三角恒等变换的常见技巧

三角恒等变换的常见技巧

注：有*的内容选看！

一、教学内容：

三角恒等变换的常见技巧

二、学习目标

1、掌握引入辅助角的技巧； 2、掌握常见的拆、拼角技巧； 3、掌握公式的变用、逆用技巧；

4、掌握三角对等式、齐次式的处理技巧；

5、掌握弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角等变形技巧

三、知识要点

1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。

2、统一思想的应用——引入辅助角：对yasinxbcosx型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角。即化

yasinxbcosxa2b2sin(x),tan

b

a，然后将

等

该式与基本三角函数yAsinx进行比照研究。“位置相同，地位平等”是处理原则。 3、统一思想的应用——拆、拼角，如2，，



2

等；

4、统一思想的应用——弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；

5、统一思想的应用——公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入

t21

sinxcosxt,sinxcosx

2*6、代换思想的应用——关于正余弦对等式的处理，常以

代入，把函数式化为关于t的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等

问题的重要技巧。

四、考点解析与典型例题

考点一 引入辅助角研究三角函数的性质



例1. 设f（x）=asinx+bcosx（a,b,0）的周期为且最大值f（12）=4； 1）求、a、b的值；2）若、为f（x）=0的两个根（、终边不共线）， 求

tan（+）的值。

【解】1）

f(x)a2b2sin(x),tan

b

a，则

f(x)周期为,f(x)maxf(



)a2b2412

a2b24222a2b

tansin(b2)1a12

k

f(x)4sin(2x)f(x)02xkx

3，令362 由上可知：

因为、终边不共线，故

考点二 拆、拼角





3



2k13

tan()23

例2. 已知cos（

2)1

9，sin（2－）=

23

,0,22求，且



cos



2

.

【分析】观察已知角和所求角，可作出

后利用余弦的差角公式求角。

【解】,,00,0,,,222222

())

2

2

2

的配凑角变换，然



,,...,[**************]

22

114455451sin(sin(sin()),)(((,99),

22299

255,,

cos(cos()11)cos()((())222

3

22

2

2

,3

[1**********]575154coscoscos[(cos[())()])]. )()].

[***********]333927327

考点三 化弦为切

2cosxπ

f(x)0x2

cosxsinxsinx的最小值是（ ）4时，函数例3. 当．

（A）4 （B） （C）2 （D）

【解析】注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，

π

0x2

4，所以分子与分母同时除以cosx转化为关于tanx的函数进行求解．因为

11

f()x≥422

tanxtanx11

tanx20tanx1，所以4．故选（A）．

考点四 巧用公式

17tan28tan17tan28例4. 求tan的值。

tan(1728)(1tan17tan28)tan17tan2817tan(1728)(1tan17tan28)tantan28= 【解】原式tan45(1tan17tan28)tan17tan2817tan45(1tan17tan28)tantan28

1

【说明】对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用

tantantan()tantan()(1tantan)1tantan的变形式tan



考点五 “1”的拆变

π1tan224sincoscos的值． 例5. 已知，求2

【分析】由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余incos弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为s，再利用同角三角

函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．

2

2

tanπ11tan2tan

tan，得413， 【解】由

222

sincostan122

sincoscos2tan13于是原式2．

1等）【说明】

对于题中所给三角式中的常数（如：，比照特殊角的三角函

1sin2xcos2xtantanxcotx

4数值，将它们化为相应的三角函数，如等，参与

其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．

考点六 三角代换 *例6. 已知正数【解】

a,b,

121ab，求abmin。

1212sin2xcos2x2(sin2xcos2x)22

sinx,cosxababsin2xcos2xsin2xcos2x

cos2x2sin2x3322

sin2xcos2x

【说明】本题解题方法十分丰富，以下方法仅供参考：

122abab(ab)1(ab)()3322

abba法一：；

b2bx

abxaxbb2然后利用数形结合或函法二：设代入条件式，解出

数最值求解方法或利用求导方法或利用不等式知识求解；

b2bb

aab

b2代入b2，下同法二。 法三：由条件式解出

五、数学思想方法

三角函数式恒等变形是三角函数最重要的学习内容，无论是研究三角函数式的性质，或是三角函数式的化简、求值和证明，都需要对三角函数式进行恒等变形，方法和技巧十分丰富，其中也蕴含着数形结合、化归、函数与方程、换元、等量代换、图形变换等诸多思想方法，学习中要注意对典型题型和典型方法进行总结整理，加强对数学思想方法的培养和训练，以及对数学思维品质的培养和训练。

