ③ 建模步骤具有规范的形式 ④ 大大简化了复杂 系统动力学问题的分

义不如牛顿力学方程中的 各项那样清晰

② 不能直接利用拉氏方程求

目减少到最少，消除了全部理想约束力；

解各类理想约束力

③ 对单个物体或简单系统的

动力学问题，拉氏方程不 比用牛顿力学或动力学普 遍方程方便、快捷

析和求解过程

⑤ 可直接建立质点系相对于非惯性系的运

动方程(此时只需要把相对运动中的坐 标取作独立坐标即可，但要注意在计算 动能时，各速度必须是绝度速度

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2015/5/25

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2 系统动能的结构

N个质点的力学系统的动能为

1 N T   mi ri  ri 2 i 1

0

将速度用广义坐标和广义速率表示

ri  

ri r qj  i t j 1 q j

l

 l r ri   l ri ri   1 N i T   mi   qj   qk      2 i 1  t   k 1 qk t    j 1 q j 

 N  l ri ri  1 N r r 1 N  l l ri ri   m  i   q j qk    mi    q j    mi i  i  i 1  j 1 q t  2 i 1 2 i 1  t t j  j 1 k 1 q j qk    r r 1 l l  N     mi i  i 2 j 1 k 1   i 1 q j qk

l  N  ri ri  r r 1 N q j qk     mi   q j   mi i  i    i 1 q t  2 i 1 t t j  1 j   

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2 系统动能的结构

r r 1 l l  N T     mi i  i 2 j 1 k 1   i 1 q j qk

l  N  ri ri  r r 1 N q j qk     mi   q j   mi i  i    q j t  2 i 1 t t j 1

，

3 广义力计算

(3) 广义坐标与笛卡尔坐标的偏导数关系  x1  x1 0   L sin  1 1        2  1    y  y1  0  1  L1 cos 1     2  1

 x2   L1 sin 1     1   y2  L1 cos 1   1

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

 x2   L2 sin  2    2   y2  L2 cos  2    2

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

(4) 按广义力定义计算

Q1  F1x x1 y x y  F1 y 1  F2 x 2  F2 y 2 1 1 1 1

r Qk   Fi  i qk i 1

N

  F1x  m1 g ; F1 y  0    F2 x  m2 g ; F2 y  0

 m1 gL1 sin 1  m2 gL1 sin 1  (m1  m2 ) gL1 sin 1

Q2  m2 gL2 sin  2

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3 广义力计算

(4) 按虚功计算

系统所受主动力为：m1g、m2g 所做虚功分别为：m1gδx1、m2gδx2 笛卡尔虚位移与广 义虚位移的关系 令 1  0,  2  0 ，则

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

 x1   L1 sin 11  x2   L1 sin 11  L2 sin  2 2

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

  W ( )  m g x

1 1

1

 m2 g x2

  m1 gL1 sin 11  m2 gL1 sin 11

令  2  0, 1  0 ，则

 W ( )  Q( ) 

1 1

1

 (m1  m2 ) gL1 sin 1

Q( 2

  W (

2

)  m1 g x1  m2 g x2   m2 gL2 sin  2 2

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 W (  )  2

2

)

  m2 gL2 sin  2

30

2015/5/25

3 广义力计算

(5) 按有势力计算

系统所受主动力m1g、m2g 有势 其势能用广义坐标可表示为

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

V   m1 gL1 cos 1  m2 g ( L1 cos 1  L2 cos  2 )

V 于是利用 Q j   可求得对应于广义坐标的广义力为 q j

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

V Q(1 )    (m1  m2 ) gL1 sin 1 1 V Q( 2 )    m2 gL2 sin  2  2

由以上三种方法的计算可以看出

 对于保守力的广义力，通过势能函

数确定较为简单  如果主动力个数较多，按广义力定 义来确定广义力很繁琐

2015/5/25 31

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4 应用举例 – 保守系统

例4-1 滑块A和单摆B构成的有势系统

取 x 和  为广义坐标 系统的势能为 y O x 椭圆摆

A

mA

x

V  mB gl cos 

系统的动能为

2 2 T  1 mAv A  1 mB vB 2 2

φ

vr

B mBg

vB

ve

 1 mA x 2  1 mB ( x 2  l 2 2  2lx cos  ) 2 2

系统的拉格朗日函数为

L  T  V  1 mA x 2  1 mB ( x 2  l 2 2  2lx cos  )  mB gl cos  2 2

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2015/5/25 32

4 应用举例 – 保守系统

例4-1

OB与铅直轴的夹角θ 。 解：取整个系统为研究对象，系统具有理想约束。

系统所受的主动力分别为 m1g、m1g、m2g

两小球A、B的惯性力 FA，FB 的大小

FA  FB  m1 AE 2  2m1a sin  2

取坐标系 E-xy，则 x A  xB  0 对应坐标的变分

y A  2a sin 

yB  2a sin 

xO  2a cos 

 x A   xB  0

 y A  2a cos

 yB  2a cos

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 xO  2a sin 

2015/5/25 43

4 应用举例

例4-5 离心调速器

图示离心调速器以角速度 ω 绕铅直轴转动。每个球质量 为m1，套管O质量为m2，杆重略去不计，小球视为质点， OC = EC = AC = OD = ED = BD = a。求稳定旋转时，两 臂OA和OB与铅直轴的夹角θ 。 根据动力学普遍方程，有

 FAδy A  FB δyB  m1 gδx A  m1 gδxB  m2 gδxO  0

把有关各量代入

2m1a 2 sin  ( 2a cos  δ )  2m1a 2 sin  (2a cos δ )  m1 g  0  m1 g  0  m2 g (2a sin  δ )  0

cos   m2 g 2 4am1

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因 δ  0

整理可得

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内容提要

 (F  m r )  δr  0

i i i i i 1

N

1. 第二类拉氏方程

① 方程建立推导

② 有势力下的第二类拉氏方程 ③ 拉格朗日方程的应用分析

利用广义坐标

2. 动能的组成分析 3. 广义力计算 4. 相关例题

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1

0 广义坐标与直角坐标间变换关系

笛卡尔坐标 : (x,y,z)、 r；

1 质点系中某个质点 p：rk

广义坐标 {qi | i=1.2…. } =xki+ykj+zkk

2 广义坐标 : 极坐标、球坐标、柱坐标、相对位置坐标、相对角度、…. 3 选定一组合适的广义坐标后，笛卡尔直角坐标与广义坐标之间存在一对一的

单值映射关系

x  x(q1 , q2 , q3 , t )

单个质点

r  r (q1 , q2 , q3 , t )

y  y (q1 , q2 , q3 , t ) z  z (q1 , q2 , q3 , t )

质点系中某个质点

xk  xk (q1 , q2 ,

, qn , t ) , qn , t ) , qn , t )

2

rk  rk (q1 , q2 ,

, qn , t )

yk  yk (q1 , q2 , zk  zk (q1 , q2 ,

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2015/5/25

0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-1 在直角坐标系中，空间中的点P可以用与之对应的直 角坐标 P(x,y,z) 表示，也可以用位置矢量 r 来表示

r  OP  xi  yj  zk

 r ( x, y, z )  r (u1 , u2 , u3 )

z P r O

dr

r+dr

质点 P 的运动用位置矢量 r 表示为：

y

r  x(t )i  y (t ) j  z (t ) k  r (t )