【模拟试题】

一、选择题

1、函数y=cos4x – sin4x的最小正周期是

B、 C、2 D、4

2、对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 A. sin（α+β）>sinα+sinβ B. sin（α+β）>cosα+cosβ C. cos（α+β）



A、2

3



4）等于 3、已知∈（2，），sin=5，则tan（1

A.7

3sin70

2

4、2cos10=

B. 7

1C. －7

D. －7

1A. 2

B. C. 2

D.

22

5、已知tan2，则sinsincos2cos

4534A. 3 B. 4 C. 4 D. 5

cos2π2

sin

46

、若，则cossin的值为

11

A. B. 2 C. 2

12

cotA

5， 则cosA *7、已知ABC中，

1255



A. 13 B.13 C.13



D.

D.



1213

二、填空题



8、tan10tan20＋（tan10＋tan20）的值为

9、函数y2cosxsin2x的最小值是_____________________ .

三、解答题 10、化简：

2

(tan10)

cos10sin50

1m

tan()tan(m1).

sinmsin(2),1m11、已知求证： 121225

(a)(b)

ab1a、bRab2。 *12、已知：，且，求证：xx

f(x)sin()2cos21

46813、设函数．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期．

4x[0,]

3时（Ⅱ）若函数yg(x)与yf(x)的图像关于直线x1对称，求当

yg(x)的最大值．

三角恒等变换的常见技巧

注：有*的内容选看！

一、教学内容：

三角恒等变换的常见技巧

二、学习目标

1、掌握引入辅助角的技巧； 2、掌握常见的拆、拼角技巧； 3、掌握公式的变用、逆用技巧；

4、掌握三角对等式、齐次式的处理技巧；

5、掌握弦切互化、异名化同名、异次化同次、异角化同角等变形技巧

三、知识要点

1、三角恒等变换中的“统一”思想：三角恒等变换的主要目的是异名化同名、异次化同次、异角化同角、异构化同构，即化异为同，也就是将待证式左右两边统一为一个形式，或将条件中的角、函数式表达为问题中的角或函数式，达到以已知表达未知的目的。基本切入点是统一角，往往从统一角入手便能全面达到化异为同的目的。

2、统一思想的应用——引入辅助角：对yasinxbcosx型函数式的性质的研究，我们常常引入辅助角。即化

yasinxbcosxa2b2sin(x),tan

b

a，然后将

等

该式与基本三角函数yAsinx进行比照研究。“位置相同，地位平等”是处理原则。 3、统一思想的应用——拆、拼角，如2，，



2

等；

4、统一思想的应用——弦切互化，如利用万能公式，把正余弦化为正切等等；对关于正余弦函数的齐次式的处理也属于“弦化切”技巧；

5、统一思想的应用——公式变、逆用，主要做法是将三角函数式或其一部分整理成公式的一部分，然后利用公式的这一部分与另一部分的等量关系代入

t21

sinxcosxt,sinxcosx

2*6、代换思想的应用——关于正余弦对等式的处理，常以

代入，把函数式化为关于t的函数式进行研究；另外，三角代换也是处理函数最值、值域等

问题的重要技巧。

四、考点解析与典型例题

考点一 引入辅助角研究三角函数的性质



例1. 设f（x）=asinx+bcosx（a,b,0）的周期为且最大值f（12）=4； 1）求、a、b的值；2）若、为f（x）=0的两个根（、终边不共线）， 求

tan（+）的值。

【解】1）

f(x)a2b2sin(x),tan

b

a，则

f(x)周期为,f(x)maxf(



)a2b2412

a2b24222a2b

tansin(b2)1a12

k

f(x)4sin(2x)f(x)02xkx

3，令362 由上可知：

因为、终边不共线，故

考点二 拆、拼角





3



2k13

tan()23

例2. 已知cos（

2)1

9，sin（2－）=

23

,0,22求，且



cos



2

.