质点位移增量

x

3 r r r r  dx  dy  dz  dui dr  dxi  dyj  dzk  x y z i 1 ui

3 dr r r r r v  r ( x, y, z )  xi  yj  zk  x  y z ui dt x y z  u i 1 i

质点速度矢量

质点加速度矢量

a  r ( x, y, z )  xi  yj  zk

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2015/5/25 3

0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-1 在直角坐标系中，空间中的点P可以用与之对应的直 角坐标 P(x,y,z) 表示，也可以用位置矢量 r 来表示

z P r

dr

从而得到位置矢量 r 与基矢量 i j k 的偏导数关系

r  i, x r  j, y r k z

r+dr

O x

y

这一组等式的几何意义：在空间点P处，基矢量分别沿坐标曲线

的切线的正方向(坐标增加的方向)

r r 还可以得到关系式  , x x

r r  , y y

r r  z z

r r  , i  1, 2, 3 ui ui

2015/5/25 4

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0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-2 平面直角坐标系和平面极坐标系间的坐标变换关系

 x  r cos   y  r sin 

它们之间的偏导数关系

y r

O

 r  x 2  y 2    tan   y / x

P r

 x  cos   r   y  sin    r

x  r y  r

 x  

r sin    y      y  r cos   x   



x

1  r r     x x cos  r r    1   y y sin 

y sin         r2 r  x   x cos     2  y r r  

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0 广义坐标与直角坐标间变换关系 – (例)

例0-3 球坐标系与直角坐标系间的转换关系

 x   r sin  cos   取广义坐标 q  r     y    r sin  sin       则 x  x(r , , ) 是广义坐标 q 的函数   z     r cos   r   x x x    dx x x  q     dt  q  r       

T

z R r



O x y

x  sin  cos 

 r sin  sin    r      sin  cos  r  r cos  cos   r sin  sin  r cos  cos 

T



类似地，y、z也可以表示为广义坐标的函数，用矩阵形式可表示如下：

 x   x x x   r  sin  cos   y    r       sin  cos             z       sin 

r cos  cos  r cos  sin   r sin 

 r sin  sin    r    r sin  cos       0   

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1 完整系统的第二类拉格朗日方程

对于由N个质点组成的 完整、理想约束系统，若取 l 个广义坐标 q1, q2, …, ql，

则第 i 个质点的矢径可表示为广义坐标的函数

ri  ri (q1 , q2 , , ql , t )

ri ri dri  dq  dq  q1 1 q2 2

ri ri  dq  dt ql l t

ri ri  dqk  dt  q  t k k 1

l

质点 i 的矢径 ri 与广义坐标(qk)的存在虚位移关系

l l r ri  N   i F   r  F   q  F     i i k   i  q   i q k k i 1 i 1  k 1 k 1  i 1 

N N

 ri  

ri  qk  q k k 1

l

l    qk   Qk  qk k 1 

记

ri Fi   Qk   q k i 1

N

广义主动力(广义力)

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1 完整系统的第二类拉格朗日方程

l r l r    N i  mi ri   ri    mi ri    qk      mi ri  i qk qk i 1 i 1  k 1 k 1  i 1  N N

   qk 

记

ri *  mi ri   Qk qk i 1

N

广义惯性力

* Q  Q   k k   qk  0 k 1 l

由此动力学普遍方程改写 为用广义坐标表示的形式

广义虚位移独立

完整系统

Qk  Q  0

* k

上述结果仅依赖 理想约束 条件

广

对系统 动能的全部运算以及按照问题的条 件计算广义主动力的表达式，那么就可以列写出系统的动力学方程 即动力学方程的建立的关键在于确定系统动能对广义坐标和广义速度 的依赖关系，以及作用在系统上的与广义坐标相对应的广义主动力

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1 完整系统的第二类拉格朗日方程 - 有势力

(1) 若在空间某区域，质点所受的作用力只依赖于空间位置和时间，而与

其速度无关，【F=F(r, t) 】，称该空间区域存在 力场，如重力场、

万有引力场、弹性力场、电场、磁场等 (2) 若存在标量函数V，只依赖于质点 Pi 的位置矢量 ri (坐标 {xi、 yi、 zi}) 且质点 Pi 在力场中所受力等于

Fix   V , Fiy   V , Fiz   V xi yi zi

则称该力场有势，函数V为势能，Fi为有势力 (3) 系统中全部主动力都为有势力则称系统为 保守系统

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1 第二类拉格朗日方程 - 有势力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若系统主动力都是有势力，即

Qk   V qk

由

V  0 qk

d  T dt   qk

 T V     q qk k 

L  T qk qk

定义 L = T – V — 称为 拉格朗日函数，或 动势，则

d  L dt   qk

 L   q  0, k k 

 1, 2,

,l

主动力为有 势力时的拉 格朗日方程

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1 第二类拉格朗日方程 - 有势力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若主动力中只有部分力是有势力，即

Qk   V  QkF qk

定义拉格朗日函数 L = T – V ，则上述方程可化作

d  L dt   qk

 L F   Q k , k  1, 2,  q k 

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,l

部分主动力 有势时的拉 格朗日方程

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1 第二类拉格朗日方程 - 粘性摩擦力

第二类拉格 朗日方程

d  T dt   qk

 T   q  Qk , k 

k  1, 2,

,l

若系统内存在粘性摩擦力，记作Qdk，它通常 可表示为广义速度的线性函数，即 引入瑞利耗散函数  q  1  cik qi qk 2 i 1 k 1

l l

Qdk   cik qk

i 1

l

则

Qdk  

 d qk

因此存在粘性摩擦力的系统的拉格朗日方程可写作

d  L dt   qk

 L  d   q  q  Qk , k  1, 2, k k 

,l

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1 第二类拉格朗日方程 - 建模步骤及优缺点

建模步骤

① 以整个系统为研究对象，

优点

① 应用拉氏

方程可使系统动力学方程的数

② 建立拉氏方程无需进行加速度分析； ③ 建模步骤具有规范的形式 ④ 大大简化了复杂 系统动力学问题的分

分析系统的约束性质， 确定系统的自由度数目， 并适当选择广义坐标；

② 写出以广义坐标、广义

目减少到最少，消除了全部理想约束力；

速率表示的系统动能

③ 计算广义力 ④ 计算各相应导数 ⑤ 应用拉氏方程建立系统

析和求解过程

⑤ 可直接建立质点系相对于非惯性系的运

运动微分方程

动方程(此时只需要把相对运动中的坐 标取作独立坐标即可，但要注意在计算 动能时，各个速度必须是绝度速度

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1 第二类拉格朗日方程 - 建模步骤及优缺点

缺点

① 拉氏方程中各项的物理意

优点

① 应用拉氏方程可使系统动力学方程的数

② 建立拉氏方程无需进行加速度分析； ③ 建模步骤具有规范的形式 ④ 大大简化了复杂 系统动力学问题的分

义不如牛顿力学方程中的 各项那样清晰

② 不能直接利用拉氏方程求

目减少到最少，消除了全部理想约束力；

解各类理想约束力

③ 对单个物体或简单系统的

动力学问题，拉氏方程不 比用牛顿力学或动力学普 遍方程方便、快捷

析和求解过程

⑤ 可直接建立质点系相对于非惯性系的运

动方程(此时只需要把相对运动中的坐 标取作独立坐标即可，但要注意在计算 动能时，各速度必须是绝度速度

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2 系统动能的结构

N个质点的力学系统的动能为

1 N T   mi ri  ri 2 i 1

0

将速度用广义坐标和广义速率表示

ri  

ri r qj  i t j 1 q j

l

 l r ri   l ri ri   1 N i T   mi   qj   qk      2 i 1  t   k 1 qk t    j 1 q j 

 N  l ri ri  1 N r r 1 N  l l ri ri   m  i   q j qk    mi    q j    mi i  i  i 1  j 1 q t  2 i 1 2 i 1  t t j  j 1 k 1 q j qk    r r 1 l l  N     mi i  i 2 j 1 k 1   i 1 q j qk

l  N  ri ri  r r 1 N q j qk     mi   q j   mi i  i    i 1 q t  2 i 1 t t j  1 j   

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2 系统动能的结构

r r 1 l l  N T     mi i  i 2 j 1 k 1   i 1 q j qk

l  N  ri ri  r r 1 N q j qk     mi   q j   mi i  i    q j t  2 i 1 t t j 1

，

3 广义力计算

(3) 广义坐标与笛卡尔坐标的偏导数关系  x1  x1 0   L sin  1 1        2  1    y  y1  0  1  L1 cos 1     2  1