【分析】观察已知角和所求角，可作出

后利用余弦的差角公式求角。

【解】,,00,0,,,222222

())

2

2

2

的配凑角变换，然



,,...,[**************]

22

114455451sin(sin(sin()),)(((,99),

22299

255,,

cos(cos()11)cos()((())222

3

22

2

2

,3

[1**********]575154coscoscos[(cos[())()])]. )()].

[***********]333927327

考点三 化弦为切

2cosxπ

f(x)0x2

cosxsinxsinx的最小值是（ ）4时，函数例3. 当．

（A）4 （B） （C）2 （D）

【解析】注意到函数的表达式的分子与分母是关于sinx与cosx的齐二次式，所以，

π

0x2

4，所以分子与分母同时除以cosx转化为关于tanx的函数进行求解．因为

11

f()x≥422

tanxtanx11

tanx20tanx1，所以4．故选（A）．

考点四 巧用公式

17tan28tan17tan28例4. 求tan的值。

tan(1728)(1tan17tan28)tan17tan2817tan(1728)(1tan17tan28)tantan28= 【解】原式tan45(1tan17tan28)tan17tan2817tan45(1tan17tan28)tantan28

1

【说明】对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用

tantantan()tantan()(1tantan)1tantan的变形式tan



考点五 “1”的拆变

π1tan224sincoscos的值． 例5. 已知，求2

【分析】由已知易求得tan的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余incos弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为s，再利用同角三角

函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．

2

2

tanπ11tan2tan

tan，得413， 【解】由

222

sincostan122

sincoscos2tan13于是原式2．

1等）【说明】

对于题中所给三角式中的常数（如：，比照特殊角的三角函

1sin2xcos2xtantanxcotx

4数值，将它们化为相应的三角函数，如等，参与

其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．

考点六 三角代换 *例6. 已知正数【解】

a,b,

121ab，求abmin。

1212sin2xcos2x2(sin2xcos2x)22

sinx,cosxababsin2xcos2xsin2xcos2x

cos2x2sin2x3322

sin2xcos2x

【说明】本题解题方法十分丰富，以下方法仅供参考：

122abab(ab)1(ab)()3322

abba法一：；

b2bx

abxaxbb2然后利用数形结合或函法二：设代入条件式，解出

数最值求解方法或利用求导方法或利用不等式知识求解；

b2bb

aab

b2代入b2，下同法二。 法三：由条件式解出

五、数学思想方法

三角函数式恒等变形是三角函数最重要的学习内容，无论是研究三角函数式的性质，或是三角函数式的化简、求值和证明，都需要对三角函数式进行恒等变形，方法和技巧十分丰富，其中也蕴含着数形结合、化归、函数与方程、换元、等量代换、图形变换等诸多思想方法，学习中要注意对典型题型和典型方法进行总结整理，加强对数学思想方法的培养和训练，以及对数学思维品质的培养和训练。

【模拟试题】

一、选择题

1、函数y=cos4x – sin4x的最小正周期是

B、 C、2 D、4

2、对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 A. sin（α+β）>sinα+sinβ B. sin（α+β）>cosα+cosβ C. cos（α+β）



A、2

3



4）等于 3、已知∈（2，），sin=5，则tan（1

A.7

3sin70

2

4、2cos10=

B. 7

1C. －7

D. －7

1A. 2

B. C. 2

D.

22

5、已知tan2，则sinsincos2cos

4534A. 3 B. 4 C. 4 D. 5

cos2π2

sin

46

、若，则cossin的值为

11

A. B. 2 C. 2

12

cotA

5， 则cosA *7、已知ABC中，

1255



A. 13 B.13 C.13



D.

D.



1213

二、填空题



8、tan10tan20＋（tan10＋tan20）的值为

9、函数y2cosxsin2x的最小值是_____________________ .

三、解答题 10、化简：

2

(tan10)

cos10sin50

1m

tan()tan(m1).

sinmsin(2),1m11、已知求证： 121225

(a)(b)

ab1a、bRab2。 *12、已知：，且，求证：xx

f(x)sin()2cos21

46813、设函数．

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期．

4x[0,]

3时（Ⅱ）若函数yg(x)与yf(x)的图像关于直线x1对称，求当

yg(x)的最大值．