 x2   L1 sin 1     1   y2  L1 cos 1   1

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

 x2   L2 sin  2    2   y2  L2 cos  2    2

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

(4) 按广义力定义计算

Q1  F1x x1 y x y  F1 y 1  F2 x 2  F2 y 2 1 1 1 1

r Qk   Fi  i qk i 1

N

  F1x  m1 g ; F1 y  0    F2 x  m2 g ; F2 y  0

 m1 gL1 sin 1  m2 gL1 sin 1  (m1  m2 ) gL1 sin 1

Q2  m2 gL2 sin  2

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3 广义力计算

(4) 按虚功计算

系统所受主动力为：m1g、m2g 所做虚功分别为：m1gδx1、m2gδx2 笛卡尔虚位移与广 义虚位移的关系 令 1  0,  2  0 ，则

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

 x1   L1 sin 11  x2   L1 sin 11  L2 sin  2 2

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

  W ( )  m g x

1 1

1

 m2 g x2

  m1 gL1 sin 11  m2 gL1 sin 11

令  2  0, 1  0 ，则

 W ( )  Q( ) 

1 1

1

 (m1  m2 ) gL1 sin 1

Q( 2

  W (

2

)  m1 g x1  m2 g x2   m2 gL2 sin  2 2

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 W (  )  2

2

)

  m2 gL2 sin  2

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3 广义力计算

(5) 按有势力计算

系统所受主动力m1g、m2g 有势 其势能用广义坐标可表示为

O θ1 L1

A(x1,y1)

y

V   m1 gL1 cos 1  m2 g ( L1 cos 1  L2 cos  2 )

V 于是利用 Q j   可求得对应于广义坐标的广义力为 q j

θ2

P1=m1g

L2

B(x2,y2)

x

P2=m1g

V Q(1 )    (m1  m2 ) gL1 sin 1 1 V Q( 2 )    m2 gL2 sin  2  2

由以上三种方法的计算可以看出

 对于保守力的广义力，通过势能函

数确定较为简单  如果主动力个数较多，按广义力定 义来确定广义力很繁琐

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4 应用举例 – 保守系统

例4-1 滑块A和单摆B构成的有势系统

取 x 和  为广义坐标 系统的势能为 y O x 椭圆摆

A

mA

x

V  mB gl cos 

系统的动能为

2 2 T  1 mAv A  1 mB vB 2 2

φ

vr

B mBg

vB

ve

 1 mA x 2  1 mB ( x 2  l 2 2  2lx cos  ) 2 2

系统的拉格朗日函数为

L  T  V  1 mA x 2  1 mB ( x 2  l 2 2  2lx cos  )  mB gl cos  2 2

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4 应用举例 – 保守系统

例4-1

OB与铅直轴的夹角θ 。 解：取整个系统为研究对象，系统具有理想约束。

系统所受的主动力分别为 m1g、m1g、m2g

两小球A、B的惯性力 FA，FB 的大小

FA  FB  m1 AE 2  2m1a sin  2

取坐标系 E-xy，则 x A  xB  0 对应坐标的变分

y A  2a sin 

yB  2a sin 

xO  2a cos 

 x A   xB  0

 y A  2a cos

 yB  2a cos

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 xO  2a sin 

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4 应用举例

例4-5 离心调速器

图示离心调速器以角速度 ω 绕铅直轴转动。每个球质量 为m1，套管O质量为m2，杆重略去不计，小球视为质点， OC = EC = AC = OD = ED = BD = a。求稳定旋转时，两 臂OA和OB与铅直轴的夹角θ 。 根据动力学普遍方程，有

 FAδy A  FB δyB  m1 gδx A  m1 gδxB  m2 gδxO  0

把有关各量代入

2m1a 2 sin  ( 2a cos  δ )  2m1a 2 sin  (2a cos δ )  m1 g  0  m1 g  0  m2 g (2a sin  δ )  0

cos   m2 g 2 4am1

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因 δ  0

整理可得

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